장음표시 사용
221쪽
OPUSCULII. et irmen Omne , quod transmittitur per annulos genitos a conversione linearum PD, 'p', ' γ' circa axem A , abire in annulum
quae quidem aequatio, ubi posito H extram valoris non evanescit , habet unicam radicem Galam ob valorem inclusum parenthesi maiorem More iaci eamque habet positivam is maiorem quam .r. 9. Ea aequatio invenietur immediate, si livi IO 'R α MN et O ,
reducta primi asus in solis signis postremi termini Formula autem eam ram dicem exprimiens cum solo signorum discrimine invenietur
cum tribus radicibus - , - , a Sed priores illae, quae in primo e su obvenerant , abeuntem in C,' exhibebant binos valores Ro , cum binis punctis contae tum abeuntibus in C, hic nullius sunt usus, cum terminentur instam ad punctum axis , cui respondent ordinatae ad curvam ima . onariae postrema terminatur ad I exhibui unicam solutionein realem qua ostenditur , ad ipsum ' devenire unicum radium , nimirum tuum, qui delet tu per axem. Hare quidem locum habent os consideretur curva integri producta utcumque ultra puncta mi D si raeo independenter a limitatione aperturae F, quae u tota curva abscinclit cito arcus finito ID', ID . Omnia puncta , quae respectu rectae UD BC in inlinitum productae jacent versus lentem , habent unam tanguntum ejus arcus, qui post arcum I sursum producitur,' idem accidit respectu pioductionis arcus I punctis omnibus iacvntibus eodem, do respectu rectae F DBC . Eae demendae lint itanguntibus exhibianti u radios ad ea puncta delatos definitis per superiores aquationes. Huic animadversionLimnuntur ea, quae proponuntur inuenti mim. ιο
222쪽
39. Lemma . Quantitas luminis delati ad annulumma ab annulis P, P, simul , atquatur lumini delato a solo annulo 'ν. o. Nam ea quantitates luminis sunt proportionales ipsis annulis , cum lumen uniforme deseratur ad totam aperturam F .
Porro ii annuli sunt differentiae circulorum habentium pro radiis
AP AG As' a milis habentibus radios Ap M, M'. Dis
serentiae eorum circulorum sunt, ut disserentiae, quae habentur imie quadrata radi im, quae quadrata eum sint per num. Muta
IN IM, IN', erunt illi annuli, ut harum disserentiae. Porro differentiae harum sunt eaedem , ac disserentiae rectarum N, RM, cum pendeant a sola mutatione punctorum , M,N adeoque sunt eaedem, ac differentiae tortarum in , Μ Rin ipsis aequalium. Cum igitur disserentia solius chordae RMaequetur per num. 8 adnotationis ad num is binis dishrentiis cho darum M AEM' simul etiam solus annulus aequatur viis P, P, simul sumptis, inuantitas luminis delati ab illo qua litati luminis delati ab his. Q. E. D.
i. CONI. Lumen transmissum ab annulo XY aequatur lumini transmisso a circulo AX, Mannulo F. 42. Nam per num. 3 abeuntem abi ad C percurrit is Ham YX rectam AX, Ρ' rectam YF minc lumen delatum ab annulo XY aequatur lumini delato simul a circulo X, 4nnulo 'V, qui est idem, ac annulus F, cum in media conver-Mone beato in 'in a Scholim . Id quidem patet etiam ex eo , quod per numer 32, 23, 27 punicta A, , , F respondent punctis , , S, E, adeoque quadrata, S circuli AX AY, A sunt, ut recta IO, OS, SE in circulus AX, annulus XY ac annulus F, ut reinctae Io, OS, SE , quarum media aequatur binis extremis simul.
- . Quin immo cum I, IE aequentur inter se, patet, misitam omnium annulorum P, aequari summae omnium P Ilicet singuli singulis non sint aequales. s. Probι . Invenire rationem luminis contenti reello inte aior annulo exteriorem ad totum bimen triuisieni periminii iure tum C.
