장음표시 사용
301쪽
tia.Nam haec ductio: otus esset ubi ambo terminales psicti aequalia ter moueretur. Sed costitutio circuli:ex motu eiusde lineae I altero pacto state oritur.Recte igitur diem est a multis:q, duetio seii multiplicatio semidiante tri in senilaircus Tentiale lineam efficit superficiem aequalem circulo.
Adstuc est alius motus copositus: scilicet progressionis & deseesicii sitis ut in figura. Nam ut cocipis a b mouetur duplici motu super a cestilicet cotinue progredie dol& simul descendeta aequaliter. erit emmensura progressionis a cdescensionis: a b.& descessionis & 1,gressio nis simul:b c.lii quam enim tepore ureditur de a in c:in tanto descedith per bc viveariat in cidi: exoritur figura ab c d 5 bc in se copIacat duplicem motu:deseenfionis a b & progressionis a c. luare poleotia b c : est ut a b re a e . Ex hoc nota quomodo ex motu Iliaeae: simul oriuntur duo trianguli 3e quadragulus. Si autem a b mouetur pro grediendo in a c di descendendo inaequaIiter: ita tame φ illa inaequalitas est aequalis arcui tune oritur figura a b c d. N: quonia b carciis coplicat motum progressionis & descesionis inaequalis: igitur b c arocus:est maior linea bcssit dico: motum descensionis inaequalem. quia postsi h Aruenit ad mediii arcus snon descendit per mediii sui insta ca: sicut quaeso descendit Ar mediii linec e b c.Et cosidera: quomodo a deseribit arcu a d. ouetur igitur a in couexitate: & b in cocauitate. di qua tum addit α auitas super linea c b:tantum couexitas minuit. quare curua stiperficies inter arcu b c concauu 1 arcu aequalem a clconuexunt: aequatur quadragula rectilineo a b c d. Et ita habes quos modo eade quantitas: inter maiores curuas radit 15c minores rectas.
Possunt ex his varii alii copositi motus cocipi modi:quos iasic traseo. quia quis. Wr se: illos concipere poterit. CSi ad tertiit imotu quado ambo termini lineae mouetur sed inaequa sli motu aduertis:cIare comperies secudum proportione mortalina sit perficies attingi. Et visecilius inducaris concipito lineam a b dupIbicem & diuisibile usui ad b punctu:qui indivisibilis utrius ii diuisς terminus maneat. Esto igitur Φ astante: hmoueatur. si tune a diuisum elauaueris ut circa b fiat angulus:tunc secundu circunferentia qua a mobile describet lad ei siserentia qua b describit scire micris pportionem si perfici cruna Puta esto q, a mobile eleuetur ut constituat talem angulu q, Iinea quae de a cadit usui ad punctis ira qui ita distet ab horizonte sicut a fixu li: sic a d sit medietas a h:tuc b a mobi te deseri bet superficiem conici quae erit maior plana circulari iii 1 a b descriabit pro medietate.Et ita proportionabilitcr in omnibus Quare pla, cet q, quado a mobile eleuaturi ut eius motus sit diis lex ad motum abcscilicet quando erit ex ipsis linea vira ne a b mobile deserit et suis perficiem triplam de plana ad superficiem qua a b describit. & illa est intima de maxima: lus in medio cadunt proportionabiliter appraehedens aer quo habes quomodo portiones conicas squae habeant proportionem qua volueris ad basim: stimere poteris.& similiter quomodo superficiesromticas / quaera duabus conicis una issem litantu
302쪽
husI redueere poteris In alias. Et qumui circa hoc scire optas: ex hoe te elicies. T autem aduertem ex praemissis: quomodo in conicis possis pro scedere ut si a b c triangulus sitina b latus describens eonicam:& c bsemidiameter basis.trahe linea a e in continuit:& de h due linea vitacias aequalem triangulu tqui sit b d c.manifestum est:si a d fixa man te circumluitur triangulus a b d irombu oriri ex duobus aequalibus conicis.Trahe igitur a b in continuu: di: sit b e ut a b. sarum est: si cirinuoluitur ut prius lineam b e efficere superficiem tripla ad suprx fio clam a b t& conica superficiena a eiquadrupla esse ad eam quae ex a b. Vnde fi bd eleuaueris in medium inter bd N: belbe sit b g: efficiet su*rficiem duplatsicut b cladiauaIeml&b e tripla. Et semp perueni, tur ad mediu: quado faciet angultironum tu semidiametro basis. Λ: si minus vel pIus eleuatur: minus fle plus efficiet. Et hN ex prςmissis:
nota sunt.Habes igitur . quado conus&colsina rotuda habet eadetastin & Iatus coni est ut altitudo colunς: superficies colunς semp rdupla ad supiiciem coni.&si plus:plus.simiinis:nnii ius proportionarabiliter.Si feceris latus coni chorda arcus describedo arctim superi pissum ut seper ablatus a s barcu resuper be eunde arcum: erit suin
scies ex curua af bitertia superficiei quae ex curua he.Et ita si volueris dupla:lacito ut in conicis dictu est. Viade si a fh est quadrans: D, iam est exciresiuolutioe semipherica oriri supficiem. Oeexbg curua duplam eius: scilicet superficiem curuam aequalem supficiei spherae cuius e s maioris circuli semidiameter.&: ex b e curua: tripla. Et quo elicias quomodo in talibus curuis superficiebus: poteris quale voluci
ris niultiplicatione eicere i seceris arcum linest cur Liam curvitate
alicuius sectionis para Is aut transuersi; Cylindriiquae sectiones nosunt arculares sed alia curvitate curuς mdcinodo procededo: squatis erit proportio susiclers. Si a b stante a c circu ducta circulare planam superficiem deiuripseris di quadratem descripti circuli uno eius termitiali puncto ad biuncto alioqui sit e vi a fixo stute sup a c circs,
duxeris:superficies ex quadrante dupla erit et quc ex linea a b exoriis tur.Patet. Naex choritur supfietes semisphetica:& a b niaxim' circulus cuius quatuor superficies aeqtiantur superficiei spiter ς.vt pro/hat Arehimedes.. vii vestieris Cylindrical spherica ac conicam sui ruficies ide infini . tas portiones conicas describere eiusdem superficiei:ssic facito. Sit a b semidiameter alicuius circuli mi iunge ad annitu rectum B c: quai. lema c. trahe dea aequi ditatem adbcindesinit qualitatis: N: sit acl. trahe de b ad a d:linea dupla ad a b.Deinde trahe linea de diad cidico omnes lineae quae duci possunt de B ad e d in eirrevolutionem deo scribunt portiones conicas aequales:ves columnali b e vel conieς b d. Qi ex b c & b d loriuntur aequales:quae sunt duplae ad planam circii ali cuius a b semidiameter superius est manii stum. in vero mediς sic se habeant:puta b itde bg & quae*tales.patet ni non possunt supcr.
