장음표시 사용
31쪽
reliquae igitur u B ad D ratio data est. Data autem est A P q: itaque A B ipsa D major est, data, quam in ratione. U. E. D. PROP. XX. Si datis fuerint dum magnitudines, et auferantur ab itfis
magnitudines habentes ad invicem rationem datam ; reliqui magnitudines aut habebunt ad invicem rationem datam, aut altera altera major erit, δειa, quam in ratione.
Sint duae datae magnitudines AB, CD, et ab AB, CD auferantur magnitudines A v, C p habentes ad invicem rationem datam : dico quod magnitudines E B, F D aut habebunt ad invicem rationem clatam; aut altera altera major crit, data, quam in ratione. Quoniam enim data est utraque AB, C D ; ipsius quoque AB ad CD ratio data est . Itaque si eadem sit,
quae ipsius A E ad c P ; erit et reliquae E B ad reliquam v D ratio eadem, et data . At vero non si eadem ablatarum A E, C P quae datarum AB, CD ratio; et fiat ut A E ad C F, ita A G ad C D. Est autem ratio ipsius A E ad C s data uer itaque ratio ipsius A a ad C D data est. Data autem est C D : itaque data est A G h. Sed et data est A B : reliqua igitur G B data est l. Et quoniam est ut Λ A ad C F, ita A G ad C D ; etiam reliquae Ε G ad reliquam P D ratio eadem est et data . Sed et data est G B. Quare magnitudo E B magnitudine PD major est, data, quam in ratione R. U. E. D.
PROP. XXI. Simsoni.)Datis magnitudinibus duabus, si alteri illarnm aliciatur
quaedam, alteri alia quindum auferatur, addita autem ad ablatam rationem datam babeat; fumma una cum consequente, M quam reliqua datam rationem habet, data erit. Necnon et reliqua una cum ea, ad quam jumma dialam rationem babot. Sint datae magnitudines A B, C D. IIarum alteri AH adjiciatur quaedam B E ; ulteri C D auferatur alia quaedam
32쪽
D P. Dico summam A E una cum consequente, ad quam reliqua D P datam rationem habet, datam esse. Quoniam enim data est ratio C P - Η Η, huic eadem sit ratio ipsus C D ad B H. Et propter datam C D, dabitur,
B H f. Data autem A B . Quare tota AH data'. Jam ,
Vero cum C D sit ad B N, ut C P ad B E ; erit et P D ad WE H, ut C P ad B E '. Data igitur est ratio P D ad R H. οEst igitur ipsa E ii consequens, ad quam reliqua D F datam rationem habet. Sed A H data est, i. e. summa A E una cum hac ipsa B H. Dico praeterea reliquam P D una cum ea, ad quam summa A E datam rationem habet, datam esse. Capiatur enim D K, ad quam A E datam rationem habeat ipsius B E ad C P, seu R H ad PD. Tota igitur A H ad totam P K eandem datam rationem habeti'. Sed data νA H. Data igitur et PK8. Est autem D K Consequens, ad quam summa A E datam rationem habet. Et data P K reliqua est P D una cum ligo ipsa D K.
Datis igitur magnitudinibus duabus, tio. O. E. D. Cor. Sim soni in Si duae magnitudines, Λ B, C D, datam inter se rationem habeant, et alteri earum, A B, datalluseratur A E, altera C D datae C p ipsa auferatur; dico
reliquam E B una cum consequente, ad quam altera reliqua DP datam rationem habet, dari. Capiatur enim A G, ad quam data C P datam ipsius C D ad A B rationem habeat. Itaque dabitur AG . Dataque etiam A E dabitur Ε Ο . Sed cum C P sit ad Λ G, ut C D ad A B, erit tei PD ad B ci ut C D ad AB'. Data igitur est ratio. PD ad n G. Est igitur ipsa B G consequens, nd quam reliqua D P datam rationem habet. Sed E G data est, i. e. reliqua EB una cum hac ipsa B G.
a. dat. ex hyp. s. dat. ι9. quinti. I a. quinti. . dat. 2. dat. ex hyp. . dat. 9. quinti.
33쪽
Quae in editis habetur Prop. xxi. supervacanea est, utpote a decima quarta haud diversa. Nos igitur ejus loco aliam 1 ubrogare non dubitavimus, a Simsono de-1iumptam, quae conversa est quodammodo I 6ae, sicut vicesiima I5M ; quamque hic loci omnino desidorari existimamuS.