223쪽
erit invenire rationem luminis delati ex hoc solo postremo Porro inde desertur ad circellum OH lumen pertinens ad annulum
YΡ ad H lumen pertinens ad annulum X. Sunt igitur ea lumina, ut ii annuli, nimirrum ut differentiae circulorum tabemtium radios M, AP AX , sive ut diserentiae quadratorii eorundem radiorum, nimirum per num. ut disserentiae rectanim IS IN 'IN IO , vel ut rectae SN No. Gretres rectae SN, NO,so expriment lumen contentum circello , annulo F toto circello C, quod erat inveniendum. 7. Corol. r. Luminis quantitas erit eadem in circello interim re, Wannulo exteriore, ubi puncto, abeunte in sterit armcircelli aequalis areae annuli. 8. Nam puncto, abeunte in abit per num. et mi R,&I SN, No. Porro ibidem est quadratum H Gnidium qua' doti proinde circellus interior dimidius circelli totius, adeoque aequalis residuo annulo exteriori.
q. CoroLa. Semisumma luminis totius ad semidisserentiam luminis contenti circello interiore is annulo exteriore St, ut radius circiit OR ad chordamin M, existente majore illo, vel hoc, prout OH fuerit major , vel minor quam Oq. so. Est enim o dimidia summae OS , cra aequalis Mest semidi flerentia rectarum Sm, O Circellus autem incontinebit plus , vel minus dimidio contento in circello prout fuerit maJor , vel minor ipso .s I. Probi. . De terminare rationem densitaris luminis in diversis locis Id circelli C. I a Concipiatur radius pb infinite proximus radio PH , pro quorum interse ne assumi poterit juxta num contactus , erit densitas radiorum in m ad densitatem in P, ut annu amruluin lib. I annulus ad hunc est conjunctim, ut
ejus latitudo ad latitudinem ΗΛ, Qui peripheria circuli Motam pro radio AP ad peripheriam incoli labentis pro radio . Prima ratio est PT ad m, sive AN ad No se muradii
224쪽
ar SUPPLEMENTUM radii A ad OH , ne L ad L . Quare illa ratio compositae
est A X AL ad NOX OL. Porro ob tantam distantiam puncti Aa punctis N i proximis puncto I poterit haberi utraque AN, AL pro aequali constanti AI, adeoque cum S densitas in a nulo D sit constanter eadem per totam aperturam , nimirum de sitas radiorum incidentium erit densitas invi reciproce , ut Octangulum Nox , sive obra triplam OL per num. 14 r ciproce ut rectangulum XΝ , quae quidem ratio pertinebit ad densitatem luminis ingesti in is tam ex unico loco P , quam ex omnibus tribus simul, cum per num. 3 hoc sit illius duplum. Quamobrem patet haberi id, quod erat inveniendum. 3. Ratio , quae determinata est pro lumine veniente ex ri, est generalis etiam pro lumine, quod veniat e singulis locis P . comparando vel singula ejusmodi puncta inter se in diversis positionibus, vel alia cum aliis 3 cum ipso punctod,
si produlla apertura , c caustica , radii eo devenirent, aqsumendo suum N, quod caderet ultra ubique enim demonstratio est eadem Praeterea patet , ad videndum Omnem progressum densitatis satis ore , si consideretur nexus inter motum punctim ab ad C is motum puncti , velis abra ad Guxta num 3I.s . Corol. I. Densitas luminis erit reciproce ut disterentia quadratorum semidiametri chordae M. ss. Est enim rectangulum NXNS disterentia quadratorum
OR, RN M aequatur ipsi RN. so Corol. 2. Densitas eadem in centro in margine excrescit in infinitum , a centro usque ad uiatum perpetuo decrescit, tum usque ad marginem perpetuo crescit, ut idcirco
sit minima in ipsa distantia OD, cujus quadratum est dimidium quadrati totius C. s7. Nam rectangulum. ONXm evanescit tam punct Nis eunte in S, quam puncto, in in perpetuo cresci puncto. N, vel re accedente ad medium R. ubi fit maximum et puncto a vemi in abeunte utrix vis ex pari: in q, accedit G, HAE MAE, adeoque etian N, velis, Rod in ipsum recidit , ubi H appes
225쪽
s8. Corol. 3. Eadem densitas aequalis est in iis binis distantiis a centro in quarum quadrata aeque distet unt a quadrato di-inidio quadrati C. . t
sq. Quoniam enim rem Ιω - est proportionalis quo drato OH ubi hoc quadratum aeque distiterit a dimidio quadroto OC, recta G, fg atque different ab I dimidia I , ademque in aequales erunt, ac proinde aequales AER, R, ,&RM RH, AEN, n, M Xm, XH.
