장음표시 사용
231쪽
Et constat alium ste punctum esse non posse:in quo lum seeundum vntiuis portionis exiesionem idem euenire potest. Poteris pariis, miter dicereniat linea extendatur secundia habitudine si adb e est minor:& si extendatur secundu habitudine quadrati l f ad quadra,tsi h Dest minor. Et si a b extendatur secundu habitudine i s ad bes maior:&similiter siexte datur secsidum habitudinE quadrati l fad quadratu b flest maior.Erit igitur punctus inter I de i adque dea cetro linea ducta de extensa secundu duas habitudines la durasmee maior nec minor erit quaesita.& hoc piletum necessario est: e.Poteris etiam adiicere tertia habitudine scilicet si a i extendatur secundum habitudine quadrati 1 fad quadratum b fide secundum Iliabitudinet fad bel&habitudine b i ad he:est semiaerminor.Eta i exterea se eundu illas habitudines:est maior .Erit igiε piletus adque de a cetro linea dueta lbe secundu istas ternas habitudines raresa; nec est maior nec minorqlita.&este putastus:a quidistas a psictob &apunetos, CProbatur aute idipsum:hae via. Manifestum esti omni pNygonia sisoperimetra linea de centro ad puctum medii lateris aucta esse se, midiametril circuli inscripti:seesita capacitate sue area maiore mi
Inoiaiae plus accedente ad aequalitate semidiametri circuli isoperii. metri.& similiter lines ducta a rentro ad finale terminum lateris:esese semidiametru cireuIi clarescripti.& illa tanto minorem continue
fieri:quato capacior fuerit polygonia.Cadet igitur inter illa duo pucta scilicet terminalem di medium lateris cuiuslibet polygoniae punctus unusiadque silinea de centro ducitur &secundu habitudinem quadrati portionis inter punevi conta sti mediii uteris ad qua aram medii lateris vel secundu habitudine i II ius portionis ad latus extendatur erit ut semidiameter circuIi isoperimetri. Et hoe quidenihil haesitationis habenContingit aute hunc punctum in omnibus polygoniis dissociiter distareab aliis duobus punctis sciIicet terminali & medio lateris: us accedendo ad medium lateris & recedens do ab extremalitquado capacior fit pianonia. Sicut Nis hie puctus continue accedit ad medialem in capacioribus quousili in capacissi, ma deueniatur ad coincidentia omnium illoru trium punctorsi: ita necessario in minus capacibus recedit punctusille a mediali quous*in minime ea paci abillis duobus punctis maxime distet . quare e est medius puctus aequaliter maxime ab extremis distans: in quo in cal. pacissimo triginio habetur quaesitum. Ob hoc omnis semidiameter cireuli circiiseriptis dit dea centro ad alique punctu lineae h euecti duplatas habitudines portionis versus b exteta .Et a e sic exiesami omnium illorum minima. hine est semidiameter circuli is erimestri csi ipsi semidiameter sit tam semidiametrorsi talia eiresistri mihil tu circuloru minima:in qua coicidit maxima semidiameter is pii Ultu.Vnde inemeto est cohaesdisia asce si si de s versus estinidiametroru circularu inscriptibiliu:& descessi si de b versus e stini, diametrorsi circularum circuscriptibilium. militatibus laetis secti dum habitudines porti si versus bin una: diversiis finalia. i
232쪽
GEOMETRICIS. m. XUll. ANNOTATIONES OMNI NCI L
t CPosse lineam curuam esse quae datae rectae nec maior nec minor strab omnibus admittitur. CAdquom declaratione sitdes plus quadratus b c d e:circustia, o&musmbo ci circulu.ra manifestu per iam dicta est inferentia circuli a bimaiorem esse circularetia quadrati:&circularentiaqtiadratismaiorem esse circularetia circuli a f. inir senudiametue circulii pertinetiiqiuadrato:inaior est a serenuinora h.quarect media erit. si af termino a fixo moueatur stipet f b versus b:ctit motus esues a plancto f adpunehu b tane transiittis a minoremitidiametro circuli imperimetK ad maiore S per sint et medias. Non enimpotest allqua dati imo nec intelligiqiud sit maior a s & minor ah:quin cadat aequalis imter b&Leo in si unus eius terminus in a centro collocetur. alius termin'continugetb &s in aliquo puncto.Echoc constatqtuomodo possibile sit dilecte recta a cetros ad recta b s: quae aequalis sit semidiametro circillisis unicui. Namquscum sit illa: erit minora b&maiora f& ideo una de intermediis inter a s Rab.&isi, hoc asciimmouet strversus h modo praefato: necesse est et, transeat per aequale semidiametro circii liis perimetre. quia transit per ocimterimedias qtrarii una erit ut semidiameter circuli is operimetri. Ex quo paret: possibilitas
quadraturae circuli. enim a s mouetur termino a fiκo si is f bl contimie efificitur imior. acum inb peruenit:coincidit cua h. in audiedi sunt qui inoliuntiit hanc .ppositione non vera reddere:scilicet fit transiliis a maiore admirinas operommasntermedia tergo fit transiliis per aequale. Dicimus enim eam esse necessaria.*ua sequitur fit transitus a maiore ad minus:&nonperaequale.
