장음표시 사용
281쪽
ratem peripheriae trigoni: oritur quadranguIum squale triumo. hausi seu area trigoni:in se continet area circuli inscripti. erit igitur area circuli minor.quare Friplaeria circuli:minor peripheria trigo,
ni Et sic peripheria hexagoni minor Uripheria trigoni:& prripheria circilli minor peripheria hexagoni. quare patet propositum an polytagoniis inscriptis: intrarisi Nam area circuli maior .quare quadragulum ei aequale constituitur ex multiplicatione semidiametri in linea quae erit maior a medietas peripheriae cuiuscun* polygoniae inserio
ptibilis. tinet igis area circuli area hexagoni iseripti: & it Ia hexasgoni continet area trigoni.Erit igitur peripheria circulismaior. Dccinde hexagoni:post trigonii & sic partismiter est in omnibus. Propositio quarta. Inter rectas&circulares lineas:minor est ista quae alteri subtendta Φtur.& inter diuersas filia subtensa quae minor:minus exceditur ab iula cui subtenditur.Tertia circunserentix circuli quae subtenditur lateri trigoni est minor Iatere:& sexta pars eiusde circunferentiae quae subtenditur lateri hexagoni similiter est minoridi quia taIis periphraria hexagoni:minor est inripheria trigoni.hinc minus exceditur proportionabiliter sexta circunserentiae circulia Iatere hexagoni:il ter alia a latere trigoni.Sic tertia circunserentiae cireuIi proportionabiliter plus excedit latus trigoni iseriptitu sextaeatus hexagoni iscripti.
Cirmius aequalis μripheriae polygonis est maior circulo inscripto fictilem:& minor circunscripto sto polygonia fuerit plurium late rvivitato illis similior. Patet. Na latus polygoniae est minus u arcus cui subtenditumqui est arcus circuli circiiscripti.& maius si arcus ei subtensus qui est circuli inseripti.Etquia inscriptus di circuisiptus sunt similiores quando polygonia est plurium lateria erunt igitur
tunc etiam sintiliores circulo tuo rimetro. Propositio sexta. Inter quacunq; inscripta polagoniam &circuliim:possunt cadere typolygoniae maiores illi &minores circulo infinita: Sic inter circula, scripta N: circulum:minores polygonia l&inaiores circulo.Patet ex
diuisione continui: r partes proportionales in infinitu. Data enimcfrorda citiuscula. arcus: erit chorda medii arcus minor ita i infinista.&chordar:fiunt latera polygoni arsi. sic de Iateribus polagoniarsi circulari arsi.qa si datur Iatus circuscriptae polygonix cui Lubtediearcus:dabitur latus minus cui subtenditur medietas arcus.ita in iii finitum. Propositio septima. τ uadragulus surgens ex nulltiplicatione semidiametri in semimripheria circuli:ncc maior nec minor est area circuli. Pater expmis D.dia peripheria poImoniae circunscriptibilis est maior peripheria circuli: sicut de area eius maior area circuli.& peripheria polygoniae in riptibi Iis est minor seripheria circuit:sicut Ze area. Igitur multiplicatio semidiametri circuli in medietatem ruri pheriae luaerest maior omni area polygoniae inscriptibilis & minor omni area Polygω
282쪽
niae circunscriptibilis Et in data area maiore pol hiae inserΦ fcte minore circulo semper dari possit polygonia irriiptibilis maior: sic data area maiore circulo semper potest dari circunscriptibilis polygoma minora turparet propositum. . Octava propositio. s CCapacitas hirculi:excedit capacitatem omnium polygoniarum sibperimetrarum.Paterim prima linea in omnibus piamoniis est milinor prima Iinea circuIi:& peripheria est una in omnibus. Rus igitur resultabit de multiplicatione primae circuli in medietatem peripho. rix:u in aliqua. Nona propositio. 9 CCapacitas trigoni isoperimetri:es minima. Patet: quia habet la, tusmaximil. Plus igitur excedit mripheria inscripti:u aliqua pol gonia. quare circulus inscriptus ei:est minor omnib' inscriptis aliis.
Igitur prima eius minima:hinc βc capacitas minima. Decima proposatio. CQuato polygonia talis plurium suerit laterum:tato capacior. μtetiquia cum habeat latera breuiora:&potetia secuiadae lineae sit potentia primae de medietatis lateris. is tunc prima 6e secunda lineae minus inter se differsit:& plus assimi utur primae circuIi lispertae .
triuatus enim breue: minus exceditur ab arcu.
Undecima propositio. rr In capaciori polygonia neeesse est prima linea esse longiorem: fit secunda breuiorem . Colligitur ex missis. Nam cum circulus eidem inseripis:sit similior circulo isoperimetro.quia rapacior. & circulusis erimeter: pacissimus. Igitur prima linea illius polygoniae Ioiv gior:& latus eius minus. inus enim latus:miis exceditur ab arcu. quare prosequius accedit ad circulum iEperimetrii.bequia latus est
minus:igitur secunda linea minus differta prima ι& ideo etia similior primae circuli isoperimetri:erit igis euior in capaciori. Et hcc est principalis propositio:ad inueniendum id quod quaerimus.
