장음표시 사용
231쪽
OPUSCULII. 22 Iion abibit mines in fiet SN, SI, O , adeoque densitas
primae subtripla in reliqua autem sesquioscillatione omnia redeunt ordine retrogrado. Erit nimirum in binis appulsibus ad binos margines, coemis intermediis ad centrum , ut , - ,
83. Scholium . Nec inutile futurum arbitror , nec injucundum , iis potissimum , qui simplicitate geometrica delectantur , in problematum solutione ingenium exercent suum , si aperiam qua via ad propositas solutione devenerim , itinere nimirum tortuoso admodum is molesto . Saepe mihi videor per sylvam quandam vagari densissimam , dum veritatem quampiam inquiro, spinis , ei bisque obrutam virgultis conte stam . Longo ambitu per implexas , . intricatissimas ambages circum sero , signis per
totum iter dispositis , quae extent, Sc facile deprehendi possint. ubi demum in eam incurro, inde trans tenues ramusculos, stomilesque transpiciens, agnosco per ea ipsa relicta indicia ves illum locum unde primo discesseram, vel aliquem ex iis, quae in via osse eram , ad quem brevi exsecto tramite, per ipsum eo alios adduco labore brevissimo , omissis omnibus illis tortuosis , a que spinosis anfractibus, per quos primo incesseram, quorum quidem me demum pudet, quasi vero non illa esset methodorum
simplicissimarum ratio , atque natura , ut postreniae in mentem veniant, nisi aliquanto obstinatiore quaerantur animo , ne veniant quidem.' 8 . In primis inquirens in radios, qui transeant per datum pum Etum H Murci seceram, uti erat magis pronum, abscissam immo , qua positione adhibita , habebam Lo m 4 --:LN' - - : OH - NT' - -- -dae mihi obvenit ae
232쪽
a2 SUPPLEMENTUMI RΝ, vidi statim, satius ore, si fieret ipsa RN m x, quo pacto debet obvenire statim aequatio illa ipsa carens secunda
termino sine ullo traiis sermationis subsidio 8s Casu animadverti mulio post, cum densitati rationem investigarem , esse S triplami , ex quo mihi statim facile in- sotuit , rem eo adduci posse , ut datis punctis quaeri deberet punctum N ita, ut quadratum ejus distantiae I ductum in distantiam alteram aequaretur solido dato juxta num I , quo
mutes reducuntur aequationes gradus tertii , in quibus deficiente secundo termino tertius est neotivus cie ad ejusmodi aequatio--, iis emem oportet abscindere in trientem data sI, H dominare , distantiam is, uti praestiti M. In eo quidem nulla dissicultas occurrebat, ves admodum
exigua tri inici anguli itidem exhibuit mihi admodum expedite Grius omne tendentes a positione tincti H assumpti ubicumque intrix recto O; deprehendi etiam sicile, pro punctis ii assumptis in recta mi ducti habere locum eandem aequationem; ed ibi uinam haberi realem radicem , qui arcus circularis tri-
inio ulli usui esse posset. Mult' serius animadverti illud , quodam in initio Obebam animad herteret , eam solutio rem non esset gener hem pro punctis a suinptis cit quaris in . eum possent proponi etiam rectae, transeuntes per ipsam cuspidem causticae vel infra ipsam, quo casu paullo aliter disponenta erat figura ,
Winstituendus calculus, uti est deinde praestitum in adnotatione d lim. 3s . Quoniam pluribus jam vicibus omnem dissertationis. ordinem mutaveram, Simplicioribus , vel generalioribus substitum tis is res ad id , quod mihi initio quaerendum proposueram , non pertinebat ut novam mutationem evitarem, adnotatione su usus sejunista a textu , quae methodum adhibitam extenderet. 87. Processi inde ad investigandam densitatem luminis in qu vis loco dato in Illud mihi statim innotuit , multo faciliorem lare perquisitionem, si considerandari susciperem densitatem luminis venientis ex unico loco , nam consideratio luminis compositi ex omnibus tribus provenientibus e tribus locis P, Ρ i' de- ω Set Multo operosio , cum singularum aequationis radicum