illimr non myta itus a maiore ad iram':per ola intermedia. uae si recte interbo cutitatis habebunt,
L C Quonia aute tanto circulus polygoniae aequilaterae seu is laure.
Quomodo autem circulus cirrescriptus tanto maforsit:quantopolygonia paucioruinfiterit lateruHinscriptus minor: fain satis expressum est persupe,
riora. deo omnis circulus citcinscriptus polygoniae tequelatere maior est calculaifoperimetro:&liasi riptus nitror.ut ibidem monstraturai eli.
3 CSemidiameter circi illis perimetri trigono iiiscripto se habet ad.
CHic ponit propositione artis:cuivis scilius est. Semidiameter circuliisoperiametri trigono circulo insciipto: se habet ad lineam a centrocirciilhcui tingonus
inscriptus est ad quarta latens trifioni ductura Nortione sesquiquartaIongiutudine. resumpta figura litteW.quia ala ponit senudia meis: pscius inquat panis laterra b c:ideo allada ectonsetudine erit sesquiquarta. desis P sit pars octaualite isti cietita kad aist iiioctaua sigillidine.quia exaesa est mcunduintiabitudinem i stad b c.sicut citiunt f ad b c: ita i kada k longini, dii .Etsib istis iliter pars octava Iatens b c terita in ad a J Iongitudine suupertripertiens octauasi quia extensa est siccudum habitudinon l s: mum octa uarunt adti clangitudine. Iuxta autem positionein Archimedis ponentis circularentia in circuli ad diametrusillogitudine minorem tripla sesqivseptima Simitore tripla super decuptiente stetuagesimasptimas: coibita k ininorees, se Ha in maiores idiametro circuli isoperimetu. Sequi .EPorestinis I 8ei piinctus dari:adsue dea cetro linea ducta&extense. Hoc mouet eum mulsecudum p fata extensioneidatur plus scilicet a nim minus sciliceta k quare
dabir nec plustiae minus.Sequiff. 'Pariformiter si fuerit linea a sexis a secias dum liabitiidinoportionis i bis uinoctauam, b e Egitudine: esita in Comnia sunt clara iuxta Iaabitudine Atelimedist de circuserentia ad diat strum circiali. Sequit. CCadet igitur interl&i punctus: Fεdea centro limadiicta Reex alatsecundu habitudine portionis inter pu illum&b eademtisnad l, e latus Iogitudine aequaliter quaesitae. CVt pnus:-dat sedemis ect
233쪽
ne enim cocluderet: si forma litet se itiere atur secudii hoc pilis:&irunias. Igssseeunduliocident hoc est in eodegeirete: datur nec Plus IKc ii uirus. Sequitur.
Unde vii relaeritur puctust puta it ad que de linea ducta se inredat.