Duodecima propolitio. ii CSiponitur excessus capacitatis circuli sui capacitatem trigoni vidissetentia primae di secundae lineae trigoni:erit excessus capacitatis circuli super capacitatem polygoniae mediς inter trigonum A: circatum ut differentia primae di secundat Iliteat eiusdem. Et si ponitur excessus ut medietas laut alia pars differentia: primae θου secundae in trigonorita erit in mediis . Puta ponatur . excessus capacitatis circuli
super capacitatem trigoni sit ut disserentia primae & secundae re sit in numeris prima trigoni &secada 1 .:erit differetia τι&prima circuli is exime eri r quia maior prima trigoni t mr disserentia qess 7:dicomprima circuli serit maior prima cuiuilibet mediae polygonis: rquatitate differentiae primae 5: secundat eiusdem.ut in te tragono ubi differmitia sit Φ excedit prima circuli prima tetragoni in Φ:erit igitur prima tetragoni Io.Si dixeris tetragonum capaciorem in habitudine ad circulum: erit igitur prima eius longior . sie
283쪽
igitur ut Π:cui adde diiseretiam l& habebis is .Et quia Is excessit:
erit incapacior Ierpnaissam.sic capacior:&inc apacior.Similiter si dixeris tetragonum minus capacem putavi 9:erit secunda insemitanor Huare pacior: r pniis an .di ita capacior&inc pacior:qd est incontienicias.& lia C ostentio: ocedit in omnibus.Considera igiturq, quacun*portionem sagittae addit apolygonia vi oriatur Prima carculi:simileonines addunt. Et ut hoc clare videas:sic prococi Patet ex pmissis si prima capacioris polygoniae est maior u incat Pacioris: missa seni retit minor aliqua prima alicuius polygoniae. cum inter quacunq; dabilem quae minor est circulo: possint dari m rores in infinitii ldi ita talis semp est minor prima circuli.Sic si fiae te secunda incapacioris maior u capacioris:semper illa erit maior secuda linea alicuius polygoniae.& sic maior prima circuIL Ideo si posue. ris ex additione alicuius portionis sagittae ad prima polygoniae t rei su Itare prima circuli iselaerimetri:sic necesse erit ex portione similisitabitudinis adlagitta additae primat tin quibuscu* intermediis po noniis accidere. ta si duae tertiae sagitis trigoni ad primam eius additae efficisit prima circuli:sic erit I pentagono thexagono t& omanibus. in si dixeris in aliqua resultas plus aut minus esse:hoc erit necessario propter maiorem capacitatem.Si igitur dixeris ea mai axem hoc nota est imisibile:na oportet ea esse minore prima circuli.Eesa prima circuli est ide in prima trigoni addita portione dicta isagit
.ita forci maior di minor. Sinter ii dixeris xpter capacitate mino xu:oportet simul dicere eade & maiorαPala exhoc etia Q, si clus μου,
goniae sic se habuerint m similis portio sagittae addita ad primas efficiat hincinde inualenta erit necessarioi omnibus. in aut illae duae polygoniae habent alias in medio inter se ut trigonus di pentam
rurs laabent tetragontinutunc necesse est sic esse in tetragono sicut in trigono re petita no. ana si dixeris linea resultantem maiorem ob maiorem capacitatem tetragoni u trigoni: ita erit etia minor. quia minor capacitas tetragoni:s Antagoni .lta si dixeris oh minorcni capacitatem lineam re Itatem minorcin: etia erit simul oc maior.m
est impossibile.Sic si dixeris duas illas sine medio sequi ut trigon' ditctragonus & negauexis ide in pentagono tunc quia aut dixeris maiorem ob maiorem capacitatem pentagoni δέ hoc non potest dici. natetragonus est capacior lubi non est maioria istiori non erit maior in pentagono ised potius minor.Sic si dixeris minoresno valet:qua do in tetragono non est minor.scpatet sequi inconueniens:si in aliis non eueniret idem. Ad hoc sequitur φ si ex simili portione in duabus polygoniis modo dicto eadem Iinea exoritur:q, illa erit semidia mei. ter circuli is perimetri. Nam cum in circuis isoperimetro prima disecunda Iinea sint una: hinc si additur ad primas polygoniarsi qua, cuni portio sagittarum siue sineae ascendat siue desiccndat siue maneat eidem:semper ultima erit prima circuli istos rimetri. ta si addo ad primas una quartam sagittae:tunc continue erunt maiores Δ: rima erit ultima Δ: prima circuli. ec si addo tres quartas erut co
284쪽
