장음표시 사용
241쪽
culo tr v sub rosti sint esit tresta: maior sit medietater q recta si liter sv res emaior medietalcis recta:costat manifeste tu:maiore essenaedietateqs.Naubi it v at lus sub rectis esset squalis angula qrs sub rectis sic et, aequianguli essent i duo inanguli:adhuc t v esset maior medietate q sivi severius dictu est. tera intexturad hypothesim trianguli qua siti faciunt. quae uatim Hucis
Descripsi igitur quadrantem be:supera centro:& posito pede cisocii ii in ci descripsi semicirculum ad e.
CVbi aduoetenduinest in exemplar habuit Deo quadrantis occulti: semicircu 3Ium occultum. pro moditate vetola deuitanda multitudine linearum:solum quadratem a d posuimus.cum quo omnia cosequi possunt:vti eum semicirculo.Ideo occillius quadrans dicitumquia non de ne itate figurae introductus. sed solum pro sublatamine figurantis: quatinus facilius vaeseat arcus eiusdein circularis describere a puncto bad scinicirculum bd e. Nam per hunc quadrantem occultumiliabet semidiametros circularum aequalium : sico arcus ex liis senaidiametris descripti sunt ciusdem circulatis. Secundo aduertendum est: ab illo loco. Dese ipsi igitur adrantem boad finem vis: sic exemplar cors ruptum fuit cum figura ut cuctificultate potuerim' capere mutae cripti Dem.Ideo necesse nobis fuit ibi addere: forte sub aliis terminis quod nobis visum est/a scriptore pictetmissum. hilominus omnia sunt hypotiresicosona: S conclusioni ipsius de Cusa minime obuiantia.Cotinet duo in se hypothesis.
Vnum est:uttirangulus qui quaeritiir:duo latera habeat at alia eiusdem circulatsi di maius sit quadrans&concauumaliud arcuakininus Se ueximia terutiuin rerelineum divi semidianteire circuli laterunt arcualliini. hoccetinet hyspothesis in pticipio Sin fine. Et manifestu est Iroe vetificati de triangulo byc. Secundum est. anguIus chordatum integrotii arcuum: inaior sit angula ars cuiam. R. angulus mordam medietatuin arcuum:maior sit angulo arcuunt Baninor angulo chordatum integrorum arcuum. Sed pirastipatet.trario bd
242쪽
rinam:&set quadratus abde. Ideoq; angulus stib quadrante b se N rcis ab d contingentis erit et sicut & amulus sub eodein arcu quadrantisaei d creeta. Vnde Omnes ieelsa puncto bad quadranteindli edui Wiscindentqtiadrateinbs c. reus periam dicta angulus eb la 1 ub reeus: est aequalis ansulo 1 ub cutuas. in latera arcualia sinta qualia: Neiusdein circulatis. Nam rub lis indat quadrat bf ti: paruam limulain abscindit a maiore sub bc&bs cilla igitur parua lunulalsiue sangulus cornunis ponatur: erit anguliis c b hsubrinis immangula paruae lunulaeaequalis ansulo maioris lunuiniscilicet sub b creetati tis ecunia similiter angulus cbtilubcurius cum angula paruae lunulaeerit aequalis angulo maioris lunulae: scilicetsub b h recta Ecbh citrua. do angi Iussim berosta &becurua: aequalis est angulosvibbhrem&blic tua. cultanuhesub ipsis conicia saetaequales .ut constat. itur coirium dempto scilicet armis par in lunula: quemue voco)tesidua et ut aequalia stilleet anguli e blimbrest Hebi, sub citruis.quod fuit demonstra v. Hita procedendutatuo uescunt: latera arcualuerunt aequalia: dimine cireularis. Restat detrimpulo quaesito tractare:scilicet cb k. tralio b k quaenecessatio abscindet arcu quadratu bfc: ariet*paruam Iinulam Si igitur est quaesitus obli triangulus subre:
chri duobεις lateribitSarmatibus: oportet angillus chordarum integr tum arcuum maior sit angulo arcuum. Patet sit ita. ponatur minime: anguς trispaniae lunulae.tunc etit ansulus cbli subrectis eum angulo paruae lunulaei
aequalis angulo maioris hinuta:scilicet sub berecta&areu quacitatis Ff c. Angulus vero eb h sub cuniis cum angulo patule lunt ita: aequalis erit angulo lue
Constatistituta' lunae bksub rectis:maiorem esse an locbhsub curuis. Dicimus insuper ansulum s b l chordarum medietatimi arcuutiuxta pini anem hypothesistinatore esse angulos hi sub tuis.Namcmuui dein puta dempto angulo sub b f clinia H b I tecta residuuangsiu sub tectis fib& b l: quod est angulas trinulae sub bs recta & b f curua umius est residuo anguli sub cliniisti t&hi quod ellangulus lunula subb I tecta&b l curua)cumlui
ior erat angulo f hi sub evruis,quod tuit probandum, elasimis an, gulum s b l subrectisvninorem esse ansulo eb h subrectis. Patet. Nammim naunide tolpuinctii pio angillos by subrectis test talauilinansuxo blisubrectis maius ut est at lusebs subrectis,residuo angilli f hi subrostis. vici angulus tibi subiec .Patet petiam di saeos' lunula sub b c rem
&b f e curua:maior,Ideo anguli trianguli b f e adbalmunciores. Anguli voto ad basis trianguli bl knnmoreserunt.quia in minori lanula:sunt facti. αsis igitur angulas ct tirum medietatii in amisit minores esse angulo mors datum integiorum arcuum.quod fuit probandum.