Si dui magnitudines ait aliam aliquam magnitudinem habeant rationem utraque datam ; ex duabus compyita ad eandem illam habebit rationem talam. Duae enim magnitudines A B, B C ad aliquym aliam magnitudinem D nabeant rationem utraque datam: dico quod composita ex duabus A C ad illam eandem D rationem habet datam. Quoniam enim utraque A B, B C ad D rationem habet ν 8. dat. datarn : ratio ipsius A B ad B C data est . Quare com-
s. dat. ponendo ipsius A C ad C B ratio est data Ipsius autemr ex hyp. B C ad D clata est ratio : ideoque ipsius A C ad D ratio est data P. O. E. D. Cor. Simili modo ostendetur, si duae magnitudinea ad tertiam aliquam utraque rationem habeant datam, differentiam quoque duarum ad candem tertiam rationem habere datam. Utriusque A B, B C ad tertiam D detur ratio. Dico et A C ad D rationem habere datam. Cum enim utrarique A B, B C ad D datam rationem habeant, idcirco
34쪽
Si totum ad totum habeat rationem datam ; habeant autem et parte3 ad partes rationes datas, modo non easdem :habebunt omnia ad omnia rationes datas. Habeat enim totum AB ad totum C D rat;onem da tam ; habeant autem et partes A E, E B, ad Partes C F, P D rationes datas, sed non easdem: dico etiam omnia ad omnia rationes datas habere.
Quoniam en;m ipsius A R ad C P ratio data est; fiat huic eadem ratio ipsius A B ad c G : igitur ratio ipsius
A B ag C ci data ost. Et cum A B sit ad C G, ut ablata A E ad ablatam C F ; erit et reliqua E B ad reliquam P G, ut A E ad C P q. Quare reliquae E B Ad reliquam v t'. quinii, P a ratio est data η. Data autem est ratio ipsius A B ad a. PDΥ. Ergo ipsius P D ad F a ratio data est '. Quare sconvertendo ipsius p D ad D o data est ratio R. Et quΟ- g. dat niam ipsus B A ad utramque D C, C G data est ratio : ' 5. dat. etiam ipsius DC ad C G ratio data est : unde convertendo ipsus C D ad D G ratio data est Sed ipsius G D ad ν Dclata est ratio V. Quare et ipsius CD ad D P data est Ex haes ratio e adeoque dividondo et ipsius C P ad Dp ratio nψεως sis. data est . Sed ipsius C F quidem ad A E data est ratio, atque ipsius P D ad B R ratio data est ν. Quamobrem et omnium ad omnia rationes datae sunt. Q. E. D.
Si Ires rectae linem proportionales fuerint; trima autem ad tertiam babeat rationsm datame ea etiam ad secundam datam rationem habebit. Sint tres rectae lineae proportionales A, B, C, sitque ut A ad B, ita B ad C ; habeat autem A ad C rationem datam: dico ipsam quoque ad B rationem datam habere. Exponatur enim reeta data D. Et quoniam ratio ipsius A ad c data est; sat huic eadem ratio ipsius D ad F : igitur ratio D ad F data est. Est autem Ddata. Ergo etiam P data est'. Sumatur autem inter duas rectas D, P media proportionalis E ' : igitur quod a. dat.
35쪽
17. sexti. continetur sub D, P aequale est quadrato rectae si tid autem, quod continetur sub D, F, datum est; quia data est utraque rectarum D, P. Quare quadratum rectae E datum Def. I. est . Ergo data est recta E. Est autemd D data. Quare ipsius D ad si ratio data I. dat. est τ. Quoniam vero est ut A ad c, ita ex hyp. D ad P h. Sed ut A quidem ad c, ita quadratum rectae A ad id, quod continetur
quadratum rediae D ad id, quod continetur sub rediis D, P. Erit ergo ut quadratum rectae A ad id, quod continetur sub rectis A, C, ita quadratum rectae D ad id, quod continctur sub re tis D, P. Sed id, quod continetur quidem sub rectis A, C, aequale est quadrato rectae B '; quia proportionales sunt A, B, C h; ei autem, quod continetur sub D, P, aequale est quadratum rectar E. Quare ut quadratum rectae A ad quadratum rectae B, ita est quadratum rectae D ad quadratum rectar E. Ergo ut A adi p '' B, ita est D ad E . Est autem ratio ipsius o ad E data l. ostensa. Quare et ratio ipsius A ad B data est. Q. E. D.
