장음표시 사용
211쪽
ΟPusCULI I. rorii oportet iam videre, qua lege distribuatur totum lumen per planum ejus circelli, nimiriun primo quidem, quae sit ratio isitatum in punm quibusvis assumptis intra ipsum in quovis
plano secante totum solidum spinale causticae respondens toti te ii circumquaque circa axem , quod planum reser figura i , ita, η solidum ipsum spinale generetur conversione dimidiae ipsius fimgurae circa axem AP tum vero , quae sit ratio totius luminis ad partes contentas circello genito ab OH. residuo annulis nito ab H C. I a. Ad ea determinanda proderit plurimum prius investigare, quot qui radii P deserantur ad quodvis punctum H , in quibus angulis , sive quae futura sit pro iis radiis ratio distantiarum AP ad semidiametrum totius aperturae AF , quibus semel determinatis, caetera omnia inde admodum facile consequentur. Porro id quidem totum praestatur expeditissime per analysim admodum elementarem constructionem sane elegantissimam.
13. Probum, Invenire radium, qui debeat appellere ad quosvis punctum H datum in quovis radio OC circini CCL 14 Assumpta Es versus I, IO , erit SI, Io , I in
ctis rationibus , demptis conlinunibus NT', N', erit IO':1ΝXm': ' oae, nimirum ΝXm quantit Idata, cum dentur reliqua in ea proportione '): inde sicile eruitur arquatio
aperturam. Primum patebit in Additamento huius supplementi paullo inferius Cum autem error longitudinalis I sit in ratione duplicata aperturae ex adnota ad mim. He ad habendum valorem Caci debet adhue multiplicari Per diametrum aperturae ipsius F), ae ili victi per tiantitatem AB habendam pro constanti patet, fore diametrum erroris circularis in ratione triplicat eiusdem aperturae, quod a navimus pluribus in locis, ut num a 3 c
Problema huc reductum est, ut datis in recta indefinita bini punctis I S, quaeratur tertium N ejusmodi , ut e binis ejus distantiis NI,NS a punctis datis, productum ex altera in quadratum alterius aequetur dato solido aequatio,
212쪽
im SUPPLEMENTUM commodissima, constructio simplicissim . Captam in axe aequali in unde fient etiam's, in aequales utrilibet, antsingulae ex ipsis, a tum OH uerit Immo, a m m a x,' iis valoribus substit
tis r :: a': sayae a a sive H - μ'ηas. Haec aequatio habet radices reales tres, quotiescumque Mlorcia suerit minor, quam a quod H semper acciditu nam ob O semper minorem C est minor, quam adeoque -- minor, quam a qui valor ablatus a valore iave relinquet quantitatem positivam , vel saltem negativam minorem a Maxima e tribus radicibus erit aequalis reliquis binis simul sumptis 3 cum signo contrario, cum earum summa raro destruat secundum terminum ea vero maxima erit positiva, vel
oliva , prout ultimus terminus fuerit e contrario negativus vel positivus , cum postremus terminus debeat esse productum ex radicibus omnibus acceptis cum signo contrario, adeoque ob pr ductum binarum minorim eo ormium aemper positivum, debeat habere signum contrarium signo radicis maximae Construetur a tem methodo elementari notissima ad insessionem arcus circuli, cujus radius a chorda a - construictionem ipsam
sanetiones omnes secundi gradus eo reducuntur , ut debeat esse productum ex iis distantiis aequale plano dato. Ad hoc autem productum datum ex quadrato alterius in alteram reducuntur omnes aequationes gradus tertii, in quilitis se. cundus terminus deest, ct tertius est negativus. - I. Licet ea eonstructio sit satis notari ac pertinens ad elementa mandem tamen', evolvemus , cum ab ea pendeant reliqua sere omnia, quae dicturi
213쪽
omnes eadem aequatione contineri debent. 3. Patet autem, debere esses non majus, quam a cum chorda diametro ma ior esse non possit. 4. Posito M in eodem semicirculo eum MΚ,' in opposito , patet, s cto b ra, abirem in I adeoque arcum Rinfore trientem semiperipheriae A idcircorum itidem eidem ritualem bre ac hordas - , ΜΗ aequales radiora , punctum vero ' iraturum in D: sacto autem aeris, e vanescit tam Κ , quam M fiunt M', M' aequales inter se , eho dae viminii graduum aro, quae sunt ad radium in ratione subduplicata rada. s. In reliquis casibus erit se radix minima, m maxima , quae habebit frugnum contrarium signo reliquarum , Meontrarium signo valoris 3. 6. Facile inveniuntur eae radices per tabulas sinuum. Fiat in I α ais ad omis , iis radius ad simu anguli , qui dicatur A, opimi ' - - factis, ut radius ad sinum cuiusvis ex iis tribus, ita RI π ia ad quartum habebuntur tres chordae - - 'M'.