si Stappotiendo et, cadat piineltis irater puncta i Sisad quem dea centro hirca Φducta Sextensa secivadum liabithidine portiores interpunctuin alliundi s caudentis ad lanis he longitudine sit aequalis se inidiata tro circilli isopcriniettrivi supponit de Oisa. Et similiter ui cadat punctus inter i 8ci ad quein decet tolinea dii tat Sextinsa seriindum habitudinent portionis inter puli et si illum Rh cadentis ad K elatus Egitudine: sit aequalis semidiametro circuli isoperinicius quia sere latas exiesionesidat plus&ininus victima est arecte coeli deor et e puncta esselad que dea cereo linea ducta & ex teia secundu Dabitudine cudi ius B portionis ad latus trigoni logittidine: sit aequalis quaesitae. Nam si dicatiuste punctus cadcre intere distuc exicnsa lectindu habitudine ambat si podi: tionsi vertiis b& Dduas prodiimet inaequales. Na fecitdsi in toris portionis Iobitudine ad b c exaesa: effetitutior illa ex inita secundu trabit tidinei natoris portionis cadctis interpundisiillum tib ad b c Egitudine. qtia resistis postsi veni inesset,iaecesse esset e punerum esse ad que linea ducta&extcnsa secudum Iaabitudine portionii ambam scilicet versus b&versus f ad b c t esset x qualis quaesi scilicet se divinetro circulii perimetri. Videtrullieno recte aduerctae de Cula.supponit enuninoes qus duci possent a cetro ad laneam lito exete s secudum bitudine portionis cadentis inter illima pii nisui qui misi dii puncta erit)8 punctus adb clon udine:sint omnes medis qitae dari pessunt
inter a li&am velut Oes extinis; iecudiunt rabiti iduae portior iis cad cntis intre illuni princtum diti ad latus hemini omnes mediae qtiae dari Possulit intcrao re an. Sed hoc non videtur verti.Nam cu allis:pltircs alias appraeliciadit intello: eius. Unde licet verum sit in scotidiametriis sit irrator a minor aut ideo erit una inedia inter ani&alcrat an sit una denaediis illatis ex diictu liticae a cedi
troa ad punctu aliquod signatu inter l Rii&extens; scciii dii liabitudine pontiolus cadetius interpunctu illum & f adb c latus longitudirie: an alia cu plures alii sint medi subm hacten' relinquit de Cula .raecin aior tatio estu, sit de illatis q no illatis. Et eodem odici potest de extensis secundsi portionis ira: hitudine infer pulti Erilluni&b cadentis:adb elatus longinidine. Sed a sint
Phi res naediae: patet sic.Nani lilaeci inqi diu ta sit a cetro a ad litica I ii in iiiiij, citer potest variari: sic acie inpersit maior a h&1ninora nil visi ducta sit apri ex te a sit securiis inhabitudine portionis i s ad hc: longit ridine rit in aiora hico 'ν a p maior sit a r. Similiter extensa sicci indisinii ab illic urentes ad L c erit maior a k5 aninor ah. quare ira inor: a ni. Iit de his ita; sinii luis rum loquiis turde clusa: sectine tim quas varie missini 1 incilia a Pli ire , i si uti sum cxctensionein unius portionis tantum. Si citim Dosset duci rceta a i cntro a Droepe i: sic i, intera i Ripsam alia duci non posset. ipsa nillil militis stiundum intellectri intcsset maior a i. sinuliter portio cadens inter pi vestim illiina & se maior esseti f. Vnde extensa sectandi ni portionis istius laal, illidita In cfficiet tirmator a k:' ni illa alia cadet Inter a k 8 ipsam qixe possit irat di modo prae fato. At dabilis est alia maiora k:Rtninor ipsa. ut si exicndat ut sciundum ira hitii clitae portionis i s adi, elogini duae ipsa crit maiora I A minor eaqtuc exetosa est se. Ddu habitudine maioris portionis i f. Fx li constat pilites molia selse siricra lictam: 9 duehi sint a cetroa ad inenti R extense secundulia bina diracm Hiitioins deus inter tinctu contacitis&s ad bo longiti id hin desiali sit senticlia illi in is circi illiso 'crimetri:rii videtiit cili in viniistitis deni stra. tioniq. Ritis iis constata 1 mota termisio a fixo luet singilla pii velat 16 ext Ram sectoidiim habitudine I orsionis ea detis interpuncti in otitarius fit ad b e monPernasiue narres inedias inter ali&ani. Similiter c Astat exteri iam sectindulta Ditudinean portionis cadentis interprin fluctit actus Rhadbe nidinem miransire Omnes inedias interandia G. Vnde non sequalio auter: traseat
234쪽
pers*iale semidia ne tro circuli isoperimetti. tiodentinuasita 1naiore ad ininus vel contra & petoia media : transirepta aequale dato modio est iaccesse. Sicium non transiret per aeqtrate: novi 3 transiret per i dui datii. quare nontra nuret:petoia media. Et ita dictat ude exmasionibus per habituduiemporationu quadratorum: ad quadratu medii lateris.
Probatur alite id ipsum illac via. Manisestu est in omni polygonia.
