장음표시 사용
161쪽
eum 12 duplo totius, per m. b., ergo etiam eum vimplo, M. eum ipsa tota 6 eonsonabit per prep. 4. Ita tres fiunt tonsonantiae. Ergo et e. .
Propositio XIV. Seetio chordae in duas partes, proportionis interge sesquialterae, est harmonica. Nam quia pars 2 eum residuo a constituit proportionem sesquialteram, habet
igitur Se Pars ad residuum. ut aliquod e insonum residuum 2 se ha- IT bet ad eirculum 3, Per cor dismum . quare si pars haee 2 eum suo residuo a consonabit, per ax. b. EL quia pars 2 eum residuo 3 Iacit' totum O, pars vero i ejusque reSiduum 4 eum Suo toto b consonat, --- per corollarium: co ouabit igitur etiam tota b cum eonsouae par-- - tis 1 dupla 2, quae hoe loco nostra pars est, vel cum consoni re- sidui 4 dimidio 2, per Prop. 4. Idem sequitur etiam simpliciter exl propositionis b. parte prima stxiomatica, quia subtelisa duabus quintis demon-l atrabilis est, quare et conSona. Denique quia partis 2 residuum 3 est ad totius S partem quartam, ut totus circulus I 2 ad partem consonam b. per corollarium, consonabit igitur et residuum nostrum 3 cum toto 5, per prop. I. Tres igitur consonantiae existunt. Ergo ete.
Propositio XV. Seetio chordae in partes duas, proportionis inter go super-bipartientis tertias, seu b ad 3, est harmonim. Nam quia proportio partis 3 ad residuum 5 est eadem, quke alterin residui 3
eonsoni ad totam b, per eorollarium, quare per axioma b. etiam nostra pars 3 cum nostro residuo b eonsonabit. Et quia pars 3ti eum residuo b iacit totam 8. quare per corollaritim pars a consonabit eum tota 8. Denique quia re iduum 1 ad totius S partem di midiam 4 se habet, ut totus circulus b ad residuum 4 consonum, vel ad totius d partem quartam 2, ut totus circulus b ad partem
consonam 2, per corollarium: consonabit igitur residuum nostrum etiam eum toto ου, per prop. r. Tres igitur et hie fiunt consonantiae. Ergo et e.
Propositio XVI. Si chorda secetur in duas partes effabiles, interque
illas et totam, hoe est inter tres terminos, suerit di sotiauitia una, oportet et alteram dissonantiam inter illos esse. Nam eausa dissonantiae erit, quod vel tota vel pars habeat numerum portionum illius divisionis proprium figurae indemonstrabilis. Atqui talis nummis neque majori alleui numero, qui proprius sit figurae demonstrabilis, consone suetatur, neque ulli minori se ipso, per axioma 3. et b. et prop b. et T. Terminus i liir ille, qui eoustat numero tali portionum, dissonat a duobus terminis reliquis sectionis illius, et sie duae sunt dissonantiae simul.
Huie propositioni in geometria simile est hoc, quod si recta seeetur in partes effabiles meritque earum una incommetis abilis alicui tertiae non toti ex utraque eompositae. ut hio: alteram quoque eidem tertiae in commensurabilem oportet esse. Aut, si recta secetur in partes inter Re ilicommen- aurabiles, utraque erit toti incommensurabilis. Propositio XVIIa Sl ehorda seeetur in duas partes longitudine etabiles, suerintque inter illas et totam, hoe est inter tres terminos, coli sonantiae
duae, oportet et tertiam esse eon onantium. Si enim duae consonantiae sunt, cum sint proportionum non plures quam tres. non poterunt igitur esse duae dissonantiae; si non duae dissonantiae, Ergo nec uita,
per 16. conue:mam; ergo omnes tres proportiones erunt consoliantes.
Ste in geometria, si recta secetur in partes inter se commensurabiles, tota utrique partium erit commensurabilis.
162쪽
Propositi i XvIII. Sectio Gordae In partes duas lonpitudine effabiles, in qua vel tota vel partium altera numerum portionum aequirit pro prium figurae indemonstrabilis quando quidem numeri et totius et partium inter se primi fuerint), non est harmonica.