Cu enim b c maximus triangulus mouetur ad medium 1 continue decrescendo de b d e minimus ad mediu cotinue eres cito mouetur.
Et quotquot rectae a puncto cocursus G diuideres duo latera
arcuatia: rectae cadises inter ipsa ullam proportionem ad rectilitieu.s si bpsintdue tentardebeat quadnuitis. Patet. Nam angulus rectara
243쪽
ad anguluttianguli aequilite ires ut ad α.hoelisuet ex hoeo, per 3 primipitianguli aequilatent tres angulisitnubduobusreetis sunt aequales.&mminuis minat aequales:etit illibet ut iter Maguli rere oes vero sitiaul: c tertiae anguli tecti.Rurius bae angulus rostiis est , si ducantur duae re hostilicet a r&er: erunt odiffinitionecirculi aequalcis. o. arcus cs b&ardlexae sint de scriptu Trairis igitiata r&crrectis:descriptus erit triangulus aequilaterus a te. Igitutret ultima sexu Euclidis e f b arcus *radrantis:arcui cs r sesquiaster erit,si rarcus intum tertiaarcus es hmeriti dictas arcus cfr. demodo si dii, cantur duae recise ap&bpaeriosequales perdimitionem circuli.desectetmitiangulum uilaterua p brcumaed reus bs e ex a b sint descripti. R ex cons uriati per eandem ultimasexti Edistetit ar h p csesqualterarcui h r praclo angulorum quos capiuti Marcus p cierit medietas arcus b r Nec tertia arcus bpe.quare aequalis erit arcui br:qui est aequalis tertiae partiareus h p citi ex eos uentiare et sprerit altera tertia. iisti tres arcus scilicet b rir pl&pc:erunt aequales.quod fuit probandu. tera patent. Tertium praemissum.
G Rrtium V ante mitte dum asserui est: quomodo inter duas i in lineas rectas duae mediae continue proportionales statuan . turda dum notissimu miti si datae duae lineat simul isietaediammetri ei reuli fisit:& eas chorda orthogonaliter separavit', se michorda est medio loco inter ipsasu portionalis.quonia semichoris da inter sagitta Ae residusi diametri:mediare necessaria est. Si igitur duae Iineae indefinitae langitudinis ut a b di ed se orthogonaliter seacuerint in e puncto: de de e versus d minore linea signauero quae ste sede de e versus a maiore quae sit e gldescripseris duos semicireu Ios unu sup cetro in linea e erita lissae super cetro in linea e a puta hiexistate.hae quada aduertina marcus fiscirculi cuius centrum raperitur in e a lineat Geurrat cit arcu altersus semicirculi in lineae hs& linea e epula punctisi de LNemo si sitare potest e i de e I medi,
xetex praemis a notissima regula vesci medii proportionalis et inter e de eg. EVnde:vt inpra xi haec media facile altilagas.habeto gna. , monetat. Iineam vita:quae ad latus gnomonis applicata rectu angu
tu efficiat.Et iuxta pmissa duas indoenitae qualitatis Iliaeas: sic ius ce orthogonaliter serare. p s d inde rectu angulu gnomonis suplinea e b de latus unu super f mn denota ubi reliqust latus semoxit lineam e eupplici ibi regula ad latus de quo dixi I vi reetsi anguis Ium efficiat. si haec regula per g trassericha squς situm,si G: γω mone inebattrahe vel elisa quouisita eumerie de habes illa duo media ρος instris. Pollant quide be alii stris modi de facili inueni. ri:per in qui studia adhibere laetit. Sed hismodus in clarus sit:
ad prcsens sufficiat. Quomodo aute ad tres datas ortionaleslli , nea quarta cotinue proporticu Iis subiungi valeata iam anteat. expromissis relinquo remitta um.