Densitas minima ini ad densitatem mediam, quae haberetii , si totum lumen aequaliter diffinderetur per circellum est ut et ad 3. 61. Nam ob densitatem constantem in tota apertur exprimet densitatem in is luminis venientis ex solo annulo I is ann ANXAL AN AL
Coz, dum abii P per 'X perio, secundam per COC, dum abitu per 'AX, , per Io, tertiam iterum per o dum abii P per F, miser OE. D. Initio prima oscillationis rectangulum Νηm, abeunte N in E evadit m X -3OR', tum perpetuo decrescit, domne abeunte mino 'm in o ac misy, id evanescat cum Ns deinde iterum crescit in progressu P ab T ad si abeunte Hab
226쪽
Eis sup PLEMEN Tu MH abi a V MN ab Mad RG ubi recidentem is fit insacimum, aequale nimirum quadrato O . Inde iterum decrescit in
M. Quare initio primae oscillationis ea densitas minima in in ginem, inde perpetuo crescit versus centrii in in quo excrescit in infinitum , tum inde decrescit perpetuo evadit minima in ' in ea distantia, cujus quadratum est dimidium quadrati OC'. Ibi iterum incipit augeri , c post incrementum contueatuum abit in in ipsius prima oscillationis in infinitum in C os. In secunda Scillatione abeunte P ab X ad A aad O ad I , rectangulum NX N perpetuo crescit evadit maximunt in I , ubi iterum OI'm OR', tum decrescit per eosdem gradus, abeunte P ab A ad v, H ab ad C ab I ad in ubi iterum evanescit
65. Qitare densitas initio secundae Scillationis decrescit gaue ad centrum, ubi evadit minima , tum crescit perpetuo Sque ad marginem C , in quo iterum excrescit in infinitum.
57. In tertia oscillatione , cum omnia de t redire, ut in prima ordine retrogrado. densitas ex infinito niarginis C decressest perpetuo usque ad 4 ubi si minima , tum augetur perpetuo usque ad centrum, ubi excrescit in infinitum, ac inde per petuo decrescit usque ad marginem CL. 68. In omni ejusmodi excursione abit in infinitum bis in emtro in medio primae, postremae oscillationis, bis in margine in initio 3 fine secundae acquirit minimum bis in margine in initio primae fine tertiae, semel in centro in medio secundae, semel in puncto in prima post, cinis in tertia ante appulsum ad centrum
ορ. Porro in initio primae in C, in medio secundae in O , in fine tertiae in C densitas est aequalis, cum illud rectangulum ubique fiat, OR . In punctis ' est triplo major , cum ibidem idem rectangulum sit, OR'. Minimum autem illud in
227쪽
versus pergeret ininum continitati niutatione AEtuu li buit aq ad C,&ai ad C, procurrentem ultra E , a ct idcirco adhuc rectangulo ONANS . o. Singula e tribus punctis ' implent totum circes
bim descriptum radio O lumine diverso primum quidem is in num. a lumine annuli 'Y secundum lumine circuli AX, temtium lumine annuli XY, nam FT, X' , 'Y dum transmittunt lumen ad radium C cidem eorundem illorum annulorum lumen
adhibent, cum ad eosdem pertineant, figura circa axem revoluta. Eae luminum quantitates sunt juxta num. 43 , ut recta ES, Io, , sive I, I, et, uti debuit esse , cum P solum inserat quam litatem aequalem illatae a ' QP' simul. II. Sed si omnia ea punesta aequale lumen ubique ingererent in suo motu , haberetur densitas media triplo utique minor , quam media considerata num so totius luminis ingesti ab omnibus simul densitas minima in esset duplo minor ea, quam consideravimus ibidem , cum ibi assumpserimus lumen veniens ab omnibus tribus locis duplum luminis venientis lila a solo loco P.