ficies maiores illi quς ex bellaec minores illi quς ex b d: quc cum sint
303쪽
aequales erunt 5: similiter oes mediat atquales. Describe quadratem Circuli citius a b semidiameteridi: sit b e.Manifestu ex praemissis:mpsiciem quae ex curua b e oritur illis esse aequalem. Curvas lineas non tamen circulares Irat in aequali motu Iineae in am , bus suis terminalibus punctis causatas cocipito:acii ab recla Im
ueretur 5: b plus u a puta a moueree per linea a e: & b per curuam bd.5: si regulariter:tulac quado a inruerrerit ad mediu a c etiam hi rauenit ad medium b d. test etiam unus punctus moueri regulariter continuo aequali motu:& alius inaequest motu. puta in principio voi tori: di cotinue tardiori succesti uelo: regulariter sex aequaIem scilicet inaequaliter.Ex his diuersitatibus:varias contingit oriri curuliatates. aliquae erunt ut sectiones conicς.aliae ut transuersales seyIindri laut oesiquae sphericae secti s. Ex quo curuae sulaerficies sectionia quae parabo dictitur:&transuri saltu Cylindrorsistasi causantur dilareete ex motu Iin .ssi vorieris inquirere portions illarum habitudii nes:ita facito.Considerabis raeessum chordae super fiagitta: di ille exacessus erit ut motus lineae aequalis sagitR in uno eius puet alius motus alterius puncti:erit ut curua. Vnde superficies erit medium eius quod fit ex duetu sagittae in curuam tac si non foret linea mota in uno eius termino.& erit ultra lmediu:si cudum Iaabitudinem potetiae ex,
cessus suς cliordς super fagitta Iad potet iam curti . ta esto q, absti, fio sit in circulo: & q, per 1 ichorda & sagitta sextae circunferentiae quae signetur per a b c.& sit a b semichorda duplicis arcus: N: a e Dagitta dicentrii circuli d.trahe db & dci&lineub c. manis estu est a cci: a d aequari:& triangulos d b a di h a c. Portio igitur su*r linea b c in qua excedit abscisio triangulum:venit ex motu a c sagitis in ambobus terminis. 6o si ambo termini suissent aequaliter moti: portio sua
per lineainbc esset aequalis toti triangulo h a c. sed quia inaequali ter moti siit termini:ideo est minor. Et ut videas quomodo illaequa, liter moti :signa debuersus a uale ac N: sit hcvt. ic.moueatur igitur b iamr arcu B c:& dum sic b mouetur susur b c arcu in esse erit emoueri versus a. ouetur igitur in eodem tepore e per Iliaeam e a: in quo h per arcu h c. quae igitur habitudo potentiς e a lineae t ad poteti, tiain rectae quae aequatur bc curvae:tanto excedit superficies abscisionis medietate portionis circuli d b c. Deberet enim esse medietas Iductio a e in areum b cciillius quod fit ex duetv d b in eundem arcu.cum a C sit medietas d b. Sed quia mouetur terminus in a c qui manet fiaxiis in d b:ideo excedit medietatena.Esto igitur . hccurua isti mpla
ad e a: tunc excedit medietatem in una nona medietatis.& erit portatio super liticiam h c: duae nonae medietatis. Ita in sectionibus curuis
Adiicio nuc alias quasdam meas adinventiones circa superficiem
Clatera Plana est. Nam proportionabilitercia puctam linea dabilia mouetur et admoturnaliona teriiunonusiue uno extrei nona fixo moticatur siue mill .cia
aequatiet mouetur. Aequaliter munierinini mouctur:cu in de tepore suiuua
304쪽
pertra11seunt spatia.& ob hoc:proportionalia sunt .vimina b termino a fixo h mouetur:siimiliter 8c dire motus b elistb c motus verod ut d exequaliternio tidiculur.Mind cum periimit ad aliqua portione lineaed ehad similem petu nit biube.ut puta cum ad tertia etiam adicitiam:&cum ad medium etiam ad medium. Hinc fit ut si adsit medulinab:erit de medium bc. Et liocesinortuna cum ille motus utrobiq; angulos producat aequales:ratione motus aeqtialis .8c ideo cum incipit mouerih:itati omnia simili puerim ab dabilia mouenturec proportionabiliter mouentur.& cummi motus b: shant pariter&oinrita I nctorum inotus.Et idem dicatur de ab cum nullo extremor uiri fixo aequae et mouetur. hoc a die iterinini aequalitermoventur: eum aequalia trans, eunt spatia motu recto.