ETertium quod ante mittendum asserui:est quomodo later duas: sin minarismo siecti siduae in Ueheptu sonavimerge i
244쪽
Ne I:eo, situ gli es psssisti circulasgi Icteisup g Isit Dedicillius.qiu. re sicutgeasMineiade l. ursus eaderationeel:est inedia .portionalis inter ei&em nil sicut ei addisita elades quarede primo ad viamsi sicut ge adelataeiadere elades hei Rel:dine testinue avortionales iter ge&ef. Sedam ignominanet:quomodo cetrah&htvaleat repe . Unde ut in praxi haec media facile attingas. habeto gnomonem. 1 CCugil sit angulus re similiteri Isterit ei media sportionalis inter ge&e I. Itide Nel:erit media oportionalis iter ie&ef p s sexti Euclidis. Minerido iste ut prius.sicut ge a dei:itae ita e t Nel adeLEt hie modus cumodo Plautonis:a Georgio valla recitato coincidit. N iuomodo alitia tres datas opor, tionales.4 Intelligilde isdembus estini exportionalibus. Sumiar Mase da Stertia ad quas p is sextimclidis tertia detur continue sportionalis: ipsaerit quarta comaue proportionalis ad tres priores datas.
Quartum praemissum. PAN Uartsi aure quomodo in liabitudine datarei ad tertia deis qtraria:othus pene est manifestsi in praxi.p duos triaqu
st i vis in ipsam & sit g m. Nulli nisi patu sciola dubiti est Iliaea k ms
adgliquat aequile fise habere villai quaeae quaec d ad sh qaequae a b.Haec de pmilitatis. Ois aut e transmutatio in Wmietricis figuris est:vel lineae I linea vel stipficiei I suinete a uicorporis i mrp'. Tria igitur sunt cap.ρος seriatim prae lari mantaductione tisi couenit.
CResumpta figura:mlitera adiecta.estinarulam quia isti duo trianguli sthi&ghmiuunt aequianguli per hypotes redeo per sexti Euclidis laterar stirapportionalia. Sicutieitur hi ad krn:ita.gli adgli.&pmutatun sicut hi adgli:ita hinad gh.quodest propositum.
r I linea recta i circuieret tale eurua vertere cupis:ipam recta
v Si recta in aliquota circuieretiae portione circuli resoluere quietis: Ipsam in circulare integra resolvito. Et ex proportione ambarsi ei culorum:ad parte aliquota circuserentiae pilentes ad quaesita. Nam eadem est habitudo cirreferetiarum Nitiae semidiametrorum. 3 CSi datam rectam in quadrante resoliti optas: quarta circuserentiae cireuli cuius lentidiameter est quadrupla ad semidiante trum circui si cuius circusexentia aequalis en data: reeis est qiuaesitum. q. CSi datam rectam in portionem circuserentiae dati circuli trastare quaeris:eam primo in circuieretia circuli contuta. di ex nota habitus dine stimidiametroru circuloru:propositum iistificabituri Si eurua lineam in rectam vertere studesinon alis vim faeta inmaniolu ex ope quarti praemiis. i qua re aene omnes orasthesinperio. Nam curua linea non potest in rectam mutari :-si ex proportione alicuius reetae in curua versae. m igitur hoc agere prRUnis. i, ino recta in circuieretiale vertito: de huius cir Ii semidiametrum notato P prima linea, Deinde tertia re e versa: aut alia portionem
245쪽
rius sicito secundam lineam: re tertiam senu diametria eirculi leuius circunila entia rectilineare proponis signatotbe triangulos clauditos quasi angulus via' comunis de alii aequales latera. comuni angula opposita a quidestatia existarierit enim secundum Iatus portio linega quaesitae:scilicet pars tertia si latus aequi distas primu spars tertia eircunferentiae fuerit. si alia:tunc alia. per hoc scitur versio circi uerentitiae inremm:scitur etiam vertaesus quae est pars aliquota¬a: circuierentiae. Eili ignoraueris proportione dati arcus ad circuserentiam cuius Grectilineatione perquiris: utere secundo praemis bl&sac lineam deo Puncto concursus per arcti quaefissi aut eius aliquota vis ad arcum alium trafire:& lineam inter arcus cadente notato. Deinde fac semidiametru esse linea prima: & linea Uvale quadrati aut eius aliquot stac seculam.& linea tertiam facito ea:qua inter arcus cadente ann arasti.Et iuxta quartsi praunissum per triangulos quaesit si linea repe/riesine. alia via hoc quaesitu attinge clua etia si aduertis uel poteris:vidata rectam in arcu vertas viis circuserentiae elisi si esus areus ad cireuinctia proportio ignota existat. Hoc aute eo ingenioseomidiametru circuIi fae latus primu trianguli S lineam recta quartae circuierentiae aequale alivdiclaudedo trigonitrui si semidiameter sit a b:& b c ut quarta circinserentve claudedo Iinea a citrigonii. inde fac linea aut eius aliquota cadere in eo trigono aequidistater ad b c:beside. Post haec de huersus csigna aequalem semidiametro a br quae sit bstrahea fide nota sectorem d e quem nota per g literam. nde
recurre ad secundu pramissum:& Iinea ducito de Amuni puncto eo eursus quouis iter arcus radat aequalis portiora dνα hie est semis
arcus aequalis datae lineae aut portio aliquota arcus sit ubi arcus quaesitus maior esset arcu quadrillis: tile necesse esset via portioe ali. quota operari:quς minor arcu quadratis existeret. Poteris etili ex his datam curua:&cuiuscii* circuserentis arculin quecuui alici arcum alterius circuli verterritransmutando primo ipsam datam curuatin Iliaeam rectam.& deinde illam rectam in arcum datae circunferetiae modis p tactis.Et in hoc: p. transmutationis linearum sufficien ter explicatum eristit.