Cum igitur ibi densitas minimi ad illam mediam in uerit, ut ad G erit lila ad hanc ut i a i , sive ipsi aequalis, cincentro in o , ac in marginibus c, G in initio is fine triplo
D. MMA. - . Ubi dicitur, densitatem excrescere in infinitum, diligenter notandum est, rem debere accipi in consideratione ge metrica, non in physica, consideralido nimirum lumen tanquam corpus quoddam continuum, cujus omnia puncta progrediantur per lineas accurate rectas , atque id ita , ut compenetrari etiam possint partes diversae quidquid luminis per sine n continuam extendebatur, possit abire in punctum unicum, quidquid exte debatur per superficiem, possit abire in lineam , vel punctum
In physica res longe aliter se habet lumen non est corpus quoddam continuum , nec ejus partes compenetrantur, sed addensatio fit per earum mutuum accessum majorem idcirco in ipsa Phys, in oportet infinitae densitati substituere densitatem ingentem tam tummodo respectu raritatis prioris I m. II. Eis a. --Dj0jljreum Corale
228쪽
218 SUPPLEMENTUM 73. Reipsa autem ne in geometrica quidem consideratione in habebitur densitas infinita , haec nimirum densitas , quam in eo sideravimus. Hi enim consideravimus densitatem , quae oritur ex
massa luminis collocata in spatio habente tres dimensiones , qu rum binae tantum consideratae sunt in annulis ex , H , quiae interea tertia dimensio , quae pendet a progressu luminis , habetur utrobique pro eadem ob celerit item luminis ubique eandem 7 . Hujusmodi densitas non convenit unico cuipiam puncto nec unicae cuipiam lineae, aut superficiei, sed solido quando applicatur puncto cuipiam , intelligitur semper spatiolum circa illud punctum , in quo ea ubique sit eadem . Vel habeatur pro eadem nimirum cujus singulis particuli aequilibus contineantur singillae particulae aequales quantitatis luminis is metitur eam
densitatem quantitas luminis divisa per illud spatiolum , quod eam
7s. Porro si assumatur areola utcunque exigua circa centrum,
vel prope margines nulli alteri puncto ejus areolae posito extra centriam, A ipsos margines convenit expressio densitatis infinitae, sed erit finita in punctis quibusvis ejus areolae in se dete minatis viare nulli spatiolo in se determinato utcumque exiguo conveniet densitas infinita . 6. Habebitur tantummodo illus si concipiatur punctum quoscunque in se determinatum utcumque proximum centro, velis ripheriae , c circa ipsumi areola in immensum minus lata, quam sit ejus distantia a centro , vel peripheric in illa areola habebitur quaedam densitas Muae eo erit major , quo illud punctum plus accedet ad centriim , es peripheriam, nec ulla erit densitas utcumque magna ejusmodi, ut non possit inveniri punctum quoddam ita parum distans a centro , vel peripheri , ut in spatiolo circa ipsum posito multo minores, quam si ea parva distantia densitas sit major, quam illa data . Id constituet seriem quandam densitatum finitarum continuatam in infinitum sine ulla ultima, sed etiam sine ulla absolute infinita , quod probe notandum est ad evitand.is plurimas aequivocationes , in quas facile incidi
229쪽
OpuscuLL L aist qui dein nullae sunt in se ipsis absolute tales , sed a nobis tantum modo concipiuntur indefinite tales Si accipiatur centrum ipsum, vel punctum aliquod peripheriae rac spatiolum accis latur ipsi adjacens utcunque id sum
tu parvum , cnsitas luminis in eo , aestimata a toto tunc e , quod continet, diviso per ipsum spatiolum , erit semper sinita, sed eo major , quo minus spatiolum assumetur data quacunque densitate utcumque masna, invenietur spatiolum it. parvum , ut habeat densitatem ita consideratam majorem ipsa Sed cum nullum possit esse ultimum spatiolum minimum nulla pariter erit
