장음표시 사용
271쪽
Nota est e j:&e g.Haecille. ζAduerte quomodo et & e p:nota sint.Est mi e ut dictu est)pars tertiade ed:&numerato latere trigoni e d soluitaremque nota est,quia ed:Jogitudineest incoin umbilis adlatust trigoni ut inonstra tum est:in primo praemio transmutationu geometraratu . Et latus trigoni ad ed potetias1uePotestate:insesquitertiu per ii decuniqua tu Euclidis,Decidedg quae cillae a trigoni: ad lanis trigoni longitudine in mensi trabilis erit cum sit ut 1. tertiae de d e sed potestate estnesurabilis.se elatin habet potesta ter ut ad 1x.Et iuniliter percaqim dulta si intiti annotaticinit' primi praenais si Geometricatu transmutationu:l in Potetia est comesurabilis periplimae triugoni. defecit u portione latetis trigoni: em& impotetia ad ipsum latus comenstrabiles erunt. Si igitur Nitaque radix potestatis in in radix pote mutis I in Hiieniat ut quib'inuetis substraliatur radix poteilatis I m a radice postestatis em:residui cute l.si et sol si proeliaque nota erit:longinrdine&postestate quia longitudine&potestate metane sutabilis est ei re 68 deest Euclidis.minem&lm:solum testate sint c&nensurabiles.Eκ hoc liquet quos modo de Cusa: sotu notam inqueel intellextat Quia igit tir el& eg: at propinque nolle:ideo fe eotum habitudo propinque nota eriP. R ex consequesti:habitudo enade c:cumen ad e c:sit sicut e t acl e g. Sequittir. Cu
positionemnecessiario erit secundu notam inbinadinem scilicet e I ad c g:Dota quantita se e Et si vera est qualitas en qua supposui: ti est si verus est num rus longituditus em sic examino e LSecudum suppositioireae o nota eritili est seclidum stippositioneninumeri Egitudinis enim tetia notus numerus lingitudinis e o. in n o:nota sit.st igitur numerus longitudiaus addanirnum roto tudinis e n:fiet numerus longitudinis e olsaltem propinque.Pniliter: notaerite squia aequalis eo.Et se du suppositione numeri logitudini se ii: est notae ciuibit anatur numerus propinquus Agit iras ste de e hqus proisenque nota este residuuetit e Lex quo sequiuir in quadratus de e s p haurite notus erit: sicut 8enumerus longiniduus.a quo quadrato si stabit aerat qua ratus X y semilateris octogoni qui quadratus simpliciter notus est: residiissetir propitiquus quadratus g y per V primi Euclidis.Et sic iteruistineriis sidigitis linis propinquiis degymotus erit.*ii substracti is a numero lina nidinis propinque noto cleg κ siuec siquod idem est:residiisieritntimetus. inqlius longitudinis z y: qui si sit aequalis propinquo numero longittiditiis c cercete supponebatur. Sinon comisti iretrornu endo scilicet aut minuendo niim
tum longitudinis e n:&surget quaesitu scilicet cognitio nuineri longitudinise L&exesis inuenti:ex e f. Quia enim e e estexcelsus g x secunda octogoni super g y prima: rit e c aeqtialis et y.Sideo ec:sagitta et octogonLcst citime rivis y cum duabus sagittis .Manifestu est quo nodo propinqtic notae erutg x siue e s quod idem est: Nnos Hianus circuli imperimetri.Tt de se notari x y: quia et decimas ta periplae thettigoni.Titumis scilicet scoli apolygoniae&semidiametriis cimili isopersimetri attingi eodenaodo possint me teriς polygoniis vide octogono tarn expressiim est:siibitingit de Cusa ex hoet habitudinem cliordae ad arcum dicens. Tali via omnes chordae notae erunt. Subaudi adsitos arcus saliem prop'ite, si uod veteres summo madio I
quaeretes: attingere no potucrut . Omnes tractentispneris necti ordae gradus varius duors quatitor octo &sic deinceps vincasti:se ignorasse fatetur. CSalitem ubi pessio latitaret. Vhi enim lante si vera si, it qliae dicta sunt de habitus dine semidiamentscirculi isoperimetriad circunferremi apertedcinostrat dil
272쪽
Ursa.eod demonstrat ubi latitet numerus longitudinus seeundarunt polygo niarum B semidiametrorsi circulorui peti me uom:min hoc . numerus latestis sit semper notus. quia pars aliquota:peripheristagonino e. Et ex constaquenti demonstiat praecisione propinqua:chordae ad arcum sie. Describo seu iniicillum cuius semidiametersit visecianda octogoniicilicet ut gp vel c f.