Si lineam rectam in circunferentialem curuam vertere cupis. IESit data remab: diuido ea latres partes tiales Detis sexu Euclidis.sumo aequale tertiae quae fit cd: disturam per pilina primi Euclidis triansuiu aequia latetsi descissio sic. supram duos a reus estis in circularis descissio: tineodo ed semidiametria. 8c ubi se secant arcus pono e literam.de detraliorems d erice: qtae manifeste erunt per dissitatione circuli aequalis.&ex essequcti ista tria latera scilicet edice Sed qualia erut.Parere is data versa eriti trigonii uia latersi:cui' circus tradat ummaequa LDeinde uallo e s ad medietate latins ed. similiter eg ad medietatelatetis deSubi serate spono merith centisi tali.men mendicillariter insupeJsimiliter eg: sup ed pertentam tereti Di cUisaeo .cgri ducta a cetroci ad medietatem inordσd e. rsus traholid. quias d&fh duo latera: obus lateribus est&fh aequalia sunt. 8 similiteran
246쪽
in odo Sespotest deistisduobus trianguli, dghis egli. Qtidiaequalis sithe. Quo e d sit secuta trigora qua scilicet est scimitur Acilius trigono.&eκ cosequenti hin centrudititis prima trigoni Rursus siti punctus impietatis
cstraho hi&extendo eam perqitariam parteinsui.&Ethκ ad hi longitudine sesquiquarta: erit per primum praemissum semidiametrus circuli isoperimetra Vnue circunferentia circilli lik: aequabitur lineae ab propositae. quod nutpro positim. Si rectam in aliquota circusererit1ς portione circuli re Here qri s. x. QSit data abiquain inedietate circsferentiae circuli resoluere quaero. per pridimissam dori circularentam circuli aequalem:&sit circularetia circulicd.dumbeo ed:&hulee.describo in lum ceaeuius medietas in ferentiae aequablatur lineae rectae datae. Patet. Nam circunferentia circulice ad circitferetiarii circissi ed estsi te ead e d ut dicit de se quod demostraripotest penemudem demonstrati qua demonstratur ab Urclide persecudam cluodecimites culum ad circulum proportione seruaret qua quadratus diametri circuli unius ad quadratu diametti cimili alterius. Erit igitur circularentia circuli e e:ad citis femitia circuli ed dupla langitudine.quare eius medietas scilicet egs quaeshitur cireuisetiae circuli e d. Rex sequeti: rosta a b.Possiet laoc aliter fieti cluisplicundo abr&dando circulum cuius circunferentia aequatin rectae duplae ad a
Si datam rectam in quadrante resolui optastquarta circuserentiae. 3 ESit data ab tecta: &sit per porultimuicirculi c d circunferentia aequalis rectardatae.quadruplo editi fiat ce:quae ad c d Egitudine sit quadrupla. Rursus edesaibocirculuan: ius pars quarta ciminferciatis pseuabit ciraefertae cire aculi ed. ν sicut ce adcliniongitudine quadrupla: ita circunferentia licetaculatentiae circuli ed quadrupla longitudinem t. Constat igitur ef g qua, drantur aequari datae rectae ab.quia est proposituin. bi datam rectam in portionem cireunstretic dari circuli trasserre. q. data recta ahindatus circulias cd. qi massisnatelaipso circaeotarcum b' aequalem rectaedatae. Paprimam tutius cap.resoluo ab in incirium isoperis memina: qtrae fit Ce. Vnde si notas illaabi uoce adcd: erit patiternota trahis tudo arcus aequalis ab ad circunferciati circulie d. in si Oota sit habitudoce ad ed: ignota pariter etfit Irabitudo arcus aramalis a Diam Merentiam cst culic disex cosequenti ignota erit portio circularctis circulied aequalis rectae ab.Sit igitur cead c d longitudine Hibtripla: entpariter portio circunferentiae circulice aequalis rectaea bisublimia lis tudinead circunferetiam circuli immscd. Vndet tres propositiones eodem medio dcinomatur: r haestiis