Ex prima configuratione lineae recta larius Unus icrnatiuis manet.
, CEadein quippe ratio est de motu circulati:sicut de motu rectoratione aequa 1 motus,ut cum a biliouetur in circularaeitiain circuli termino a tao: simille lard punctus mouet tir in circitferentiam circulia d. Silla duo piaeta aequaliter&in eodem tempore mouciatur. ideo motus proportionales sunt ad lineas inortas.Vnde ut pilus dictum est sila d est medietas ah:etit circularentia circillia dmedietas circunferret circi ilia h. adde potestate dicit exsecticia duodecimi Euclidis testirianifestu. dvero de coiit saddit:perampluis infra loqiretiir. Dicit aute pliabitudo superficiei conicae descripta ex homota in circi inferenetiam circi ili ab termino cfixo:ad stii inficiem cimili a la descri piae ex a b mota in eandem peripheriam termino a fixo esse vic bada lulongituditae. Nam cumensurae inotuum terminorvi sint aeqtiales quia circiinisentia circi li)necesse
est ut habitudo motuu penes mobilia attendatur. Et hoc liquido collat. Nam superficies conicaScircularis aequalem hasem habent. quae pro a quali altituedine reputatur. ideo per primu sexti Euclidis:proportionem tenebunt supersi cies quamcbadab Iongittidine.Adtiettendu est i penes tria: aequalitas&m ambialitas notus attenditur. Aequalitas:per aes regularitatena tepus εἰ velocita temnitedi potest. R.egul:iris dicitiir:ctim ternalia noti similcis portiones in eo dem tetrapore pertranserarit.&sic quia aequales derionainatic ne aut longitudinei ertraiiseunt: aeqtrales mutus dici possurat. Aequales etiam etini in eode tem
pore motus suos at,ibluuiit: siue per aequales portiones siue ii quales pertras eant. Dentia aeqtiales:cum aeqtie veloces surat:&sic semper in m teuore sitos absoluunt motus:& portiones pertranseunt similes N Quales s quatitates tetminorum sunt inuicem aequales. Irmqtialitas monis:attendit ex opposim ines irregularitatem mnpus5 velocitatem. vi cum in eodsi tempore dissimiles Pertranielint portionesurrequales dicinanir. Similiter cuin simul incipiant morieri:in eodem tepore non absolutini suos inotus. De fili uin& silua eodem te, pote absolitant non tamen aeque veloces. Et sic motuu b motus d: dici pose sunt aequalesti inaequales. Aequalex: itu.i in ei clem tepore circii ferentias perutransenti&per seniles portiones. Inaequales vero: itria non rarite velociter. Nain eodem tepore b: maius pertras spatulatu sid.ideo necesse emi, velocius inoueri. Si enim dieque velociter moueretu absolueret motum suu intes ore quo h pertransiret medietatein suae laesisti uittae quam suo motu describit. Sed de
Ex secuda configuratione motus lineae mitialiter in Omnibus punctis motae:sequitur ipsupficies quc ex tali motu costituitur dupla es ad illani quς eae primo motu.
Hoc est uno extremoru fixo. vi ah est mouetur nullo extremossi fixoaequa' liter cliui motus sit vi hc:describit mi id la abcd.cumveroum extremors fixo scilicet a fixo mouetur:tantii describit oreliogonisi. Vnde syeius more sit bc:erit ortliogonitis a b c.Et per et primi Tuclidis: a b e d displiis est triangulci ah c. Vide neesse erit9, inritus Eratio semidiametri semis aeriplaerii: 'tire simisiciei circulari.quia cusemidiameter secundo motu hoc in nullo exucinorum
305쪽
xo mouersius eande petiplieria in quia primo motu lioe est uno extremotu ixo mota fuerat:facit eaderatione supficiem dupla ad prima. Dico aute iniado, o terminalia pulla ualiter &dite stem enε: nd auteaeqtialiter & oblique. Oblique enimouent:cii suo motu pucta obliquas siue curuas describui lineas. ut terminie bicti inouetur in b idec in cf d curuas aquaim: ut pinittitiirtaequauliter morietur.quia mirevelociter Rineo tepore Sper similes portiones suos
aequales. Sitin Dilatus luxagonicii: erite ab sexta pars circuli itidem balint ad &dae.Vnde portio inlatareum bid&seetores ab Sa d: aequatur portioni,hus inter arcum e b §ores a b R a eri inter arcum d e & sectores a d S a e simul.Et ex essequeti portio e mili inter arcu ele discetores a c& a e. dupla est portioni quae est1nter arcum bid§ores a b Rad. Modo portio stibarcue t e &feci oribtisae &a emaiores portione inter duas curuas b id fit c flectas e b&ed in lanulis: scilicet in lunulis sub arcu ebri rectae butem sub arcu ed &recta e diti sub arcu f i e& rectas e demum sub arcu f g e ct recta feci quaeli inuisiunt pectuales. Et quae lunulaeaequales sunt duabus paraholis. aequalibus:sciliceti σ clitis i eli. Ex quo patet ipsam superficiem sub curuis aequalibus 8 rectis ch&ed:minore esse dupla ad ea quae sub arcub l dct sectoribus a b &ad eo elut inpia dictis duabus parabolis.quod est propositum.