traho latus octogonis g:erit f g chorda η ς graduum vidit' una. si habitudinem voluero perquireres g chordae ad f c gar in:sic perquiro.Inuenio per praemissa semidiamenti circuliis operuriem:&tractis a cetro ia rectis ii fringi signo in n faequalem scinidiametro circuli isoperimetri uuae sitn o.&m n o: describo arcuitior p.&tralao op:etrint arcus f c g&or pumiles:per diffinitio nem stinuiuinarcuu. in eundem capiant angulius ilicet f n g.igitur sicut f csestpars in haua circunferentiaesiti circuli:ita orpsoq; operit latus octoginti inscribera circuli cui 'no sentidianieter erit.Rurrus ex ia dictis inde Geometricis transmutationibus: constat hirciuilatentiam circuli n f se habere ad circitia, serentiam rectilino sicutis f adno.&exeonsequenti quaelibet pars circi inferrentiae ictilin f ad qualibet partemrelativam circunferentiae circulin O:erilsis
in f ad n o.Vnde arctis f c g ad arcuin or pse habebit vin f adno.Et est notum s gadop sibi aequidistantem:se lambere sicilin f adno per sexti Lusciidis.citin triansuli sint aequiangtili: vide se notum estipersecundam partem xyprimi Euclidis gitur pet xi quinti Euclidis f e gador psu ado pictile proportior es aequiles. qtua Vnutalicet f nadno uintantiales.Yt ausaliciit fcgador putas gadopierit permutatims c gadf g sicut o r pado p.Exliis constat proportiones similium arcuum adclividas: aequales esse. Rursiis quian o est semidiametrus eirculis perimetri octogono cuius latus erit ut f g: erit recta fgt italis arcui O r p. Imturper soliti iti Euclidisssicut op ador ptita op adrectain f g. Sed o p adt g:se habet sicum o ad n f. Quo fit: ut sicut se habet semidiatne trus est Ilisopertinerei ad seriindam ipsius polygoniar ita lanis ipsius polygoniae prodaorda positum)adamini.Nain sinito P ad O r ptitas et ads c g ut dictu est ratione insitani arcuum&chordariin1. stat si
mrs schordaria ad arcum c g:schaliute sicut no adiis. Sed no est nota sunt literias est nota periani stella. igitur Rhabitudon o ad n se nota erit. similiter
SIrabitudos gradf cg.cumf g:inpliciter sit nota.Etita de quibuscsq chordis aliquot graduum: cicendum est. tiodaute subiungit de cognitione habsutudinis laterum & angulorum ignoti triamilli: per sesentiam trabitudinis are
uin&cliordarum licpatet. Sicium ipsius trianguli latus fuerit cliorda&hauhitudo ad arcu nota sit:tacilli,ne 'latera&triangetili cognosti pol t. Suppou natur hic triangulus esse i scheles.Vt si sit desereptus triangustis ah c in semis circulo:&laabmido arcus bdeodbc riaordam nota sit. Cum habitudo arcus bd cadb ectioidam supponatur nota: erit etiam nothian quot gradus hcchorda erit saltem propinque.Hpersamdiela:habitudo semidiametri ad circiinlaestentiam nota est.quare etiam erit nota adpartem vel partes aliquotas ipsius in clinferentiae. Et ex consequentia blaea bittido ad bdeaminici adb ecli orda: nota erit.Et ita de omnibus dicendum est.ctim liabitudo arciis adcliorda stipuponitur nota:erit tunc habitudo Iaterum nota. Q uomodo vero habinido an guioriim fiat nota:dicedium est. Quia propinque notum est quot graduum sit chorda b c: erit habitudo arcus b d cadarentii quadrantis eiusdem circularis nota Et quaeliabitudo inter eos:eadem erit Sangulor tim quos capiunt per virtimam sexti Euclidis. Vndehaltitudo bae ad angulum rinummota erat.Rursus videatur excessus duorum angulonina rectorum super augulumbae:&ipse excelsis in duo a qua dulidatur erit medietas talis excessus aequase anguloael, velabetqui suntaequales pers primi clidis. in ab Raciliteras irasita sunt. Patet igitur propositum.
, Grani apposta figura: quae de trigono in primo praesupposito pra mittitur:asium describo super a centro circulsit ius semidiameter.
273쪽
Prius subnota x:docuit seinidiainam circuli inquatitate colitia inuenire. Hicia docet:&iquatitate discreta. Seouit. 4 eide nota excessum e borio is
figultiscilicet trigom quae est Iasipistfigoni)supat, malis qιi est secuda heuxagoium sagitta. decu b c sitiuualis dua se dis hexagoni isoperimetri: si sub liatur ab de b c te siduum etit prima hexagoni Nac trairitur virus cundacu sagittata exagoni: a duabus secudisIgitur excessus b e latetis tr oni super a b:estvtprima liexagoni utina LVnde k I aequalis inag:quae citat notaeumque.cu a hec a I notae sint in quadratis:&ptopinque in longitudine. ut prius duis est. I a ad a m se habeatsinit a i ad aginnotu ratione orthos gonioru similium per η. sexti e lidis. Sequitur.CInueniatur igitur numerus qui selia beat in aliqua habitudine adnuinem longitudinisi a propinquenOα tum: ita et, in eadehabitudine sit . alius se habens adnum longitiidinis a gpropinque notii taliter . l a m hoc munero inueto de b c latete trigoni subuhractot tacin remaneatqd remanet substracto a g cum alio numero de a h.&nuetasti senaidivinetrii circuli.Etquodainodo:l inuetio primae respodet subnotisi &3. inuis difficile tales numeros inuenire sit:taine possibile. Sequitur.