nem scilicet semidiamininum circulonim ad inuicem langitudine. Si curvam lineam in rectam vertere studes non aIio unu facies.s CSitdatus circulus ahaeuius circianserentia inrectilineare propono, Primo per primam inuus cap. aliquam rectam in tuam resoluo&sitc d: circunfe rentisq; circulias aequettir datae rectae. Sumo imus circulis sesam in autelaequalem:&sughq sit aequalis a Laddo ad glarem orthogonaliter aulam tertiae parti cd:&lithi. Deinde eontinuo gh quo Q fiat aequalis abire sit gliaequalisab.traho aequidistantem indefinite adi, i per u prii mellas msith Iclaudo ortliogonios tralae orectam a puncto g per punctumiad tectahia ubi eam secat ponom:erithm pars tertia rectae aequalis circunferentiscirculidas. Patet. aissiduo inareta: a uiangulisuntis gitur per siviti iesidis sicut ghadgk:italii ad kmΔ permuta Rutghadhifflagkadhm Sed gh ad hiise habet sicut se diametrus circuli ad r-m tertiummininus entiae ipsius circuli aequalem.s tur e hadkmiri se habebit tmst semis diametriis circuli ad rectam tertiae parti ineunferentis ipsius ineuli aequalem. Si igitur lim triplicetur: fiet recta aequalis circunferentiae dati inculi. Si vero Ladgh adiuncta fuisset quarta pars e divesalla pars aliquorii abscidisset gila at m
247쪽
indefinitam librande partem circi feretiae circuli dati. Per ioc igitur scitur ver
so circularentiae in re n.scitur etia versio citrtis: tiae est pars a Iisi tota&n incirreferetitia. ut sircetate qua quintae parti circialatinitiae cimili d. iii optast
scin:diuisissetne d inquis partes aequales Rad gluvitana quinta parte ortlios sonaliter liuixissein. Vndequs abstula fuissetin kI:aequalis fuisset quia ut parti circiansercalthe cireuli dati. in si ignoraueris propositione dares arcus ad circuitscretati acutus. sivisitui circulo ab areius signatus uisit ebd: ius proportio ad circulare: stiam circuli ignoratur. lulamin're Linaequalern arcui exopto. Re irro adsecudumpraemissum:inuentaedo triangulu citius duo latera arcualia sint eiusadem circulatis euareu ch d.Daho igitur recta aequale diametto circuli a b quς sit hi:& super i centrum describo semicircululi mi. addo orthogonaliter ad iliaequalem hi quae est medietas de hi &suli g, factoli centroidescribo arcu quadrantissk ii quierit aequalis arcui quadratis circuli a b: qui sit e b L Nam reae harecta guerit triangulus gla i aequalis uiangillo ea LRursus facto g centro traho quadrante occultu Ia m:quint ex circoductione gli. Deinde item laeto g cetro citcuducogi Rubi secat semicirculuponon:&sie opucta inaximi dinunimi triangilli hahcturiscilicet n&m.diuido arcum mn in duo aequa petu tertii Euclidis:&Oppunctus medietatis. vndempnae ita figura:sunt loco di liinsuperiore nutatimsinipso secundo praemisso. Rursus pono ped circi; ni in pie aliuin i.in eo i:& ubi serat quadrante occulto pono q. tralis p i.Ditem pono pectcircini in q:Rallula g.inoum g describendo arciani gp: etitsgpi triangulus propositus persecundu prae missum.Deitide signo iughi pii culin medietatis:quisit h.suauliter Ring p:quisit r. trahork: Rcontimiori dipi quovis conciarrant:&punetsi conciti su signo pero Iittera.Rursus in armiqiuadrantis gli inimo arcu aequale cuicbd:qrii sit gk s.cta puncto concurs1uso:tralao rectam per spurietibusq; ad arcu grp.&vbisecat eum pono t: erit persccinadu premissumis adpissiliuit glis ad gh i.Deinde recurro ad quartu
