Euclidis datorum liber cum additamento, necnon tractatus alii ad geometriam pertinentes. In usum juventutis academicae. Curavit et edidit Samuel, Episcopus Asaphensis

51쪽

EUCLIDIS DATA.

est; sat huic eadem ratio ipsius si ad P. Est autem η' at. primi. data: itaque P data est. Deinde ex tribus rectis', quae aequales sint tribus datis rectis D, B, P, quarum utique duae reliqua majores sunt, utcunque sumptae i, constituatur triangulum GHK; ita ut aequalis si recta GR ipsi D, recta autem ti x ipsi Ε, et G κ ipsi P. Est autem unaquaeque. linearum D, E, F data; quare data est unaquaeque linearum G H, H Κ, Κ G magnitudine: triangulum igitur 39. dat. GHκ specie datum est . Quoniam autem est ut A nad BC, ita D ad Ε, atque ipfi D aequalis est recta GH, ipsi

vero A recta H Κ ; erit quoque ut A B ad B C, ita G H ad' δ . quinti. II K . Rursus, quoniam est ut B C ad C Α, ita E ad P, atque ipsi A sequalis est M K, et ipsi P aequalis κG; erit etiam ut B C aci C Α, ita H κ ad K G. ostensum autem est ut A B, ad B C, ita esse G H ad II K. Est igitur ex sequo aa. quisui. ut AB ad A G, ita G H ad G Κ . Itaque triangulum 5. sexti. A B C triangulo G Η Κ fimile est . Verum triangulum GHκ specie datum est: quare et triangulum A B C

specie datum est. Q. E. D.

LIII J PROP. XLIII.

Si trianoli rectanguli latera circa tinum a forum angulorum, ad invicem babeant rationem datam; triangulum

ibum neeie datum es.

Trianguli enim rectanguli ABC, rectum habentis angulum D A C, latera C A, B A cir a unum acutorum angulorum C B Α, habeant rationem datam: dico triangulum ABC specie datum esse. Exponatur enim positione et magnitudine data recta D E ; super D E vero describatur semicirculus D o E. Et quoniam ratio ipsius C B ad B A data est; fiat huic eadem ratio ipsius D E ad F : quare ratio ipsius D v ad a. dat. v data est. Data autem est D E : ergo P data est . Et ν 39. primi. major est C B ipsa B AM quare et major est E D ipsa r. In I. quarti. ciroulo aptetur ipsi P aequalis D GL et connectatur G E; dein centro quiciem D, intervallo autem D G, circulus describatur H G κ : itaque positione datus est semicir-μ Def. 6. culus H GKR; ipsius namque centrum datum est, et ea

quae Diui ipso by Co l

52쪽

EUCLIDIS DATA.

quae ex centro est magnitudine. Sed et semicirculus D G A positione datus est: ergo punctum G datum est . ς as. dat. Datum est autem utrumque punctorum D, E : igitur unaquaeque linearum G D, E G, E D positione et magnitudine data est A: quare triangulum G D E specie datum β 26. dat. est . Quoniam itaque triangula ABC, D E G unum an- 39. dat. gulum uni angulo aequalem habent, angulum scilicet B AC angulo D G E, Circa alios autem angulos CBA, B D a latera proportionalia, reliquorum autem BCA, DEG simul utrumque recto minorem ; triangulum ABC ex hup. ipsi DAo simile erit φ. Triangulum autem DEG specie . sexti. datum est h. Quare triangulum quoque ABC specie da- ex ostentum est. Q. E. D. ss.

Si triangulum angulum unum babeat datum; latera autem eirca alium angulum habeant ad invicem rationem datam rtriangulum oecie datum es. Sit triangulum ABC, quod unum angulum habeat datum, qui sit BAC; circa alium autem angulum AB Clatera AB, BC habeant rationem datam: dico triangulum ABC specie datum esse. Si angulus B AC rectus sit, ostensum in praecedente. Sed angulus B AC non sit rectus ; et primum fit acutus: Bet agatur a puncto B in li- lineRm AC perpendicularis A D. IQuoniam vero datus est an-

53쪽

EUCLIDIS DATA.

η 9. primi.

ergo et ratio ipsius BD ad Bo data est . Rectus autem est angulus BDC 'r quare triangulum BDC specie datum est': datus igitur est angulus BCD. Est autem angulus B A C datus ': quare et reliquus anεulus A B Cdatus est . Triangulum igitur A BC specie Gaium est . Sed sit angulus A A ci obtusus ; atque a puncto B in rectam C A productam perpendicularis dedu-Catur BR. Et quoniam angulus B AC datus est; etiam et qui deinceps est, angulus BAΕ, datus

erit . Est autem et angulus BEA datus: reliquus igitur R B A datus est : quare triangulum A B A specie datum est 'rergo ratio ipsius E B ad B A data est'. Est autem ratio ipsius A B ad ac data' : quare et ratio ipsius E B ad BC data est R. Sed rectus est angulus BAC': ergo triangulum EB C specie datum es : quare datus est angulus BCE'. Est autem angulus B A C datus ': itaque reliquus angulus A B C datus est. Triangulum igitur A B Cspucio datum est . Q. E. D.