Demonstratur ut 16. Fiunt enim ex tribus trium terminorum proportionibus ad minus duae dissonae, eontra definitionem praemissam. Hic sunt tria exempla, in primo nivior para est septem octavae, lin ultimo minor est una nona, In medio totum rapit partes septem, om- ' li ni a dissona.
Propositio XIX. Post octogoni eam nulla datur feetio eliordae hammoni ea. Sequentes enim sectiones aut fiunt Per figuras indemonstrabiles earumqtie stet. lag. et tune partes, liceι inter se consonare P0Ssint, tamen dissonant a toto, per ax. 3, aut per figuras demonstrabiles demonstratione impropria, ut per Pentehaedreagonum. dissonantque propriae partes sectionis a toto, per eorollarium ad ax. 3, aut per dinmonstrabiles demonstratione propria, qtiae post Pentagonum omnes sunt parilaterae, vido librum I. Urgo partes talium sectionum proprias oportet eonstituere numero portionum feetionis Impari; si enim Pari numero sumerentur, pars esset non hiuus seetionis. sed prioris propria, ut divisa chorita in 10, si portionum 4 vel si sumseris, perinde est ae si divisa chorda in b sumeres portionum 2 vel 3. Cum ergo pars ultnumero impari, tota numero pari, ipsa quidem para poterit tonsonare tori, si non sit major quinario sper pr. b. , at una consonantia non siissicit ad fretionem harmonieam. ut patet ex defiuitioile; tune vero dissonum erit residunm. tota enim ponitur portionum plurium quam 8, ut residui delinitio est, ut sit majus dimidio, se. maius quam 4 Minimum ergo residuum in divisione octonaria est d, in mimerosioribus est mMuaquam S. In omnibus ergo Rectionibus chordae posv octonariam residua .sunt impari numero, majori quam b. Atqui numeri impares, majores quam b, proprii sunt figurarum indemoustrahitium, per I. 4b et 47. Ergo per prop. 18. hujus residua ba musantur sectioues non harmonicas. corollaria. I. Sectiones unius chordae harmonicae sunt numero septem, non plures. II. Propagatio numerorum, qui sunt characteres sectionum, iit hoc pacto: initio ponitur fractionis forma I tum, unitas scilicet supra pro numeratore, et unitas infra pro denomitiatore; deinde uterque numerus georsim ponitur supra, ct humma utriusque utrinque infra, ut ex una qualibet fractione duo oriantur rami, eousque dum ex Fumma fiat numerus index fgurae indemonstrabilis. Has sectiones cliordae septem primum auditu iudice . inveni, totidem nempe, quot sunt liarmoniae non majores una diapason; postea causas et seetion uiri Fingularum et univem garum numeri non sine labore . ex penitissimis geometriae
163쪽
. De Hoportionibus . sontibus erui. Legat curiosus lector, quae de his scinionibus arae annos 22. scripsi in Mysterio CosmographIco capite XII. et perpendat, quomodo suerim illo loco Italiueinatus super ea is sectionum et harmoniarum, perperam nlfius earum numerum et rationes deducere ex numero quinque corporum regularium polidorum; eum verum sit hoc potius, tam quinque figuras solidas, quam harmonias musicas Et ehordae sectiones communem habere Oiaginem ex figuri κregularibus planis. Et Ptolemaei quidem musica hum expositione Porphyrii, quorum loco allegato mentionem Dei, haeiunus manuscripta nactus sum ex liberalitate . Jο. Georgii 1Herwardi ancellarii Ilavari ei iv s. p. 6. , ex quorum libro tertio partem potiorem in appendicom ad libros IV. et V . hujus operis transtuli; eausas vero harmonia ruin genuinas in iis non inveni adeoque uesectionum quid m harum ii unierique eurum septenarii ulla fit muratio. Etsi vero inature satis animadverti, causas a figuris planis petendas, ut cujus rei semina jam in allegulo capite XII. Mysterii sparsa vides, attamen diu admodμm me torserunt, priusquam omnibus animi mei serupulis sati fieret. Primum enim figurae demonstrabiles a non demonstrabilibus erant se- Parandae, postea causa invenienda, cur, cum sectiones hae essent ex figuris, sectiones quidem intra septenarium consisterent, figurae in infinitum excurrerent. Tertio discrimen inter pentehaedoeagonum et demonstrabiles eoteras erat statuendum. quia vidi, siluram illam exclusum esse ab harmoniarum procreatione, teste auditu. Et habebant singula eapita suas cautiones concisiores, quarum una quaelibet me diu tenuit oecupatum. Exemplo sit prop. 5 , quRm