praemissum.Primo perpremissain: uenioreminaequale arculebs quadraturriae situ κ. Faci optima lineam semidiametru circuli:S Macaequalis a b. seesiam v κ:8 sit e s orthogonaliter Dicta a e aequalisv x.tertia facio sequalem is quae cadit inter lateri arcuatiattianguli inuenti: R sit ad aequalis e g.traho pet primi Euclidis:aeouidistante adcrs sed b. Deinde clauo orthogonios trahodo a 'Rubi secat bd Monoe.dsco deesserinam mila arcui prνosito scilicetcbd. Patet. Nam triangulo stiperiore ipse arciis propositiis scilicet g hsmeliabet ad arcii in quadratis me imitati es: sicut rectat s ad semidiamet iii circilli arctius di licetpi.Et citae sitaeqtialis pict adaeqtia Iisis: crit ad adactsircularcus propositus ad arcuqtiadratistiusdem circulatis.Etesiis udiso orthoe
gonii sint sequianguli&similes ideo per sextiFiielidis: siciit ad ad actita de adcf.Et item deade seselaabebit ut arcus propositus ad arcuqtradrantis elissidem circularis. Sedes redita: ualis est arciri otia dianus.isinir derectaretiam erit aequalis arcuiproposito.qaniit demostracti. Nulla qubpe alia adesse potest trahere sicut ad ad actu recta Hiialis arcisiproposito.caic steriaηqualis sit arcui quadrantisciusdem circia laris patet intentu. 4 Hinc dicit de Cura:q, alia via hoc quaesitu attingi no potest. Sequit tin Q tiai subasidi via)siaduertis:
ducipoteris ut data rectam in arcu vertas. Sit datus inculus a D:8 datare, 'acd'tia volo resoluere marin circulare cimili dati piimo per numissamini senio meta aequale arciis quadruns quaesit e f. Deinde rectitro adqirum proianissilin r&facio aequalem abi primfittianguli quaesit gh. seciuada faciore dia
arouale e f qim addo orthogonaliter ad glare sit hi, qualis es. Deinde trahostisaudedo ordiogoniu.Rii reus facio aequedistfiter cadere ad hi intra ortlaogo tuum aequalemca: sies ado aequalem in hi quaesith h :&e Glomplici, Bantea phcto kadro h per i primi Euclidissubi semigi ponor. Item a punctos per eande D primidi s trahoi uidistante ad i h. cessit in reiit
248쪽
necesse.Non enim alia potest exurgeremini:qς m. degna ad gliscinidia incitum circuli dati:se habet sicut intrecta data adreelammaequa Marcui iadratis. tius ad secundumpnacissum recurro:uauciis dό trian tumosdem propositui alprout in pinissa expressamus.Εt sit triangulus g p i Deinde a puncto concursuso:traho rectam vis ad arcumgrp sic.recta cadens inter duo
latera arcualia scilicet g hi&gr p aequalis sit gniti fig*ra superiore per quatutum pia minii facta.Traho igituro t:& vhi scrutg hi grcu usi rapti ponos. Rcys taequalis ganterit arctis glis 'situs Ra qualis rectae clatretali tra e d. Datet sic. mis aeqtialis gni ad p 1 aequalem s h:se habet sinit recta data ad rectam aequalem arcui quadratis circuli propositi. Sed per se dum pmissum: glis arcus adgki arcum quadrati siselaabetsicutis adpi.Et iustauia isdrecta data:se potest habere ad arcuin quadrantis sicutis adpi. quare nec e erit glas aequalem esse redite datae.si recta data resolata mi:m arcum circia riseretiae circuli dati ah.cumgkssit arcus otia diatis eiusdem circuli:patet propos, tum. Etera de se patet Ex hoc loco:ciuisio arcus quadratis in quotlibet par tes elicitur:&ex consequeliti diuisito uiguli recti in othbet partes.scilicet diu ui do i quotlibet partes sciliret perti sexti Euclidis: scinidianaetrum inciali S a princto concursus ducendo lineam sic in eadem inter latera arcualia aequariis sit uni partiriin semidiametri .Et ubi pars illa secabilia arcuate qa est qua σdr:ms notetur litem:8 portio illius arcus inter plinctum stimonis& anwltini stibaretialibus late thus contenti inuad arcum quadrantis proportionem tenes
hi liqua portio semidiametri dciis inter latera arcualia ad ipsani semidiata α
Detransmutataoiae superficierss. Cap.II.