Vt siet inquitate subtili liabitudine diametti ad circularentia attingas lom gitudine:considerata tame habitudine latetis trigoni triplari semidiainctii dii, pla .hoe est cosideraritabit melineae adlatus trigoni pla: quietitvicit feretia circuliac habitudine lineaerectae ad se disinestu dupla.Eκ his quae dicta sunt elles in addedam sapitia primis polygoniatu o semidiametro circuli imperii ietii:ad sagittilaean tenet habituding in omnibus polygoniis.hoc ei cognita habitudine portionis sagittae addecte primae polygoniae pro semidiaα
metro circuliis opeuntem adnisam sagitta: eatide tenebunt portiones sagittavrum ad ipsas fasittas. tet. Resumatur figura subnota quinarii. Dictu est sicut i e adeguta n e ad e ci&Φl m&nossunt uales di ut semidiametri eci illisopetii iti polygoniae trigonarcto onae.Rursus dictu ineg:esseextictissim siue sagittamnigons.s Ilitet e cenes otia octogons. scisto duas rectas seorsum quam maior sitem: uallae inminuta Minor vero eo:squalis eme ola, ura .erite mraequalis e daneasigrisaequale e g suhellae littestis:&aequale ed sub eisdem literis. t 1 m:ut semidiametrus heuhisopetim 1i l .Rursus in eo signo aequale se e&en sub eisdem litetis:eritonaequalis Im. Deinde signoino carettaaaee e SP qc:etitoq ptisa octogonit&o cseeuda. quare curric q sit sagitta:eQq n additu ex sagittat unice octogoni stilicet o qproseinidiametro circuli isoperimetri. demodo quia e s sagitta est trigoni sis raucro a Milalaminings laeda quae silpg:etiti apprima trigoni.Et quia pgsagitta est trigoni quia excessus est ins secuda superinyptimamin ip te a Riitui ilex sagitta ptii taetrigoni proseirudiametro cimilliso timetri. da. c dicon qadcq seruare illa proportione: qualpadgpseruat. Patet sic. Na vi. n dictu est sicuti eadesistane ad ec.Et permutatilia sicut i e ad neutae gadio e c. Sed quia e gabscisum de I eudee abscisum de ne se lubet sicut i e totui ad ei, totui uideo per iς quinti Euclidisti gaesidiium adnc residitulerit sicuti e totum ad n e totum.Flex consequenuper ii quinti Euclidis:i' proportiones mini aequales scilicet i gad n e Se gad e c.qusavni sunt aequales:1ciliceti e ad n e.Rursiis quia i g abscisuin de g p ad n e insessum de c qi se habet
sicut g p quae est inrualis e glaoc q aequalem e came totum ad totum:ideo per is quinti Euclidis i p rὰiduum ad n q residuumtetit sicut g p totum ad co ' totum.qliarest enim hae proportiones aequales erimi periiqu1nti Thiel dis:
scilicet i g ad n ci& l p ad n q. quia unisunt aequales: scilicet ε p ad c q. Maalaifestum est igitur Mut 3 p am n quia pg ad q c.Et permutatim sicut p I adpgnta ' n ad q c.quod fuit probandum. Etita de omnibus polygonii sis dirimetris trigono modo quo supra apylicatis ut octogono: dicendum est. Rursum quia de Cusa in hoc libello. videtiit supponere circunferentiam circuli persiam resolutionem ad diametrum:longitudine minorem seruareproportione rebus quiseptimamiaiorevso tripla sume pertiete septuagesimas
274쪽
prinias secivadu propinquitate Aresumedis quae vera est. Ideo si libet ea exa α' nemus. si ita sit:inde sequitur. si ponatur circillarentia circuli logitii dine
12:etit diametrus longitudine inaior . . si ponatur 3: erit diametriis logiit dine nor i. His praeliabitis sic primo de proportione tripla sesqtiiseptima: eam examinemus. Sit de talptus triangultis aequilam us bdc:& centrum sit a.d optima trigonia fucilicet quae a centro ad medium lateris educitur.similis ternatio a b:s indam. Deinde diuido b f in duo ua: in puncto e. tralao a et continuo eamus*la sua Ia ada e se viqitaria Agitudine: quae erit per promum praemisitim semidiametrus circuli isoperinietri. Ex ea igitur describo circulum:quietit trigono dato isoperitne ter. Sint igitur tria latera trisoni Iononidine simul G:etita liton studine maior 3 in una secuda.quia a labis debet esust maior τ:sitim latera titioni ad ipsain diametis quς erit a ti bis debeant mi norein seruare Nortionem tripla sesquis tima. sicut igitur diametriis habet esse maior longitudine : ita ti scinidiamettus longitudine habet esse maior 3 cum una secunda.quare potestate: etia erit maior o cu una 'ii artaiqiri est quaαdratus de 3ciim una seci inda. Rursis. Si tria latera trigoni simili sint b elonginidine cuin vita initiat&b f longitudine 3 cum v tertiis.qimrepootestate erit i3 cuiat nonis:cuius pars tertia est Gaim 13 vicininisset umisHtanta erit potestas dea f. cuml, s ad asse sit potestate tripla. Nam ahada s: po testate qtiadrupla. si igitur ah sit reritas uni impotestate.& dempta potestate dea fia potestate ab: remanebit potestast, s si ilicet .erit igitur b f ada s: po testate tripla.&haec saepe:dicta struit. Runtis pars quartade 13 cum notus est 3 cuini tricesinassPκtis.&tanta erit potestas:ctes. Nam sicut b f ad ef po, testate est quadrupla cust longittidine dii pla)ita 1 in nonis ad 3 eii it trice sun extis. Iunso potestat eas cum potestate e filaoc est cum in vicesima ise septimis ad cu13 meemissexti .&vthrebriter fiat reperio numeru ros: qtii a 36cta in numeratur. in quater a. : faciunt to8. similiter term: faciunt ros. multiplico is per &fiunt si unde centesimaeoctauae muales stini i3 utice Heptimis Rursus mitis lico is per 3:&fiurit 3 .Vnde 39 cetesim coeti