Iteruin idipsciin arci tittir: ubi limini. Probati ira lite id ipsi ini: hac via. Manifestseli in om1 Ii polygonia iisperi iactra inea ducta atro ad princtuarie dii lateris duc ta: clies dimidia memini circuli inscripti. Cadet igittit inquininteribla duo puncta scilicet terminale N illediu lateris talitis libet polygor iste: pseriis unus Hoc non vide ε formale:per rationes sit peritis positas. Cotiligit autem labria pune tu inquit de Cuia inointubus polyponiis differeter distare ab aliis d. iobus punctiS1cilicet terminali R medio latens:plus accededo ad inediu laterist 2 recedendo al, extrema Iitqriando capacior fuerit polygonia. Ad I incaute dicimus in si media ire rationcs per quas pirati ir in nigonoptuari uillnae irre
trigono circulo inscripto leti abeat ad lineam a cetro circi iliciti trigonus insonhiare adcitiaria lateris luctatua proportione se iiiqti arta longittidine: erit lia irnuinis ad circularciatia lonsitudine inc5 in 'nsuralissis: potestate vero cJsneritumabili . Ad quod cesse fit iocisiopen cui in est videre quomodi, feci indatri: gt,ni ad priina: longitudine sit dupla. similiter recta ditem a medietate lateris adaia gulcussit ad prima trigoni tripla logittidine. itidi ad sagitta: qus aequatur pii me trigoini. Et quoi nodo ori lingonius trigonusimilis sit circliogonio hexagoni. Sit igitur trigon' hed incul ,:is iis cliptiis: iusta centrurirculi. tr.ilio as ad
re si is i ii in nisi ilicet f g: crita f pri in areau itiq. 'i d f ad a se longini disne titola .cti a d aequa Iissi tac: por diffinitiis triet urcilli. III phalatis tralacia cenetro aper puni tiransilietatis lis rectaniae Ii .R sit a liadae longitudine se si iiii quarta dierit ut viili de Cula)semidiametrus circuli il opprimetri. qua dico Egitii
235쪽
dine esse incoimensurabile:ad circularentia trigoni Potestate velo ommiliara bilem. Patet .ponati irbs longitudine silerit potetate q5:8c ab poteitate ab adbs potestate:sit sesquiterti apet ii decitraquam Euclidis. Icili fusat: critPotcstate11. eo mea 1tieta potestatibi scilicet 36: fata potestate absi ilicet ψ.i,. f medietas de bstetit Ionsitudine . G potestate noue. Iung γ quadratu de cf scilicet Vestiadrato dea f scilicet iti&nunt M:qtuerit ut quadratiis deae cet is prunissiticlidis. quo nisi quadratu cuius latustatae adqtiadi licis ius Iani sente sese habere ut xi ad 9.8c quia se non trahet uti numerus quadra tus adnuinosi quadrassi:etit per vitiina parte Idecimi Euclidis a ea dei logi nidine incomensurabilis.Itidem oes Iongitudine coinensurabiles ad a e: et tintlogitudine in mensurabiles ades. v testati: qtiarada elongitudine est sesquiquarta. Si enim a hesset logitudine commisit fatalis ades: esset similiter e s lon gitudine comensurabilis adaepet 8 decimi Ei iesidis. qiua ef 6 a e coniunica rei logitudine viri:scilicet ah.Iu iligiti ira h:longitudine incoinciis utat illas adefecta cosequenti Oi es sibi Egitudine contensurabiles. ut est circuli'rce tattigoni: qiue est ades longitum ne dodeciipta .ri eos 'aliel ad circii Di siti. iiii trigoni Iongitudine inconaesurabilis:ita erit dupla Egitudine adat Hltia .s diametro circilli poniturlad circularentia inuigoni quq ae litari dicit circit Mattiadisurabilis:patet fiae Res comunicant poleuate: similiter ah Ra e c5mitiis at potestate comirnicet longitii die.Igag p g decinat Euclidis': illi 3 ef ediminicabuntPotestate. quia uni scilicet aerpotestate comi ilucant.