Superficierum transimulatio ut sufficienter expIscetur t de
stiperflua reseceiituri: rectili itealisi superficierum versione uti nota praetergredior.Na triangulti posse in plures scalii di triangulos & quelibet ita quadragulum verti di illorum quelibet
iii quadratum plura quadrata in unum I atir trigonum unum in plures a quia ligulos trigonost 5: trianguliam similiter atque quadraotum sic&oes polygoniasi pleuras detioni sopleuras in alias figit, ras: ira comnia ex elementis geometricis&proportione circuloru
di quadratorum Itibi nota relinquo vi intenda adiicere scitis Ino re
in retrita.Per ea quae iii tetigi: facultas huius m peritur. Superficiem circularem si in re stilinealem trasmutare proponis: primo eius periplieria curua fila recta resolvito. Deinde semidiamei, tria peripheriae ad rectum angulum iungito trigonii claudendo: foversi est circularis superficies in trigonu. Si in tetragonu di quadra ta:hoc trigono sicile est. Circulus eni quadratur:si inter semidia metrum & medium peripheriae linea medio laco proportionale co,ista seceris Ici: quadraueris. Ostetistim eni est a subtilioribus sper mul itiplicarione semidiametri in medietate peripheriae:aream quadranyula exurgere quae nec maior nec minor erit area circuli. Multipli.
catio enim semidiametri circuli inscripti polygoniae in medie rixi peripheriae polygoniae circunscriptae:are e polysemia: circescripta: a quatur de maior est area circuli inseripti.Et multiplicatios idiametri circuli circuscripti si medietare peripheriae pesnomiae inscri .ptae:maior est area polygoniae isai praesci: minor area circsscriptae. quare miltiplicatio semidiametriin medietatem peripheriae circinis: taec maior nec minor esse poterit area circuli.
249쪽
Si vero quaeris aream superficiei rectilinealis in eircularem transis mutare: imo circillare resolvito per ia dicta in polygoniam 1 puta in quadrata.& semidiametru circuli facito lineam una: llam qua orati aliam.Deinde superficiem rectilinealem datam quadra: & coasta eius dicito lineam tertiam.& secundum quartum pinissum quar ta lineam reperies:quae erit semidiameter circuli quae siti.Et attende quomodo non deuenitur ad versionem circunferentialis Iliaeae in re
istam misi per versionem rem alleuius in circunserentiaIem. Et econtrario non deuenitur ad transinutationem superifieiei reetilinealis in circulare nisi mediante versione alicuius circularis in rectiIinealem. at hic lateant arcana:praesentis propositi non existunt. Si vero qrisquacungi portione sepficiei circularis inter sectores dentemisiue illa proportionalis sit ad superficiem totam siue no:ara 'tem habes arcum inter se res interceptum reseruendo iii rectam & semidiametrum in medietatem eius multiplicando. Si abscisionem ex chorda Ae arcus rectam superficiem redigere o narismrimo a centro sectoribus tractis totam portionem per iam dicta resoluas in circulum. Deinde triangulam ex sectorib' & chorda similiter in circulum:& substracto ilis a priori lportio remanet res a Iuta in sumetem eadente inter circiseretias amborsi circulorsi.q re,.sblui potest i remangula supficie:presolutione utriuis circulii quadrata 5c per substractione unius quadratae ab alia.quonia differetia:
est uti portio illa.Poterit igie illa i quadrata sumeselci: p quadrata in
circulare resolui:modis sumeter expressis. Et in hoc satis explicatuest ad artis sufficientiam: desuperficierum inuicem trasmutatione. . Possent adiungi praeternecessitate transmutatoriae attis alia sua .ra occulta hacteous: scilicet quomodo an ius describi posset citra centrum circuli se habens inter duos duplas angulosi secundu proaportione medietatis duplae: be hoc ex secundo pmissio. Potest enim
ri linea recta ad datam se habentem:vt costa ad diametrum.possunt ambae in arcus eiusdem circunferentiae resolui. unde sectores ad teraminos arcitum tracti:angulos circa centrum causare secundum ha hirudinem arcuum necesse erit.
i etiam superficiem una resbluere siris in plures quotquot volara et
ris quae fini ad inuicem dc ad totam superiaciem improportioneses: ita . si addideris unam alatiam scomposta totius aliquota fit. Si superficies data non fuerit semicircularis:in talem re lui arahendoctiordam quadrantis Uuidistantem diametro:quc medium diuisio/Dis voceturiabea ex utra parte per aequales arcus maiores ci minores chordas ducito:quot Iueris.erunt omnes portiones improportionabiles ad se:&: ad totam.Sed si duas aequidistantes a mediocliuissionis iunxeris:ersit talis pars suincies qualis diresistristat fuerit aracus.qua via de media sui cie semicirculari: absesdere poteris paria aliquota ei' qua volueris.Huius inesio est: msi tririguli ex sectorib're chordis mauidi stati' ehordaeq mediu diuisionis voea editi lusi
turi eris etia superficiem diuidere in putes: -um una si cuiu
250쪽
atinistincta Heritradhuc compostara ipsis su rficies lainpropori tionalis remanetiqvadostilicet a medio diuisionis per improporta uales arcus adcite ferentiani:chordas duxeris .m histalia ut libet
Hicias. ANNOTATIONES OMNISANCTI.