Ieserunt 13 tricesiniis extis R i vicesimiiseptimis simul. Et sic cum a trice siniissexti & cum 13 vicesinu Iseptimis simul: faciei it cum ρt centesimisi octauis.&tanta erit potestis dea e:per V pruni Euclidis. sis eum a liada e sit langitudine ut ς ac : potestate erit ut ας ad 16. Inuenio et sextadecimam de
Y cum sti centesimisodi auis. Priino reduco re ad fraetiones: multi Iiciando mper io :&fiunt πω eentesimaeoctauae. quihus addo ui centesimas octauas : Nerunt e r centestinaro elatiae o tanta erit potestas dea e .citin τ clitia si cinat ustinisomuis sint ut s*-centesinax metitiae: ilitis decinias exta crit sΣ centes ismaeoctauae cisiis decimissextis ex i celesti noctaria Militiplico per Esnticet sumaso statias m fiunt i306centesimiaeo, latre. I rii ademtiltiplico is decimas sextas ex x centesii naoctalsa petu:&cstitit s declinae sextae ex icentesinam octati a. quae reductae ad Damones integra ruin unitati uncas pcet 16. dii iidedo: erunt pIiisq r. a centesimaeo flavae.quae additae ad ricio cetesimas octauas: erunt 13L3 cclesinaaeoctauae. Vnde istia celestinxnctaris limi iniit' u 1ς doctura sextae de s m cetesimis offatiis. quare a h potestate: maior erit i ii cetesimiIbetauis. Reductae ad unitates eas p ro2 dii ii dedo: erut ri cu L, i et cms et iussi siue , icii i quarta. quod idem est. Constat sonitati: potestate maiore esset armet quarta. quam longitudine unaior erit 3 cum i secunda. citius quadratus rest in cum et qtvirta. Rex consequenti:a li bis longitudine maior erit T. quare circsα
ferentia trigoni posita aeqtialis circuri feretitiae circilli:ad diametrumscilicet a Ithis minorem seruabit proportioneni θ G ad Q. R sic proportio: minior estu tri ala se inseptima. Restat latia videre an seritet maiorem: tripla superde perficiate septiragesimas primas. Sint igitur tria latera trigoni longi uidi
ne simul ααι retit a ti bis longitudine minus Q τi Ra h erit logitii dine ininus
275쪽
cturi Isecuda. cuius quadratus:cit 12 cu 1 qtiaria.etit totiir ali potesta teininor letoo crini t quarta si tria latera trigoni suitul longi nidine sint debeatit seruare ad diaritetra circilli Topertinetri imiorein longit idine proportionem tripla stiperescripertisate septuagesiinas primas Rideo maior et u 113 ad Ti.Rursus si tria latera longitudinesvit 3:etit b e latus logiuidine R itertia.&b ferit 3 em 1 sexta itudia potestate vero 13sx cu 13 tricesimiisextis est quadratus de cui sexta.st tertia pars deis iram utricesimissextis:est sociiiii-triccsuniisextisti, tertia ex x illaestinas latitanta erit potestas deascum b f ad a Dpotestate sit mola. pars vero quartaderi cu i; tricestinisi sextis est cum is trita me tisct i quarta ex x tri Amasexta:& tanta erit potestas de e fcumb f ad e spotestate sit quadrupla . Iungo potestati e finiicet 3 s cum latricemnissextis N i quarta ex et trices1inas ta potestateas scilicet so cum iis tricesimissextis& i tertia ex x tricesiunasexta:&etunt cir α2 tricesiniissextis& duodecimis ex x tricesima sextaS tanta erit potestas dea e per 5 ptimi Euclidis. Rursus 1 decina a sexta de gos cum-mcesinissa sexus es minor sociun 1 triceianissextis.quaeducta in 1s primo dumis in facit iis .&t tricesima extae ducta inu faciunt, trieestinassextas: qriae reduetae ad unitates eas v3s diuidendo facitati cum M tricesimis sextis.&siaddatur ad tuo erutri syc sit , ut ii Ismus. de itis Vestas tricesimis sextis:faesentfuse Μ decimassextas de a disiue de gor cu 13 tricestinissextiueg ν duodechras ex et tricesimasexta. Sexeonsequenti: a I, est potestaterni a notitis; cii in tricesimissextis.&sim liter logitudine:minor erit sectida cuius quadratus est ut dictuin est luci cu i quarta. similiter a Ii his longitudine minor erit x. tetigitur tria latera trigoni b e d posita ut citcsse , tia circuli citius a ti est semidiameterra da h histitie dianaei tu circuli ongitudineinaiorem seruare proportionenis Ladad Tr.quarenaaiorem tripla sup octipertiente septuagesiim finias.Exlus:talis elici uir proportio.
