장음표시 사용
291쪽
DR LOGARITHMIS.Cum Logarissimi sint distantiae numerorum ab unitate, ut superius ostensum cst ; erit Logarissimus ipsius unitatis Ο, nam unitas non distat a seipsa. At fractionum Logarissimi sunt negativi, seu infra nihil descendentes, hi enim in contrariam discedunt partem ; adeoque si numeri ab unitate proportionaliter crescentes habeant Logarithmos posti vos, seu signo Φ affectos; numeri ab unitate similiter decrescentes, seu fractioneS, habebunt Logarithmos uegati vos, seu fgno assectos .
stantia est ordinatae ν G C, ad abscissam AD, seu ordinatae DE ab A C distantiam, rationem habebit eam, quam fraelio o.3o Io3 ad unitatem. Abscissa autem AH, seu diitantia ordinatae ΗΚ ab AC, ad abscissam AD rationem habebit eam, quam fractio o, 77iai 3 ad unitatem. ordinatae autem D E, F G, H Rsunt ut numeri Io, et, 3 ; abscissis A D, A P, A H ut eorum Logarithmi, posta scilicet A C unitate. Nimirum si proximus ab unitate numerus sit F, secundusay, tertius a', &e. proximus a contraria parte erit -, secundus -, tertius m &c. numerorum scilicet a, γ' a' in . . γ' reciproci. Et cum numerorum ν, β' γ', a' o . o a' Logarithmi Disitired by Cooste
292쪽
Quod verum est quando Logarithmi aestimantur per distantias numerorum ab unitate.
At si initium capiunt Logarithmi non ab unitate intcgrati, sed ab unitate, quae est in loco aliquo fractionum declinatium, verbi Rratia, a fractione ---;
tuno omnes Dadtiones, hac majores, habebunt Logarithmos positivos; reliquae, minores, obtinebunt Logarith mos negati vos, sed de hac re plura postea dicentur Cum in numeris continue proportionalibus D C, E F, GH, I K, Sco. distantiae C R, E G, G I, &C. filii aequales, erunt horum numerorum logarithmi A C, A E, AS, AI,&c. sequi disserentcs, seu Logarithinorum differentiae erunt aequales. Numerorum itaque proportionalium
Logarithmi sunt omnes in progressione Arithmetica. Atque hinc oritur vulgaris illa Logarithmorum definitio, vi g. Logarithmi sunt numeri, qui proportionalibus adjuncti, aequales servant differentias. In prim1, quam Nepertis edidit, Logarithmorum specie posuit terminorum proportionalium ab unitate primum, tantum ab unitate distare, quantum ipse termitius unitatem superabat: h. e. si v n sit primus seriei terminus ab unitate A B, ejus Logarithmum, seu distantiam An vel B v, aequalem eme voluit ipsi υ, seu incremento numeri supra unitatem ; ut si v fit I, oo Ool, ejus Logarithmum A n ponebat O, O O I; et hinc, computatione facta, Numerus Denarius, seu Io, erita3o2585o' seriei terminus; qui itaque numerus est Logarithmus denarii in hac Logarithinorum forma, et eX- primit ejus distantiam ab unitate in partibus, quarumus vel A n est una. At haec positio omnino arbitraria fuit, potcst enim distantia primi termini, ad ipsius excessum supra unita
293쪽
tem, datam quamvis habere proportionem ; et pro varia illa ratione, quae pro arbitrio supponi potest, esse interur et B v, incrementum primi termini supra unitatem ct ejusacm ab unitate distantiam, diversae provenient Logarithmorum formae. Primam hanc Logarithmorum speciem in aliam magis commodam pollea mutavit N perus, in qua posuit numerum denarium non esse 23o2585o μ seriei terminum, sed terminum IOCOCooo'RM; inque hau Logarith morum forma, Primum incrementum υ erit ad distantiain B ν vel A n, ut unitas seu A B ad fractionem dees-malein, O, 3 29 4; quae itaque exponet longitudinem subtangentis AT. I ii Fig. 4G. Post mortem xleri, vir sumnus Dominus Henricus Briggius, immenso labore, Logarithmorum tabulas ad hanc sormam construxit et edidit. Ili hisce tabulis cum Logarithmus denarii, seu rius distantia ah uti itate, Ponatur I, COCOOOO, sintque I, IO, IGO, IOOO, IOCCO, &C. Continue