장음표시 사용
21쪽
EUCLIDIS DATA.' l. dat. Quare ipsus D P ad utramque DE, EP ratio est data Quoniam autem est ut AB ad B C, ita DE ad E P ;PI8. quinti. Componendo igitur erit ut A C ad B c, ita D P ad P E ' ;Cor. 19. Et convertendo ut A C ad A B, ita D F ad D.E '. Et quo-qVλη niam est ut D p ad utramque DE, E F, ita A C ad utramque A B, B e : ipsius igitur A C ad utramque A B, B C ratio est data. Q. E. D.
Gr. . Et si dividatur magnitudo in partes duas, ad quas datas rationes habeat; partium inter se ratio data
Si data magnitudo in data rationes tur; utrumqu/fgmentorum datum est. Magnitudo enim data A B secetur in ratione data, nempe ipsius A C ad C B : dico utramque ipsarum A C, C B datam esse. Quoniam enim data est ratio ipsius A c ad c B ; igitur ratio quoque ipsius A B ad utramque A C, C B data C
6. dat. erit . Datur autem A B ; igitur utraque ipsarum Ari a. dat. C B data est . O. E. D.
Cor. I. . Et si datae magnitudini adjiciatur quaedam, et tota ad magnitudinem adjectam datam rationem habeat; data est ale Sta magnitudo. Datae magnitudini A B adiiciatur B C, et A C ad C B proportionem datam habeat. Dico magnitudinem B C
, . A datam esse. Propter rationem A C ad c B datam, divid. . dendo ratio A B ad B C data . Data autem AB'. Ergo ex hyp. B C data '. Q. E. D. Cor. a. . Si duae magnitudines proportionem inter sedatam habeant, et magnitudinum summa vel differentia data sit ; utraque data est.
22쪽
Quae ad idem datam rationem habent; etiam ad invicem datam rationem habebunt. Utraque enim magnitudinum A, C ad magnitudinem B habeat rationem datam: dico magnitudinem A ad magnitudinem C datam quoque rationem habere. Sit enim data magnitudo D. Quoniam vero ratio
ipsius A ad B data est; fiat huic eadem ratio ipsius Dad E. Est autem D data; igitur et E data erit A. Rursus quoniam ipsius Bad C data est ratio; fiat
huic eadem ratio ipsius Ead p. Est autem E data; quare et v data est . At vero data est D ; ergo ipsius D ad p ratio est data . Cumque sit ut A ad B, ita D ad E ; atque ut B ad C, ita E ad F : ex aequo igitur erit ut A ad C, ita D ad F Est autem ratio ipsius D ad P data. sus A ad C data est. O. E. D. Quare et ratio ip-PROP. IX.
Si duo plura e magnitudines ad invicem habeant rationes datas; habeant autem illis magnitudines ad alias quasdam magnitudines rationes datas, eis non easdem : illis alii magnitudines etiam ad invicem rationes datas habebunt. Duae enim pluresve magnitudines A, B, C habeant ad invicem rationes datas; habeant autem et illae eaedem magnitudines A, B, C ad alias quasdam magnitudines D, E, F rationes datas, non easdem tamen: dico ipsas magnitudines D, E, F ad invicem rationes habere datas. Quoniam enim ratio ipsius A ad B data est, et ratio
ipsius A ad D etiam data; ratio ipsius D ad B data erit .
23쪽
Sed ipsius B ad Ε ratio est data. Ergo data etiam est ratio ipsius D ad A V. Rursus, quoniam ratio ipsius Rad c est data, ipsiusque B ad Ε ratio etiam data; ratio quoque ipsius E ad C data erit h. Ipsus autem C ad Fratio est data. Quare et ratio ipsius A ad I data est. Ergo D, E, P habent ad invicem rationes datas. Q. E. D. PROP. X. Si magnitudo magnitudine major fuerit, data, quam in ratione; etiam utroque smul eadem major erit, data, quam in ratione. Item si utraque smul radem major tuerit,
data, quam in ratiodie; aut reliqua eadem major erit, data, qz-m in rotione; aut et eliqua una cum consequente, ad quam altera datam habet rationem, data erit.
Magnitudo enim A a magnitudine BC major st, data, quam in ratione: dico quod sina ut utraque A C eadem B C major est, data, quam in ratione. . Quoniam enim A B .ipsa B C major est, data, quam in ratione; auseratur data magnitudo A D : ergo reliquae DB ad BC ratio est datas: et componendo igitur, ipsus D C ad B C ratio est data β. Sed et data est magnitudo A D. Quare A C ipsa C B major est, data, quam in ratione. Rursus magnitudo A C magnitudine B C major fit, data, quam in ratione: dico reliquam A B eadum B caut majorem esse, data, quam in ratione; aut ipsam quidem A B una cum consequente, ad quam B C rationem datam habet, datam esse. Quoniam enim magnitudo A C magnitudine B Cmajor est, data, quam in ratione ; auferatur data magnitudo. Data autem magnitudo aut minor est magnitudine A B, aut major. Sit primum minor, et sit A D.