CSiletiri diameteres hi perimetri trigono incillo inscripto se traheat ad neam a cetro circuli cui trigonus ius plus est ad quartia lateris tristinudiicia: in proportione sesquiquarta longitudinescircunferentia circuli ad diametetsi norem longitudine seruabit proportione triplas oui septim maiore vero tris plastiperdecupertiente septuagesimasprimas.Εκnis etiamssitatur:upropinuque lucre sollitio ad praecisiam accedat. sic enirn spe accedit: vi Iaacten nutilain tam propeaccede te legerimiis. I rami uneninaqriodes obsititiir: inmporiit circui nitiam ad diaineretini potestatectincrisiurabile: qiue indubitaterest 1ilcomensurabilis potestate. Sed de his liactenus.
LIBELLI DE ARITHMETICIS COMPLEMENUS RIRNICOLAI DECUSA CARICUM A NOTATIONIBUS OMNISANCTICA NONICI COENOBIILIVRIACE SIS ORDINIS BEATI AVGV STINI. FINIS.
276쪽
DE MATHEMATICIs COMPLEMENTE. M.Lix
Beatissimo pari Nicolao quinto: c laus De Cusa Cardinalis tituli sancti Petri ad vincula. Anta est potestassemmi tui pontificatus Nicolae quinte pater beatissime: vi p eos' qui vim eius attere cosiderauersit assimitetur potetiae quadradi rotia dum & quais drum circuIandi.quasi maior illa:dari nopossit.Versi cum in te non tantii primat'isit clauis & potestas scientiael supremae.
hierarchiae eeclesiae sed velut piset' magisteriam stibilia ex tuo felicissimo silenios in parabilis notitiae esse indiceris abomu nibus iid magnificetissime effecisti ut omnium tam graecorum v latinorum scripta quae reperiri queunt: tua mirifica diligentia in omnium nostrum notitiam accuratissime perouenerint.Ita ut etiam geometrica non neglexeris: quae sane omni lio
nore digna a maioribus nostris habita fuerunt . Tradidisti enim mi is hi proximis diebus magni Archimedis mometrical graece tibi prae sentata:& tuo studio in Iatinum conuersia quς mihi tam admiranda visa sunt: ut cura ipsa no nisi magna cum diligentia versari potucar .ex quo id effectiim est:vi meo studio N: labore coplementum alia
quod illis addiderim:quod tuae sanctitari offerre decreui. Solu enim
te dignum scio ut quae a sis culo incognita remanserunt: per te cum elis patefiant. Ac non tantum scibilia quae semper circa quςlitam dirisculi quadraturam versari consueuerunt:sed & quae in omni mathesmatica persectione pr stant complementum ex his ipsis meo iudicio persecte consequi possint.1 Testimonio omnisi qui se ad geometrica contulerunt:nemo prii quius Archimede ad eirculi sAuenit quadraturam . qui vides illam
attingi non posse t nisi curua circularis linea in rectam resoluatur: nisus est hanc arte mediante helica os edere. 5ed quia proportio motus signi a centro per semidiametrum: ad motum in quo in eodem tempore aliud signum per circii riserentiam mouetur.sine qua helica deseries nequit se habet ut semidiameter ad circunferentia quae non est scita sed qucritur:hinc videtur ipstim defecisse. Facilius enim erit circulum quadrare:ς helicam describereIN: contingentem eidem in fine eirculationis applicare .remanet igitur ex iis quae Archimedes reliquit: haec ars adhuc penitus abscondira. Ego autem quis mulisitos in vanum Iahorasse in hac legerim indagatione: tentare coepi sit te haec dissicultas possit medio coinciden ru finem capere luti in aliis scientiis. vim illam: maximam esse comperi.Et visiim est mi iiii q, data possibilitate quam passim omnes admittunt: facile possit huius seientia ipariter Ae praxis modo qui sequitur adipisci., CPrimo aduertendu et in figura multiangula seu polygonia aut ha
277쪽
tat aequalia latera: ictus unus a quidistas a medio & fine latersi centrum dicis.& linea ab illo centro ducta ad mediij lateris:est semidiata meter circuli inscripti eidemin vocetur prima linea. Et alia linea ducta ab eode centro adfine lateris meu anguluaIiquerest semidiameter
circuli eiresiscripti eidel&voca seesida.Hae duae Iineae in omni mitistiangula diuersς svat qualitatis: di tanto plus quato latus eius masius. potetia siccidς lineae: cottinet potetia priniae.& cst hoc poten tiam medietatis lateris.quia latus trianguIi orthogoni ii qe opponieangulo recto:ut ostedit Euclides. Et quia prima figurarsi rectilinea. rum:est triangul'hinc in eo inquatitate: prima se secuda lineae diti serui maxime.In circulo vero: incidunt.quia ibi centrsi: aequaliter distat a circuseretia.mediti enim N: finis lateris coincidui: de est uti. angulus.Est autem prima linea in trigono breuissima: & secsida latii. gii in a.In eiusdem peripheriae tetragono prima post prima trigoni breuissima:& sic se Ada post secundsi trigoni longissima.& ita consoquerer. Et quonia prima in tetragono tali logis est prima in tripolatio:si duciε prima in tetragono in medietate peripheriae & similiter prima in trigono in eande medietate diuersas suincies quς aequatur polygoniis oriri constatimide excessus suinciet illius quae ex prima tetragoni ducta in medietate peripheriae sup stipficiem quae oris exductu primae trigoni in eade medietate seripjieriae:est excessiis capacitatis tetragoni supra capacitatem trigoni. & sic quidem in cunctis polygoniis: excessu primae lineae cuiuslibet sutur primam gom is, perimetri depRhenditur excessus capacitatis ipsius polygonic per capacitatem trigoni.
