장음표시 사용
41쪽
Si per datum tuncIum contra rectam positione dasam agatur rescta linea; acta recta postione data es. Detur positione recta AB, cui per punctum datum C parallela agatur DC R. Dico rectam DE positione datam. In recta A B sumatur punctum P. Jungatur C F. Propter puncta C, F data; recta CP magnitudine ct positione data I est'. Sed recta FB positione data C. Angulus igitur C P B datus, qui rectis continetur positione datis. Sed propter parallelas A B, DE, D. primi. angulus D C F angulo C P B aequalis . Angulus igitur D C P datus. Recta igitur C D, a dato puncto C in recta C P positione data in dato angulo educta, positione data est . O. E. D.
Si a G 6 puncῖο in datam positione rectam agatur recta EncI, qtia aciat angulum datum; acta recta postione data es. A dato enim puncto A in positione datam rectam B C agatur recta linea A D, qtue faciat angulum datum A D B. Dico positione datam eiie rectam A D. 1τ- primi. Agatur per Punctum A rectae ADC parallela EAP . Quoniam igitur per datum punctum A contra datam positione rectam BDC acta est recta linea R A P : positione
P : dat. datur recta EA Ph. Quoniam ero rectae B D C, E A P sunt
parallelae; atque in illas incidit recta D Ar angulus igitur F A D angulo A D B aequalis est l. Datus autem est a D n et quare et angulus PAD datus est. Quoniam itaque ad positione datam rectam lineam E A P, et datum in ea punctum A, acta est recta linea, qu e facit angulum P AD datum: recta igitur A D positione data csty. Q. E. D.
Si a dato tinim in datam pstione rectam data magnia tudine recta producatur ; ea etiam possione data est. A dato enim puncto A agatur in positione datam rectam B C data magnitudine recta A D : dico eam etiam positioiae datam elle. Centro B
42쪽
Centro enim Α, intervallo autem A D, circulus E DF describatur. Itaque positione datus cst circulus EDFk: Def. c. nam ejus centrum positione datum est, et quae ex centro, dM ipsa A D, magnitudine. Sed et recta B C est etiam positione data. At vero si duae lineae positione datae se invicem secent; punctum intersectionis datum est t as.cino datum est punctum D. Est autem punctum Adatum : quare A D positione data est . O. E. D. a6. dat.
PROP. XXXII. LXXXII ISi in rectas parallelas positione datas agatur recta linea, qtiar faciat angulos datos ; acta recta magnitudine data es. In rectas enim parallelas postione datas AB, CD agatur recta linea E F, faciens angulos B E P, E F D datos et dico magnitudine datam cise rectam E F. Sumatur enim in C D datum punctum G, et per G agλ-
tur ipsi E P parallela G H Et quoniam parallela est G H 3 r. primi. ipsi s s, ct in illas incidit CD ; erit ansulus L P D angulo
It GD aequalis . Angulus autem E F D datus est': quare et ' 29. primi.
angulus H GD datus est. Quoniam itaque ad positione da ' φη hyP- tam rectam C D, et datum in ea punctum G, acta est recta . G H, quae facit angulum H G F datum: positione data erit recta G H V. Est autem A B Positione data ': itaque t Per eo punctum H datum est '. Est autem punctum G datum ;quare G H magnitudine data est'. Atqui est aequalis ipsi E P : ergo etiam E F magnitudine data est Q. E. D. it Des. i. 'PROP. data Diqi tred by Cooste
43쪽
Si in rectas parallelas postione datas agatur recta magnitudine data; faciet ea angulos datos. In rectas enim parallelas positione datas AB, CD matur recta E P magnitudine data : dico quod ipsa faciet angulos A R, P, E F C datos.
Accipiatur enim in recta A B datum punctum G, et 3 t. primi. per punctum G agatur ipii E P parallela G H : aequalia La u. primi. igitur est F E ipsi GH . Est autem R P magnitudines in hu. data η : ergo G H magnitudine data est. Et datum est 3 i. dat. Punctum G r quare recta GH positione data est . Positione autem ciata est recta C D hi itaque angulus G H C. Σς. primi. datus est. Et est G H C ipsi E P c aequalisq: igitur an- 3 r. primi, gulus E F C datus est: igitur et reliquus A E P datus est'. o 4. dat. Q E. D.