EEx hoc quae circa habitudines Cylindrorsi seti rotudarum colitivisitum sumrficierit:& suarunt basium &Cylindralium conicarsi cunauarum:hoc est pyramidum curtarum.atu planarii circillarisi:omnis mentia elicitii r. m constat cessinam rotundam& qine sequuntur. 4 Sie parilari niter in conicis. Vt descissito triangulac a b cuius angulus c a bsit rectus: si reuoluatur super ac fiet conica figura.*si hc sit dupla ada b:supificies contra erit dupla aasi fies bastis erit ut circulus ex a h descriptus Patet.Nam si eonica super piaris volvatur cono e fixo:fiet portio circuli cuius semidiametras intuth ciareus vero portionsi rapiens ut circunferentia circuli Nisis. sirecta armidein aequalis Sacestro e ad terminos tectae arcui a Nualis duce recite ducatur:fiet isosceles aequalis portioni circuli disti e eonius. per superiora .Ex quo patet. lapses conica aequa essessoste cui'hasis aequatitur circii serentiae inciali basis:altitudo vero aeqtiatur latera conico. Conicvnitiatiis dicitur: et quod contra describitur figura. Rest recta a tertiamo circi se netiae ad conlaedlicta.vtest hc. Dicit itur1 ipficiem conscaedupla esse ad circustii stir hasis:&hoecostat eoo triangulus isoscetis cuius hasis a qtiatur circsseursi hucircii hct altitudo ut semidiametet: equatur circula. a, si altitudo talis isos eIis dupletur is par teri sesceles duplabitur: tri cadere si ipficies conica citutus latiis coni cupities ad semidiametrum circuli basis dupla ad ipsum cis Ium basis.Beade superficies contra: aequalis erit superficies colunali descimpreex a e si reuoluatur supd fixo.Nam si collona descripta super planu volubtur: fiet parallelogramus iris altitudo intuta emam vero ut circulatentia circuliab. uare per superiora:duplus eriladrimitu ah.&ex consequeti: aequalis si ipficiet eoiscae exb e des pia . etera patent in litem.
CAdhuc est .aluis motus copost': scilicet pgressionis & descesionis.
4 Omnia ex litera & figuris:sunt manifesta. ad tortium motum: prando amira termini lineae mouentur. a sto igitur Φ, a state in pruna linea b mouratur circii tu des hedo:si tunea diuisum eleuauerisbstanteitunc secimdum circulatentiam qua a mobile des bet ad hi ferentiarii qua h describit proportionem superficietum scire pomiris. tae stoma inobile scilicet prima Ilaepe eleueriar ut consumat talem angitium in linea quae dea secunda lineae cadit madpuettim qui ita distet ab liorizonte sicut a fixumili est id punctus&apissime lincae stat superquintani li
306쪽
Mai quae cum a b prima linea angulum remam constituattvt sit b a d anguilas ressiturica prin EncaeS diu horizontea uidistat. Rurius sit a d ine
diutas a b ptiine lineae i tunc is a secunda linea des cribet superficieiii coriaecura Scurram cuius basisnaaior erit incillus ex a b prima lineat minor vero hasis quae ad conum tendit erit ut circulus ex a dunedietas a b.Et ipsa superficies eo iura exa bseetida linea deicii tannator erit plana circulari qua a b prima linea describit pro medietate.Etita proportionabiliter in omnibtis.Patet sie. Describo figurain sinitiein priou:qus subprima seciuadasquinta &sexta lintis contionetur.Eicum angulus sub a d 'iirital d a seκtareeliis fit ut puemittitur i erite a sexta aequidistans ada bptainam.facio a d quintam itidenniste qtiantitatis Neontinuo D a mobiletsiue fecitnda linearia:& ubi secata d indefinitain pono e erunt duo anguli ab a&daeaequales persectuadam partem aspriini Hielidis. quateisti duo orthogonile ab Reda:aequiangulierluit.&ex eonic itienti petquartam sexti Euclidistsicut ab ad da: ita ebadae. quare cum a b longitudii ne dupla sit adda ut piremittitur:erit sumtitere bada elongitudine dupla. Etrursus permutatura siclitabade burida adae.sed abest nimietas boecunia hptima aequalis sit has ciadae Rebdtipla sit adae eriligitur aeue itialis ah. Sis militerda sexta:medietasae.Vnde si conica dcscribatur exae:erit per 'nemii, falsuperficies conicie dupla superficies basislqisae: est circulus eκ a o descripuis. Et iliter si conica describatur ex eb: erit eius superficies dupli superficies hasisiquae erit circulus ex a b prima linea descripti ix. Rhirsiis clim d a sit mez dlatas deae vel deabprime lineae:erit circillus ex ad parti quarta circuli re ab perseca uadam duodecimi Euclidis.Rex consequenti superficies contra ex a edestapta: erit medietas circuli dea b minisu dupla ad circulii ex d a descripsit. Suburacta igitur superficie conicae ex a ei a sueersicle corvea ex b e: residuum erit quod exa hsecunda linea desciihinir. Riplaciti necessa io ad superficiein 'inctili exa hisesqualtera.Nam superficies exi, e elidupla ad circulum Gabi&superficies exaesolum ponit vel Ollit medietate circuli ex ah. quare abseetiris da linea: ponet untina circi ilumeκ a b cii inedietate.Tt hoc est quod propniut hde fiatdicens ab seci indam lineam conicam describere sulierlaciem qiiaeetit maior plana circulatiqua a b prima linea describit pro inedietate. uare placet thaquit tu, quando a mobile elelias ut eius motus lit di lex ad inotuin ab Tuca b mobiledescribet superficiem triplain se planam ad inperficiem qua a b pu Τmalineades bit. Sumoaequales a b primae lineae&b a quartae:ex quibus lineam unam facio.