. Sunt enim hortis X AEM. ','M , sinus angulorum, quos metiuntur dimidii sui arcus, ad radium M.& dimidia arcuum M' MM' sunt gradusio. 8. Mutata Rς, mutantur omnes tres chordae RM RM', - , ita tamen, ut mutatio primae aequetur mutationibus reliquarum simul sumptis. s. Nam crescente arcu in debet crescere arcus M' , qui oritur a summa ipsius M, Mi io',in decrescere arcus RΜ', qui oritur a disterentia, adeoque crescent chordae RM 'M', A decrescet chordamin. Cum vero se beat remanere M aquatis summe - , MI debebit eius incrementum aequari excessu incrementi RM si pro decrementum M , adeoque increme tum RM cum decremento in ' debet aequari soli incremento M. 1o. Haec harum radicum proprietas hὶ probe notanda est, magno nimirim situra usui ad obtinendum praecipuum totius perquisitioris scopum.
214쪽
'o SUPPLEMENTUM is Capiatii abes versus E recta IG , quae sit ad I in D1ione duplicatam ad O centro in intervallo I describathi circulus occurrens xi iterum in centro intervallo RG inveniatur in peripheria ejus circuli punctum ci assumatur arcus R triens R. centro intervallo M inveniatur u axe punctum N ad partes oppositas puncto G respeE erigatur demum ordinata I ad arcum IC jacentem ad eandem axis
plagam cum H recta T determinabit positionem radii quaesiti L 17. Constructionis ratio est naanifesta . Cum sit Ota me Q
- cui capienda erat aequalis chorda R . Tum merit x, ut oportetrat. Quod si faena m maiore , quam re, abrat
RG in directionem oppositam in Ra ; mutabit dire'ionem etiam arcus K abiens in O RΜ inrum , adeoque in M,
quae adhuc debebit esse contraria Ri, uti fuerat praescriptum.18. Scholium 1 AEquatio illa gradus tertii praeter radicem M habet illas duas, quae inveniuntur assumptis trientibus Μ ΜΜ' totius peripheriae . Pro casu I minoris , quam si IR, ponatur in eodem semicirculo cum Κ, Μ ' in opposito, ac pro casu G majoris , abeuntis nimirum in i mutata directione
R , R in Rh, Rm, retineantur m M in semicirculis , in quibus eranti M', ut jam sint , m in eodem , γ' in oppo Sit . Sumatur autem tam N ' in primo casu , quam RU'in Secundo Versus E, AEN', RUvcrsus I, ducaturque ordinatam'T
vel ab ad arcum eundem Min ordinata vero 'r', velis, ad oppositum IC'D
I9. Plagae punctorum N determinantur a valore radicum: in primo casu , existent RG positiva , radix maxima est RM', cdebet esse negativa , reliquis positivis is idcirco RN' jacet cum R ad anciem plagam in N ad ol)positam . In secundo casu exi- Mentera negativa migrante ni ad partes m radix maxima
evadit m remanet sola positiva, reliquis negativis quam ob Diuiligo b Corale
215쪽