Quito aute differetia primat de fresidae linear si est minor: tssito exi 3 cessus prim lineae polygonic sup prima trigoni maior.Et quia in circula coincidiit prima de seresida:excelsus semidiametri circuIi i perimetri suo prima trigoni est maxim'.& hinc circuli capacitas: sup capacitate trigoni niaximarunde linea una recta quae t trigono ad tria Iatera est cxtesalvi sit illius suinciei Wrimeter :in tetragono ad qua tuor latera extedis ut sit tetragoni perimeter f& adlluc plus in pei, rhamno.si autem maxime extuditur ita φ plus extedi no possit:erit tuc perimeter circuIi.Ex his patetis si trigonus est minimc capacitatis ubi prima βe secuda lineae maxime differiit 5: eircul' maximς capacitatis ubi prima 5e fresida Iineae coincidui: erit sic rportionabit, rei in mediis polygoniis.quare si ponis excessus capacitatis ipsi' dirisculi suptrigonusve est dihretia primae & secsidae lineae in tripono:
erit excessus capacitatis circuli sup tetragonsi sui differetia primi &fecitdς Iinea: in tetragono.& ita coseque e r. cum ad maiore excessum primae lineae uniust suo prima linea aIterius: sequatur minor diffrarentia primae 5e secundae in excedente u si primat de semiadae in eraeelia.Ex quo facile dato excessu primat in una aIiqua sup primam triagonis e differetia disserentiar si primae &secsidae illius capacioris Aeprimat fle secuda: vrigoni:potest haberi semidiameter circuli ise aeri .
metrifcuius scilicet circuiseria κquatur tribus laterib' trigoni aut
278쪽
quatuor tetragona. Quo scitor patet circuli quadratura. Na si ducie semidiameter illi'circuli isoperimetri in medietate peripheriae: satur iurecies quadragularis quς nec maior nec minor esse potest sui oncte circulari ut Archimedes perficile inedit. Usc supficies quadraguIatis in quadrata ducit: quonia costa eius erit mediu pportionale inter se diametru circuli 1 de semiperipheria eius. luς ex nona sexti Euclidis:inuenit. ia liaec suis manifesta sint: lo tame ilIa etia illis qui mathematicis opera no impedersit Iesarissima facere.Figurs auistem multialigulς similiu Iaterum & aequaliu peripheriarsi s de quib'Ioquaripolygoniar i pleurae & iseperimetraei ex coformitate graecae linguae apud aliquos reperiuntur nominari.
Testimonio tam qui se ad geometrica cotuleriit:nemo appinquius.
