장음표시 사용
311쪽
tinebit igitur abscisio medietatein illius quod filex a etintestam aequalembue quod priuatur portiona g d c: quia medietas de b d ei' cum hoc secundiunhabitudine potentiae Neotiis ab senuemordae supia pitta qui excessus est ae, ad potentia redire aequale tuae b ge. Que igitur habitudo potetiae ae ad rem quae aequatur curuae, g c:tanto excedit abuno medietaia portiolus b d ei aemedietas estgdc. Ductio enim a c in arcum b cideberet esse medietas ita quod*ex ductud b ineundem arcum.csa e:sit medietas d h. Sed quia termisnusina c mouetur qui des eretesselinus relative ad latinii fixum in d b:ideo superficies exactae b e descripta excedit medietate superficiesex bd. moueatur enim b e:inambobus terminalibuspunctis sed inaequaliter.& tantum uno terminoraltero fixo&stante moueti deberet.vicu hmolieti irinbge arcu : de beret essee fixus ut medietate solum de bde describeret. stetit bd tota describit sed terminus e:mouetur in ea: ideo abscisio bac maior est medietate portionis hoc.Esto igitur Φh e curua tripla sit ad e a excessum semichordae sup sagittalangitudine: tune insessio ab c excedith agnia una nona. am potiunt aa e: esta nona potetiae be. deabscisio cotinet medietate portionis bdc:&vltra me diuin siue medietate b d ciretinet pomisnem sectulum trahitudinem potentiae aetadcumam bc:quae esti nona debe inpotentia.Ideo portio sith tua b ge&rectabc:sunt dive nona medietatis scit et illius quod fit ductua e nullo eratremorum fixo in remaequalem arcuibgccives sunt duae nonae medietatis tos itius abscisionis bde scili de bd g.quod idem est. Ropono lata modii tradere quomodo curtra linea an rectam rvertitur Inon ut ua primo libello p mediii v rsionis rectae in eurua sed in medietate: di hoc μr subtile coincidetiss. cuius
hcc est propositio. Descripta quarta circuli l& linea prima a cetro ad principi si arcus tracta Iti secunda linea de coraetu primς in arcu oriathogonaliter eiusde qualitatis cum prima di tertia a centro Rix fine:
γα sit ut latus trigoni inserir circulo N: quarta de fine sere ad finem tertio Si isie de principio quadrsitis lineam quinta duxeris ad
quarta italiter φ chorda quae a cotactu illius quintae ubi curuo secuiserit ad fine totius quadratis ducta quae sit sexta linea luintae fuerit sequalis erit quinta minor quadraret quanta est medietas portionis eius cadentis inter curua N: quarta.Sit sup a cetro quadras he deici aptus:& Iinea prima a b de se elida b c angulsi recisi cisi a b facies aequa,
iis eidulo: tertia linea a e d ut latus tria li inscriptis & quarta lineae d.Trahe deide de b linea ad c d quae sit b g: & ubi secuerit quadrii, tem b e pone si& sit quinta linea. de s trahe sexta: quae sit chorda f e. eo si s e est vi h graec b gi est minor quadrnte b e in medietate f g.