ultimo omnium, cum jam deseriberem opus, 'vidi addendam, quod hactenus ignoraveram. Nisi enim et illa inter principia esset, et si verbi eausa propterea essent aptae ad statuendam harmoniam, quia suot perue eum quibus semicirculum laetunt) demonstrabiles, tune et et η, eoque et V, et ii, harmonias sacere convincerentur, quod omnibus modis repudiant et aures et axiomata nostra. Igitur vel solo allegato libri mei Mysterii Cosmographici testimonio satis est munitus auditus contra sophistarum obtrectationes, fidem auribus derogare ausuros circa divisiones adeo minutas et dijudieationem concordantiarum sub' tilissimani; quippe cum videat ieetor, me fidem aurium illo tempore Recutum esse in tonstituendo sectionum numero, cum adhue de causis laborarem, nec idem hie fecisse, quod laeere veteres, qui aurium judicio progressi 'aliquatenus, mox contemtis ducibus reliquum itineris, rationem erroneam Fecuti, perfecerunt muribus vi quasi pertractis et plane obsurdescere juggla. Ex abundanti vero infra eap. 8. hujus libri operam dedi, ut euilibet esset in promtu facultas suopte Varis consulendi auditum super his aliisque ehordae divisionibus earumqtie testimonium pensiculandi, ut 'certus sit, en, de quorum causis laboramus, sensuum experientia certissima niti, nec sponte mea sevius criminis Pythagoraei in parte rei sunt) esse conficta proque veris Dduusa.
De modi etatibus harmoni eis et trinitate concorda utium sonorum.
Vana est definitio proportionis harmonicae, quod sit illa, ubi tribus numeris ordine.naturali locatis, binorum vicinorum' i G, excesRus sunt in proportione extremorum, ut in numeris 3, 4, si, maximus θ est duplus minimi 3 et sie etiam disserentia: inter
164쪽
Harmonicis. Liber m. Caput Ili.
binos vi ei nos majores 4, 6 est dupla disserenitae 1 inter binos vi e nos minores 4, 3. Inseram tamen modum inveniendi numeros eontinentes talem proportionem, musicam ab auctoribus dieram, quia crebro ex harmonica doetrina . traiissumitur in ethicam et polit iram Modus est talis: propositis duobus nu
meris inter se primis, qui continent proportionem et extremorum so tribus mugi eo seontomperan is ex sententia veteriim et differentiarum utriusqne a medio, mnltipliea iitrumque in se ipsum et ambos in se mutuo. saetorum trium duos minorps addo pro minimo invΘniendorum . . duos majores adde pro maximo, medium duplicia Pro medio musico veterum. Verbi eausa. sint iuveniendi tres numeri in proportione musica veterum tali, ut extremi habeant intor se proportionem eam, quae est inter a et 5.
Ter 3 sunt 9, tor 5 suut Ib, quinquies o sunt 2b, sunt igitia saeti b, I b, 2b. Adde I et Ib, fiunt 2i; adde ib st fiunt 40, dupliea lb, sunt 30. Sunt igitur hi tres quaesiti 24, 30, 40, quornm differ 'nitae textremorum a medio) 6, l0. Nam ut d ad 5. sic 24 ad 40, sic etiam si ad 10. In minimis inter se primis 12. 1 b, 20. Haee quidem Vere est harmoni ea proportio etiam mihi, quia non tantum proposita proportio inter 3 et 5 est harmonica, per prop. 8. coroli., Sed etiam inventus medius numerus 15 consonas facit proportiones eum extremis I 2 et 20 per idem eoroll. At hoc non semper fit. Quoties enim inter duos numeros, bod paeto propositos, medium arithmelleum eum extremis dissonantes proportiones determinat, toties proveniunt etiam ex hac operatione tros numeri in proportione re vera non harmoniere, quamvis duo initio propositi proportionem solitarii contineant harmonicam. Sic fit in I, 6, in I, 8, in 3, 4, in 4, b, in b, 6, ln 2, b, in 3,. 8, in b, 8. Verbi causa inter 2, 5, hoc est
4, tu medietus arilli ineliea est z, non harmonim, quia 7 neque cum 4 neque cum to consoniit, per pr. 5. Operare ergo secundum regulam, prodibunt numeri l4, 20, 35 cum excessibus 6, ibi ubi 20 seeuitillim veterea dicenda
esset medietas harmoni ea, quia ut I 4 ad 35 id est 2 ad b) lia 6 ad 1 b. Atqui aures omnino repudiant 20, 35 quippe 4, Τ) et 14, 20 quippe 7, 10 .