Ergo reliquae D C ad C B ratio est data: dividendo igi
24쪽
tur, ipsius DB ad B C ratio est data M. Data autem est 4 Cor. ε. magnitudo A D. Quare magnitudo A B magnitudine βδ B C major est, data, quam in ratione. Sed sit data magnitudo major magnitudine A B, et natur ipsi aequalis AE; reliquae igitur EC ad CB ratio est data: ideoque invertendo, ipsius B C ad E C ratio est
data. Quare convertendo, ipsus B C ad n R ratio est data . Data autem est A B una cum B Α, quia tota A E ' s. dat. data est. Ergo ipsa A B una cum consequente, ad quam B C rationem datam habet, data est. G. E. D.
Si magnitudo magnitudine major sis, data, quam in ratione ; eadem maior erit utraque smul, data, quam in ratione. Item s eadem major si utiaque simul, data,
quam in ratione ; . eadίm quoqur altera mavor erit, data, quam in ratione. Magnitudo enim A n magnitudine B C major sit, data, quam in ratione: dico eandem A B ipsa A C majorem esse, data, quam in ratione. Quoniam enim magnitudo A B magnitudine B C major est, data, quam in ratione; auferatur data magnitudo AD: igitur reliquae D B ad BC ratio data est f. t Del. H.
Invertendo ergo et componendo, ipsius DC ad D B data est ratios . Fiat huic cadum ratio ipsius A D ad DE. 6. dat. Itaque totius A C ad totam E B ratio data est h. Et in- ia. quinti. vertendo ratio E B ad A C data. Est autem A D data; et ratio ipsius A D ad DR. Ergo D E data est . Quare a.dat. reliqua A E data est Quare AB ipsa Λ C major est, 4. dati data, quam in ratione . Deinde vero A B utraque A C major sit, data, quam in ratione: dico ipsam A B altera B C majorem esse, data, quam in ratione. Auferatur data magnitudo A R ; reliquae ergo E B ad A C data est ratio. Quare et ipsius A C ad E B data est ratio. Fiat huic eadem ratio ipsius A D ad D E : itaque
25쪽
E D uipsius A D ad D Ε ratio data est: convertendo ergo ipsus A D ad A Ε ratio data est'; et invertendo ratio lin 3. dat. suS A E ad A D data est. Data autem est A Ε . Quare ex huy. Et A D data '. Quoniam vero totius A C ad totam E II α daa. ratio data est; est autem A D ad E D ut A C ad n B : erit et reliquae C D ad reliquam B D ratio eadem, et data': im quinti. ideoque dividendo ipsius C B ad BD ratio data est P. y coc. 6. Quare et ipsiuS D B ad B C ratio data est. Data autem . est A D. Quare A B ipsa B C major est, data, quam in ratione. Q. E. D.
Si fuerint tres magnitudines, quarum prima cum secunda data si, atque etiam secunda cum tertia; aut trima tertiis a tua is es, aut altera altera major es, data. Sint tres magnitudines A B, B C, C D, et A B quidem eum B C data sit sc. A C ; atque etiam B C cum C D sit data, nempe B D : dico magnitudinem A B aut magnitudini C D aequalem csse, aut alteram altera majorem esse, dat . Quoniam enim utraque magnitudinum A C, B D data est: datae magnitudines aequales sunt inter se, aut inde
quales. Sint primum aequales; itaque aequalis est A et ipsi B D. Communis auferatur B C ; reliqua igitur A nTeliquae C D aequalis est. Sed non sint inter se aequales; sitque AC major ipsan D, et ponatur ipsi B D aequalis C E. Data autem est B D. Ergo data est et C E. Est autem tota A C data '.
Quare et reliqua A R data est . Quoniam vero aequalis. EM. est E C ipsi B D, Communis auferatur B C : reliqua ergo B E reliquae C D aequalis est. Data autem est magnitudo A E. Quare A B ipsa C D major est, data . O. E. D.