Quae hactenus in hoc Libro tradita sunt, ad rationum Analyticam pertinentia, paucis, quae ab auctore praetermissa sunt, supplere visum est: ne quae usus sunt fero quotidiani in problematum resolutione, utut peritioribus manifesta sint, ab aliis desiderentur. Sunt autem
quae sequuntur. . PROP. I. Si antecedens consequente major sit, data, quam in ratione; invertendo, consequens antecedente minor erit, data, quam in ratione. E contrario, si antecedens consequente minor sit, data, quam in ratione; invertendo, Consequens antecedente major erit, data, quam in ratione.
Antecedens A B consequente C D major sit, data Λ Ε, quam in ratione. Ablata igitur a E, reliqua E B ad CD
36쪽
datam habet rationem M. Eadem sit ratio datae Λ A ad Dei. D. F D. Itaque F D data . Sed cum A E sit ad p D, vir' ἡ Γ B ad D C; erit tota A B ad totam F C, ut A E ad F D ' ; o qui nil. i. e. in ratione data. Ergo invertendo, ratio F C ad A udata. Sed F D data. Quare duarum A B, D C Consequens D C antecedente A B minor est, data P D, quam in ratione P. O. E. D. PDef. I a.
Jam vero antecedens A B Consequente C D minor sit, data A E, quam in ratione. Addita igitur A R, tota A Bad C D rationem habet datam . Eadem sit ratio datae A
A E ad D P. Itaque DF data . Sed cum s B sit ad C D, ut ablata E A ad ablatam D F, erit et reliqua A Bad reliquam FC, ut DB ad DC'; id est, in ratione data. 'i9. quin i. Invertendo igitur ratio C P ad A B data. Data autem D P. Duarum isitur A B, C D consequens C D antecedente A B mssior est, data P D, quam in ratione . O. E. D. Pno P. a. Si antecedens cum alia quadam, ad quam consequens datam rationem habet, detur; invertendo dabitur consequens cum alia quadam, ad quam antecedens datam rationem habet. Antecedenti AB adjiciaturalia BR, ad quam consequens C D datam rationem habeat, et detur tota Α E. Propter
rationem C D ad B E datam ; invertendo, dabitur ratio B A ad D c. Eadem sit ratio datae A E ad C P. Itaque data erit C p '. Sed cum A A sit ad C F, ut B E ad D C, erit et A B ad D P, ut B E ad D C '; id est, in rationadata. Est igitur D P ea, ad quam antecedens A B d tam rationem habet. Et C P, id est, consequens cum
37쪽
Pno P. 3. Si duarum magnitudinum inaequalium
b Dὶ, quam in ratione; duarum disserentia su cin majore Ac) minor erit, eadem datu BD), quam in ratione.
Ablata enim data H D, reliqua A D ad A C datam ra- Def. Ir. tionem habet . Invertendo ratio AC ad AD data. Convertendo igitur, atque iterum invertendo, ratio C Dad OA data. Igitur CB adjuncta data BD ad AC datam rationem habet. Quare C B majore A C data BD minor, quam in ratione. O. E. D. Pnop. 4. Si duarum magnitudinum inaequalium
AB, AC) minor AB) majore A c) minor ut, data BDὶ quam in ratione; duarum differentia sac) vel ipsa
data erit, vel naajor erit majore A C), eadem data B D, quam in ratione, vel cum ali 1 quadam, ad quam major A C datam rationem habet, data erit. Minori enim Α n data a D addita, AD ad A C datam
Def. t a. rationem habet . Data autem B D vel aequalis erit,
vel minor, vel major quam B C duarum A B, A C differentia. Primum si aequalis, erit ipsa B C data. At si B D minor sit quam B C; propter datam rationem ipsius A D ad AC, invertendo ratio A C ad Α D data. convertendo igitur atque iterum invertendo, ratio C D ad C A data. Data autem D B. Quare B C ipsa AC major, data B D, quam in ratione. Sit denique B D illa n C major. Propter rationem ipsius A D ad A C datam, convertendo ratio A D ad D ς data. Quare dividendo ratio AC ad C D data. Sed duarum A B, A C differentia B C cum illa o D est ipsa data B D. O. E. D. PROP. 5. Si duarum magnitudinum inaequalium
38쪽
erit, rei in ore A C major erit, data, quam in ratione, uvel denique cum alia, ad quam major A C datam rationem habet, data erit. Quod si major inaequalium A cὶ minoro ABὶ minor sit, data, quam in ratione; differentia inaequalium Η c majore A C minor erit, datia, quam in ratione. Nam primum si A C minore A B major sit, data, quam in natione; erit A B ipsa A C minor, data, quam in ratione . Quare B C vel data erit, vel ipsa A C major erit, y a.' huius data, quam in ratione, vel denique cum alia, ad quam Rh*i t Α C datam rationem habet, data erit'. v 4. hujus Quod si major A C minore A B minor fit, data, quam labrili in ratione, erit A B ipsi A C major, data, quam in ratione . Quare inaequalium differentia B Q, majore A C minor erit, data, quam in ratione . 3. hujus
Quinque harum propositionum, primam et secundam Sinis onus in suis Datis habet, 1ed longe aliter enunciatas. Q. E. D.