233쪽
valores analytici seorsivi haberi non possent Inquirem autem in ejusniodi densitatem respondentem soli annulo P , vidi Gile eam fore proportionalem reciproce a sangulo LOX , acri de mile intuli casus omnes densitatis auctae in infinitum, o nescente nimirum OL, ubi punctis misit iam, ΟΝ, Ole, ubi abit in C . verum ad determinandum locum mitinia densitatis primo quidem usus sum calculo s8. Posita itidem iΝ --, Ioma, obtinui a- ω, - α --, adeoque LX sic'---Με3 in iis
serentiando hanc sermulam , c omittendo divisorem communes obtinui--nimo , adeoque m 1a, sive immIR , quo casu cum evanescat R , adeoque Rin, idcirco Κ, 3 RG , existente IG ME , vidi, ore ibi quadratum H dimidium quadrati m. 8ρ. Eo pacto obtinui minimum , quod habetur in puncto in
prima oscillatione in in puncto in tertia inter duo infinita marginis centri . Uerum ea sormula mihi non exhibebat illud minimum , quod habetur in o in media secunda oscillatione . Cum inquirerem in originem ejus desectus , vidi haud ita dissiculter
illud minimum non contineri formula, 4. κ- - quae non habet ullum limitem maximi , qui minima densitati respondeat praeter illum, in quo Illa ninima densitas respondet puncto meunti in I, ubi, M. Porro si valoris perpetuo minuatur , donec evanescat sermula ita crescit, ut abeunte x in negativum, adhuc pergat crescere , c crescat perpetuo in infinitum . At id ipsum minimum pendet a natura curvae , vi cujus,
loris non transit e positivo in negativum, sed posteaquam v nuit in appulsum ades, retro regrediente ipso Ν , iterum em- scit ex parte positio . Debetur id maximum in simules, mini, mum in densitate , non natura ipsius formulae, sed naturae imvae non permittentis valorem, formulae excurrere per omnes magnitudines hinc Minde a ero. D. Si autem libeat in ipsa di intutione invenire indicium ejus minimi , oportebit eumdem conferre cum ipsa natura curvae. In ea ibi ob ipsam naturam ejus cuspidis evrusit visu, infinities
234쪽
ii SUPPLEMENTUM ties major , quam alibi respectu disserentiae ordinatae, si assumpto
valore alterius abscissae, immoto, altera abscissa, b d concipiatur ad ipsam accedens in infinitum , decrescente in infinitum Potest autem ibi alio pacto considerari x, nimirum ut dise serentia inter duas, pertinentes ad bina puncta extrema arcus infinitesimi, qui concipiatur motu continuo delatus ita, ut ejus e trema puncta aliud post aliud transcurrant punctum I. Ubi me dium ejus arcus devenerit ad I duo extrema ejus puncta hinc Winde posita ab ipso I eandem habebunt abscissam, existentibus ibi aequalibus binis existente x Quamobrem adhuc ibi habebitur axώ - ad. i, non quod ibi Sit x - , sed quod sit saeta disterentia formulae, quae redit ad priorem Vesolem 9 I. Ejusmodi aberrationes a regulis communibus saepe accidunt in curvitrum punctis quibusdam , quae ego appellare sole anomala, uti sunt punicta flexus contrarii , cuspides , atque alia quae dam am diu con Stat quod ego demonstravi jam ab anno 17 in punctis flexus contrarii fallere methodum communem inveniendi maxima , minima per differentiam positam, Ozsed haec hoc loco innuisse sit satis.
ρα. Dum illam formulam considerarem- - - .a φ G, quae oritur multiplicando α -- per se M sacile animas verti illud, 3. - exhibere mihi valorem, qui proinde, b re esse triplus in statim mihi directe patuit, rem ita se habere, adeoque ejus demonstrationem praemisi initio numeri r , R. ejus ope solutionem problematis, quo radii quaerebantur transeuntes per Η, multo elegantiorem concinnavi, reducendo eodem numero problema ipsum ad inventionem punctim inter puncta data I s ejusmodi, ut'N'Xm aequaretur dato solido, mutata idcirco magna parte eonim, quae jam conscripseram.