titia uenuinores:& vltima erit mirumal&prima circuli.Et si ad tota portione ir, in duab'resultet eade linea:tiic sic erit in oebus. de cuvltima tunc sit ut primarerit qtiaelibet prima circuli.Ex quo elisi irranifestum est capacitatem circuli texcedere capacitate cutisibet poly: goniae:secundum lineam Ieadem in qualibet habitudinem tenentem ad sagitta sua.& ita etiam quelibet capacior polygoilia omnes min' ii capaces exuperam secundum linea feadem in qualibet liabitudine ad sua sagitta retinentem. terit 6e hoc aliter ostendi.de sit a b linea isecunda resgoni: quam diuidatc.trahe orthogonales de a b css aequa
Ies b e:&claude figura per lineam d esci: quia prima linea trigoni esta c:erit prima circuli lisperimetri pluscfe.sit igitur ut f h: Λ- sit e l1 cduae tertiae e cl.m h trahe aequedistatem ad bd:& sit Ii utrahe simi liter:lineam c Ia. manifestu in q, si s h est prima circuli isoperimetri:
ip tutic primae lineae polygoniarum mediarum erunt maiores a cl&minores f h.5c quae capacior: liuius prima similior f h. Est etia manifestiim φ sicut a i & i h sinitii sunt prima trigoni &din eretia primae&secundae eiusdem quae est sagitta Iateris eius &cum hoc duae teristiae sagittae: q, sic in polygoniis mediis lineae trahi possunt aequi dist5 'tes ad aliquae terminatur in i ii di a s quae vinetae residuae lineaei Ii aequalis primae lineae polygoniae mediae sagittae l&duabus tertiis fa. gittae eiusdem.ut in trigono dictum est.& notum est muto polygo nia illa merit incapaeior:tanto hae duae lineae simul erunt Iongiores.
quia incapacior habet maius Iatus :&hinc maiores agittu. Sic erunt
. illae duae lineae longissmς in trigono: in circulo isopri interro breuiosi sequia circulus caret latere: percosequens sagitta.de duae line
in m goniis:erunt una in ciretilo.Dieo igitur si de si versiusi signaueris sagitta alicuius polygoniae mediae ire lineam de termino sagiti tae aequiditatem ad attraxeris: tunc e h linea secabit ea in duas lianeas squarum minor erit pars fiagittae & maior prima polygoniae itini ius. Puta fit ii ii sagitta tetragoni:& trahatur de si aequidistas ad h fq sit k I 5e ubi illa secatch pone m. lico k m: sore duas tertias h k.qd. notum est.Habet eteni semii adli in sciit c iadi h.&dicom l: sire prima lineam tetragonicii vero negaueris.aut igitur dixeris tetragonum capaciore:tunc prima eius debet eme maior i in s& tune illi&kh simul sunt minores prima linea tetragoni iei' sagitta dedita hus tertiis sagittae.qd implicat Giradictionem. Nam si debet esse tetragonus capaci, ut dicis:oportet q,Ik Λ Illi excedat prima tetragoni sagitta l& eius duas tertias eodem iriodo implicat contradictioriem: si dixeris retragonum incapaciorem.Nu tunc oportebit tmeste minorem:&lli&kli simul esse maiores prima linea tetragoni sagitta N: duabus tertiis eiusdem.Ita de aliis polygoniinquare patet si prima circuli isopetimetri excedit prima trigoni per parrem aliquota sanitiae trigoni:etia excedit primsi lineam cuiuslibet polygoniae me, diae inr similem partem aliquota sagittae polygoniae illius. du diciTe ud: implicat contradictionem. Propositio decimatertia.
285쪽
Habitudo excessias capacitatis circuli stiper capacitate trigoni ita Ι3μrimetri lad excessum capacitatis polygoniae mediae stipex capacitatem eiusdem trigoni:est sicut sagita trigoni ad lineam i situm est si gitta Polygonis media' eadem smiliore.Vt si ponitur excessus capacitatis circuli super capacitatem trigoni esse vi T:erit capacitas tetragoni super capacitatem trigoni secundu lineam a qua sagitta tetraogoni est subiti acta. Puta singitia fuerit q.:erit capacitas tetragoni ut tria. Hoc correlarium:patet ex praemissis. Propositio decimaquarta. Per scientiam excessus capacitatis alici ius pesnoniae medis su r 1q. capacitatem trigonii perimetri:manifestum est cum habitudo sit Iama,tuc uno excessu noto notus erit dialius.Sed quia excessus in tetragono putamirothexagono vel alia media polygonia sciri potest lxx scientiam primae lineae trigoni&polygoniae niediae:tune de ciris
i ducitur linea recta in lineam rectam: oritur figura quatuorresciorum angularum. Et si eadem ducitur in dupla oritur dupla.
IEst inanites lini exprima sexu Eticlidis:tei hingulam a I, e s rei'angulae a tb c d dilphinesse. ast studo earim na sit. Et per primi Euclidis est etiaac diameter:dulidens ab ed rectangula induo aeqtia. suntliterae:diuidens abe finduo aequa.
Multiplicatio primat lineae in medietatem peripheriae : aequaturem do volygoniae.Sit a b c d figura quadrata quatuor rectorum.