Si duae quovis lineis pultisne datis Ilii mutuo Oecurrant; punctum etiam mutui occursus datum es. Duae enim lineae positione datae A B, C D sibi mutuo occurrant in puncto E : dico datum eme punctum E. Si non, excidet punctum n : igitur alterius e rectis A B, o D positio excidet. Atqui non excidit r. Ergo ν ex hγμpunctum E datum est. O. E. D.
39쪽
Si reeris lineae extrema postion/ data stat; recta positione et magnitudine data es. Rectae enim lineae A n extrema A, B data sint positione: dico rectam Aa positione et magnitudine datam
Si enim, manente puncto A, excidat positio aut magnitudo rectae A B ; excidet et punctum B. Atqui non 'ex p. excidit'. Ergo recta AE positione et magnitudine data est. Q. E. D. XXVII.J PROP. XXVII. Si rectis lineis, suestione et magnitudine datae, datum fuerit
unum extrEmum ; alterum quoque datum erit. Rectae enim lineae A B, positione et magnitudine datae, datum sit unum extremum A : dico et extremum Rdatum esse.
Si enim, manente puncto A, punctum B excidat; excidit quoque rectae A B aut Politio aut magnitudo. ex hyp. Atqui neutra excidit . Quare punctum B datum est. O. E. D.
Aliter. Centro A, intervallo A B, describatur circumferentia CB: circumserentia igitur C B positione data est L Recta autem A Rpositione data est . Ergo punctum B datum est x. Q. E. D.
S ad rectam postione datam, ad datum in ed punctum, agatur recta, quin datum cum data faciat angulum; adiaetiam recta positione data es. Ad rectam A B possitione datam, ad datum in ea pun
40쪽
EUCLIDIS DATA.C A datum iaciat. Dico rectam DC E positione datam.
Propter angulum D C A datum, inveniri potest eius a qualis Dantur igitur positione duae quaedam lineae t Def. t. rectae, quae angulum aequalem continent. Nani ut ra- dat. tio non aliter inveniatur quam magnitudines inveniendo, quarum ratio est; sic angulus non aliter invenitur quam lineas inveniendo, sive positiones linearum, quae angulum aequalem continent.) Sint istiusmodi rectae F G, iv H. In recta A B positione datu sumatur punctum A. Centro C, intervallo C A, describatur circulus A D B, qui
rectae D C E in puncto D occurrat. Jungatur A D, Centroque A, .intervallo A D, describatur circulus I DK. Sumantur P G, F H rectae A C singulatim aequales, et
jungatur G H. Propter puncta C, A data, recta C A magnitudine data est'. Datae sunt igitur P G, F H mag- 26. data nitudine. Sed et positione . Punctum igitur P datum ν, h T. datarum utique intersectio. Data sunt igitur puncta ' 'G, Η '. Recta igitur G H magnitudine et Positiones , . dati data. Sed propter rectas P G, F H rectis C A, C D singulas singulis aequales, angulumque o P II angulo
Λ C D sequalem ; aequales erunt GH, AD . Sed ostensa a 4. primi.
est G A magnitudine data. Quare et ejus aequalis A Ddata. Punctum autem A datum. Peripheria igitur I D κ positione data v. Sed data etiam positione peri- Def. 6. heria A D B, dato centro C, datoque intervallo C A de- dat. cripta. Datarum igitur peripheriarum intersectio, punctum D datum . Datumque est punctum C . Rectae
igitur DCE, quae per duo data puncta transit, positione data est'. Q. E. D.