&a fixo prini liuotmolitantur bprimae linimcta filiaris: tunc motus a ciuartael nou duplex dicetur ad motum b. quia a quaris linee: est larem describit duplam ad circularem ecth. quia igitura: sura motus tomi ni aquarta linearlduplex estnioasu b:ideo motiis eliis 1,ariter dupleκ dicitur admotium b. Dicit igitur de Ctisa: matris uaria lilaea deseribat stiperficiem iiii plana quae est ea quae niter diras circunfercialias concluditur ad superficiem ex ah prima linea descriptam.Ι:thocliqitet. .utinuior inctilues:miiiviri est qua eruptiis.dempto igitur minori:quodlii perest tripluin est ad minor cincinuisi. Et motus a b quarta lineae:qui fit in analisbus plictis es' terminalthiis limpia Isis dicitur.eosi, in eodem tempore suos motus absolvimi:sed non molli a que veloci.si enim teque velociter moueretii mensurae motinam terminorvaequa Iesessent.seis conicis intellimum est.Exliis pia xiis hali xjotest quomodo in conicis sportio portionis sup ei habes potest ad circulu basis.ex quac
gestione multa fieri poteriit penita&nianifesta. Et laxe:siit, duabus spositioinibus/concluduntur,pfima.Multiphratio semidiametri per unum tantulit ictarumimis circunfematiam aut insus partes aliquotas laut econuerso circlansferentia in semidiametrum aulin partevesus aliquotas cognoscitur : eo modo quo militiphratio unitatis in unitates aut viastatis in patres aliquotas. Se: ei inda.miltiplicaticiparis aliquotae semidiametri in partes aliquotas circun serentiae:autoeotule oleodemmodoongrioinnir quo multiplicatio partivaliquo aut partium aliquotarum unitatis in partes aliquotas, Ptima propo,
307쪽
sitio trespicit miltiplicationem uiaegri infractum integritalit e conuerso. Sescunda:m illi Nicatio)ieiri fracti integri in fractu integri . Q iis nodo ubi limit: ex Aristimeticis cognitu est.& fieri noui:ex sequeribus potetit.Describo trianuguluinorthogonisi abc:ex quo conica per b c describo sup em.&latus eo
Nictim scilicet ac in partes aequales dii iido:per puncta d elicta singillis per primi I uesidis traho uidelitates ad ebvsq3 ad abG sintdgielisti. Si sac nitudine dupla ad be:ent per praemilla superficies conicam ac dupla ad suuperficiein circulare ex bc.Itidcinsuperficies emica exad:dus laetit ad stiperficiem circulare ex gd. in sicut ac adbcnta ad add gper lexti Euclidis rautione triangulorum uianpulotu.Et ita de aerias: dicedum est. Si igitur voluero eognoscere habitudine superficiei conicae quae elatus deseribit motu idicundo:qui est manabo terniniuinouentur. Q uiaec:ae qualis est bc.&ex motu termini e linea ec super circulamilia circuli bc facit viatam circuliutaria multi pIicatio visitatis inunitatetscilicet scinidiametri in circunferentia. At moti iterantiueinniedietate circularentiae circuli b c uti est circularentia circuli e li: iratadfectate circuli ebdescribit.ideo superficies conica exec:sesqualtera ent superficiei circulari ex e b. Si vero superficiem coiucst ex cd: voluero cognoscere . sciure ine Nortet quaesit trabitudo circitferentia circuli ex ch:ad circuisentia iraculi ex dg quae est viae ad ad sesquitenti.&c deest medietas eb. quare motu tenninic describit de superincuferetiam circuli ex ebuna in medietate ipsuis circuli: sicut ductu unius sectindsin vinitii fit una lecuda. At moratii nid: describit linea edissipet hirciiserenuain circitIid gis artes carci ilicb quae produxcuntur ex multiplicatione 1 seeuds' in s quartas. Ad quod c& quo u duco des
nominatores iii se haut emiscilicet Lin':&fiuiit 8nlue prodenOinitiatore con stituo. Destide duco numeratores in se inuicem Icilicet viatim in a :&productu scilicet constituo pro numeratore Herunt 3oetiit .Vnde cd motu ainborum
ter ninoria describit superficiem conica qus ad circulum exbe1hlaabetis tν Octauae ad viau. uod aliter patet.Narna d latus consciui uelain stiperficiem deictibit circuliigd. Sed ineuius exdgdetrahet ad circulueb: sicut, ad 16.