o PusCULI I. ob causam mutat directionem Rm , sed eam retinet taman a qua in Rnp: Porro idem exhibet etiam motus continuus eorum punctorum solum punctum, delatum adis progreditur ita , ut RMevanescens in G, abeat in negativam in nr ro Sahol et . Inventis punctis m, facile determitranti l puncta T sine ullo curvae praesidio Capienda erit T ad C ingesquiplicata ratione I ad O, sive fieri debebit, ut O ad IN), ita ad NT', cujus quadrati latus exhibebit rectam quaesitam T. ai. Notandum quoque, quaelibet punctam determinare persuas productas ad arcum appositum etiam alia puncta , quae exhibebunt radios pertinentes ad punctum Frepositum ex parte posita versus CL Nam idem punctum G pertinet ador, quod ad Hu cum IG determinetur per quadratum OH , quod secta in negativa in OH adhuc remanet positivum
ar. Sciis L. Proderit Dirimum evolvere casus praecipuos pe dentes a diversa positione punctorimi uenis per S ordinatis , quae occurrant curva in punctis V, V I, Porro haberi debet ob oculos semper nexus inter G, , cum sit IG: IE:: OH OC per constructionem . Pro varia positi ne puncti H in rectam acquiritis variam positionem ino m. IE ab ipsa pendent positiones punctorum , N T, P, L. Est nimirum chorda RΚ- RG , arcus RMi: LRK, M'. M''mizo recta IL IN, adeoque quadratum AP proportionale ipsi IV, est itidem proportionale IN, rectae autem IO, OR, RS, SE
sunt aequales inter se 23. Si punctum H abierit in centrum o , evanescente Η, evanescet etiam IG, puncto Κ abeunt in cum G, erit Mirien semiperipheriae , cui idcirco fiet aequalis 3 RM puncto
abeunte itidem in I. Abibunt igitur in I puncta ', nimirum unus e tribus radiis erit is ipse , qui defertur per axem Ai, quem utique patet debere transire per centrum O.
Chordis autem M , -' fictis aequalibus radio circuli Ro, abibunt punctam, Ir in S, puncta L, Urani, contactus T V in V, , puncta autem , ' abibunt in ejusmodi pum
216쪽
ratione I ad I , nimirum 3 ad 4, sive proxime ut 87 ad Ioo. 14. Et quidem ubicumque fueriti extra centrum , ad ipsum non devenient , nisi soli tres radii delati a tribus punctis PQ, centibus in eodem plano cum ipso, Maxe determinatis per propositam construictionem. Sed ad centrum O praeter radium , qui venit per axem, venient infiniti numero radii, iam miti omnes,
qui transeunt per peripheriam circuli habentis pro diametro, cum plana omnia in eo casu transeant per punctum H tum jacens in ipso axe in o.
is. Si captis in punctis , ita , ut quadratum in , of sit dimidium quadrati C, punctum H abeat in q, vel ς' erit I dimidia IE adeoque punctum G abibit in M, ev
nescentibus tam Rς, quam M . Is est casus , in quo una e tribus radicibus aequationis R- o reliquae binae Ris, in evadent aequales inter se, Merunt singulae ad I in su, duplicata ratione 3 ad , sive proxime ut 87 ad ioo cadet Nin in quoddam punctum . ita, ut sit itidem quadratum Ad dimidium quadrati AF , uti est IR dimidia I , eritque ibi Ad: AF : Ost Sumptis autem Rr Rr versus I, 3c , quae sint ad I in subduplicata ratione 3 ad 4 abibunt N',
dis. Si fuerit OH adhuc major jam I evadens major, quam 1 abibit in m. Facta Ri negativa , debebit mutare directi nem etiam arcus M juxta num. 18 , abeuntem in minni, mi , infra N in supra ' in Q supra perget autem recedere P ab , ' ab A, accedere '' ad '.