26쪽
Si fuerint tres magnitudines, et earum prima ad secundam habeat rationem datam, secunda autem tertia major sis, data, quam in ratione; prima quoque tertia major erit, data, quam in ratione. Sint tres magnitudines AB, CD, E; et AB quidem ad C D habeat rationem datam ; magnitudo autem C Dmagnitudine E major sit, data, quam in ratione: dico quod magnitudo A B magnitudine E major est, data, quam in ratione. Quoniam enim C D ipsa E major est, dat1, quam in ratione, auseratur data magnitudo C F : igitur reliquae D P ad R ratio est data . Cumque ratio ipsius A Bad et D data sit ; fiat huic eadem
ratio ipsius Aa ad CP: itaque ratio ipsius C p ad A G data est. Est autem C P data. Ergo A G data est'. GCum vero A B sit ad C D, ut A G ad C P, idcirco erit reliqua B G ad reliquam D P, ut A B ad C D ; id est, in ratione data. Ipsus autem D Fad E ratio data est . Quare et ipsus G B ad E ratio data est ν. Data autem est A G. Ergo AB ipsa E major est, data, quam in ratione. Q. E. D.
Si duae magnitudines ad inCicem habeant rationem datam; utrique autem illarum adjiciatur data magnitudo : IOIAE ad invirem atit habebunt rationem diatam, aut altera altera major erit, data, quam in ratione. Duae enim magnitudines A B, CD ad invicem habeant rationem datam, et adjiciatur utrique earum data magnitudo, tam A E, quam C F : dico quod totae E B, F Daut habent ad invicem rationem datam, aut altera altera major est. tata, quam in ratione. Quoniam enim data est utraque EA, P C, ipsius quoque E A ad P C data est ratio φ. Et igitur si haec ratio ι i. dis. eadem Dissilia Corale
27쪽
eadem sit, quae ipsus A B ad C D; totius quidem E B ad
Iz. quinti. totam P D ratio eadem erit et data . At vero non sit eadem datarum M. A, P C, quae ipsarum A B, C D ratio; et sat ut A ii ad C D, ita G A ad C s : itaque ratio ipsius G A ad C P data est, necnon ipsius G B ad PD'. Est 2. stat. autem magnitudo C P data. Quare A G data est . Sed dat. et ipsa E A data est. Ergo etiam reliqua E a data est . Quare magnitudo Ε Iι magnitudine P D major est, data, Def. in . quam in ratione'. Q. E. D.
Si duin magnitudines habeant ad insicem rationem datam, et ab uir que earum auferatur data magnitudor reliquo magnitudines aut ad invicem habebunι rationem datam ;aut altera altera major erit, data, quam in ratione. Duae enim magnitudines A B, C D habeant ad invicem rationem datam, et auferatur ab utraque earum data magnitudo; a magnitudine quidem A B magnitudo A E, a magnitudine autem C D magnitudo C F : dico quod reliquae E B, P D aut habent ad invicem rationem datam, aut altera altera major est, data, quam in ratione. Quoniam enim utraque Α E, C P data est, ratio etiam
ipsius A E ad C p data est. Si igitur ratio haec eadem
fit, quae ipsus A B ad C D ; erit et reliquae R B ad re-e is quinti liqUam F D ratio eadem, et data'. At vero non sit eadem datarum A A, C F, quae ipsarum A B, C D ratio; et sat ut A n ad C D, ita A G ad C F. Est autem ipsius A Rad C D ratio datia. Ergo ratio magnitudinis A G ad C P. V a. ' data est. Verum C P clata est . Quare data est A G g. . dat. Est autem et A E data; reliqua igitur E G data est h. Quoniam vero ut A B ad C D, ita est A G ad C P ; itaque reliquae G B ad reliquam PD ratio est eadem, et data'. Sed data est Ru G. Quare E B ipsa P D major est, data,
quam tu rationo. Q. E. D. PROP.
28쪽
li duis magnitudines ad insitam habeant rationem daIam ;. et ab uia quidem illarum auferatur data magnitudo, alteri autem earum aliciatur data magnitudo et tota quι-dem reliqua major erat, data, quam in ratione. Duae enim magnitudines A B, C D habeant ad finvicem rationem datam; et a C D quidem auferatur data magnitudo C E ; magnitudini autem A n adjiciatur data magnitudo P A r dico totam P B reliqua E D majorem esse, data, quam in ratione.
Quoniam enim ratio ipsius A B ad C D data est ; sat huic eadem ratio ipsius A G ad C E. Ergo ratio ipsius
EA G ad c E data est Data autem est C E : itaque A G i Def. a.
data est . Est autem et A P data. Quare tota F G data: x est Et quoniam est ut AB ad C D, ita A G ad C R ; i IV
ratio etiam reliquae G H ad reliquam E D eadem erit, et data . Sed et data est G F. Ergo magnitudo P B 19.quinti. magnitudine BD major est, data, quam in rationa Def. D. O. E. D. dat.