proportionales, erunt aequidistantes. Quare numeri ICO Logarithmus erit et, occio oo; millenarii 3,OO Goo; et numeri Ioooo Logarithmus siet 4, Ooocio; et ita deinceps. Hinc Logarithmi omnium numerorum inter I et Ioincipere dcbent per o, sinu debet esse o in primo loco vorsus sinistram; sunt enim minores quam Logarithmus numeri io, cujus initium cit unitas : et Logarithmi numerorum ii iter Io et IoO unitate incipiunt; sunt enim majores quam I, DOCOCCO Et minoreS quam 2, O COO . item Logarithmi numerorum inter Ioo et Iocio binario. incipiunt; sunt enim majores quam Logarithmus numeri i , quem incipit a, et minores Logarithmo numeri IO , qui iticipit per 3 : eodem modo ostendetur iii Logarithmis numerorum inter IoOo et Io O, primum fisuram versus simi stram debere esse 3 ; et in Logarithmis numerorum ab I OC usque ad I COO prima versus sinistraui ligura erit 4, et ita deinceps '. Elegantior longe, et doelioribus Geometris receptior, est illa
Logarithmorum consideratio, quae denarium primum coniu- tuti seriei terminum. Ita enim Lovarithmi potestatum denarii, IO, Ioo. Iocto, &c. potestates jam nunc loquimur proprie sedietas in sunt numeri I , 3, 3, 4, sec. naturali ordine: numerorum autem Potestatibus denarii intermediorum Logarithmi 1unt nu-
294쪽
127 Prima criusque Logarithmi figura versus siti stram dicitur characteristica, seu index ; quia ostendit altissimum seu remotissimum locum n timeri a loco unitatum. v. gr. Si index Logarithmi sit I, numcri respondentis altissmus seu remotissimus versus finiitram ab unitate locus, erit locus decadum. Si index et, remotissima numeri respondentis figura erit in socundo ab unitatum loco, hoc est, erit centenariorum aliquis. Et index Lo-
sarithmi 3 denotat altissimam numeri sui figuram essem tertio ab unitatum loco, et inter millenarios locari. . Logarithmi numerorum omnium, qui sunt in pro- Rrcilione decupla aut lubdecupla, characteristicis seu indicibus suis tantum differunt; in reliquis omnibus locis, iisdem scribuntur notis, v. gr. Logarithmi numerorum I 7, I7O,I7OO, I 7 Coo. Nam cum sit I ad I 7, ut IO ad I 7O, ut IOO ad 17oo, ut ac o ad I 7 o; distantiae
inter I et I 7, inter Io et Iio, inter I Oo et 17 , inter Iom et I7om erunt omnes aequales ; ideoque cum distantia intor I et I 7, seu Logarithmus numeri 17, sit
meri mixti; quorum pars integralis cujusque est Index, partem fractionalem constituunt figurae poli Indicem, quotquot illae suerint. Minorum autem denario Logarithmi purae stadiiones
sunt. . Indicis, seu unitatum locum, nota o occupante. Haec autem ad finem hujulce capitis fusius exponenda erunt. Caeterum haec est vera, ni fallor, systematis miniani expositio, quam obscurarunt, me iudice, quicunque denarium loco ab unitate decies millies millesimo Io oooo oo'.) potius quam in primo constitutum volunt. Neque enim inde ei licient, quod illis in votis est, ut vii' g, hominum ingeniis subtili ilinia Logarithinorum dostrina facilius per bipi et comprehendi queat. Quantum quantum enim posuerint denarii tu serie indicem, illud nunquam obtinebunt ut aliorum numerorum iudices non sint mixtir epe, saepissime etiam inter te in commensurabiles. In commensurabilium autem inysteria vix aut ne vix quisquam intelliget, qui scientiis nostris non magis quam mediocriter imbutus sit μη3 ο ις γενναἰἘν οργια Mουσα γ υ ητ εἴρετο ltari τ' ἐπ οε σε. Sed et indicum negativorum par est ratio. Nimirum index I, Ostendit primana stadtionis decimalis, ad quam L garithmus Pertinet. figuram locum infra unitatem proximum eupare. Si index Logarithmi sit -a, prima fractionis deci- malis figura locum infra unitatem secundum occupabit. Si tertium; it - , et sic deincep8.