Embacuin area Planicies.Nam vim latera tertia dicitut)s f b:pars est ocim ii quadrati.& per 38 primi Euclidis:triai lusi, e ti aequalis erit inangulo feh. natat inter aequidistantes:&suae hausaeqtiales. quo sequitur triangulus feli:sit pars 'tiatia quadrati. Et per a primi Euclidis reflangula es hi: dupla est triangulos eh.quia super eandem hastancoris itiiti sunt&rcctangula& triangillus:&in alternas lineis; sive aequidistantibus.Uidercet uagitu:erit medietas itia irati duo fit:vt quadras ab c d diis iussit ad f eh i.Et per prima sexti:e r k IEupha es restiingulae e f h i.*lia ks dupla est ad f Iu&stini aequeatitς.Igitur per squinti Eucliciis:ab c d quadratustae qualis erit rectangulae e f h liqilae fit ex multiphratione es in fk medietatem periplici quadrati.hoc etiam satis expressum est in principio de transmittationabus geontetricis.
Peripheria isgoniae quae est circunscripta circulo: est maior.
CHaec ex praemissasextiisqtrae dictu sunt in pricipio annotationuinde os , metricis transniutationbus fit inanifesta.
inter rectas 5e circulares litieas:minor est illa quae alteri sub tendis.
4 Sit circlito aberinscriptiis tripomisHirexagoni similiterti circust tmS. 4 Per pinissam p q latus trigoni circunscripti niatus est cuma l a m :quae est pars tertia circunferentiae circuli Readem curuastilitensa est eidem lateri. Similitercle latus hexagoni circiinscriptilinatus estcuritan a o: quae est pars sexta circumferetiae esus dein circuli δε eadcin climasithtensa est Iamide. Et quia periplaetaerisoni circunscripti: aior estperipherialiexagoni. tu, cnao arcus nainub c soni incuscriptim Ius excedit cirruanaota de sis
o itata parte circi feretitu circuli proportionabilim:Q pq tertiam partein iusAEdonicit feretiasti lam. .ap medietas depq plus excecit u a O mea
286쪽
dietatem dei a misi derandena in Ex opposito Ina latus iligoni inscriptinita tensum Iam tet ite patri circunferentiae circuli plus exceditur ab ipsa Ia in prooportionabiliter: stra pexcedatur ab arcu na o.Nam per praemissa:n o maior est medietate Im.qiua n o duplicata:maior est imagiturna o plus excedit medietatemini:ῆno.&ex conse laeti proportionabiliter lampius exceditim: sinaci rectam Mubtensam n o.Mhis patet. Qtocliomam eodem circulo invior fuerit: tanto arcus ad ipsam ini reinseriistit proportione.econtrario 'sito nurior erit:tanto arciis ad ipsaintimatorern, decum continuechordae fiant mi nores:continue crescit habitudo chordae ad arciis&decrescit hahitudo arcus ad inordam. cum vero peruentum furit ad minimam chordam Sminimi ina aremn:tui acininimaliabitudo arcus ad clio amicoincidet clim maxima ha ludi chordaeadar in.quia ibi aequalitas utrobiq; en .Eadcin ilippe est hahitudo minimi arcus ad minimamcnordam:qua minims cliordae ad ininii
Circulus aequalis peripheriae polygona :est maior circula iscripto. s CCirculusaeqtialis periphetiar:dicitur circulus isoperimeter.Sit super a b petptimam primi Euclidis deseripitis triangulus uelaterus ab c: insc ibo Scircias bociretiluin Scirculo inscriptotcircunscribo heκagonum d ef g hJ.
klmo kd.Manifestum est:circulum klinexagono inscriptunu&circilliinali deidem circunscriptusiintiliores esse cireulis hi &km. Et hoc ideo: ita hexagonus plura habellatera trigono.Q, si circulo kl circunscii beretur alia polygonia plura hexagono liabenssatera: tunc circulus k IS circulis polygonin plis irini laterum citctins plus erunt similiores oces minus dii cientes. quia minus sese excedent.Minus quippe excedit circulus kd circulsi h hq in tali mis, stiriacit Juin kl.Rex consequenti:tales circuli similiores erunt in lo imperiis Netro.tamennulas aequales:sicuti cicqualespolygoniis ubiis inscispustini Nesretinsciipt .Etqrie adni odiimpolygonia est semper insciipto iratior Nini,nor circiinscripto :im impctimeter circulus semper inaior circillo inscripto quocunq; datori minor circitias pio.
InteT qu actinari lasci ipta polygoniam Nesrctilium: possunt cadere. 5 Elisee de se est manifesta:peresus dentonstrationem inhaera positam. Quadratagulus surgens ex multiplicatione semidiamem in.' sim etiam expnemmis est manifesta. Rex iis tedicta sunt: in principios annotationum libri de Geometricis transmutationibus. CCapacitas circuli:excedit capacitatem omnium polygoniarunnso Perimetrarum. tet. Na prima linea in omnibus poly iis est. 3 --:vt pnemissaestinanifesta.