Adde igitur medietate fg suptr biliti sit g h medietas fg: dico h h
Ostefio.Prouppono primo φ quinta & sexta cum portione quς - .dit inter curua 5e quarta qua semp portione voco ton differat: nisi 'Ut pars quintae quae est chordasti licet bse&sexta scilicet f elquae est chorda residui arcusqnadratis differ uti&ιν illa differina qua qui tantharur quadrate 5c sexta cii portione maior differsit:est dii ex quatitas cilicet quam quinta erit minor curua quae est quadrans: & sexta in portione maior quadrate.& q, ideo quam plus differsiti tam linea maior quae mediat inter quilam & sexies eu portione.qua linea: vocomedae.&quato minus di ut: tanto mediu min'.Secundo presupe
312쪽
pono:φ rta in portione potest excedere quadrantem an medietate portionis.Na in minore parte & in maiori potest excedererideo etianec in minori nec maiori u medietate.Ex his infero talem sextam cinportione ita excedere quadrantem sicut quadrans quinta. & . Pori tio:est differentia chordarum. & sexta: est ut quinta . illa enim se
habent consequerer .Si negas quia dicis differetiam chordarum miis norem portione:tunc medium etiam minus.& quia minus substrahitur a sexta cum portione u prius cum portio parte sit maior l& meo dietas portionis maior medietate differentiae chordarum: hinc hoc
est impossibile scilicet Φ linea fiat minor si ab ea minus subitra hi lusi ab ea plus substraheretur.Sic si dixeris differetiam chordarii naasiore portioneresse medium erit maius. de tamen pIus substrahitur u prius:quado medietas portioni qua minore dicis substrahebatur ω iterum est impossibile. Quare patet si sexta cum portione ex
ditquadrantem in medietate portionismecesse erit portionem aequari differentiae chordarum. 5e per consequens:sextam aequari quuNtat. la fuit intentum.
3 CEx his:sequitur circuli iacilis quadratura Nam medium Propon, tionali inter b hide diametrum circuli:est latus tetragonicum circuium quadratis.Sequitur etiam . si h e aequatur blasin circvuoluistione describit portioneni conica cuius sulaeficies aequatur medietatiti spherae &longitudo quartae circi4seretiae maioris circuli eiusdem spherae.quod singulariter filii quaesitum. Adhuc aliter recta quadrsiti aeqiralis:hoc modo reperitur. Si linea' sexta cii portione quintat lineae aequatur quadrati:eas inter se aequarine eelse est. Ut si seruata figura pinissa:quinta fuerit b p qibetexta
ta ut est v:portio illius ut e vierit iter portiones breuissima. 5e Getisivae:supra & insta taugetur ecundo suppono Ici, sexta cilio portione illa minima:est maior quadrate.&ita oportet sextam eum portione quae debet aequari quadranti:esse minores. Tertio suppono:q, possit sexta dari cum portiolae aequalis quadrati. Quarto supponou, de e cversus b:sextae cum portionibus simul continue augentur portio nes etiam minuantur.Istae suppositiones' cuilibet de facili paloe possunt.ex quibus:ostenditur propositio. Nam si dixeris sextam e p maaiorem portione p q:erit igitur maior medietate quadratis. Esto igitur mer sexta aequetur medietati quadratis:&lit portior siqerit a
maior p q per prima suppositione. Erit igitur e r & r s maior quadrater& tamen simul iunt minores e p Δ: Pqtper quarta suppostion tquae ponuntur aquari quadrati.&ita minor erit maior maiore. qacii impossibile.Me si dixeris e p minorem p q:sequitiaridemavim lucerit minor:medietate quadratis.Esto igitur . et sequetur mediet ii quadratis:cuius portio t v erit minor u portio P qiquare e e 5: r v erunt minores e p Yp q:sic maior erit minor minore. quod similis
in est impossibile.Et quia sexta cum portione/posse quadrati aequa iis v.