PROP. XLV.

Si triangulum angulum unum habeat datum; eirca datum autem angulum latera simul utraque, tanquam unum, ad reliquum latus habeant rationem datam: triangulum ip

sum specie dasum es.

Sit triangulum A B C, quod unum angulum B AC habeat datum; circa angulum autem BAC latera, hoo est, BA, AC, simul utraque, tanquam unum, ad BC rationem habeant datam: dico triangulum Λ B C specie datum esse. Secetur enim angulus BAC bifariam recta A D : itaque datus est angulus BADI. Quoniam vero ut B A ad A C, ita B D ad D C φ; erit quoque permutando ut A B ad B D, ita A C ad C D : adeoque ut simul utraque ΗΑ, AC ad BC, ita erit A B ad B D . Data autem est ratio utriusque simul RA, AC ad BCh: quare et

54쪽

EUCLIDIS DATA.

ratio ipsius A n ad BD data est. Et datus otiam cst angulus B AD: quare triangulum ABD specie datum est 4:- ψέ. dat. angulus igitur ABD datus est. Datus autem est angulus ' ex hyp. BAC . Itaque in trianguIo Λ B C reliquus angulus A C B 3 a. primi, datus est f. Ergo triangulum A B c specie datum est g. 'dR

Aliter. Producatur B A in directum, et ipsi A c ponatur aequalis A D h, et connectatur D C. Quoniam

vero ratio simul utriusqueBA, AC ad BC data est, atque aequalis est o A ipsi D A : igitur ratio totius B AD ad n o data est. Verum datus est angulus ADC; dimidius namque est ipsius BACt. Igitur triangulum qn D C specie datum est : ergo angulus A B C datus est l.

a. Prim . s. et 32.

etiam datus est : quare in triangulo A B C reliquus A C B d t. datus est . Triangulum igitur A B C specio datum est '. '

Ge. Et si triangulum unum ex angulis datum haheat, et differentia 1aterum circa datum angulum ad reliquum latus datam rationem habeat, triangulum specie datum est. Trianguli nAc detur angulus B AC. Laterum A B, A C majus esto A C. Ablatoque A D, quod minori A naequale fit, detur ratio D C ad B C. Dico triangulum BAC specie datum. Producto enim latere C Α, angulus CXternus B A R. medius dividatur recta A P, quae basi C BProductae in P occurrat. Erit C A ad C P, ut A B, sive A D, ad B F . Ac proinde C A ad C P, ut C D ad cn' 3. sexti. Sed 'i9.qunti. Diuiliam by Corale

55쪽

ΕυCLIDIS DATA.

ex hyp. Sed data est ratio c D ad c B . Ergo ratio C A ad C Fdata. Sed propter datum angulum C A B, datur B A E,' 3. dat. ejusque semissis B AP. Totus igitur CAP datur . Triangulum igitur C AF, cujus ansulus C AP datus, late-' 44 d t. rumque C A, C P ratio data, specie datum est . Angulus igitur A C B datus. Sed et C A B . Quare et reliquus trianguli B A c angulus A n C datus. Triangulum igitur' 42. dat. specie datum V. U. E. D.

XLVI.J PROP. XLVI.

Si triangulum unum angulum habeat datum; circa alium autem angulum simul utraque latera, tantuam unum, habeant ad reliquum rationem datam: triangulum ip-fimipecie datum es.

Vide fig. r. Sit triangulum A B C, quod unum angulum A B C da-pδg- 33- tum habeat, circa alium autem angulum B A C simul utraque latera, tanquam unum, hoc est, BA, AC) ad B Cdatam rationem habeant: dico triangulum A B C specie datum esse. p ymi- Secetur enim annulus B AC bifariam recta AD r ita- in praee. que erit ut simul utraque BA, AC au BC, Ita AB acl BD r. ex hyp. Est autem ratio simul utriusque B A, AC ad A C data ;s Dό q' ergo et ratio ipsius A B ad B D data est. Datus autem diui est angulus ABD : ergo triangulum A B D specie datum φ Per con- est': quare angulus B A D datus est h. Ipsius autem du-