295쪽
DE LOGARITHMIS.I. 23O4489, erit Logarithmus numeri I7o in a. 23O4 89; et Logarithmus numeri 17 o erit 3. 23O4489, ob numeri Ioo Logarithmum a. oo OOC; et similiter, otin umeri I Coo Logarissimum m 3. o oo, Logarithmus numeri I 7 COO Crit 4. 23O 89. Sic etiam numeri 67 8. 674, 8. 67, 48. 6, 748. O, 67 8. o,o67 8. sunt continue proportionales, scit . in ratione IO ad I. Eorum itaque a se invicem distantiae aequales erunt distantiae, seu Logarithmo, numeri Io, seu
meri 67 3 sit 3, 829Ι75Ι, reliquorum Logarithmi e-
In duobus ultimis Logarithmis, indices tantum sunt negativi, reliquis liguris positivis manentibus; adeoque cum reliquae figurae addendae sunt, subtrahendi erunt indices, et vice versu . Nimirum eum 6, 7 8 sit ad o, 67 8 ut Io ad I; si Logarithmo numeri 6. 7 8 auferatur Logarithmus denarii, relinquetur Logarithmus numeri o, 6748. Sed Logarithmus numeri 6, 7 8 est o. 8291751. Et denarii Logarithmus est 1. Numeri igitur o, 67 8 Logarithmus erit in o. 829I751 - I. Qui hoc modo commodillime delignandus est I. 829175i. Similiter cum numerus 6, 7 8 ad o, o67 8 rationem habeat, quam centenarius ad unitatem ; si Logarithmo numeri 6, 7 S auseratur centenarii Logarithmus, relinquetur Logarithmus numerio. o 67 8. Sed Logarithmus numeri 6, 748 est o. 829175I, et Logarithmus centenarii est binarius, sive a. Logarith mus igitur numeri o,o67 8 erit Φo. 829175I - a: sive a. 8a9I75 I. Illud autem animadvertendum est : in systemate Brixeiano 'Logarithmi cujusque indicem numerum integralem esse; figuras autem omnes reliquas, quae indieem sequuntur, decimales esse. Nam eum in illo systemate, denarii et potestatum ejus
IO, IOO, Io oo, IO OO, &C. Logarithmi sint numeri I, 2, 3, 4, M. naturali serie; numeri cujusque inter Io et Io', sive inter denarium et centenarium, Logarithmus unitate major erit, hi nasio autem minor. Numerus igitur mixtus inter unitatem et binarium. In ullum cujusque inter a et Ioy, sive inter cente narium
296쪽
De Logarithmorum Arithmetieta tibi numeri sunt integri, vel inregri eum decimalibus adjunctis.
QUONIAΜ in multiplicatione, unitas est ad multiplicatorem ut multiplicandus ad productum, distantia Inter unitatem et multiplicatorem sequalis erit distantiae inter multiplicandum et productum; si itaque numerus G H Per numerum E P esset multiplicandus, distantia inter o II et eroductum debet esse aequalis distantiae Λ R, seu Logarithmo multiplicatoris ; si itaque capiatur G L aequalis A E, erit numerus L M productus; hoc est, fi ad Aci, Logarithmum multiplicanai, addatur A E, Logarithmus multiplicatoris, summa erit Logarithmus producti. In Divisione, unitas est ad divisorem ut quotus ad dividendum ; adeoque distantia inter divisorem et unitatem aequalis erit distantiae inter dividendum et quotum. Sic si L M per R P esset dividendus, erit distantia A A aequalis distantiae inter L M et quotum ; adeoque fiCapiatur L G aequalis E Α, ad G erit quotus; hoc est, fiab A L, Logarithmo dividendi, auferatur G L seu A E, Logarissimus divisoris, restabit A G, Logarithmus quo
Atque hinc adeo, quaecunque operationes in Communi Arithmetica perficiuntur multiplicando aut dividendo numeros majores, eae omnes facilius multo et
expeditius fiunt per additionem aut subductionem Logarithmorum. narium et millenarium, Logarithmus binario major erit, ternario autem minor. Mixtus igitur inter binarium et ternarium. Universe, numeri cujusque inter Ion et Io' ' δ Logarithiamus major erit quam n, minor autem quam n Φ I. Mixtus igitur inter n et n Φ I.