Nam sic b lancitudine sit terit d e logitudine Digitur superficies ex a d:erit ut bis V sextae iecimae ob eisiveret ut 9 octauae. reli Eis in sumeses exed:sit ut T octauae ciretili ex b e.Et ita deceretis partibus primortionabiliteri dicet duin est. :κ quo patetars velaadi Winqueliabinidines stipoe eis Olaciae corporu in ipsa insalpto illatit citctis piorum: sic. Sit descripti is quadransabed.describo in eo latris laexagonicue d:&dimidiuiti scilicet ed. Non enim pilisu lauis ilexagonicu viruin cum diinidio:potest capere qlaadtas. Si voluearo coma oscere superficiem eorporis ex reuolutione cd uiper l, e: sic facio.quiae dei ivtbc:tunc c d ex motu termini e super circularentiam cireuli ex b c ladicit superficiem aequalem ipsi circulo. At c d ex inotu terimni d in circimferenstiani eliculi exea: facit medietate circuli ex bc.1 t sic superficies conica ed:est sesqualtera ad circulsi ex be. nde circulus exed:est i quarta circilli hc.cum sit ed:medietas debe..uo fit: vi ed cum e d stipoeficiein describat ad circutilii bcseliabete ut quati ad quartas ad sup ex arciamiadrntis ut quarisad g quatias supponedo es de Cusa sup e laerae esse aquale circulis exb c.Ex quo pateticis quaecum latera cuuisculpolygonis in quadrate ἔ portionabiliteri scribant: ex reuoluta coni simili cu arcu quadrans s P minore des 1 bent si merficiem superficie medietatis spherae qire duplaei ad maximum circii luper hypothesim. Et iterusi latera illa hab ripta simul nsigaturi linea virat quae fiat latus conicum stiper eandem basim: est superficies eonica semper inbrior stuprificie ex lateribus in arcu quadrantis descripta. Vt sit e s latu conita εἰ ae iii alis lineis e rise d simul:die oe f minoria describere superficiemiq e d&edilicet super eandem has sint constinitae scilicet super circussi ex b e. tetim e liraequalis e dunalaifes timeste lipet punctum liminorem deseraberes erficiem ued per punctum d ciim circuterentia circuli gli: minor sit circia starentia circiuied. siters hin puncto ii adhuc minorem describit supficiemi
308쪽
qed popunctum d.quiaed in maiorem circularentiam mouetur:ef h. Duaestas igitur de causis f cuni re describet superficiem.Et quatito plura eruati lautera:tanto redia aequalis omnibus lateribiis nainore desciibet superficieii 1. Sed ita serpatet.Uhs clogittidie ad f h: pia.quare&bcradgli.&sic circinaseirentia circuli gli: erit 1 tertia circularentiae circuli he.Vnde e Ii perpuli tum lardesciitati tertia circuli b c:sicipe hex ambobus terminalibus pinactis: soluin tertias circuli hc descithit.At c d viductu est; anibobtisterininalibus pusM: des Bit 6 quartas vim scilicet circulum cuindin1idio quae sunt plus st O tertiae. rsus f hquae est i secunda delic ex pineto Irin 1 tertia circunferentiae circuli bestiae est quam describit gh:facit quod prorie intexiraultitudi hucatione 1 intue in x secunda t&prouenit x sexta. quare s c conica deseribit sue perficiemquae est ad basis superficiem: ut ς sexis ad G sextas. quae proportio longe minor est:a quarae ad quartas.Pinnacium:sesqualtera est. Secunta supcitupertiens qtiarias Ex hoc veru elicituris, conica superficies descripta exteri quadranti aequalismillior sit superfici descripta ex arcu quadratis. visitit calcus quadratisrehcrecta aequalis arcui:erit stiperficies scinis pheria ex ariinquadrantis i l c descriptallonge inaiortu superlicies conicia ex κ c. At sup
ficies conitaex claequat tir duobus quadratis:quorviri latera erunt vili c. Nahe o termino fixo scilicethmouetur inqtiareth e: describendos iperficieita aequalemi steli cuius altitudo erit vilic ecbasis sitiadriapi.i adlic longittidine. Vnde muItiplicatio hein duplah e longitudine: reeiugula iure qicilenis lip
ficta conicae vel isosceli describet. I, quo liquet superficient conica in ex k edescriptam:aequalem esse duobus cituadratis ex kc. Et rursus liquet duos qua dratos ex kc:minores esse superficie semisplaerica ex i I cderempta .Reetedsectum est in dentonstratione ultimae tertii cap. de georneutri transnautationi: hus:superficiem sphetae maior cinessetquatuor illiadratis isopoetaetris circulo maximo ipsius spherar.qd tamen aliter volitit lisida:m sua geometria vulgari tera in litera contenta: ex se attente fient nianifesta. Quae autem desuperfit in spherae &quadrato imperimetro circulo inaxiinodieta sunt:in numeris sic videtipotest. Es manifestu cireuserentiam circuli ad diametrum: longitudine
nuncirem sentare proportiorici a tripla superbipertieritcnonas. cum pronii ies mus nu amem seruare: tripla sesquit uina, ut aliquando probare in litatis.