93. Cum vero viderem, densitatem quaesitam esse in ratione
reciproca rectanguli NXm tripli Lox illud mihi prim
i mentem venit, ut eam exprimerem per rectam lineam ei rectangulo proportionalem. Vidi, eam rectam fore ordinatam ad ph boum quamcxviique, quae habere chordam in perpendicularem Diuitiae by o le
235쪽
opus C ULI L . asaxi sicile enim demonstratur, id restingulum sese aequale recta
gulo sub ea ordinata, & parametro Eam curvam delinea venun,&progressum omnem densitatis ope ejus ordinatae facile determis veram, cum illud occurrit, quod statim initio debuisset, nihil ia pys esse altiore curva, cum quadratum ordinatae ad circulum, cujus diameter OS, aequetur rectangulo sub ON S, ubi Nodat inter Ο, Δ, 3 quadratum tangentis , ubi N abeat extra eos limites in N vel, Sed statim c illud occurrit, nec circulo opus esse , cum satis ipsa sola consideratio rectanguli NXNSomnia per se praeberet per varias positiones punm ilibus consideratis praestiti omnia a numaa, sine calculo disserentiali , sine parabola, sine circulo. ρ . Cum adhuc calculum differentialem adhiberem ad deprehendendam minimam densitatem luminis ex unico loco venientis, tentavi viam, qua invenirem phaenomen Omnia densitatis luminis venientis simul ex omnibus tribus locis , quae initio mihi appa ruit satis ardua. En specimen tentati itineris.
mutatione facta in signis, licet in secundo valore evadat negativum ON . in tertio OUI cum ex omnibus locis positivum ingeratur lumen , utut expressum valore negativo . Capienda jam erat differentia hujus formulae 8 ponenda, o. ρ6. Ibi H dx . i. reducendae essent ad dr ope formulae ara a Z Z
236쪽
α- SUPPLEMENTUM tis jam x, tota sermula dividi posset per de se innis,neret aequatio data per x, Haberentur autem aliae tres ir
misis3. - κ), 2 ga κ'), a m κ'' P 3a κ' , qu rum ope liminatis remaneret unica aequatio pro . . . 97. Hoc pacto haberetur expresSi den Sitatis quaesitae per solum valorem , adhibitis ad eam inveniendam tribus valoribus Q, ' sive tribus aquationis radicibus, utut incognitis , ctalibus , ut per formulam algebraicam singulae sine imaginarietate exprimi non poSsint. Verum is quidem calculus ita est molestus, implexu , ut omnino vel deterreat, vel Saltem animum avertat. Idcirco omissa ejusmodi perquisitione illud mini in mentem venit , satius ore, si prius investigarem, quota pars totius lu- minis contineretur circello, cujus radius - , ut deinde capta
disserentia ejus valoris,& divisa per annulum lio, obtinerem e pressionem quaesitam densitatis luminis totalis. 98. In ejusmodi perquisitione vidi mile, lumen ad annulum CH devetur ab animis ab annulo PT in ab annulo P , nimirum ab annulo Ur,4 ab annulo FP ad citonum autem OH ab annulo circulo A in annulo M. Porro annuli ii sunt
disserentiae circulorum respondentium eorum peripheriis , adeoque pro circello OH habetur circulus AP diflerentia circulorum , AY, ac Y '', quae duae simul Sciunt disserentiam circulorum AP, AP'' pro annulo C habetur disterentia circulorum AP circulorum AP . P. Nimirum si sumantur quatuor circuli AM, AP' . Ain, P . ordine suae magnitudinis,
pertinent ad aniaulum in ad circellum alterni sumpti positive,&negatives Si ii dicantur a , b is , d , pertinent ad annulum a G- ad circellum quorum summa est a circulus totius aperturae. 99. Porro patebat , eos circulos Sse , ut quadrata radiorum, Sc OVeram , ea quadrata esse , ut recta IN MN , IN', IE juxta num L. Quare inde intuli lumine totali expresso per E,
exprimi lumen circelli per IN' N'N' in lumen annuli per MN
237쪽
Ι - ΣRN, ΣΟ - ΣRN . Inde vero ob lumen totale expressum a tota I . O , statim patuit , lumen residuum annuli H debere exprimi per I - - 2RN, χο - - 2RN . Assumptis autem dimidiis O , in , sive in patebat, posse exprimi totum lumen per OS , lumen circelli per SN , tum n annuli per ON , c sponte inde profluebat theorema propositumnum. 49, semisummam luminis circelli is annuli ad semidisterentiam esse , ut est radius circulii ad chordam RM.