i CNain post isthabitudine ciminferentiae circuli ad diametiit: secundia plus
inunis.SecudvpItis: cu dixit anatore esse tripla supcieeupi se te se picta fimas prirnas. Secundii nuruis: cti dixit minore elle tripla sesqiiise linia. litori pliis Staimus pani sese excedsit:sed munis habittidine verain circularetve circuli ad
diametrii qmediatinter predictas liabitudines. Sed litia 1 polito motus si eges. De hac clice descripti laneinhiltipe de Crita in se plactione matuletna tica:sic inquiens. Arellimedes et eluinqiiiper esica voluit tollam circit sematia circuli c6mesurare:nihil de arte tetigit.Nec id iniimst indidio particillari :qii d vesiuit.peccauit enim: praesuNonensqliod quaesitiit.Elica enim siue spiralis linea: hae motu duoru punctorii quorum molim habiti ido est ut semidiames ter ad circillarentia circini describi inquit. Id igitur supposuit: ductelica loqtieretur'dqtiesiluit.Haec ille.Ex his costat:qri id permotu duo ii signorii intelli, gat scilicet duo iusta. Difierentia est inter signit scripta cu ai&sinu scriptu sinen Sigilii quippe u g iii geometricis: proterinino lineae sumstiir. R sic a de Cusa:ibistii nitur.Etia Arctilinedes sic sumit:in notitillis tradiatibus ometricis. S1num vero sine g: aut pro sagitta aut pro semichorda accipitur Viades a gitta:dicitur sullis versus.semicli orda veroisinus1reetus. Siligis descriptus circulus a b:&si eius seinidiameter a h. Moueatur nua per a b:&similiter si dignum h pa circunferisin .suos notiis in eode tepore absoluB.entproportio motus figia per a b admotus igni h per circi retentisi:qive es a D ad circunferentia. N enim a b inest ira motus signia: Rcircsiferentia mesuram Deus signib. ivnaquaeq; quantitas: est inest ira motas motu propclotu termienorum.vilinea:punet .supficies: snearu.8 corpus:stipficietii.Dicitisit de
Cusast, sine coin tioe ortionis ab ad circimferentia relica deserebino pose sit.quae Iaabitum si cognita foret: posset addi circulo recta continseras ad qtia a b pportione seruaret 'ita seniat ad circularentia.&Melica quaesita: facillime discribi posset.Visi e d sit estiges circtilolad qua a b seniet pilortiolae quam seruata a circssetentia:erit e d a qiralis circularentia: p ς quinti Disidas.Rii rusus inoueatur a b termino a fixo versus e:ad motu cuius moueatur terminus c nodeferendo h. Cua h tota perciirrerit circuserentia:ita tota c d toti circula
rentiae circuposita erit.&lam circitpositio:elies est deserti fio. Supposuit igiti irArelaimedes ut vult de Cusa iliabituditae a b ad est Mentia quae gnora ssitie quaeliea describi no potest:&q, per eius descrip ne valeates gens circhilo dari quae sit aequalis circitferetitiae.Hae Arriaimedes quaesiuit habitudine:&simul supposuit ut vultde sa)ideo ptan errasse est manifestiim. Sed alla
lag pcreticam:proponit de se venarim mirabituduiem scilicet permadix ii&minimii.quar via: coincidetiae dici . Ttesteuomiaia intermedia es maerimo&mmuno coincidere perhibetur: in quo maximu coincidit cu minimo.
Sed lxec exsequetibus: fient manifesta.
279쪽
EPrimo aduertendum:φ in figura inultiaraguIaseu polygonia qua
CSit descriptus angilluscde:&sus arquidistans a medio lateruim.similiter , uidis aras a lateria erit centrii polygoni. U.traho f gisimi g punctus indidius e d lirum: t f s semidiamettus in limVnoualmynsent ptimatri goni. traho f eierit 1 e scia udiametrus circuli trigono circuscriptictetit eade fe seclida trigon1.&ita in caeteris Polygoniis dicatur. duae lineae prima scilis cet&secisida:inoinnianultiangula sinit diuat quantitatis siue I pitudinis.&tantopIus:qtiato latus maius.quia quato secuiua plus prima excecet:tatonia uiorein ad ea ieruabit proportione.Et ratio eae inper 3 tertii Euclidis:recta a centro adnaedietate chordae ducta duos an los rectos super inorda facit .cusitppediculariter super ea.Ideo prima omnis polygoniae:ppMiculariter est si Per latus pesygoniae. eκ quo patet:prunam 1 alatereniti tu rectu retinere. adueniente vero secuda:fit trigonus orthogonius. Unde dicit de fas e secaduniper is primi Euclidis:continerepotestate pri me potestate scintlateras. Qitato igitur latus maius erit:tanto inaiore secunda ad prima seritabitproportion .ex quo sequitur tu, tanto plus diuerssio tudinis erunt.Et quia prirnati rara rectilineatues triangulus minc in eo diuelut inquantitate prima dis Gada lineae inaxune paratione prius aductam.In circula vero:coincidui.quia
ibi centruce aliis distata circularentia. ideo non potest a centro circuli ad inucunferetiam duci maior eminor:semidiametro quea odii fit in aliis polysoniis. Media Rfinti lateris in circulo coincidunt:& est viis latus angulus rationecoincid lae&e uerso.In trigono prima linea breuissima:&fecitda Ioiamssima In tetragonoriusde peti phetissilina postptima trigoni breuissinis: sic secunda post seci indam trigoni longissima.&ita consequenter. Sed tiscias lientia inanifesta fiunt rex iis quae dissi sunt in principio annotationum de
geometricis transmutationibus.
miranto autem differentia primae 5e secundae linearum est minor: tanto excelsus primae lineae polygoniae super prima trigoni maior.