ultima densitas absolute infinita . Id autem habebitur discriminis inter punctum assumptum ubicunque alibi , ubi ex pre isto densitatis est finita is ibi , ubi est infinita , quod in primo a S , Si consideretur spatiolum perquam exiguum circa ipsum , imminuto eo spatiolo in infinitum , densitas computata a toto lumine diviso per totum spatiolum manebit aequi pollenter eadem, quia in singulis ejus particulis aequalibus quantitas luminis est aequi pollenter eadem , adeoque densitas aequipollenter eadem at in secumdo casu, quo spatiolum illud magis minuitur, eo magis crescit
densitas illa ita computata , nam in particulis ejus aequalibus quae propiores sunt ipsi puncto , continetur plus luminis , quam in remotioribus, densitate in illis majore , quam in his, 'ui dein eo majore in infinitum, quo magis accedunt ad illud ipsum punctum Plura in considerari possent eo pertinenti sed quae ma- pertinerent ad illustrandam methodum infinitesimorum, atque infinitorum, eorumque usum in Geometria, quam ad argumen tum , de quo uim Addemus tantummodo illud , quod magis
serit ad rem praesentem , quod nimirum in circello habente e trum in ipso margine expressio densitatis infinitae habetur in punctis omissius lineola continuae , ninurum arcus peripheriae, dum ia spatiolo assumpto circa centrum ea habetur in unico punitis. Hinc etiam translata consideratione ejusmodi ad Physicam, in mgis debet sensum percellere maxima illa radiorum densitas in ipsis Uinibus quam in centro erroris, quia in centro ipsa est in Se M
230쪽
21 SUPPLEMENTUM ta incis rariolo quaquaversiis exiguo, ad margines vero eam imgentem magnitudinem habet per totam longitudinem peripheriaemioris ejusdem 7ρ Schol. . Potest considerari 3 aliud densitatis genus, ubi
lumen geometrice consideratur , non physices in eo genere habebitur densitas absolii te infinita in centro , ad quod cum adveniant per num. 33 radii omnes , qui transeunt per omnia puncta
peripheriae habentis radium Ac, in eo quodammodo compene
8o. Ad omnia reliqua puncta bini , vel terni radii deseruntur ad singula, quorum singuli per singula puncta aperturae transeunt: quamobrem in iis densitas, si ita loqui las est , punctualis est ubique eadem extra centrum , in quo ea est absolute infinita , extra marginem , in cujus singulis punctis non compenetrantur,
nisi duo radii. 81. Potest itidem considerari densitas linearis , considerando libneas luminis ut continuas, quae a lineis longioribus, per quas transibant, abeant ad alias breviores. Quantitatem hanc linearem luminis exprimere poterit peripheria circuli aperturae, per quam id transit, spatium erit peripheria circuli, in quam contrahis tur, ac illi divisa per hanc , exhibebit ejusmodi linearem dens,
8α. Eo pacto densitatem linearem in is exprimet periphras radio AP divisa per peripheriam radio OH, erit ea nimirum, AP ALvx ou do, iVe cum A considerari possit, ut aequalis constanti AI erit ea densitas reciproce , ut sola OL, nimirum reciproce ut SN ejus tripla Initio in C, abeuntem in E , exprimetur per Abeunte mini, abibit mi S, adeo
que desinente tota peripheria genita a puncto mi unicum ut, ctum , evadet densitas absolute infinita , sed punctualis, non ver linearis . hesin tem in fine primae oscillationis in G, jam abibit mini, 'et SN, S ΣΟ , adeoque densitas VR-
de prioris subdupla . Redeuntem in secunda oscillatione jam Diuiliae by Comic