Γt excolcquetialiti sibi comi inicates aut longitii duae aut potestate/conuin al, ut potestate ad ef&oibus sibi coiminicarebitu l5gitudine vel potestate. 1' iter igiti irati lit visi: mensi trahale esse potestate circularentia trigorii: qtia' a qtiari adcc iis api Dii tircircuierentiae circi ilicinissali erit semidianieletis .qiiod est c5trapdiet. i. si lilii quippe cit diametri uncirctili ad circi inferetitia: longitudines potestaterile ita comensurabile n. demodo probati posset:*ai sit linitudine illi onae iiii alii iis ada LSex sequenti:adf d. Ponanarat, longitudine :riit potestate ii Rbs potestate erit ita es vero erit potestate p&a i potestate quia longitudi
potes aleae per η primi clidis. Et qiria quadratus dea e scili ci Utac qua et drati ina deas scilicet mota est vini linertis quadrati ix adnitiarer uti radiat ini: ideo aeadas longi tidie inccunmisiit altilis erit nervis in tu ait si 'dei is nil residis. Et exi sequeriti arguendo ut piliis: en talia da f&adi ita collum lotigmidine inconiciis urabilis. quod fuit probandum. Secillulum pra inissu IN. ebam ia arte praenu tri oportere lita via Iaabitaulo ait Illa igetur inter rectam & recta: qua: est inter citri iam citrita. quonia ut sequetia oste1adent Wr feetio trusini vittat otiae artis
qua in alii ruitus 16 poterit Iroc ignos ato adipisci. Cli. i. 'no in tu ire clo hoc ipsim ad reetiit ne si trigonii respiceret ubi do I artione lateris unius ad similem lateris alteritis portione I in adlicia i ad latitispria 1lium triangu Iu claudens a quo ae litidi stati ea italu r prothirtionem quale portio Iateris a Iterius Iaer qua ducta est ad totii latus ex dii simile in arcu incitu rere velle iitiale hic iii Iatere rotat litico: vidi qui tria iis gulii depingere viati Iatus arcuale Iiat es t A aliud redii incale tuc nopoterit Iinea P portione arctialis lateris duci ad alteri Materis limite portioue qtiae sic ad latus rectilin ii secudum qii .elita lial itudine haubeat si tertii latus fiterit recti lincit. Na si latu; citruu ierit contae,ixum: mani sinu est de ei iis medio rectu ad mediii reni linei lateris ductam lmaioruesse medietate recti litici lateris triangulti claudentis.Si
236쪽
vero armala latus concauu fuerit: necessario recta de eius medio a smedisi rectilinei lateris durea iminor erit medietate rectilinei lateris triangulsi claudetis.Si tertiti latus arcuale fuerit sicut aliud arcuale
Puta cotaexum si convexum laut concauu si caemcauu rerit Iinea maior
aut minor per portiolae tracta in genere iani statim praunissio. Sed si Iatus ipsum fuerit c6ucxiim alio existere coea uol de sucrit portiones
arcuales eiusde circularis & aequales : necesse est lineam per aequales portiones ducta excederc eam quae secundi i habitudinem esse debet quaesita ani si chordae arcubus subtendutur: eunde efficiunt angi ilum quem arcus de chordas medietatu arcuum: medietates chor cla, rum integroru arcuum excedere est manifestum.1 Coportet igitur alterii Iatus arcuale:alio breuius esse.no potest auu tem concauti: cuius este.Na chordi si illis arcubus subtenderetur langulus chordarii angulo arcuum minor esset: re ille angulo qui ex chordis medietatu arcuum exurgeret.Hinc linea de mittoe ad poI tioire simile tracta maior foret quaesita. uare ncccise crit q, triangulus ille que quaerimus: lit ex tribus lateribus quorum duo lini :ir a acuatiat Λ: maius concauu I supticiem p concaua trianguli claudens.