Vide infra eap. ni. et supra P. 10.
In sectionibus igitur harmonicis eap. 2. totidem se osserunt medietates, quot sunt sectiones, una minus; et medietas in illis quidem sectionibus sumitur girietiori significutu, quod sit chordae harmonice sectae in inaequalia pars major, seu numerus illam Oxprimetis. Sio 2 est medium harmoni eum inter I et 3, si e 3 inier 1 et 4 inierqtie 2 et 5; sie 4 inter I et 5, sie 5 interi ei si interque 3 et 8. Praeter has vero sunt etiam aliae medietates, solutae hae dege sectionis totius ebordue in partes duas, coinprehensae tumen generali nostra definitione, et secantes la0ia est ortam unam, ut priori capite, sed proporii υnem chordarum
in minores proportiones consona . Primum omnes proportiones majores dupla resolvuntur in sua principia ablatione proportionis. duplae, ut ' constat ex quatuor duplis se. ex sedeeupla) et sesquialtera. Quare medietates harmonieae' hoc quidem nomine inter 1 et 24 intercedunt istae 2, 4, 8, 16, superius colloeata sedecupla, vel istae tu , 6, 3, 2, una dupla superius collocata, tribus inserius, nam varie fieri potest. φὶ Deinde proportio dupla resolvitur in has consonas
in V. et V, Denique sesquialtera 'l, resolvitvr in
et Iij; sie V. in V. et sic I, in V. et
165쪽
Tres igitiir istae proportionesiloc est ininaediatae, Seu medio liarmonico earentes, ceterarum scilicet elementa consona.
Ex liis autem sequitur, unius duplae duas esse posse medietates, inter se quoque consoniis, idque sexies. Nam quia dupla.habet tria elementa minima consona, sexies eorum ordo potest variari. Nam vel est primo loeon cli orda minori, vel medio, vel ultimo; et in uno quoque easu reliquorum clementorum aut majus V, versus chordam minorem, alit nativis ηι. Singuli casus sunt exprimendi singulis numerorum quadrigis, ut in tabella sequitur:
cum ergo chordae proportionis duplae eonsonent identice, inter illas vero non possint esse una vice plures quam duae medietates, consonantes et interae et eum duplis ipsis, hinc orta est famosa illa musteorum observatio, qui trinis vocibus omnes harmonias absolvi mirantur. Nam quotcunque voces praeterea actumulentur, singulae in trium unam redeunt per duplae proportionis eonsonantiamidenticum. Quamvis enim existat una eonsonantia ex omnibus
istis eliordarum magnitiidinibus 3, 4. b, 6, 8, l0, 12, I 6, 20, 24, at qitiequid est post 3, 4, 5 chordarum, omne id in unam haraim redit per identisomim: ut 6 in 3 et 8 in 4 et Ioin b; sie 12 in 6 sit 3; sie 16 in 8 et 4; sie 20 in 10 et 5; sic 24 in I 2, 6 et 3.
Causam liiijns rei frustra petunt aliundo alii ex trina dimensione quantitatis perseelao seti corporis. ut quod patet in longum, latum et profundum; alii ex numeri ternarii perlaetione, alii ab ipsa adoranda Trinitate in Divinitate. Frustra, inquam, omnes; nam nequo solida quantitas hoc negotium ingreditur, eum ortum harmoni earum proportionum ex figuris planis docueri
166쪽
mira et lon si me diversa sit causa petentiae solida quantitas a plana, quippe illa duabus mediis proportionalibus utitur, quas sciri promi8eue est impossibile, neque numeri ulla vis esse potest, quatenus ut numerans consideratur, neque etiam origo hujus trinitalis immediato est ab essentia divina per eausationem exemplarem, eum apparuerit supra, componi musam rei ex principiis explicatis, quae nequaquam intendunt numerum aliquem vocum per se, sed quae voces ipsas inter se singulas singulis eoaptantia harmonica et sic
quasi aliud agentia per aeeidens efficiunt aliquid simile divinis propter eui dem numerum; quod idem etiam in plurimis rebus asis frequenter eontingit.