uperficierum trasinutatio ut sufficieittet explicetur di superflua. t oessionem rectis Musupiniciem docetis 1exiiEuclidis Ideo dis dei Cusa illam tam esse:ex elementis geometricis. o In Lisi mrficiem circulare si in rectilinease trasimulare a ponis pinitio.
ESit datus circus' ab:a in rectilinea supficie resolure exopto, Primopresumtam primi cap. resoluo circunferentia in recta aequale :quae sit c d.Deinde sumo aequa ablquaesit ese ad qua addo olithogonaliter aequale editassit fg. trahoeg:efit e se triangulus orthogonius aequalis circulo a b. Nam per tertia
propositione is principio libri pet nos a die ui N per esus correlariat multipli ratione es in m etatemfhq sit jureviniquale areae circuli producere ut in rectansula es po est Nestu. domultiplicatio es in totasg: rectisulans dupla adespo*ducit preptimasexti euellius.&etit etia dupla ad trianguIumefgper .prunt euesidis. quate per ς quinti Euclidis: triangillus es streis gula e s p o Qualis erit.&α essequeti:ciscisso a b.quod fuit probandri. Sequit. ISii tetragona&qdrata resoluere vesis:hoc ex trigono facile erit. Naper er p o: tetragona resoluta est. In quadrata tande per ' sexti Euclidis: rosolui potest sic. Sithliaequalis sp:R hieti mindireetist tmtialis sit e f.super hi: cubo semicirculsi. aptasto liteduco pii primi Euclidis perpessiculate
supat hi vis cistulamiuaec sit hi:erith lpers sexu Euclidis inlato loco pro portionalis interkli&h1.Et per ρ.Euclidis rectangula subkhRhizequalis est
circillo ab dato.*thoe es quod de Gadi t. Ilus quadratui: iustis midiametrus ut est hii&mediu peripi aeriae ut estklulinea medio loco proportio natem costa fecerist&quadraiietis. Sequissiostestamen est sudiui otibus per multiplicatione semidiametri in medietate petiph maria 'tradranguli exurgere:qnec maior nec minor erit area circisi OeIstud tetigi,nus plMawIosicione:pernosi pricipio adiceri. Adhuc aliquoinodo delissimat de Cusa:
te deces. multiplieatione seinldiametri. LSit quadratus bed e:cui sit inseriptus 5 cireuscriptus circulus,Mulolica uoas semidus in circuli inscripti in lmedietate periphetiae quadrati: area areae quadrati marismiedes bit aequarsi. eum a s sit prima quadrati: ut prius ostelam in in principio aream imi scriblitesteullius pii area. At a b semidiametet circulleir scripti in meo ae periphetiae quadrati ducta:area describit maroiaquadratiarea 3 minorem arearitim incinctipti.Na per consarsuptii ne propositsonis la principis post suae circunferentia circuli a d masot est citcunferentia quadrati inscripti. Sequitur.auare multiplicatioab in medietatem petiphetiae circuli circus ti qua dratoraream a me circuli aequalem describere necesse est. Patet igitur quom do multiplicatio semidiam tinmedietatem peripheriae t atram areae circuli aequalem deseribit.eo m multiplicitio ipsius intriaiore medietate raream maiorem area esstuli des ivt.ut est muli iuratio af in medietatem periplaeriae quadrati: qu. eaream maiorem circulo at producit.&multiplicatio semidiametris minorem medietate peripheriae circuli:minorem aream area describit circuli ut inmultiplicitio ab inmixtietate periphem: quadrati quae producit aream minorem area circuli a b.
CSi vero quaeris aream superficiei reeti ineaIis in cireularem die.
3 CSisuperficiesrectilinealis data non fiterit qua rata: siercecipiatur peras sexuti Dielidis. Silvitur datus quadratus abcd:quem in circulum aequalem vos Io resoluere. Primo per pinillam resoluo a vi circulum qui sit et in quadraisnamar lualam sui sit stilli. curro ad quartum si sitim: faciedolatus quaesdratis hi hi timam lineam reminitaequalis gh.seeunda veto aequalem esit mn iunm adi morthogonia lito aequatae Lelaudo orthogonium I in n.