Aliud vero minus & couexu:iupficie* couexa triaguli claudus. Tertia aute latus:reetu existat. Necesse est aute*cu uterib' istis arcuatibus chordas Bbtedis:ν angul' chordarii maior sit angulo arcuit.Et
angulus chordarsi medietam arcuu maior angillo arcuit: 8c minor angulo chordaru integroruarcini. Integrorsi arcusi angulus tanto ade minor est: quam Occdiit chordae medietatu arcitu chordas incis dias it rorii.Et cii hac via cospicere possitate fore dato triangulo iadii tot lineas p portiones limites ductasi cist minores ac cita citc maiores atm aequalesqlitis: qrcre apposui triugulu tui' lat' reeti lineues set ut semidiameter circuli lateruarcuatiui& q, Iat'mai'N: arcuale
237쪽
de circini in e deserips semicircuiti a d e.quaesim: in dicto genere trangulorii minimu: & vidi si recta ducata pucio c ad pi incisi d describet aligulu contingentia: in quadriite. quare tertiu Iatus claudes istutrianguluaerit minuDu.cu angulus cui subtenditur scilicet colingotiae minimus dicatur.Facto igiξ b centro circuitum a bi&qtiadraniateni occultu describo a d:aequale quadrati b c. Rursus iacto d cciitro circudum c d & ubi serat quadrate occultu a d pono g.Et positopode circini in g 1: alio in bimoueo h usq; ad puctu d: erit in are' deleriptus sellicet b d eiusde a circularis cum arcu quadrantis h c.Omnes quippe rectas ditetas a quadrate occultoad piiIub: crisint quales arciis cius de circularis litic aeqtialiu circuloru describere cst itecesse. Erit b d latus arcuale mi uinati:& conueni. quare triangui' b c d :crit minimus in dicto genere trianguloru.cum contineat nai nimia angi lum: scilicet contingentia: iratione cuius bd arcuale Icuus es subtemstiin mininisi est. quia minimsiaerit be latiis arcis ale maximui. Menim potest dari latus minus b d.si enim minus citeritu c d clatus re,.ctilineum quadrante bc secaret de sic triangulus isti: non esset in geonere quaestorum.Est igitur b c d triangulus: cuius duo latera arcualia sunt bc & b d N: maius concauti esti 1 lisadratis. alpcrum conue xtim &ntinus: quae latera arcualla sui it eiusde circularis leuius sentidianwm r est tertiti latus i ceti lineui scilicet do. Et ciuia in isto genere non mires lari triangulus cuius latus coueau minus fit b d: erit inatur ista togen retriangulorii b c d triangulus minimus. Rursus in in isto genere trilingulorii Sibiles sint niaiores. illi orti scilicet arcuaale latus coueximi maius sit arcu b d: recte maximus dabiti iricti arracuale latus Λ liuexulat quale erit cocatio. id est maxiiiiii. Ad qd do scribendii tralio b c recta 5 sinu bcciit roscita iusti colici 5 vhi secat senaicirculii pono h. traho Ii cs& saeto si cetro circii duco hc: bcubi sta
238쪽
cat quadrantem occultum pono m. Rursus posito pede circini in mpuncto & alio in b imoueo b vis h: erit arcus descriptus sciIicet b Ii aequalis quadranti b c.Nam aequali semidiametro:descripti sinit. de
chordae arcuum sunt aequales: qiuire eiusdem circularis erunt. Quo fit: ut triangulus h h etcuius duo latera arcualia eiusdem circularis aequalia sunt scilicet arciis b c N: arcus b h tertium vero rectilineum scilicet hcs aequale semidiametrocii calorum arcuum sit maximus indicto genere triangulorum. Nam minimum latus: cum maximo incidit. Rursus cum in triangulo minimo scilicet b c d treeta a meis dietate lateris arcuatis clueta ad tacdietatem alterius lateris arcua iis minor iit medietate lateris resti linei:erit maxime minor. quia minimus triangulus. Et cum recta ducta a medietate lateris arcuatis ad medietatem alterius arcuatis lateris ι in maximo triangulo sei, licet e b li i sit maior medietate lateris rectilinei eo in latera arcualia aequalia sinoerit ipa recta dueta maxime maior: auia in maximo triangulo. Qtiosita ut in mediati triangulo re atqui listati a maximo &minimo in quo scilicet maximiis di minimiis coinci liant:recta a me dietate lateris archialis ad medietatem alterius lateris arcualisl liora sit nec maior nec minor medietate lateris rectilinei. quare talis nae,
dialis triangulus: erit quaesitus. Ad quem habendum diuido arcum d Ii in duo aequa per punctu iude traho kc.Faetoqili centro:circitiis duco h c.'ubi steat qtiadrante talltum: ito i .Er posito uno pede circini in i ptinetoide alio in bimorieob vi illi: de deseripe' erit arcus b si quicum arcti quadrantistic derectati ci descrit,et triangulum
qua sirunt. Nam Iarus maius di arcuale icit quadrans 5: concauia talacum alio arctiali Δἴ convcxo scilicet B lites isdem It circularis. latus
vero tertium rectilineum citi& xiluale semidia i tro circuli arcuit. Φ CCum enim eblimaximus triangulus mouetur ad medium contran decrescendos de bd c minimus ad mediu continue crescendo mouetur:ipsi in aliquo colucident triangulo & no nisi in triangulo b hc qui est quaesitus . Rursus diui latur c hilatus arcuale in duo a ua
definitae quantitatiss&ducat tiralia reeta api me tot per pittactum friuiali c& fi non sunt aequi dista lites s luteisario in aliquo concur.