297쪽
Sit, exempli gratia, numerus 7589 multiplicandus per 6757. Addendo Logarithmos, ut in Log. 3. 88oI846 margine videre est, habetur Loga- g. 3. 8a97539 rithnius producti; cujus index 7
- .m- . monstrat esse in produeto septem
Log. 7. 7o99 385 locos praeter unitatum locum: et quaerendo in tabulis Logarithmum
hunc, Vel proxime aequalem, invenio numerum Te Ondentem minorem producto esse 5 I 278 O et numerum
P ducto majorem esse 5 Ia79-o: quin capiendo differentias adjunctas, et partes proportionales, invenio notas anteponultimam et penultimam esse 87 ; in ultimo autem, seu in unitatum loco, necessario erit 3, ob septies nOV m m 63, adeoque verus productus erit 5 Iz78873. Si index Logarissimi esset 8 vel 9, ultima vel penultima notae obtineri non possimi ex tabulis ubi Logarithmi tantum constant 7 sigurarum locis praeter characte isticam ; adeoque ubi opus est, Tabulae Ulacquiame, in quibus Logarithmi sunt omnes decem notarum, ves lagiano, in quibus Logarithmi sunt quatuordecim,
Si numerus 78596 dividendus sit per et 78, substrahendo Logarithmum divisoris ex Log. 4. 8954 4 L arithmo dividendi habetur Lo-
Log. a. 444 48 garithmus quotientis; cui Logarith- -mo respondet numerus a8a,7 19, qui g. a. 4513556 itaque erit quotiens φ.
Et par est ratio operationum multiplieationis et divisionis in fractionibus: nimirum cum Logarithmus facti summae L garithmorum numerorum, ex quibus factus est, aequalis sit; sue integri illi sint, sive fractiones. In multiplicatione igitur invenitur Logarithmus facti, addendo emetentium Logarith mos. Et in divisione Logarithmus quotientis invenitur subducendo Logarithmum divisoris ex Logarithmo dividendi, modo fignis Φ et probe observatis, additiones et subductiones Algebraice instituantur. Res exemplis manifesta fiet.
. I. Multiplicandus sit numerus 7589 in
298쪽
Summa 3.7o99385 est Logarithmus iacti, qui in tabulis invenietur 5127,887. Ex. a. Multiplicandus sit numerus 75,89 in fractionem Ο,OO6757 Logarithmus numeri 75, 89 est I. 88or 8 6 Logarithmus fractionis o,ooQ57 est 3. 8297539 Summa I. o99385 est Logarithmus facti, qui in tabulis invenietur o, 5127887. EX. 3. Fractiones o, 7589; o, o6757 in se mutuo multiplicandae sint.
Fractionis o, 7589 Logarithmus est I. 88oI8έ6 Fractionis o, o6757 Logarithmus est a. 8a 97539 Summa a. 7o99385 Logarithmus est fractionis multiplicatione efficiendae, quae in tabulis invenietur O,Ο5I27887.
Ex. I. Numero 78596 dividenda sit fractio o,a78. Fractionis dividendae o,278 Logarithmus est 1. 4 4o448 Numeri divisoris 78596 Logarithmus est 4. 895 oo I.ogarithmo posteriori de primo Algebraice su tracto, veniet quotientis Logarithmus 6. 5 86 4 Quotiens igitur in tabulis invenietur o,oooo 3537O75. Ex. a. Fractione o,278 dividendus sit numerus 78596. Numeri dividendi 78596 Logarithmus est 4. 895 oo Fractionis dividentis O,a78 Logarithmus est I. - o 48 garithmo posteriori de primo Algebraiee subtracto, veniet quotientis Logarithmus 5. 45I3556 Quotiens igitur in tabulis invenietur a 82719,3.