' . plus est angulus B AC et igitur angulus B AC datus est 4. 3 i. si imi. Est autem et angulus A B C dat S φ : quare et angulus et . dat. ' A C B datus est '. Triangulum igitur A B c specie datum o. dat. est . Q. E. D. Vidς fig I. Aliter. Producatur n Α in directum, et ponatur ipsp s i '' c Λ aequalis D Α, et connectatur recta D C. Quoniam ex hyp. vero data est ratio simul utriusque B A, A C ad B CF; estqueCΑ aequalis ipsi A D h: igitur ratio iplius D B ad B C data t. dat. est. DatUS autem est angulus ABCF: quare triangulum Def. 3. D B C specie datum est ergo datus est angulus B D C . - Estque hujus duplus angulus BAC/: angulus igiturpi; m . in ' BAC datus est : quare et reliquus A C a datus est. Tri- o. dat. angulum igitur A B C specie datum est . O. E. D. Gr. Et si triangulum unum ex angulis datum habeat, et differentia laterum circa alium angulum ad tertium latus datam rationem habeat; triangulum specio latum est.

56쪽

Sit datum specie rectilineum ABCD Et dico rectilineum A A C D E in data specie triangula dividi.

Con nectantur eni in rectae BE, E C. Quoniam vero

rectilineum A a C D R specie datum est; igitur angulusa AE datus est', et etiam ratio lateris B A ad R A data. Def. a. Quoniam itaque angulus B A R datus est, atque ratio ipsius B A ad A E data; triangulum B A E specie datum est '. Quare angulus A A R datus est Totus autem ' 4r. dat. angulus ABC datus est ': ergo et reliquus R B C datus est p. Ipsius autem A B ad B R, necnon ipsius AB ad νε. dat. B C data est ratior ergo ratio quoque lateris B C ad B Edata est v. Sed et datus est angulus C B R : triangulum g. dati igitur B C A specie datum est'. Simili vero ratione et

triangulum C D E mecie datum est. Rectilinea igitur specie data in data specie triangula dividuntur. Q. E. D. PROP. XLVIII. XLVIIIJ Si ab eadem rem triangula specie data defcribantur ; habebunt ad inυicem rationem datam. Ab eadem enim recta A B duo triangula specie data describantur A B C, A B D : dico rationem trianguli ABC ad triangulum A B D datam esse. Agantur enim a punctis Α, Β ipsi A B ad rectos angulos rectae A E, B G. Per puncta autem C, D ipsi A Bparallelae ducantur ECG, FDH'; quae rectis A E, B G, ' ar. primi. In utramque partem productis, in punctis E, G, F, H occurrant. Quoniam autem triangulum ABC specie datum t ex hyp. elit; ipsius o A ad Η Α ratio data erit'. Quoniam ita v Def. a. que angulus C A B datus est, datusque est angulus E A B : dat etiam Disitirco by Corale

57쪽

datis

etiam reliquus CARL datus erit . Angulus autem A EQdatus est: ideoque reliquus angulus E C A datus cst ;quare triangulum A E C specie datum est yr igitur ipsiusEA ad AC ratio est data R. Sed et ratio C A ad A B data est ' : quare ipsius quoque E A ad A B ratio data erit v. Similiter vero ipsius P A ad A B ratio est data: quare et ipsius E A ad A P data est ratio h. Est autem ut A E ad A P, ita parallelogrammum A G ad parallelogrammum

H A F: ideoque ratio parallelogrammi A G ad parallelogrammum H A data est. Sed parallelogrammi quidem A G dimidium est triangulum ABC'; parallelogrammi vero A H dimidium est A D B. Trianguli igitur A B C ad triangulum A D B data est ratio. Q. E. D. PROP. XLIX. Si ab eadem recta linea duo quislib/ι rectilinea specie data describantur ; babebunt ad invicem rationem datam. Ab eadem enim recta A B duo rectilinea quaecunquet specie data describantur, ut

A E C F B, A D B : dico rationem ipsius A A C P B ad A D Bdatam esse. Connectantur enim BE, FE: itaque unumquodque triangulorum EF C, EF B, E AB specie datum est . Quoniam vero

ab eadem recta E P triangula specie data EPC, EF B descripta sunt; ratio C E P ad P R B data est : quare componendo, ratio ipsius C An Pad A B p data est Ipsius etiam P Es ad EAB data ratio

58쪽

EUCLIDIS DATA. Gest'; quandoquidem ab eadem recta B E triangula spe - ' 48. daticie data descripta sunt, Psin, E A B : quare ipsius CEBF ad E A B data est ratios: componendo igitur ratio utri- 8. dat. usque C EA AP ad RAB data est S. Ratio autem ipsius η 6. dat. E A B ad A D u data est . Igitur ratio ipsius C E A B Fad A D B data est . G. E. D. PROP. L. LL.JSi duae remo lineae ad invicem habeant rationem datam ;ob illis quoque smilia siniliterque descripta rectilinea ad

invicem rationem datam habebunt.