Si fuerint tres magnitudines, et prima quidem fecundu major st, data, quam in ratione ; tertia autem eadem fecunda major sit, data, quam in ratione: prima ad Dr-tiam aut rutionem habebit datam; aut alteria allera major erit, data, quam in ratione. Sint tres magnitudines A B, C, DE; et utraque magnitudinum AB, DE magnitudine C A major fit, data, quam in ratione: dico magnitudines AB, DE aut ad invicem habere rationem datam ; aut alteram altera majorem et se, data, quam in ratione.
Quoniam enim magnitudo A nmagnitudine C major est, data, quam in ratione ; auferatur data magnitudo a F. Ergo reliquae F B ad C ratio est u
29쪽
data '. Rursus quia D E ipsa C major est, data, quam in
ratione; auferatur data magnitudo D G. Ergo reliquae o E ad C ratio ost data. Ipsius vero PB ad C ratio est data: igitur ratio ipsius F A ad G R data est P. Adjiciuntur vero ipsis datast magnitudines A P, D G. Igitur totae A B, D E aut habent ad invicem rationem datam; aut altera altera major est, data, quam in ratione'. O. E. D.
Si fuerint tres magnitudines, algue ex iis una utraqua reliquarum major sit, data, quam tu ratione: reliqum duin atis datam rationem habebunt ad invicem, aut altera altera major erit, data, quam in ratione. Sint tres magnitudines A B, C D, R P; atque ex his una, nemPe C D, utraque reliquarum A B, E P major sit, dain, quam in ratione: dico aut magnitudinem A B ad E P rationem habere datam; aut alteram altera majorem esse, data, quam in ratione. Quoniam enim magnitudo C D magnitudine A n major est, data, quam in ratione; auferatur data magnitudo C G. Ergo reliquae G D aa AB ratio est data . Fiat huic eadem ratio linsius C G ad A H r itaque ratio ipsius C G ad A H data est. Est auiatem C G data. Quare Λ Η data est. Et cum C G si ad A H, ut G D ad B A ; ergo tota C D erit ad totam B H, ut G D ad AB . Quare totius C D ad totam H Bratio est data. Rursus cum C Dipsa E P maior sit, data, quam in
ratione; auferatur data magnitudo C κ.κ D ad A p ratio est data . Fiat huic eadem ratio ipsus C K ad L R. Ergo ipsus C K ad 3. E data est ratio. Data autem est C R. Quare L E data est. Et totius C D ad totam L P ratio est data . Ipsius autem C D ad H A ratio est data. Quare et ipsius II B ad L Pratio est data . Ablatae autem sunt ab ipss datae magnitudines N A, L E. Quare A B, A, P aut ad invicem habent rationem datam, aut altera altera major est, data, quam in ratione'. Q. E. D.
BDItaque reliquae Diqi tred by Cooste
30쪽
Si fuerint tres magnitudines, et prima quidem magnitudo fecundu magnitudine major sit, data, quam in ratione ;sit autem fecunda tertia major, data, quam in ratione et prima quidem tertia major erit, data, quam in ratione. Sint tres magnitudines AB, CD, E, et magnitudo quidem A B magnitudine C D major fit, data, quam in ratione; magnitudo autem CD magnitudine E maior sit. data, quam in ratione: dico quod A B ipsa E major est, data, quam in ratione. Quoniam enim C D ipsa E major est, data, quam in ratione; auferatur data magnitudo C P. Ergo reliquae PD ad A data est ratio'. A Def. ra Rursus quia A B ipsi C D major est, 4 data, quam in ratione; auferatur data magnitudo A G. Ergo reliquae G u Cad c D ratio est data. Fiat huic cadem ratio ipsius G H ad C p ; itaque ς'
ipsius G H as C P, necnon reliqua: H Bad reliquam PD , ratio est data. Ip- I p. quinti. sus autem P D ad Ε ratio est data. V Quare ipsius N B ad A ratio est datar. ν 8. eat.
Sed propter datam rationem ipsius G Had C P, ipsamque C P datam ; data est
G H φ. Sed et G A. Quare tota H A a. dat data . Quare cum data sit ratio ip- t. dat. sus H B ad Ε, erit B A ipsa E major, B DE data, quam in ratione' . Q. E. D.
Aliter. Sint tres magnitudines A B, C, D, et AB quidem ipsa C major esto, data, quam in ratione : si autem et Cipsa D major, data, quam in ratione : Edico quod A B ipsa D major est, data,
quam in ratione. Fauoniam enim A A ipsa C major est, data, quam in ratione, auferatur data magnitudo A E, Ergo reliquae E B ad Cratio data est h. Est autona magnitudo C magnitudine D major, data, quam in ratione . Quare R B ipla D major est, ' V V e-his. data, quam in ratione . Auseratur data magnitudo E F:. reliquae Disitired by Cooste