Breviter, numerus ille ternarius non est emetens causa harmoniarum, sed effectus ipsius, seu estectae harmonias comes; non informat harmonias, sed est formae resplendescentia; non est materia voeum harmoniearum, sed est soboles procreata ex materiali necessitate; non est finis Οὐ ἐν re, sed est extremitas operis; denique nihil est de re ipsa harmonim, sed est eus rationis secundarium et mentis concepto, secundae intentionis. Nihilo magis enim est quaerendum, cur voces solum ternae consonent harmonice, quarta et omnes aliae per duplae proportionis consonantiam redeant quodammodo in idem, quam cur sex tantum bigae sint in qualibet octava, genao eonsonantiarum triplicium sormae. Ut enim senarius iste non est a sex diebus ereationis, sic neque ille ternarius est propter Trinitatem personarum in Deitate. Sed eum sit ternarius communis rebus divinis et mundanis, ubicunque is occurrit, superveniens mens humana, eausarum ignara, eonspirationem hane miratur.
De ortu eo ne in nornm intervallorum, quae eonsonis minora fiunt.
Cum sensus testetur, ex elio is aequaliter tensis illariam sonitus egregraviores. quae sunt longiores, illarum aeutiores, quao breviores. hinc voces istae junctae, aeutum et graue, differentiae sunt harmonices propriae. Nam singulae quidem seorsim aliarum singularum sunt scientiarum, in quibus eo-pulantur elim oppositis aliis, acutum eum obtuso in geometria, grave eum
1evi in physica. Et aliter, acutum in meelianicis sonat subtile et penetrans, grave in sensualibus sumitur de odoribus, qui, ut gravia pondera, ob quandam magnitudinem sunt minus tolerabiles. At Junetae aevium et grave interque se oppositae nonnisi de vocibus aecipiuntur. Retinent tamen aliquid de pristino signifieatu. Nam ut in geometria acutum est minus obtuso, Steetiam in harmonice vox aeuta sonat parvam eoque penetrantem et altam, idiotismo tentonleo, et volitantem quasi in sublimi, propter quandum levitalem. Et ut in phystea gravia habent magnum pondus, Iovia parvum, Ric etiam hiegravis vox sonat magnam; utque gravia in libra sun dum et inferiora petunt, levia in altum exsiliunt, sic etiam in harmontes vox gravis propter magnitudinem reputatur pro ponderosa, eoqtie inseriori seu profunda fassa); vox acuta, uti dictum, pro alta. Nam quod in testudine hypate, id est summa, edebat gravem sonum, id est tantum ob eius situm in instrumento, ut adhuc hodie, non ob aliquam voeis similitudinem cum levibus et supervolitantibus. Situs autem ejus in instrumento rationem habet mechanicam ex eo, quod ne te, id est ultima et infima, quia sonat acutissime. tuit pulsanda creberrime; cum parvis conveniat motus velox, et vero deorsum pulsamus expeditius ob consormationem pollicis, quam sursum. Aecedit inter eausas experientia gutturis
167쪽
De Proportionibus humani. Nam et viri eommuniter proceriores seminis, adulti pueris, m aviorem etiam vocem emittunt, quasi prosundius petitam; et singuli homines, ipso sensu laetus docente, graviorem vocem profundius eliciunt, altiorent superiua; et qui gravissime cantant, corpus extendunt, ut quam profundissime vox exeat. Tendunt quidem collum etiam, qui acute canunt, sed non ut longum eollum iaciant, sed ut rectius constringant supremos circulos gutturis. His igitur de causis natus est in harmonicis conceptus alti et profundi, pro quo crebro usurpi mus aeutum et grave. Cum igitur altum et profundum sint alias vocabula loci, consuetudo sermonis haec sua principia secuta votibus etiam id aeeommodat, quod locorum est proprium, scilicet intervalla, graeco διαπινοῦματα. Nam loca διιστα ναι, distare dicuntur. Denique disciplina harmonica hanc vocem etiam in picturas seu diagrammata sua de quibus inserius transtulit, qua ου altis et profundia lineis constant, qlio pacto restitutus est illi sensus geometricus. Quae igitur liaetenus dieebantur proportiones chordarum, in postorii msere dicentur intervalla vocum, quas omittunt chordae longitudinis inaequalis. Nam voces idein sonantes, quibus respondi ni chordae ex aequaliter tensia aeque longae, intervallum non faciunt, eum sint altitudinis ejusdem. Etsi libro V. abstinendum erit ab hoc sensu vocis intervallum, propterea quod ibi erebro usu repetenda erit vox ista in sensu astronomico, de linea recta intereorpus planetae et Solem, item de eo