Tapacitas trigoni is operimetri:est minima. Patet.quia habet lat'. 9 mare: utpnem fit manifesta. Quanto polygonia talis stilicet isoperimetra plurium fuerit la,
terti maeanto capacior. Patet.quia in habeat latera breuiora:&ro marc:ex praemissispatet.
ln capaciori polygoniamecesse est prima lineam esse longiorem.
it sitaec: patet similiter ex p missis. ponitur excessus capacitatis circuli super capacitate trigoni ut differentia hoc est sagitta primae di seeundae lineae trigoni erit excessus capacitatis circuli super capacitatem mediat polygoniae inter triRomini de circuIum ivt differentia primae&secundae lineae thoe est sagitta eiusde polygonia .Et si ponitur excessus ut medietas aut alia pars ilist Tentiae primae & secundae in trigono:ita erit in mediis. lis costat vetii qd prius diximus:sci et de Cula supponere excessim
287쪽
Prsinae circuli1soperimemsuper pluraaciminibet Polygoniae ad sagittaraoninibus candem tenere trabithicilitem. Sequitur. e Putaeonaturet, excessus capacitatis circi iIi a periniciti super capacita tein triponi sit ut disterentia primae&iecundpti sit inimiaKris priina trigoni .hoc est longitudine ponatur γει secunda 1 est enimvlispe cictum est secundattigoni ad primatia longitiidine dupla)etit differentia iste sagitta longitudisie .Etprtina circuli i*:quia maior ptima trigon1Pet differentiam quae cli T. 4 Siceretptiina circuli isoperimetrip hypoclaesim:v seeuda trigoni. Dicit de Cilla in prima circuli isopertinetri:erilitiaior prinia citiuslibet Polygoniae naes diarpet quantitate diuisentit priniae& secundae eiusdem. Vt tu tetiagono ubi differentis sit :excedet prima tetragoni prima circuli isoperimetri in Igiturciit pruna tetragoni 11. ainest ma1nfelliba rima tetragoni medio lateria quaαri: sic secunda potetate duplaetit ad pirisa. in ut die huna est contilicat potestatem primae tetragoni:&potestate medii lateris. Si igitur sagitta sitiadratisit . longittrdine erit propinque prima longitudine 1ori secunda i . dii velo priaraa longitudine io:erit pcise secundati incomensurabilis longitudine. Reilla qlongitudine est i :ad eam quae topotestate se trabet ut ry6 ad ioc quς potestassenne dupla est.Ideo inpropinquitate leseponitur prima letragoni longiti di ne io:si differentia si uesagitta longitudine fuerit . Sequitur.CSi dixeris tetragonii capaciorem inha dine ad incultimi perimetruscuius prima supponitur aequari secudar ipsius tetragoni R disteretia esse lonsitudine:tiae pla, naretragoni erit longior ro.sit undecim &pcrypo laesini addita sagitta quae pomta est*:flatis.Et per pinissa illo seci incla polygonia maiorestauto polygonia est incapaciorificerit quaciratus rauc=Iὶ se lidae possim uti longiusdine capacior:5 incapacior ratione siccudae positae ut 1 .R. IrOccotradiclaonem impli an mec6trario ratiotiesccudae positae ut 1-:ptima est minor quia i iniecit incat alii .rali everosecudae vias prima est lonsior quia ii 5 sic quadratus in
capacior 8 capaciorratione esus dem primae&1ecundae.Et modo opposito c6tingit:si dicatur quadratus minoris aestatis iliabitudine ad circillum .ut in litera patet. Sequitiir.CConsidera igit.qu ii portionem sagitis addit apolygonia ad primatiniis polygoniae vi oriatur prima circiali impalmetra:si iniiciat omnes addunt.Et hoc ut clare videas:sic procede. Patet ex mamissis. si ilia ex additi similis portionis sagittar ad prima ipsius polygoniae ad habe dapsillia circuli is periniet taeontinue portiories longitudine ni1nores crut ciuia contimie sagittae minores sint a sagitta trigoni usu ad sagittaniati culilli, Pelimotri. Ita econtrario: Ontimie prianae a pitana trigoris usquid pruna circuli tibi, Timetri cres civit. Ideo viderex additione similis portionis sagitia ad pridia as: 'clualcos lineas rcsultare. Sed ad hoc verificandPnecesseesset demonstraurealiginetum primaru&deciemetum secundarui proportionaliter fieri .ex quo
tibi pendent. Sequii. Puta sidus tertiae sagittar trigoni ad prima eius additae
iniciunt 'rima circillimopera naetii:sic erit iapciat agi,no hexagono A. omnii, Namsi dixeris in aliqua resultans exprima&duabus tertiis sagit plus ella: iexprima trigoni clim duabus tertiis sagittaeipsi iis' quae elipo ita prittaa circii illis petii nemi liocerit propter maiorem capacitataii. 5 qina oportet ea scilicet prima polygoniae minorciri esse prima circuli is in crimetri rideo non erit paucior. Secumcno videtur inde sequi. stiri possit addi portio sesi me ad priuina qua 'efficiat eam maiorem prima circi illis operimetriilaoctio erat ratione caupacita in polygomae sed ratione maioris portionsis sagittae additae ad primam. Si inirex duatriis tertiis sagittaem quadrato additis ad prima ipsitis resultet Diaior prima circiiliis pc metim supposito irin trigono resultet exprima φαsirescinia duabus tertiis sagittae,no propterea concludere oportet esse hoc propter maiorem capacitatem quadrati seo quia portio sagittae addita ad primm maior inaddensa.nisi supponat exsinuli portione sagit additae aci primas primam inculi restillaresqci non demonstratum est laut dicere reinam a primattigoni ad primam circvll isoperimetri ductam transire per omne F punias γ