XXIV.J PROP. XXXIV. Si in rectas parallelas postione datas a dato puncto recta
linea agatur; scabitur illa in data ratione. In rectas enim parallelas positione datas A B, C D adato puncto A agatur linea E P o : dico ipsius E P ad F G rationem datam esse. RAgatur enim a puncto E in rectam C D perpendicu- ii. primi. lariS E N H . Et quoniam a dato puncto E ad positione datam rectam C D recta E H acta est, quae facit angulum
44쪽
utraque rectarum AB, CD positione data r itaque R ex hyp. utrumque punctorum Κ, H datum est . Sed et pun- as. dat. ctum n datum est: quare utraque rectarum E K, K Is idata est Φ: igitur ratio ipsius A K ad K H data est . Sed E', ὁ .' est E K ad K A, ut R P ad F o Ergo ratio ipsius EF Φ a. sexti. ad P ci data est φ. Q. E. D. V Def. a.' Aliter. In rectas parallelas positione datas A B, C D per datum punctum E agatur recta linea E E G : dico ipsius G E ad A p rationem datam esse. Agatur enim a puncto A in rectam C D perpendicularis E H et producatur ad , v . v 'δa. priussi punctum K. Quoniam igitur a puncto dato A ad positione datam rectam C Dacta est E Η, quae iscit angulum E H G datum; data
erit positione ipsa E II '. Est autem utraque rectarum v 3o. dati A B, Q D positione data P r quare utrumque punctorum P ex hyp. R, H datum est'. Datum autem est punctum Ep: ergo. utraque rectarum H Ε, EI K data est et ideoque ipsius. Σό dat. H E ad E K ratio est data '. Verum ut H E ad E K, ita ' 1. dat. G E ad E P . Itaque ratio ipsius G E ad A P data est R. 4. sexti.
PROP. XXXV. XXXV.ISi a dare puncto in datam psitione rectam ducatur recta linea, fesceturque in data ratione, per punctum vero fectionis contra datam positisne rectam agatur recta linea ;acta recta postione data es. A dato enim puncto A in positione datam rectam B Gagatur recta linea A D, ct secetur in puncto A in data ratione; scilicet ut ipsius DB ad K A ratio detur; et agatur per punctum E ipsi B C parallela P E G : dico
positione datam esse F E G. Ducatur enim a puncto A ad rectam B C perpendicu laris AH. Quoniam ergo a dato puncto A in datam positione rectam a C acta est recta linea A H, quae facit angulum A H D datum : positione data erit ipsa AH . 3o. dat. Εlt autem n C positione data r. Itaque datum est Pun-ν ex hyp. dium H . At vero punctum A datum est re ergo recta iat.
Φ II verius casias artem quam vitia daemons alis.
45쪽
A II positione et magnitudine data est . Quoniam vero est ut DR ad A Α, ita H κ ad K A v ; atquc data est ratio ipsius D E ad E A R: igitur ratio ipsius II K ad K A data est ' : ideoque componendo ipsius A N ad A κ data est ratio . Data autem est A H magnitudinet quare A K magnitudine data est . Sed positione quoque data est A K ; atque datum est punctum A': itaque datum est punctum K . Quoniam igitur per datum punctum K, contra datam postione rectam n C, recta linea P G acta est. Igitur recta P a positione data erit h. Q. E. D.
Si a dato puncto in datam postione rectam lineam duca urrecta linea, alque aliciatiar ibi aliqua recta, qui ad illam habeat rationem datam ; per ex remum vero adjecti linein contra datam postisne rectam linea recta agatur 2 acta recta postisne data est. A dato enim puncto A ad positione datam rectam B Cducatur recta A D : atque adjiciatur ipsi A D recta Λ E, quae ad A D rationem datam habeat; per punctum vero R ipsi B C agatur parallela v K : dico P K esse positione
Agatur enim a puncto A ad B C perpendicularis A H. et producatur ad punctum G. Quoniam igitur a dato uncto A ad datam positione rectam B C acta est recta inea A H, quae facit angulum A H C datum; H A ci ρο- sitione
46쪽
sitione data est Est autem A C positione data r quare' 3P. datuni est punctum H y. Sed et punctum A datum est et iitaque data est recta A H Et quoniam ratio ipsius in la. e. A A ad A D data est , et est ut A G ad A H. ita EA ad . DA'; ratio ipsius A G ad A H data erit Data autem o xs. . est Λ H : quare et A ci magnitudine data est P. Sed et dat etiam positione data est A a ; atque datum est punetum ' --dμ-A : ergo punctum G datum est '. Quoniam itaque per 'ar. dati datum punctum o contra datam positione rectam B Caeta est recta linea vG ς : ipsa PGK positione data est'. y a8. dmo. E. D.