Uletianimanifestu: natorein seritare tripla Rus na. de fit:vt parsqirarta circunfoeentis circuit minor sit longitudine cum et quarta.quare quadratus iso timetet sidia inemulongitudine sit O nainor erit si cum ς decimis fractis:
qui est quadratus de cum a quarta. Duo vero quadrata:minora erunt roseiax octaua.Rursus est parsqtiaria circularentiae circuli si diametrus Ionsitudunestist maior γ.quidiustus in diametru scilicet nouein: Dest 6 ,quare circulus maior erit 63:sidiametriis sit longitudines.Vnde dico illa duoqiiadrata is ope itinerea Qq secundum plus liniuimpta minora es eum qui artas desis, quare a fortiori:duo vera qliadrata minora erunt i r quartae veri cimili. Patet. Namqtiartade 63 est is cum 3 quartis.quae quarta aucta in faciti iocum i quareta: quisuntlonge plusa tos cum i octaua. Modo stiperficies descripta ex e d&de facit m qua nascimili be vidi mim est,qtiareret ius a superficies longe anatortu duo quadratai perimetra circuli b c Thadlaue sui rurenties ex tub' la . tribus d ecasoni:erit maior. ia concludet superfici rex e d R d e Badultimu superficies ex arcuquadratistomnes conclumes:inaxima iat.Wtigitur superficies le inispherical longe maior duobus quadratis isoperimetris rex Olo maximo ipsius splietae. Iti &supet es splaetica:maior quatuor quadratis,quod friit prodandum.
Est auic aduerteda ex quomodo in conicis possis medere.
309쪽
etit g faequalisbc. de sibgc5tioluitur stante e se percurret duas hircsiserenatias citculi exc h. qilare 1uperficies est dupla erit ad supficient a b defetipta: qt tantia vinin circialarentiam scurrit. Et hoc liquet. Nam stiperficies conseca exab:aequati iri scelicuius altinido est ut ab &basis ut circunferetia hircuo li ex bo Superficies vero Cylindrica obg: aequatur parallelogramo cuius ale
tittido est ut b g basis ut circitfermitia cireuli ex eb. Vnde quia triangulus ¶llelogramus sunt supci aequales bases Saltitudo eoru una est tetit parallelougtsinus triangulo duplus per x priani Euclidis. in superficies ex b e: sit tripla ad superficiem conicaexa b:patet.us1oed:e ita de mangulus uian lustrianguIo ac b. mest manifes usi ed fuerit aequidistans ad b etper secudams partem x primi:isti duo anguli aed&abcerunt squales similiterade.&ach. Rideo quaecum laetitilla aequidistans:se habebita abcsicutae adab per quartam sexti Eucsidis. Sintiliter & latus oppositiun anguloe: se debet liabere ad ac silaitae adab.sed sola ad ad ac se habet sicutae adab:quare deestae quidis stans adh c.Rideo: es dupla erit logitudine.&siini liter circunferetia circuli ex ed:dupla erit ad circularentiam circuli exb e longitudine. Vndecu tenninus bvolliitur vi circularentia circuli ex b c:tunc b e eum sit aequalis a b supficien aequalem desciit,itsuperficiti conis ex a b. m vero e mouetur inciresis αtia in circuli ex editu he describit supficiem dupla ad supti sein conitam ex a b. Manifestsi estigitur b e motu suo in ambobus terminalibus punctis licet inaeqtialiter moueanturilla tenninalia purast describere supficiem metam ad superficiem conica ex ab. Vnde conica superficies ex a e. quadrupla erit sueers
ficies con ex ab.NMnstipficies conica ex a e:aeqiiatur is ceu cuius altituado erit viae basis ut incusemitia circilli excl e. Ritiper es conica exa hi ut dictum est aequatur Uocelicuiusaltitudo arquatur a Dibasis vero circunferenstiae circuli ex b c. Sed cum basis uianguli ex conica a e se habeat ad has uia stili ilhceIis ex a b contra sicut altitudo altitudini.erunt trianguli isti similes.cituiteoniin latera relativa:sunt proportionalia. de per is sexti elidis:etit maior triangulus minori quadruplus.esi latus maioris ad latius relaut tu minortis: i5gitudine duplusit.Vndeliquet si amatori triangulo substralia tui minor:
residui uri erit quod fit ex he.ideo qd fit ex b e: tripla esse dictum est ad superfiαciem ex ab. Si en inrite intellecta citerit latera prscedens:im facile poterit inte, ligi. iiiii cciii alii id coeludit:u pnecedes. Habes igitur. 6Vt hic: expressumcu.Nam si ex a b c triangulo conica fuerit descripta stipe incies: Ra h latus eo, nictim sitisi iniliter e I, semidiaritetriis hasis:tunc coluna rotuda quae ex b gddi 1 libit intere es fieso:liabebit bascinaequale basi conicae lint quia ex squartisetn diainereo descriptae erunt' altitudo coluiaae rotiti aequor est vib g esta qualis lateticonico qdella b.ideo superficiesroludareolunae: duplaetit supαficies coni .vidistines Et si altituao colunae tuaior esset latene conico : tuc stiperficies colunae maior esset dupla.&si minor. minor. Ad cognoscendu exucessus istos estnecesse cognoscere habitudine altitudinis eolii rotussie adla, tus coni in logitudine aut praeesse aut propinque: quonim militiplirationes demodo cognosce turmiter easdem propositiones adsectas in latera superio redestinidiametro.Vt si acthgaddatur inedietas debg: tunc addet supticient aequaloen superficies ex ab.eoini secuda inte i sciliceti,g:bis mouetur inim egruin scilicet in circularentiam incilli hctratione duorsi tennsnorei aequabiermi limina.&ita pro8ortionaliter de aliis portionib'diranir . Sequitur. I Si feceris Iat' coni chordilarcus. Sinta hibe&bg:aequales rectae.&sint arcus de si ripti silis erras qiiadrantes re morieanturrectae curn suis arcubus modo praes arisso:tunc arcus a s b describet superficiem semipher iram &semidiametrussci oris crit l, c. Vnde archisa f b:tantia una in percurrit circunferentiam circuli ex bc.Citnia vero b g duas perciirrit:licuissa chorda.qirare deseribet supcis, ciem duplatii vivia de laiad superficient quae ex aftiareu describit. De anu curua b e tres circtferetias circilli ex b c pereurrit:sicut ehorda eius.Ideo superficiem tripla ad supta ex a b descripta dicitur descitate. Et ita dequb
310쪽
huis curii unodosint: itales&similes diceradu est. Demu dicit de Cia D . Archimedes probat quatuor maximos citculos sphς neqhiari super saucies sphe adeo superficies semispherica ex quadrate b e descripta: dupla erit
adsuperficiem planam ex he. siue Iit sui en sit:prope tamen admodum accudit. e potest esse minor ipsa superficies sphera :ipsis quatuor maximis circus lis siue quatuor sectoribus.ut competimus.