288쪽
ignotum manet:vt ipsede sala fine istius quadraturae dicit.Dimillis igitur
quae decapacitatepolyginuariundi tui:venianaus adpondus dena stratanis.Sequati CPotem&laocaliter dein strati:&sitas linea secunda trigoni quad. at cindi aequa. Rursiis estinanifestumst itas i ii inui sunt pumammmct differentia prinam di secundae eiusde qua est sagitta lauris esus ciam hoc duae tertiae sagittae:Φ sic in polygoniis inediistineae trales possunt atquedistantes ad ab aeterminatur mih&a fictiline residustineae 1 hae itatur prina linea,poIygoniae nacdiae sagittari ec duabus tertiis sagittae esusdem. vi in trigono dii uim est Q dluc dicit esse mainfestum de inediis piamoniis: isicut de trigono.hoc ignotum est:&demonstratione indiget. Nam hocadinis, sors te sequentia coi videret.ut videbitivis. Subiti t. Et nothinita, quampolyginua illa fuerit incapacior:tBo Ire duaelinoescilicet prinia&sagitta simul ennat longiores quia incapacior habet maius latus:&liliacmaiorem sagi ttam. Siceruntilla dine lineae:longissinas in trigono. in circulo isoperimetro bre euassimq.quia circillus caret latere dc per consequens sagitta.& duae lineae in pcis lygoniis:erunt una in cimiloisoperimetro. Sunt enunti duae prinia polygoniae&dira: tertiae sagittae:quas seruilinonuiit, polygoniis aequales stipponit: admisso illi trigono/suat ut prima est cultisoperimetri. Dicit igiti ir de Cusau,
fideli vasusi sigilaueris sagittam aliciistis polygon inediaeiminearia dcter: naino sagittae aeqi redistantcan ad attraxmis: tunc e h linea secabit ea induasi lineas zquai ui 1ninor eriti ars sagitte:&maior prinia polygonis illius.Puta sit hic fagitta tetragoni Topennetri:& realianir de ii a quedistans, ad h f qti ae sit h lfi vhi illana secat eli pone ni: dico k in fore duas tertias h k.quodae se noti est,cue i h ct in k hi festaequianguli trianguli.quare per sexu euch dis siclitet in k:ita ili ad kh.&permutatim si it cladi li: iram h ad kla.quare inhsunt duae tertiae de h Iussicut e a dei in Addit R dico: ni I fore primam te tragoni . Itoc erit verum supponendo quod sui nonit: scilicet et, aliqua possitaeqitidi stans adai traluouae terminentriuila S a I:Neadem lucta residuae linciuiliaequanirprimae quadriatissagittae duabus tertii agittae. Nam hoc admisso qd tamen ignotum est rolla subiungit. Si vero negaueris i in ineptiinam
tetragontiaut igitur dixeris tetragonuincapaciorem aut incapacior: a. Si ca
paciorelli tiliacptinaalmeoniaior erit i m.&tunc th& h li sumit simi minores prima linea tetragoni:sagittari duabus tertiis sagittae:qdimplicat c&radictio neni.Nalidebet esse tetragonus capacior ut dicis:oportet v l h& kli excedat prima tetragoni sagittam 8 eius duas tertias.Patet sit no pii quadrari quae est maiorini continuo visi hi &min s.est manifesbim n s cum xhrminoreola I k cum k limam l h& n x:sunt aequales.Vt per hypothesim duci potest
aequidistansadf g:qu aeterinietur mili&ati suci, i racii in residuo illaxque turprunae tetragoniis agitis &duabus tertiis sagittae.I t per te:nones V kR liti. qilia Im dicis minorem prima tetragoni erit igitur illa quaerenda inter thres lict talis non potesti eriri. in restatiuini hcimi portione cad te interi h&ch:etit minor sagitta quadrati cum dilabus tertiis. am post kluoini serimi limul minores liti&mk. Igis stat si talis prima maior fit i m: cadere traheat inter I f &m h.Vnde si ita essetis timetiirci, i h εἰ h hsimulerisortinas ,res diminores prima quadratiis agitta re duabus ternis simi .esset inliocinator: quia illa aequidistans quinenda esset interl k R f h. Et minor in hoc q, in kRk ti sunt sagitta cum dilabus tertiis te i ni minor ptima. Fodemmodo deindinaretur si capacitas tetragonidiceretur minor.tune aequissistam quae clada es,
maior&minor tarhiendo ut prius . At si non admittatur lino mesis fila de linea aequidistanti : tune non est in mimiens h h eum m κ facere sangittam quadrati cum duabus eius tertiis Ril in esse minorem vel malo:
289쪽
rem phim quadrati.Hahet igitur de Cusa demonstrare necessitatestius aequis distantis:vt valeat concludere suum intentiain.m hoe eoncludit dkens. vate patet si pinna circuli isoperinietri exceditptisma in tris i per partem aliquo tam sagittae trigmi:etiain is prima circuli isoperimetri excedit pruria Iuleam cuiuslibet pesyUniae med per similem parte aliquo tam sagittae polygoniae illius.&dicere auud: plint contradictionem.