spatio, quod inter diversos orbes interest. Porro sicut praecedenti capite proportiones bisuriam eonsiderabantur, se. vel singulae per se ipsas, vel invicem comparatae eausa ordinis, qui extendebatur a compositae ali citius proportionis termino seu chorda minori ad maj rem vel longiorem et vieissim: sic nunc etiam intervalla vel singula per se vel invicem comparata considerantur causa loci harmonici; ut et in continua ordinatione aliquot intervallorum sie ut bina seniper pontigua habeant eundem terminum communem, qui ait unius major terminus, alterius vergentis ad graviores voces minor), semper illud intervallum dieatur inserius, quod est inter voces graviores, illud superius, 'uod est inter acutiores. Et in geometria quidem proportiones agnoseuntur aequales, licet sint inaequales termini unius terminis alterius, et excessus terminorum unius inaequalis ex tessui terminorum alterius; ut si sint tres chordae in proportione numerorum 4, ε, s, eademeensetur proportio 'ia quae non obstante, quod cum ipsi termini, tum etiam excessus 2 et 3 inaequales sunt. In harmonice similiter omnia inte valla vomin a chordis, quae sunt ejusdem proportionis, venientium et cense tur aequalia et scribuntur etiam nota numerica eadem, quin etiam linearum intervallis aequalibus pinguntur in diagrammate; sic ut petii sus obliviscamur ejus inaequalitatis, quae est Inter exeessus diversarum chordarum. Sequitur igitur, ut proportionis minoris intervalla minora dicamus. majoris majora, sine respectu magnitudinis aut parvitatis respondentium utrinque terminorum. His igitur definitionum loeo praemissis nune porro dispiciondum est dedisserentiis intervallorum. Haetenus quidem proportiones Omnos, quas eo n- sonas esse demonstravimus, una aequalitatis ex tepta, pro totidem intervallisi iidem eonsonis sunt habendae, proportiones vero, quas dissonas diximus, pro intervallis itidem dissonis. Cum vero inter dissona intervalla magna siι di serentia, sic ut non tantum consona a natura doceantur et illius instinetu abandi tu prubentur, sed etiam alia minora intervalla ab eodem sensu stabiliantur, quae licet dissona sint, apta tamen sunt, per quae eantus . traduentur: h rmunice naturam seeuta nomen iis imponit eoneinnorum eaque distinguit
168쪽
Hannoni era. Liber III. Caput IV.
ab inconeinnis, quae nullius cantus ordinati tractum ingressiuntur; graeee dlineuntur et
Quod naturae ingenium in diserimine concinnorum et inconcinnorum eum iderent veteres, quaerendum igitur existimarunt, quodnam esset commune omnibus concinnis et tonsonis minimum elementum, ex quo Recundum aliquem numerum glinato quodlibet ex consonis et concinnis eoinponeretur .. N
cesse enim videbatur existere aliquod tale minimum intervallum ut simplex et ortu prius ipsis consonautiis, quae videbantur compositae ex tali minimo. utpote cum essent intervalla alia aliis majora. Atqui res longe tiliter habet, quod multis exemplis,doceri potestim Nam stippeeiorum omnium individua. quae mugitudino disserunt, ex uno communi minimo eonniant, erit igitur'una aliqua minima quantitas humanae speciei, ex cujusmodi pusionum certo aliquo numero velut ex elementis quilibet homo eomponatur, proceruη ex mul iis, pumilias ex paucis. Non minus enim in harmonicis qualitas ista, cons nantia, insomnat chordarum proportionem seu vocum intervallum, quam forma hominis molem illam materiae informat, quae hominis cute ambitur. Et cur obliti sunt geometriae, in qua plurima sunt exempla omnis generis quantilatum in ommensurabilium, quarum definitio est 'nulla penitus communi mensura, quae sit ex eodem genere quantitatum, tanquam aliquo eompositionis elemento quantitatis certae, Pommunieare γSie igitur tenendum est, . intervalla tonsona praeterquam quorum unum est alterius multiplex) esse, ut proportiones illas ipsas, in commensurabilia, pio quidem, ut quamvis eoruni disserentiae numeris exprimantur, quo J in simplicibus numeris est signum commensiirationis, hae tamen disserentiae, quippe non simpliees numeri, sed fractiones, non sint disserentium pars vel partes aliquotae secundum aliquem numerum. Verbi musa duas'proportiones si l. inter se ut numerus 1 adinumerum 2, sunt ergo commensur biles, nam l. est dupda ipsius V i. Hoe in sola serie continue duplarum si eum habet. Nam in serie triplarum