s C Et quotquot redis a puncto concursus ductae diuidentes duo latrara arcuatia:rectae cadentes intcr ipsa ullam proportionem ad rectili/neum latus seruabiit squa portiones lateruare inlii versus auguIumbiad latera arcualia. Vt o ii quae per p transitire b p duae sunt tertiae: debcrerit pariter & n b ut duς tertiae de b kl & n p ut duae tertiae de k c.Rursu&.o q quae transit per x & r b est ut una tertia de B eierit pariter b q ut una tertia de b k sit militer q r ut una rertia de si c. Et hoc ideo quia b k c triangulus: aequedistans est a maximo scilicet b li es&minimo scilicet b d clin quibus est maxime plus & ratim ut dietum est irare in isto mediati nec plus nee minus erit, cum in ipso mania
239쪽
nius Δ: minimus triangulus coiiacidant.
Sciebam isi arte praemitti oportere qua via habitudo attingetur. t defetipto mangulo rectilineo ab odi dilicta linea de sici, a d sit medietas Idea hoae inedietas de ac tetit de recta ducta a medietate latens a b ad ite portione lateris ac scilicet ad medietatequae recta d ead be latus claudens piro mumisuiu scillaeta bea quo latere bearquidistatis e Irahet sinit ad ad a b velae adae. trianguli a be di ade:aequiangulliunt&shniles. eou, anguli a b e&ade per is prinu Euclidis nequale serviat. suntliter ac b&aed:per eande M. Igitur per q. 1αti Euclidis:latera resare sunt proportionalia. ut sicut a b ad adii tabe ad de.&econuerso.
Eae in simile in arcu inquirere vellem:quale hic in Iatere rectilitam.
mani si latus cuiuii fuerit convexu ut in is ottiangulos gh euius latus euratium lili flest conuexu quia supfies couexam trianguli terminat: si manifestiam deci medio recta ad mediutini lines lateris ducia utes k imiaiore esse medietate rectili lateris triae luelaum. Nam in Iohi exciditi iuneo, latus concauu fuerit: eviatio tecta de si is aullam re inestiteris ducta minor erit med-teremi lateris triangulum e dentis, in isto triangulo inno ubi latus arcuatio quat concausi est: lacontaiij uoiciena trianguli claudit. dein quo pq minor est pr: hoc minor est medietaten o.
est elum p r medietas den o. Sminae. LSi tertiulat' arcuale fuerat merito sicut aliud arctiale puta esuexuiti si conuexu aut concam si concallu: ctit linea maxior vel minor ver portione tramin genereiam statim prsinisso. I Nasiduo latera arcuatia: fuerint conuexa. ut in illo triangula ab ceurus latera armalia sunt ad b&ceh: tunc re ista a medio Ulateris armata ad media alterius lateris arueualis ducta ut est d ejmaior en medietate rectilines lateris trianguiu elatim latis scilicet ae.Naimior in f g: qua est medietas deae. Si vero duo latera armalia: fuerint Gema. ut in isto triangulo hilare lateis arcualia sunt lini &koit quae arcuatae ema sunt: tune recta a medio unius lateris armaris ad mediualten 'lateris armalas ducta ut ei no minor erit medietate his tectilinei latetis triuiilsi claiidetis.Nano minor est i m: qus est medietas de lik. SequiLESed
si latus ipsum fuerit contiexsi alio existente comuo & portiones arcuale sena sedem circulares Raeqtiales necesse est linea per aequales Portiones inulta excedere es quae secunduliabinione debet esse qua sita. Acimetria tilia describe dum:primo quadratu describo af b Diratio abdia ineltu continuo baut stat aequalis abri sub c. facto f centro incuduco f bi desolendo arcu a a b qua idratis. Deinde si ori ab aequalem f b:5 sit bii. facto licentro incuduco tibi describendo arcu qua diatis b e c.simothd&b e naedietates arcusi.traho e cim militer a e:erit descriptus triangulus ahc cuius duo latera armalia scilicet ad b&eebsunt aequalias eiusdem circulatus.dico d e:maiorem esse medietate acis Patet. angulus sub chordis necualisci angulo sub arcubus. v tanguriis a b e subcumis:aequalis est angulo a Dc subrectis. Patet sic. Na dempto comuni scilicet anguIocotismi e qui subrectabere curua b d a continet residui an gtili sunt aequales. qui sunt anguli trinia laruaequalisi. Igitur per comune metra
prius aequas erant. Si enim aequalibus comune ponatur: rilintrii us uales