Si in rectas parallelas positione datas ducatur recta Innsa, feeeturque in ratione data ; per fectionis autem punctit contra datas possisne rectat agatur linea recta : acta recta postione data es In rectas enim parallelas positione datas AB, CD agatur recta linea E P, et secetur in data ratione in puncto G; scilicet ut ipsus P a ad G v ratio detur; et ducatur Per punctum G utrilibet rectarum A B, C D parallela H R : dico positione datam esse H K. Sumatur enim in recta A B datum punctum I., et deducatur a puncto A in rectam C D perpendiculariS L N. E T.
Quoniam itaque a dato puncto L ad datam positione rectam C D acta est recta linea L N, quae facit angulum datum L N D : ipsa L N positione data est '. Est 'autem ' 3o. dat c D positione data : cino datum est punctum N v. Sed οκ hyp. et datum est punctum L : quare data est recta L N ' η' magnitudine η. Quoniam vero ratio ipsius P G ad G E 26. dat. data est y, atque est ut F G ad G R, ita N M ad 11 L * hyμ- ratio suoque ipsius NM ad ML data est'. Ideoque . ratio ipsius N L ad LM est data b. Est autem N L dat. magnitudine data : quare data est L M magnitudine R. ' 6. lat.
47쪽
Sed et positione data est; et datum est punctum L e
. 26. dat. quare et punctum M datum est M. Quoniam itaque per datum punctum M contra positione datam rectam C Dacta est recta linea H κ; ipsa It K positione data est'. ag. dat. Q. E. D.
Si in rectas parallelas p tione datas ducatur recta linea, ad=iciaturque ei quidam recta habens ad ipsam rationem Iam ἔ per extremum vero alectis contra datas possione parallelas recta linea agatur: iacta recta postisne data es. In rectas enim parallelas positione datas A B, C Dagatur recta linea A p, et adjiciatur ipsi quaepiam recta E G, quae ad R P habeat rationem datam : per punctum autem G utrilibet rectarum A B, C D agatur parallela recta linea Η Κ : dico quod Ia K positione data est. Sumatur enim in recta A B datum punctum Μ, et ducatur a puncto M in lineam C D perpendicularis recta' ra. primi. Μ N L et producatur ad punctum L. Quoniam igitur a dato puncto M, in positione datam rectam C D, acta
est recta linea M N, quae facit angulum M N D datum erecta M N positione data est η. Sed et o D positione data est hi ergo datum est punctum N '. Est autem et punctum M datum: quare data est M N magnitudine R. Quoniam vero ratio P E ad E G data est ; atque est ut P E ad E G, ita N M ad Μ L h: ratio quoque N M ad M L data est . Data autem est Μ N magnitudine rquare et M L magnitudine data est'. Sed et positione data est M L, atque etiam datum est punctum Μ : ergo et punctum L datum est . Quoniam igitur per datum punctum L contra datam positione rectam A B acta est recta linea HKR: ipsa HK positione data erit . Q. E. D.