Si volueris Cylindricam sphineam fac conicam supexficies.s si uia b d linea duplaestiongitudine ad a b seinidiametrum:ideo conica suis perficies ex b d des pia dupla est ad circussi ex a b.Multiplicatio igitur b d in ciminferentia circuli a b:erit talia duo in viatim.& productu est duo. Super fiscies vero exhcdescripta: erit dupla ad circulum abiectu, multiplicatio ex be:est tand unum in duas circunferentias ratione motii sitsiorum teritanoruna. Ideo productii:est 1. Superficies igitur contes ex b d:&superficies Cylindrica ex besssint aequales per ς quinti Euclidis. quia duplae sunt: ad circuluin ex ab. si areus quadrantis describat superficiem dupla ad circulii a b ut supponis tut)efiit istae tres supficie aequales 1tilicet Cylindricatsena plietica R conica. Itidem Seonam cuti : exbhictbfg.Patet.vel tu dicis continue conicas sua perficies:a Cylindrs abcadeoniean d esse imiores vel minores Cylindrica
ex he. Sima ores:erit conica b d maxima: 8c sic masor Cylindrica be.qtiode senonpotest.Itide si minores:tune est conica ex h d in ima.&sic minor erst: linfrica ex , e. quod esse nequit. no erunt igitur: maiores i. minores.ideo aequales.qirodes proposituita.
Curvas lineas non tamen circulares: ex inaequali motu Iineae. 9 CLitera plana est supposita figura ustu adhuelociam. Si voluerisimustere
portionum illarum trabitudines:ita tacito. siderabis excessum civir .Re, fumatur figura. Duplico arcumh c 5 sit b c f arctis tertiae partis circunferens eis ineuILeontinuo ba vso fierit b f latus trigoni histribendi d a primaria secundaquare da&ac:eruiat aequales ut dicit de Cusa.Nam de adad:est Esgitudine duelavi saepe dictum est.Ideo isti duo trianguli bac&bad:elut pers primi Euclidis aequales.quia latera lateribus: qualia sunt. deinde traho d f Rdg:ad medietate arctis hc. Dicit igitur.Esto et, abscisso sit in circulo:&cr sit pse michordam&sagittam tertiae partis ineunterentiaecirculi. Et signetur ira cabscisio tabc: etit ab semichorda duplicis arcus sextae partis circunferciatiae cireuli. qiua se chorda arcus h e se qui inpars tertia circunferentiae circuli. Rursus portio circuli super chordam hecli in lunulabeg:ci inqua excedit abscisiobae quae est subrectis a Da incuruab gc triangulum re lineum baciEt hoc venit ex motu a c:descnbentis abscisionem. Cum enim eam destri, hit in ambobuspsictis terminalib' mouetur: sed non aequaliter. Simianae quastiterinoueretur Luperab:destri rectangulateritus cstio latera maiora eslciit ut ab minora vero visa sagitta.&sic hac orthogonius:inedietas esset re elui gulae.quare portio sumb et aequalis esset ipsi orthogonio. At quia ternimi ac inaequaliterinouetur:ideo lunula siue potito superbe minor eli triangulo bae. Sequitur. CD ut videas quomodo ii qualiter mota. sHic esse iurauerdescriptionem abicisionis bactponit:quae fit perae sagittain, Deinde labitudinem ipsius abscisionis:adportionein notam circulo inquirit, dicit:lgitur. P deb ve usa aequalem sagittae acSPb ea ualis a c. Moueatur igitur hiuper arcub g e:&dum sic b mouetur super arcu b g cinecesse erit emoueri sua per ea versus a.Mouetur sotur terminus etper Fn ea. in eodem tempore in quo b mouetur parcii b et c. Gunebit enim absinoli modo descripta dime dietatem illius quod fit L ac sagit ne inmisma qualem amath g e quod axitiabittir portioni circuli bd c. Nam ipsa portio detieritatur ex motu d e ter. minod fixorinbg c armim.&d c: dupla est ad a c. 'uare tantum desciit, ilirex ac nullo extremorum oti aequaliter mota in reminaequalem arcui b gc:quantuand e vuo termino fixo mota in arcumh g c. vide se constat. coira