sunt igitur anguli a b c sub cumis& rectis aequales: immo totus triangulus reictilineus toti triangulo curuo vel sub curuistaequalis esse comprobatur. Patet. Intelagatur unus triangulus a b c sub duabus rectas ahac:&curua be e mea mendo linula b ec remanet triangulus rinilineus ab c: vel demendo linulam adb aequale imisve e remanet manetitus ab e sub duabus cuniis Nisa instaqvia intur tanu a duobus totis aequalibus dempta sunt aequalia uesidua ciunt
aequati. Devadetraho chordas medietatum areta scilices bd 8 he sub quibus angulus inualia erit angulo sub cuiuis: Retiam sub chordis in torum arcissi
240쪽
dem triangulus triangulaena aequalis erit:argutuetvado ut priris. 'nde db e: tisangulus rectilineus:est aequiangultis itiangulo rei tilineo ab e . cum sitit diloi sceles:&anguli stibaequis late1ibus contenti sint aequales.Ιgitur& triaragi ii:aequianguli erunt. Nam dempto invitisq angillo hiresidui erimi aequales. cuintres an ili unius sinaulla d tres angulos alterius simul: tarquales per 32 primi Euclidis. sunt igitur anguli d estimat: aequales angulis a S c simul. Sed cum angulus da qualis sit angulo et similiter angulus antigulo e persptimi Euclidis.sequisiis quia restatia illa per aeqtialia diuisa sunt: ilibet citiite hetaequalis erit.&sie constattriangultam a b e: a quianguli im esse triangulo
notest plaad db:per io p in Eliclidisicuin sit:equalis a d.igitur a crini rior erit dupla ad d cisiinid e:imior erit medietate a c:quod fuit demonstran .dum. Etita continget de omnibus Mangulis quorudito latera arcualia aequar. Ita erunt:&eiiisdem circulatis. Σ portet igitur alterum latus armale: alio bronus esse. Non Poa test autem concauum :bretis usella. Nam chordae si illis arcubus subtendereiatur angulus chordarum angulo arcuum minor esset:
di ille angulo qui ex chordis medietatum arcuum cxurgeret. Hinclinea de portione ad portionem limitem tracta: maior et quisita. Itin isto triangulo qt stduolatera arctialia simi r i q concauum ivinituiss. R r v s conuexudi maiussus latera arcualia. Me suntcstetita istquia scintidiameter desa tionis eortinaestvrq s. Ideo dico t v disera a medietate i*us latefis arctialis ad medietatem alterius etiam arcitatis: esse 1miorem inediditate q s. Nam angulus nil, chordis scillaei q r s coniciitiis uninor est angi reioq r s sit, curula conteiit .sinu litet erit minor tangislo t rv. Ad quinina de chirationesia adiicitenduincitia, qtnito ponio circitu inmor est: tanto angiillis ad circitiisertaitiam maior .angilli vero superesaordam: tanto sinit minorcs. ut
descripto seinicirculo a b c sigilo duas portiones sub citrua Rrecta quae sint dh e &df gifiein sint amistiusdem circularis.Estnianifestium perlioc quaesto lunulami restuanto angulus sub arcu Rcliordaminor. Riiui Isaa scini
sunt angulis d f g simul:& anguli super Aiordas i sint aeqtiales in singulistiangulis per s primi Euclidis: & anguIus b d e maior est angulo f d g. ideo duo anguli trianguli d h e ad haum simul: maiores erunt duobus an gulis trianguli d f g ad basim. Rex consequenti angulus d b e minor erit an gulo d f g: per Gmunem scientiam. lusa an istis duobus aequaliquis d l, e R. f g in angulis plus substrallitur a triangulod he si ibi res aedo angulos hasis:
qatriangulo cl f g subtralaendo etiarn angulos basis, Ideo plus re inanebitis triangulod fg:u in t angulo d he Hoc etiam suis constare potest:per 3oterant Euclidis. Dimnus igitur angit si qr ς sub claordis integroti armisi: min reinesse angulo i r V sim chord s medietatum arctium. Patet. Nam cum hami Ia r i qminor sit lunula r v Ner hypot laesim:erstangulusq r iminor angurios r v. Rex consequenti positoc iii anmla sciliceti r sterit an his trumaior angulo q r s. Ditimus insuper angultim i r v sub rectis i minorem esse angula trusubcuniis. LPatet. N1anstiatis lunular xttiminor est angulo tu reia: r y v quia It mula ry v maior . posito igitur cornuni scilicer angulo tr v cotingenti visub ciimarx t&rectar urerit angulus tr v sub cunissimaior angulo