Io I. Id quidem theorema elegans omnino est, 'implex et a satis longo ambitu ad ipsum deveneram , cum nondum animas
'ertissem, a binis locis ' ωγ' simul, tantum luminis devenis re ad annulum C, quantum a solo loco P . Potenu ego quidem id ipsum es inde colligere, cum in circellum oti inseraturo P lumen ab annulo XV, sive disserentia circularim AP, Q, i respondet recta SN differentia rectarum H IN, quae cum it dimidia valoris a- - ΣRN exprimentis totum lumen , t
tim inde inserebatur, a solo loco P ingeri tantum, quantum a locis ' simul. Verum cum n m pateret hic usus luminis i festi a solo loco P, ipsum seorsum non quaesieram , sed totum annulum P simul consideraveram , ut idcirco eam ibi aequalita tem non adverterim . Ubi autem id agnovi ea ratione, quam inserius indicabo , multo brevior, expeditior patuit via ad id ipsum theorema , ex hac ipsa expressione luminis ingesti e solo respondentis rectae SN qua deinde sum usus, deletis iis, quae
IOa. Inventa simplici mensura totius luminis conclusi circello OH , quod nimirum esset proportionale rectae SN, inde progressus sum ad definiendam densitatem in annulo Hii sequenti ratione. Io 3. Densitatem inis exprimit totum lumen , quod eo ingeritur divisum per annulum H h. Quoniam autem totum lumen circelli H exprimitur per SN , lumen annuli, exprimet differentia re'ae SN quae est eadem, ac dicterentia rectae R ob o
238쪽
118 SUPPLEMENTUM constantem , sive chordae Rin Sc quoniam IG est, ut quadratum OH adeoque ut circellus Hu annulum Hli , qui est ejus circelli di flerentia, exprimet distierentia rectae IG, sive RG ob IRconstantem , vel chordae R . to . Res igitur eo deducta erat, ut inveniretur expressio commoda rationis, quam habet disterentia chordae M ad chordam arcus tripli K Ios. Ad eam investigandam reduxi utramque differentiam ad disserentiam arcus, nam disterentia arcus tripli est tripla , adeoque utraque disserentia chordae sicile reducitur ad differentiam a cus minoris, quae proinde ex utroque termino rationis eliminatur , reminente ratione expressa per quantitates finita . Ad eam
rem adhibui huiusmodi theorema elementares disserentia arcus ad disserentiam chordae terminatae ad alteram diametri extremum est, ut ipsa diameter ad chordam, quae terminatur ad ejus extremum alterum . Nam in g. s. si chordae IM,'m sibi invicem occuserant in N, lineola in aequivalebit arcui circuli descripti centro ob angulum R- in semicirculo rectum. Quare erit ni dis ferentia chordaeci sunt autem similia triangula MN, IRN ob angulos ad M. M insistentes eidem arcu Di, tangulos ad Noppositos ad verti em aequales. Erit igitur disserentia arcus muta ni disterentiam chordae in , ut diameter RI ad I , quae potest sumi pro chorda I , Mi κMmios Hinc in in disserentia chordae M erit , disserentia chordae, α -- illa divisa
per hanc erit m - , . Quare densitas quaesita erit, ut haec se
Aio, sive omisso constanti D, ut fractis G.
Io7. Haec expressio binas habet variabiles , quarum nexus mutuus non est ita simplex, ut possit statim ingerere deam variationum omnium, quae densitati accidunt. Quamobrem ut ad unicam Variabilem devenirem, arcum bifariam secto in N, duxire iam Imquaerens , quid mihi exhiberet angulus Ni aequalis KIM Cumin angulus in sit aequalis angulo in ob comm