Duae enim rectae A B, C D habeant ad invicem rationem datam, et describantur ab illis similia et similiterposita rectilinea E, P : dico rationem illorum ad invicem datam est e. Accipiatur enim ipsius A B, C D tertia proportionalis G h: est igitur ut δε B ad CD, ita C D ad G. Data autem η 1 r. -ti. est ratio rectae A s ad rectam CD : quare etiam ratio, eae hyp. 'C D ad G data est: ideoque et ipsus A B ad G ratio data est R. Verum ut A n ad a, ita rectilineum E ad rectili - 8. datineum P Τ. Ratio letitur ipsius E ad F data est. Q. E. D. 39. aut

Cor. Ex Datis Simsoni. Si duo similia rectilinea

datam inter se rationem habeant, latera eorum homologa datam inter se rationem habebunt. Similium rectilineorum R, P sint A B, C D latera homologa. Habeat autem E ad P rationem datam. Dico AB ad C D rationem datam habere. Dunbus enim AB, C D sit Gproportione tertia. Erit igitur A ad F, ut A B ad GData autem ratio E ad P Ratio igitur ipsius A B ad G data. Unde propter continuam trium Λ B, C D, Ganalogiam, ratio A B ad C D data '. O. E. D. m et . dat.

PROP.

59쪽

EUCLIDIS DATA.

Si dui rees.s lineis habeant ad invicem rationem datam, atque ab illis rectilinea quaecunque specie data describantur ; habebunt brec ad invicem rationem datam. Duae enim rectae A B, C D habeant ad invicem rationem datam ; et describantur ab ipsis A B, C D rectilinea quaecunque specie data E, F : dico ipsius E ad P rationem datam esse. Describatur enim a recta An, ipsi r simile Et smiliterpositum rectilineum A G. Quoniam autem rectilineum E specie datum est, atque descriptum est ab eadem recta aliud rectilineum A ci specie datum: ratio igitur ipsius η ρ. dat. E ad A G data est Et quoniam ratio ipsius AB aci codata est, descriptaque sunt a rectis A B, C D similia et smiis ter posita rectilinea A G, P : ratio ipsius A G ad F. so. dat. data est'. Data autem est ratio ipsius A G ad E. Ergo ν 3. dat. et ratio ipsius E ad P data est Q. E. D.

LII.J PROP. LII.

Si a data magnitudine recta Aura specie data describatur; descripta Aura magnitudine data es.

A data enim magnitudine recta A B describatur data specie figura A C D E B : dico Describatur enim Rrecta A B quadratum' 46. primi. A F '; datum itaque est

ipsum specie et magnitudine.

fisuram AC DEB magnitudine datam esse. Distiiroo hy Gorale

60쪽

EUCLIDIS DATA.

tudine . Et quia a recta A B duo rectilinea AC DEA Def. 3. A P specie data, descripta sunt: igitur ratio ipsius AC DEB ad A p data est . Quadratum autem A F magnitudine' 49. dati datum est: ergo etiam figura AC DEB magnitudine data est . Q. E. D. a. dat.

PROP. LIII. ' ΓLUI ISi duos urin specie datis fuerint, et unum latus unius ad

unum latus alterius habuerit rationem datam ; et etiam reliqua latera ad reliqua latera rationem datam habe

bunt.

Sint duae figurae specie datae AD, E H, sitque ratio ipsius a D ad P A data: dico reliquorum etiam laterum ad reliqua rationem datam esse. Quoniam enim ratio rectae B D ad F H data est'; ip-v ex hu. susque D A ad B A ratio est data r erit quoque ratio Def. 3. A B ad ad P H data r. Rectae autem F H ad E F ratio β' .

est data t quare ipsius A B ad E P ratio erit data r. similiter et reliquorum laterum ad reliqua latera ratio data erit. Q. E. D.

PROP. LIV. ΓLV.J Si spatium maenitudine et specie datum fuerit, etiam latera

ejus magnitumne data erunt. Figura A specie et magnitudine detur. Dico figurae A latus unumquodque, Puta B C, magnitudine datum esse. Exponatur redia data DE. Et a recta D E rectilineo A simile similiterquo positum describatur reictilianeum P . Rectilineum igitur P specie datum. Et, Prop- et i a. ter ructam DR magnitudine datam, magnitudine'. Da- si. dat. torum igitur F, A ratio data. Duabus D Ε, Η C Capiatur analogia tertia G. Et caua D E, u C figurarum F, A, similium Disitired by Corale