48쪽
XXXIX. PROP. XXXIX. Si trianguli Intula latera magnitudine data snt ; triangulum specie datum es.
Trianguli enim A u C singula latera magnitudine data sint: dico triangulum ABC specie datum esse. ΕXponatur enim recta positione data D G, finita quidem ad punctum D, infinita vero versus alteram partem; in ea autem ponatur iPsi Λ B aequalis D REst autem ' 3. primi. AB data; ergo data est D E. Sed et D E positione data
est ρ; atque datum est punctum D : igitur punctum E εα hyp. datum est'. Ponatur vero ipsi BC aequalis A P. Est a . dat. autem B C data; ergo data est E P. Sed et E P positione data est; atque datum est punctum E : quare punctum P datum est. Rursus, ponatur ipsi A C aequalis P G. Est autem A C data: ergo et P G data est. Sed et positione data est F o ; atque datum est punctum P : quare et punctum G datum est. Dein centro quidem E, intervallo autem E D, circulus describatur D κ Π : itaque positione datus est circulus DKH . RursUS, Centro qui- Des. 6.dem P, intervallo autem P G, circulus describatur a KL: dat. itaque positione datus est circulus GKL: quare punctum κ datum est '. Est autem utrumque punctorum E, F ' as. dati datum : ergo unaquaeque linearum Κ E, E F, F Κ PO-sitione et masnitudine data est. Sed propter rectas R Κ, E P, v K positione datas, dati sunt trianguli A p κ anguli singuli, singulis trianguli ABC angulis aequales . Dati 8. primi. sunt igitur anguli singuli in triangulo ABC. Laterum Vero magnitudines singulatim datae sunt ρ, ac mutuae proinde rationes'. Triangulum igitur ABC specie ' 1. dat. datum est . Q. E. D. Dcf. 3. D PROP.d x.
49쪽
PROP. XL. Si trianguli snguli anguli magnitudine dati fiat; trianis gutum ipsum specia datum es.
Trianguli enim ABC unusquisque angulorum magnitudine datus sit: dico triangulum ABC specie datum esse. Exponatur enim positione et magnitudine data recta D A., et ad rectam D E, et ad puncta D, B in ipsa, angulo quidem ABC aequalis constituatur angulus rectilineus F D R ; angulo autem A C B aequalis PED : ita que reliquus angulus B A C reliquo D F B aequalis est y. Triangulum igitur DPE, triangulo BAC simile est .
Unusquisque autem eorum, qui ad A, B, C puncta sunt, angulorum datus est: quare et unusquisque angulorum ad P, D, E datus erit. Quoniam itaque ad positione datam rectam lineam D E, et ad datum in ea pulictum D acta est recta linea D P, sectens angulum datum ad punctum D, ipsa D P positione data erit . Similiter quoque positione data est et E P : quare punctum P datum est . Datum autem est utrumque punctorum D, E : unaquaeque igitur linearum DE, D F, E F positione et magnitudine data est': itaque triangulum Dpsi specie datum est'; atqui simile est triangulo ABC . Triangulum igitur ABC specie datum es. O. E. D.
Si triangulam unum angulum datum habeat, elaea datum autem angulum duo latera ad invicem hab/ant rationem datam ; triangulum ipsum specie datum est. Habeat enim triangulum ABC unum angulum datum, nempe BAC; circa datum autem angulum D Ac latera B A, A C ad invicem rationem datam habeant: dico triangulum ABC specie datum esse.
50쪽
Exponatur enim positione et magnitudine. data recta D P, et constituatur ad rectam D F, et datum in ea Punctum P, angulo B A C aequalis angulus DPE . Est a3. primi. autem angulus BAC datus: quare et angulus D P Ε datus cst. Quoniam igitur ad positione datam rectant D P, et datum in ea punctum P, acta est recta linea F E, - Ciens angulum DP A datum ; positione data erit recta P E . Quoniam ergo ratio iptius B A ad A o data est y ; sat huic eadem ratio ipsius D F ad P E ; et connectatur D E : itaque ratio D P ad F R data est Φ. Data autem est i Def. a.
D F : igitur data est P E . Sed et ipsa etiam positione dat. data est; et datum est punctum si itaque datum est d x
punctum A Est autem utrumque Punctorum D, F a . dat. datum : quare data est unaquaeque linearum D F, F E, D E positione et magnitudine : itaque triangulum D P E a6. dat. specie datum est '. Quoniam vero duo triangula ABC, 39. dat. DEF unum angulum uni angulo aequalem habent, scilicet angulum B AC angulo DFE, Circa arctualeS autem angulos BAC, DP E latera proportionalia; triangulum ABC triangulo DEF simile erit'. Triangulum o 6. sexti.
autem DEP specie datum est. Triangulum igitur ABC specie etiam datum est. Q. E. D.
Si frianguli latera ad invicem babeant rationem datam, triangulum specie datum es. Trianguli enim ABC latera ad invicem habeant rationem datam : dico triangulum ABC specie datum esse. Exponatur enim data magnitudine recta D. Quoniam vero ratio ipsius A B ad B C data est ; sat huic eadem ratio ipsus D ad E. Data autem est D r quare et data est A P. Rursus quoniam ratio ipsius B C ad A C data pdat. Da est;