Habitudo excessus capacitatis circuli super capacitate trigoni is perimetri ad excelsum miracitatis polyponiae mediae super.
t eli est excessus ea aestatis circuli isoperimetrista per capacitatem trigoni Hret inest excris capacitatis tetragoni super Nacitate trigoni:diciti e n adi insehabet ut e clantia trigomad t c excesuuii sapittar trigoni super sagitutam quadrati. Nam in linea t c est sagitta quadrati scilicet i equa est aequauhskhminor c e sagitta trigora Eicum c en & c t e suat orthogorissi similes: constat per sexti Euclidis propositum.Vnde si e Ii poncietur aequalis c e sagittae trigonit&Iongitudine esset γ R t e sagitta quadran resset c t 3.quia residuum de r.facituit siquide tria in t .sic t m:esset 3.Nam sicut e c adt c:ita e ti ad t in .sed e e ad t e est vi τ ad inquare e li quae est per laypote: funad t inretit etiavi γ ad 3.&sic t c aequalis esset i m:Iicut c e aequalis supii ponitur e h.
Perseientiam exces his capacitatis alicuius polygoniae mediae.
CVt quia excessus prunae tetragoni superptima an tragoniis erunciti notus M. est:sic per puemissam potestinuenitis iciameter circulii pertinetri. scitu hoqiiadratum sm ttae trimiu qui sit bcde:signo in ec versus csagittani quaαdrati quia nota est cum pruna&secunda quaaraui1otari int)Nsite taeduco prepeiadictitarem superce a punctot Rinea sigilo aeqtialem excentii primae tetractgoni stiper prima intrauonii soperimetri:quaesitini.traho a punctoc permadcd rectam:Nubie a1niecateonoti.etit per praeinissisin:eti excessus capacitatiuptimae circilli iso mineus 1uperptimam rigori.Nam ad trii excessiim primσqisadrati super primatiusdem trigonise habeteti:sicut ec sagitta trigoni ad te excessiim sagittae trigonisuper sagittam quadrati.riliis constat quomodo si ponatur ptima circiiliis e linein excedaeeptimam cuiuslibet polygoniae mediae in similem portionem sagittae ipsius polygoniae in qusi incedit prima triugoni ut perpenultimam proponit de Ctisa)qtiatuor necessario sequuntur .Priautiiuu, additum ex sagitta ad primas polygoniarum proseli amnetro circuit is opertinetri: ad sagittam eandeni in omnibus maet proportionem. Secum
dum ui recta ducta a prima tragoniadptimam timili isoperimetri: transit per omnes primas mediariim polygoniamin. Similiter redia ducta a secunda tim niacl secianda in circuliit opemetri:petoinnes securri asanediarum polygoniamin. Tertium, additum ex sagittamedis polysoniae primae Prius p lygoniae prostar lametro circulii petimetri ad residia uin sagittae:& eκcesustis prunae illius polygoniae super primam trigos uti peninem ad excessumi se idae trigons super secundam ipsitis polygonis i in omnibus eandem tenent Iiabitudinem . Quartum q=i additum ex sagitta mediae polyzonisi pthnae sp ius polygoniae pro semidiametro circuli isoperimetti ad renditum isagittae:Sex iis prirnae ipsius polygoniae superprima in incapacioris isope irini rem ad excessum secundae incapaciotissimerseratndani capacioris rimns Hibiis eandem renent liabit iidinem. illi vestriciunt de Clisa sed Stertium l&quat trunnier Iriat ipsi maiornenta cum argumento de inaxit no& minimo. lSic mini omnia illa annexa sunt utposito vno Radmisso:caetera ponere Radi imitteresst necesse.Vt his uatellectis: poteriimpraecedentia Asequentia facilius luitelli .Resi mranir figiira vli attralio mira secunda trigoni adsecundam lcimiliis opermatari irae cum prema coincidit:confinito i h v b d 8ositIq vhi secat D h pono r. Continuo similiter ii s disit ii x :&ubi th h pono V. vhi vero Ceo op. Dico igitur si ponati ir p ima circuIis h excedere piniam cuiuslibet polygoniae mediae isoperinae trae in sinima portionem
290쪽
die ipsius polygonis inquam excedit primamitis ii si, additum ex sagitta hptimis polygoniaruin Proseluidia1netro circuliis operimetri ad sagitta momui albus eandem tenet proportionem. Hoc aperte dicit de Cusa inpetu iriim:ibi. si siderat stiir quaeiah portionem sagittae addit una polygonia ad Prima Ostius ut oriatur prima circuliathperimem:simile otianes addunt. Me ille. Si iii is portio sagittae dicit ut: qtu uestitaeinest denioni rationis. visitettia: tertia alit si quarta quarta 5 ita deinceps. Non eni posset ionidiametrus circuliis me remetri excedere primas polygoniai uiri uasti nili portione sagittae ipsius polysgonis:nisi portiones si uad sagittas eandem seniaret portionem. ut quia in liportio deli hisimilis est portioni ei de ili: ideo sic iit in kad k luita e i ad ili.