CVt cessus pninae pentagoni super primam rigoni isopetimetri unaior erit excessu in riptii equadria per fgprimam trigoni isoperimetri. Nam ut dietini insupcti':quato ptaygonia imperimetra mira habuiat latera trito citis
prima maior di se da minor.ideopnma pellia ni:maior erit prima quadra suis periinem.ut satis expressiim est degeometricis transnuitationibus e priuina pentapont&cius secunda minus.eadcin ratione differetitu prima quacratire eius semida. Subiugit:& dicit. gain circulo coincidui prima di se lida: cessiis 1eanidiametri circuli isopen, netii super prinia trigonis straiaxun'. Ee huic circuIi capacitas:super capacitate trigonii perimetri nMκinia. quia rivis Ia prima alicuius mediae polygon intantu excediti finia trigoni isoperime. rei:sicut prima circilli. delinea una recta quae in itisono ad tua latera inexu tensari tillius superficies sit petimetet hoc est circularetia: in tetragono ad quaatuor latera exaeditur ut sit tetragoni petiinetet siuecircularentia.Et adhuc pius in pentagono exaeditur. Si autem inaxiineextenditur ita u, plus extendi non possit:etit tunc pera meter siue circunferentia circitia .Ex his patetu, si trigonus
est minin capacitatis S areae ubi prima Ssereida lineae maxillae clinetiit dicituculus inaximae rapacitatis ubi prima&st lada lineae coincidunt:etit sic prosportionabiliter in mediis polygonsis licui est in ipsa maxima S minimapolySupponit hic quicquid de maxia Rininima polygoniavetificabiliniuetioeptin circuli:vetificabit etiade medires polygonises.Ideo sequis. CQ uare si ponir cessus capacitatis ipsius circuli1 perimetri suptrigonuvi est diseferetia primar&serectar in trigono: erit excessus capacitatis circuli isoperimetri super tetragonii vidisserentia primae ct fecitds in tetragono: ti sic sequenter. Rationem subivnsit dices. Qim ad maiore excessum primae lineae unius stipsirim lineam altervis sequatur minor disserctia primae ct fresidae in excedete et it primae&sere in excessa. CVnde quia cotimie primae polyponiarmapri
ma trigoni ad prima circuli is operanem v crescunt: decrescut secundaI
280쪽
supponit de Cusa augmetum illud&deciementu proportionaliter fiere momonibuspolygonus a rigono ad citculuinisoperimetrum vis. Ex quo pendet ex tum primaeescuuasoperimetti superprimam cuiuscui rosygoniae:ad se in ipsius polygoniae in omnibus eandem tenere proportionem. Sinum terpendetirectam ductam a ptima trigoniad primam esteuu isope citi: preora primasmediam polygoniam traeire:& tolla Maseeudatrigoniadsecuda cireui sepefimet, poesse das inediam polygoniat utrasite.vim sequetibus dicet. Seouis. x quo facile dato excessu prirnaei una aliquas m primattigoni & diiMetia differentiarsi h estexcessulantiassiciuae incuntur excesσsus primae ct secun polygoniae)capacioris5 excessus primae Asecundae tigoni:potesthabetisemidiameterinculii petimeri scilicet secuduni moduiri quem statim subiunget. teta: in litera sunt aperta.
Proposito prima. -ducitur linea recta in lineam recta:oritur figura quatuor
Ad re rum angulorum. Et si eadem ducitur in dupla:oritur in m dupIa.& ita deincepg. Et si recta ducitur de anguis in angulum:diameterest.quia in duo diuidit. Vtissa b Iinea dueitur in b c: oritur figura quadragularis a b c d habens quatuor angulos rectos. Et si ab ducitur in B e quae sit dupla adb c: oritur quadranguris qui est duplus ad a b c dainea vero a c diameter est:similiter a c. Secunda propositio.' e Multiplicatio prima: Iineat in medietate per heriae:aequatur emis do pesmoniae. Sit a b c d figura quadrata quatuor rectorum anagulorum l&aequalium laterum:cui inscribatur circulus supere centrusitast, tangat quatuor latera quadrati in medio. 5: trahatur de ead contactum rei circulus tragit a b linea e fiquae est prima quia scamidiameter inscripti.&traiiatur eb sinea:&similiter de e adcolais
et lim ubi circulus h d latust itIdi sit e g.&dupletur f h:&sitfh. dismiliter dupletur eg: de site i dupla.&claudas quadragesuspex lineam h i:& ducatur e si diameter. Manitatum est expinim e fructi eb h:triangulos esse aequales.Primus enim:medietas primi quadraguli.quiae D diameter.&es si triangulus est medietas secundi quadraguli:qui est duplus ad primum.quia e 1, diameterierit igitur e bii triangulus:vt e f KDuplicetur lineae s h dee is&fit fli dupla aclfh 8ce Idupla ade i:&claudatur quadragulus per linea i L.&quia es h triangulus est tam pars quadrati a b c d:mὸuabis e fli I quadragulus ah cd quadrato.sed f k est medietas peripheria a b cd: aequatur enim ducibus laterib' quadrati t& e f prima linea Iducta est in medietatem peripherimquare patet pro posita. Et scut in quasdrato:ita in omnibus polygoniis eodem modo costat. nes enim in duplo ures triangulos orthogonios resoluuntur:u latera habeant. di proceditur pari modo:vr pr ittitur. Propositio tertia.
3 Peripheria polagoniae quae est circuscripta circularest maior peri Pheria circuli.&tato plus:quato habuerit pauciora uter Grearisi: si circillo merit inscripta cimiseribat circulo a be triangulus de hexagonus d e f h ik:di de g centro trahatur g a semidiameter circuli
qmisit prima trianguli di hexagoi si igitur a g ducitur in medi