et . Si punctum H abierit in C; erit , IE adeoque Miterum aequalis RI, abeunte is cin I, in E rum, ' equalibus inter se, Warqualibus radio m abibunt ambo qn in . Nimirum contactus,' abibit in D in bini contactus in C, abeunte radio 'H in illum Det extremum, binis FAEC, TH in unicum, tangentem curvam in C, transeu tem per quoddam punctum , quod quidem secabit bisulam re
217쪽
o ruri et u in I. ac πM: IE: i: mim. 8,in ro), licet id figura non exprimi obnunis exigium disruntiam reme UM a curva usu 28 Grou Ad quodvis punctum assumptum in margine es celli deveniunt bini radii, ad quodvis positum ubivis inter peripheriam, centrum deveniunt tres , ad centrum ipsum numero infiniti. am Patet ex evolutione casuum expositorum in scholio sup
3o. Molium 4. Erit admodum utile considerare nexum omnem punctorum N, H eorum motus pendentes a se invicem ad a virendam ideam admodum distinistam casuum omnium, quae viam sternet pronam, expeditam ad considerandam ipsam luminis distributionem , quae est totius perquisitionis caput prin
cipuum a 3I. Si punctum H digressum a centroi percurrat totum ra
te OCLar. Si punctum P designabimus hac unica littera sine accentibus casus omnes pertinentes ad H, re motu continuo excurrit ab U ad F , unicam quandam velut oscillationem perficiens; punctum contamis T percurret itidem motu continuo arcus UCI, im unicam itidem oscillationem conficiens in curva continua
UID maestum N ipsi respondens descendet per EI, tum ascendet per AE conficiens oscillationem duplicem punctum, discedet a C perficiet oscillationem triplicem : primam per Coz,
dum abii P per x miser EO, T per c secundam per Coc, dum abiti per AX N per Io, per cic, te tiam iterum per Coc dum abii P per F, Niser
per CD. 33. Quoniam punctum in singulis eiusmodi oscillationibus semel advenit ad quodvis punctum assumptum intra diametrum
218쪽
1c, SUPPLEMENTUM COC, praeter ipsa puncta extrema C, C, ad quorum utrumvis advenit tantummodo bis in oscillationum limitibus ; idcirco ad quodvis punctum H advenient tres radii, is utrumvis e pun- his in duo tantum. Ad centrum o etiam advenient tantummodo tres e radiis jacentibus in plano quovis transeunte per axem Sed quoniam advenient radii pertinentes ad omnia ejusmodi pia ni in eo habebuntur simul infiniti. 34. Patet autem , in secunda sesquioscillatione punctim redire omnia eodem prorsus md , quo in prima, sed ordine retr
3s Scholitum . Si pro puncto H assumatur quodvis punctum in recta CO produicta ex parte utravisu quadratum d fit majus quadrato C , adeoque S major, quam ΙΕ s major diametro RI . Quamobrem chorda ipsi aequalis in circulo Ut ri non potest. Is est casus, in quo valor evadit major, quam ψιτ, 4. - major, quam a. In eo casu aequatio . - 3a η-Fae za- habet unicam radicem realem, quae non pertinet ad insectionem anguli, sed ad inventionem duanim me diarum continue proportionalium inter duas datas ejus expressio habetur tot realis per simulas notissimis radicales ea rite tractata huc reducitur cujus valor debet esse major, quam eta, adeoque punctum, abiret ultra determinaret contactum in arcu Iσα opposito punctora producto ultra m Illuc nimirum adveniret radius unicus pertinens ad aperturam prodestam ultra F adeoque majorem data
Punctum quidem cadhue est eiusmodi, ut perpendicularis ex ipso usa ad axem occurrat ipsimi supra imiai I, A secet curvam allevi in quam ob causam ad ipsum etiam pertinet inventa aequatio. Sed si ea perpendicul-n caderet insta L; immutanda esset Dialisper ealculi ratio. Illud quidem satis
219쪽