Simil scium portiones dii oriunto torti in semper inter se proportionem stru cuant:quam tota seruatit. Nam si portio unitis illorum totorurn fuerit ad totum
submultiplex:aIta portio alterius totius seque submultiplex erit ad ii iii in mistum.&si in alia proportione: idem eueniet. Secundum patet. Nam quia porti nes sagittartim ad sagittas eandem seniant proportione sequitur ut si clatidianutur trianguli sic ansulus sub portionibus & sagittis aestiales fuerint: erunt trianguli quianguli. Patet:stimatur lii R i c sagitta scilicet Sportio: i contineant angulum rectauri: similiter ii k R km. Dico si elaiidalitiir orti logonii: aequia1rgulieris ni& similes.quare laeto angulo communi qui sub thgitta colla at et tir5rceta angulo recto opposita: ipsa erit una linea in dii obus triangulis. Patet.Nam per praemissam:c i ad i luesi sic rit m h ad k h. quare permutatim ei ad in k:oeillieutili ad k h. Si igitur diris e li non trinsire per in k: velut e traves citra. Si ultra: tunc erit maior. quare ci ad minorem e maiorent: eandesentabit proportionem. est impossibile. Nam seruaret ad maioremni k:proportionem qua mih ad k h. euta essent duo triansuli aequiansuli. Itidem si citra si incerit minor.Et quia nil vlominus constituti sunt v manguli aeqilianipuli:erit ci ad minorem k mlsicut i h ad k h. quod est possibile. sciliceto, cx ad hiri 6 ad minorem: eandem serii et proportionem per B qii ita Eiiclidis. st ad minorem sertiabit maiorem Rad maiorein seruabit minorem. Patet igitur
quomodo ortlaogonii quorum angulus rei iti vasa Ditis ec simili portione sarigit tartitia polygoniarum continetur: sunt aequiangi m. i, si angulux sub saga ista&reeta anguIo reoto opposita communix iuit: transibit re eta angulo oi polita peronii aes portiones ut clatransit per limoso: quae pociatur portio lagititae hexagoni. propterea dico teli transire per omnes primas polygonsarum inediamin. Patet. Nams hsupponitur se in iametriis cireuliis petimetri siue pri na circuli:&similiterat aequalita supponitii retia inaci rinia trigoni. quare Im: est prima trigoni similiterno primat exagoni. Nam gnacit portio sagit eaddendae primae tetragoni pro prima circitu: Ri h est pnnia circuli. igitur l ira: est prima tetragoni. Si enim prii ira tetragonicum inlifariat primam circulu&lk sit prima circilli relinquiturq, i in siti tima tetrago1ii. Similiter si os cum ptima hexagoni facit ptimam circuli densae alia is f li sit prima circuli mecesshel no esse primam hexagoni.&ita deca tera v. litare e tu transibit per omnes primas polygon rimi mediatum. Dico etiam n lut i sire per omnes secti Nedas medianitri polygmatarum. Patet. Nain trianguli et ali&m Iar: sunt x 'lilianguli ei imm r sit aequidistans ad eb. Ideo inet secundam partem x. 'timi I truclidis: angulus b c n int insecus angii Ici r in ii extrinseco erit aequalis elim ei, cadat super aeqi resistantes te cin modo anguli ob hA mr h. lilias ituriri, anguli ch h8 inhrsunt aeqti ianguli. ti inciper sexti Tuclidis: sic ite ad innita chad in h. Rursus illi duo ormogonii eth:&m kli sunt a quianguli. vide se notum est. Igitur per eandem sexti Di elidis: sicut chad mlcita Naad kh. qtiare per lx qiunK Etaclidis re b ad in ro th ad klverunt proporti rape riles. quia uni sunt aequales: Glicet e Ii ad in ii. Sinit igitur e h ad ni rutai h ad kh.&permittatim sicut eh ad i I vita in r ad kh. Sed c brest aemialis i h. erit igitur m r: ae litatis h h. quare in r: est sagitta quadrati. 6 ex consequenti l r: erit secunda quadrati. Nam i in prima:& ni r sagitta.