et ceterarum multiplicium non dantur duao proportiones consonae, ut, A est quidem tripla ipsius, L, at sola l, est inter consonas, ero est inter dissonas. per ax. 3. Idom videre est etiam in non multiplinibus, ut in sesqiuultera eon ona: datur sane. ejus multiplex et sic commensurabilis, nam l, est ad ut numerus 2 ad 1, at non est inter eonsbnas. E contra sint aliae duaa eonsonae, quam ex s rie continue duplarum, ut ' l. et hae duae proportionos non sunt istor ebcommensurat iles, hoc est non ut numerus nd numerum; excessus enim 'uipsius l. super ri non metitur neque neque Consona igitur inter valla natura priora sunt minoribus intervallis, quae eoneinna appellamus; nec illa componuntur ex istis tanquam ex elementis aut ex minori aliqua quantitate, sed contra haec ex illis tanquam ex eausi 'oriuntur. Ubi notanda est vox ambigua compositionis, qnao interdum ortum d notat rei natisralem, interdum vero divisionem rei qtiantitativam, quasi non ortus est, sed destructio potius; iit cum cireulum didimus eonflare ex tribus trientibus, dividentes prius circulum mente in tria, aut cum humanum corpus dicimus esse dompo itum ex membris, non quod fuerint membra ante eorpus et corpus ex illis collectum et constructum, ut domus ex lapidibus et lignis, sed quia corpus causa. molis in haec membra. quae singula seorsim corpus organicum amplius non sunt, est dividuum. Priori significatu negandum est, intervalla eqnsona vel ex aliis eonsonis vel ex concinnis componi; posteriori
significatu sane constant et sie quasi componuntur quod ipsi in superioribus
169쪽
ustirpaveramus) liuervalla eomona majora ex minoribus consonis, eonsona minima ex concinnis etc., quia in haec velut elementa dissolvuntur, at non eonstant diversa inter se ex unius communis minimae speciei intervallis aliquam multis, nec in talia dissolvi possunt. Quamvis etiam habeant intervalla consona caurus cognatas, non omnia tamen eandem, sed quodlibet suam peculiarem causam ha t, distinetam a causis ceterarum, ut in superioribus explicatum. Consonantia enim ipsis intervallis competit, non ut quanta sunt simpliciter, neque simplieiter ut sunt
relationes, sed ut qualitativae hoe est quodammodo figuratae) sunt relationes. Itaque commune ipsarum mInimum intervallum constituere velle, res est impertinens, eum minimum et maximum non in qualitativis, sed in nudis quantitatibus earumque proportionibus considerentur; eonsona vero, ut consona, dividere, est speciem abolere consoni et pro ea vel alias consoni sp eies vel eoneiuna dissona vel etiam plane inconcinna intervalla eonstituere. Non habet igitur intervallum causas aut elementa consonantiae suae a partibus veluti prineipiis, si eut quantitates commensurabiles accrescunt multiplicatione eommunis mensurae et cum hae mensura sub uno et eodem genero eonsistunt, sed e contrario, quae veteres pro principiis habuero consonanti
rum tonos puta et semitonia et dictes) ea ex consonantiis ut prineipiis suis genuinis oriuntur. Etsi enim consona hare constant ex illis concinnis Doneonsonis bi non ex uno aliquo communi, saltem ex pluribus inter se . diversimode compositis), id tamen non reserendum est ad ipsam intervalli eons nantiam. Si enim eoneinna conciliarent intervallo majori ex se composito suam consonantiam, semper hoe fieret in quacunque concinnorum ni ultiplicatione, et tanto melior esset consonantia, quanto plura in intervallo concinna. Id vero salsum est, nam ut insta audiemus, duo toni compositi consonantiam saetunt, tres composui dissonans intervallum constituunt. Quod autem consonum in concinna dissona solvi potest, ut sequetur, id illi eonsono per soeonsidetato plane est accidentarium, sitque tantummodo, quatenus inter soeomparantur plura consona, quodlibet ex suis ortii in principiis. . Coneinna igitur intervalla definiuntur esse omne eonsonorum duplo intervallo minorum disserentiae, nec alia concinna recipit naturalis saeuitas auditus, quam quae ex hae subtractione oriuntur, ut ita consona intervalla lin-beant ortum ex geometria et tauris demonstrabilibus, concinna vero ex ipsis ε consonis, sintque concinna in ordine ad consona, quemadmodum in geometria
apotomae lineae inessabiles) sunt ad effabiles potentia, quia etiam illae d finiuntur subtraettono lineae effabilis ab essabili litiea.