aisas. Facile autem demonstrari potest illud, ex omnibus radiis transeuntibus per aperturiun in devenire ad quodvis punctum assumptum intra angulumum radium unicum ad quodvis pumctum irilinei DB in vel DBC contenti binis rectis, arcumr, vel binis rectis rac arcui duos ad quodvis punctum quadri- linei BCIC eontenti binis rems binis arcubus Cet C tres: ad quodvis punctum situm extra eiusmodi qmutrilineum, sed im m. IL D, trasatis erat pro investiganda distributione luminis per ei reellum Go C,in per totum eius planum, sed ad eam Nabendam pro plano quovis sive situm sit su- pra I sive per ipsum transeat, Sive cadat infra ita instituenda est analysis, ut non pendeat a concursu eius perpendiculam cum ipsa curva Id autem his praestabimus. a. Ad id praestandum considerentur positiones omnes punctim, per quod radius transire debeat. Sint in fig. 4 D'X , ID bina crura eius parabolae gradus tertii, ad euius serinam accedit austica in infinitum prope cuspidema, jaceat ubicunque punctum H , pere quod debeat transire radius continnens iis psam curvam in occurrens axi in L. Ducta ex eo recta perpendiculari ad axem , tres erum casus, quom singuli in alios nil,dividentur vel enim ea recta incurret in sum axem supra I versus curvam in , ei incurret in ipς um I puncto H abeunte in M, vel insta ipsum inra', puncto reabeunte inviti In primo autem casu recta mincurret alicubi in curvam in C ' punctum
H jacebit ei in avi in o. vel respectu ipsius axis citra C, vel in C, vel ubtra C in secundo, A tertio vel erit in axe in ipso vel cadet
Ut unica solutio transferri possit ad omnes eos tarius, applicetur ipsa primo sui. in eo consideretur contactus rodens ad partem axis contraria r spectum; nam ex ea parte habetur semper aliqua solutio realis in omnibus casibus, & ducta ordinat Tm, tum ex quovis alio puncto fassumpto, arbitrium in axe supra I ordinata pq, captaque OR aequali,' contraria I po
220쪽
aio su PPLEMENTUM ira angulum CBC cruribus utcumque in infinitum productis, iis rum unicum ad reliqua pom omnia nullum . Sed iis omissis progrediemur ad determiniuidam distributionem luminis per circebium c C. 37. Ad ejusmodi perquisitionem notandum illud , quod facile patet si concipiatur aliud punctum quodcunque in radio OC
cum punctis ρ, ρ' , ipsi respondentibus in apertur lu
mens. Si jam punctum farintrarium ita assumatur , ut congruat cum o fiet e T
CC, c. adeoque x - 3.r x-μ P χιa aequatio illa ipsa, quam evolvimus a num Is , in qua nimirum si OH non sit major , quam
sive, major, quam e habentio radices tres le , quas exhibet illa trisectio arcus circulario sed artini binae sim inter se aequales, ubi abeat
H vel ini, e cistente lim aequatione x - 1a cum radicibusa , - . , Vel in C, existente tum aequatione x -3a' -- cum
radicibus ----,-Fia habenturque generaliter quidem in figura i tres radii PH, FH, PH, sed ubi H abit in abeuntibus P, P in f Υ , ac in A, adhuc sunt tres is ubi H abit in G, abetin tibus P , ' in X , ac PH in ' remanent tantum duo ciui autem , qui veniunt ad centruini exv, , sunt tantum duo ex omisibus advenientibus in unico plano transeunte per axem sed cum in omnibus eiusmodi planis iaceat ipsum in singulis habeantur in ejusmodi radii ; infiniti ni mero adveniunt ad punctum Habiens in o iuxta num. 18. In seeundo eas , in quo punctum o abit ilia , fit a zz- , adeoque aequatis In ea si etiam A figurae 4 abeat in P evanescitinis
evadit, quo nimirum casu omnia puncta P , ' , ' figurae robem in unicum A, solo radio, qui per axem advenit, abeunte ad I sed si Asit extraes habetis vilicum valorem realem bw- , qui facile admodum
eonstruitur. Si enim in figura rata capiatur ut sit aIA, evadet emor, adeoque et Is . . Capiatur igitur Io dupla I in directione contraria in ex e rigatur recta axi parallelaci eius Occursus cum arcu curvae exhibebit quaeSi tum punctum T. Erit enim N zz I dupla IV,' abeunte I in m fietis aequalis ipsi T. Est autem admodum expedita etiam directa demonstratio commictionis adeo simplicis , erit enim I IN IDe hi: heri: I: , ut oportebat iuxta num . . In tertio casu , in quoi cadit infra abit infra I etiam R', ac mutata directione rectae IO', mutatur signum valoris a in aequatio evadit