299쪽
DR LOGARITHMIS.I3a sodales, eorum a se invicem distantiae aequales erunt. Manifestum itaque est quadrati distantiam ab unitate,
Ex. 3. Fractio o,o278 fractione o, 8596 dividenda sit. Fractionis dividendae o,o278 Logarissimus est a. 44 O448 Fractionis dividentis o, 78596 Logarithmus est I. 8954oo Logarithmo posteriori de primo Algebraice subtracto, veniet quotientis Logarithmus a. 548644 Quotiens igitur in tabulis invenietur o, 3537O75. Ex. 4. Fractio o, 78596 fractione o,o278 dividenda sit. Fractionis dividendae o, 78596 Logarithmus est I. 895 oo4Fractionis dividentis o,oa 78 Logarithmus est a. 44 o 48 Logarithmo posteriori de primo Algebraice subtracto, veniet quotientis Logarithmus I. 4513556 Quotiens igitur in tabulis invenietur 28, 27 I93. Hunc igitur in modum in fractiones, decimalium forma da tas, operationes, tam divisionis quam multiplicationis, per Logarithmos instituantur; haud aliter scilicet quam in numeros integrales vel mixtos. Quinetiam fractiones, quae sub vulgarium quae vocantur specie veniunt, simili modo tractandae sunt, inventis earum Logarithmis. Logarithmi autem hac ratione facillime inveniendi. Datam puta fractionem vulgarem -, in propriarum quae vocantur genere, cujus requiritur Logarithmus. Tabularum ope inveniatur Logarithmus numeri -, datae fractionis rein
ei proci, subducendo scilicet Logarithmum divisoris A de Logarithmo dividendi B. Logarithmus autem sic inventus numeri - significetur litera L. Logarithmus L denario au seratur, vel potestati denarii quae ipso L proxime sit major, quae sit ro'. Residuus significetur litera R. Denique in- diei Logarithmi R Algebraice subtrahatur ro'. Habebitur Logarithmus indice negativo, qui Logarithmus significetur litetii A. Dico Λ datae fractionis Logarithmum esse.
Fractionis enim - Logarissimus significetur litera x. Iam
300쪽
duplam esse distantiae radicis ab eadem: distantiam cubit iplam distantiae radicis suae, bi quadrati distantiam esse distantiae radicis suae ab unitate quadruplam tic. Adeoque si duplicetur Logarithmus numeri, dabitur Logarithmus quadrati; si triplicetur, Logarithmus cubi; si quadruplicetur, prodit Logarithmus biquadrati. Et, viceveria, si I marithmus numeri alicujus bisecetur, habebitur Logarithmus radicis quadratae ejusdem numeri ;quin et ejusdem Logarithmi tertia pars erit Logarithmus radicis cubicae ; et pars quarta Logarithmus radicis hiquadraticae, et ita deinceps. Hinc radicum omnium extractiones iacillime perficiuntur, secando Logarithmum in tot partes, quot sunt unitates in indice potestatis. Sic ut habeatur radix quadrata numeri 5, ejus Logarithmi capiatur pars di-
meri - Logarithmus sit L ; erit x Logarithmus fractionis -ὶ α - L per ea quae a Keillio jam ante ostensa sunt . Sed
struis t. in Quare x - Λ. Q. E. D. Ex. I. Fractionis vulgaris inveniendus sit Logarithmus. Fractionis j A. est numerus L reciprocus. Et hujus numeri Logarithmus ex tabulis invenietur I. 25Io925.
Qui denario ablatus relinquit 8. 7 89o75 Hujus indiei 8 ablato Algebraice denario, habebitur a. 7489O75
garithmus fractionis Logarithmo autem sic invento, si in tabulis quaeratur numerus qui conveniat, illae decimalem da-hunt datae vulgari aequalem. Ut in hoc exemplo O,o56o9285. Ex. a. Fractionis vulgaris i , inveniendus sit Loga
Fractionis datae est numerus l8 33 3 reciprocus. Hujus autem Logarithmus ex tabulis invenietur 5. 46z8I46 Qui denario ablatus relinquit ψ.537 a 35 Hujus indici, quaternario, lubtracto Αlgebraice denario, habebitur 6. 537 185 Logarithmus datae fractionis. Cuius itaque aequalis in tabulis invenietur decimalis o,Ooooo34 497.