In erratorum indies ad praemissa haee annotat Κopterus: Terius eae direr-εorum temporum gehedis eoilectus, at non satis apte eompositus. etsi rem omnis habet, obseuritatem tamen eae eonfusione distinguendorum et repetitione propositionum eontraxit. Quaestiones distinctae sunt istae: I. An consonantiae halielmi partes, qua ipsae quoque sint tonsonantiae vel saltem concinna intervalla γ Responsio haec: in eonsonantiis esse distincta ista, Primo proportionem, rem geomWtricam. deinde Proportionis qualitatem. consonantiam ipsam; in quantum igitur sunt proporti nos. Oxeodi unam ab alia. minorem ab maiori. et sie unam alterius partem esse posse; iii quantum vom quaelibet illamin qualitatem consonantiae accepit a figura sua demonstrabili. non aecidero ipsis com Silionem. Argumenta Eunt ista: l. Speci 'ν ut spe. eies indivisibilis et una est. 2. Speciem constituit eausa sua; at eausae tuter se sunt distineruo singularum eoncordantiarem; igitur et ipsae concordantiae contra Re sum
distinctae specie, nee potest dissolvi una, ut m jor, in alias suae sI eciei, ut partes,
170쪽
Harmonicis. Lllier III. Caput IV.
Porro eomparationis seu abstraetionis methodiis alia est mneralis seu arithmetica, alia specialis, harmoniees propria. Arithmetiee quidem eliguntur consona minora duplo, quorum unum non sit alterius pars talis, quam d signaverit aliqua mεdietas harmonica eapitis superioris. Intersunt ergo In notis, ex anticipato.
Harmonjca comparallo consonorum intervallorum respieit ortum eorum, et quam quodlibet ex ortu suo sortiatur altitudinem. Nam per onmes proportionum eomparandarum terminos major unus et idem circulus totus repraesentatur e quo analoga. thorda integra, communia omnibus seetionibus harmonicis. Igitur omnibus numeris majorum terminorum ex sectionibus harmonicis, scilicet 2, 3, 4, 5, 6, b, 8 quaerendus est communis minimus dividuus 120, et chorda tota est distinguenda in totidem partes aequales, ut sonus totius eliordae constituatur pro communi termino majore omnium consonorum per feetiones saetorum, et accommodandi termini minores, ut inter se comparati eonstituant intervalla concinna, quae hoe capite investigantur; prodeunt autem eadem, quae prius arithmetice. Elee in nolis ex anticipat .
sed bene in minor s speciei alterius. a. Si, ut pars multiplicata auget quantitatem. sic otiam pars consonantiae consona vel concinna augeret consonantiam vel concinni: tatem totius, non emeerentur tandem ex accumulatione dissonantiae et inconcinna. Quaestio II. An consonantiae habeant unam communem meugurum, puta tonum diesiti, comma eic ' Negatur; ni que enim ut sunt proportiones, quia sie sunt ineom. mΦnsurabiles, id est comm nsurabili mensura earentes; neque ut sunt species, quia causis, ex quibus ortae quibusque definitae, etiam contra se mutno distinctae sunt Habent n quodammodo naturam figurarum, jam vero trigonus et pentagonus in eodem circulo longitudines habent laterum incommensurabiles. Denique mensura quidem