313쪽
HI:est manifesti .Patet hoc esse:quacio sexta aequatur portioni quini eae inest Intentum. Ex hac iam dicta inuetione si vis elicias:quomodooem portionem 'superficiei sphera: lpoteris reducere in conica aut Cylindricu.etiam
si tibi portio ipsius superficiei spheraeiad totius spherae superficiem
ignota sererili modo. Et sit exempli gratia quadrus ut prius a b c: de huius arcum notum signa qui sit h c.& fit h c:duae tertiae quadratis.trahe Iineam rem de h lfiumr a c ortilogonaliter quae sit li inerit igitur ii orsemichorda duplicis arcus.accipe recta aequalem curuae hc:de sit i v.hui' medietas:sit chorda e k.duc recita de B p k i& si h li rsic φ k r aequalis fit k c.1ac igitur de puncto aliquo lineae h p qui sit stv Iineam traiiterer radaq:quaest sq.ita plinea deli ad psi istum ubia q Iineam tugit scilicet q perducta:sit dupla ad ii erit sup rficies lundrica ex h s: aequalis superficiei spherali ex arcu h-sup escinii rex Ii q.1 mediae quae de ii ad s q ducetur.uti in praemissa. de hoe patet totum:ex missis. Et ita hahes artem quomodo si sciueris Cylindrica supereiciem aequale spheraIi: poteris ex hoc reperire conata sequalem cuius langitudo sit ut longitudo Iliacae curuae circuli maioris.Et quoniam ex Hrchimede:arte habes ι omnem portionem suaserficiei spherae in circulare planu reducedi.Et ex pmissis patet quos modo omnem curua etiam si ignores eius habitudine ad totum maiorem circulum:poteris in rectam reducere hcc ars subtilis est: cecleias circuli quadlaturam.&econuerso si habueris lineam rectam aequalem curvae:poteris tunc superficie cylindricam & alias conicas
consequenter reperire illi spherali aequales. Ex quo iam patefecit archimedesi quadratura parabolae:quomodo sit perficies illa potestini quadrata reduci.ostendetas superficie illam ex recta de stetione coni rei tanguli esse sesquitertiam ad tringulti habente basim ipsam recta
parabolpN altitudine ipsius parabolς Et nuc constat:quomodo quadratum potest in circularem duci superficie.acq,itIi:possit cylindri, ca I&conica aequalis assignari.Ideo ex prs missis habes modunulmesi curvam sectionis illius parabolς in rectam reducencli.& s ingenium applicueris:omnem curvitatem regularem etiam sectionis transuersalis lindri poteris sic rectificare.
Propono nunc modum tradere quomodo curua linea in rectam. somnia sunt aperta. Sic tamen iuriminιradlatus trian incirculo ab instri ihem i. Cum per ea quae dicta sunt inde geometricis ita iiivitationibus sit mauni festitnusemidiametrii circuli adstani latiis trigonitidem inscripti esse sesquiti tertiana Iγotestateista erit diatnetnis ad ipsum latus.qitare si miripta sit dupla lo gitudine ad ah RDehiae definita: inclinduratur aequalis dupla longitudine adab facto beentroiabscindet inaestides natani aequalem lateri trigoni circinio inlcritiendi. qaerit a d. de tractabd:ent dupla notudine ad ab*otestate vero:quadmpla.&ad a clPotestate sesquitertia.
Ostensio praesuppono primo Q quinta & sexta cum portione. 4 SimimbgRes eum s indictiunt ut excessus es superis D texcessitavis ig portio Sem es aequalis p g. patet ex opposuo Nam n e f ctb gruent mi
314쪽
ae s deinendo ab utri aequaleb fresv ua eluntaequalia.sed residuunt de bgtests gagitur residuuinde e fa qualemis s. Ideo excessus chordatum scilicete fab stieriti vis g portio.hic, quato excessus quo quadrans cedit qtiintam
excessus quosexta cumphrtione excedit quadrante plus differavit: talo naediauiterquintam&sextam cum portio sit maior.>o murus:nainor.Patet.ponamus b 3 quintam lineam:excedere b e quadrante. sunt liter es cuse excedere he quadrate Sinedia iter b g quintaeces cus g:sit bt v. iocin biv medietate debs de efWgteontineat:dicettir media longitudine. Si detur maiores cupottione:tuc eius eMessi super quadrate erit inaior.&illa excessumει exectu sum quadratis si ethgplus deferre est necesse:u excessunt qtiadratis super bfieceκcessumes cum t g stiperquadra n. de media inter bgianaaiorem ecumportio sibi respondente mite erit maior fg erit maior biv.Et ex ops cposito si minore seum portione detur:erit esus excessus minor superqtiactans te.&media interhg&1ninorem e s cia portione:erit ininorbi v. Secundo suprponit:. sexta ci importionetpotest excedere quadrate in medietate portionis. Probat quia potest excedere 1n minore parte: Nirnatori medietate. Pro quo ad
ueraeduin est d, oinnes duciae a pulicto hadqtiariatncd: licuntur generaliter stantae.&drustae a puncto clad puncta sectioniim in quadrarite: sextae. deinnmme possunt dariqitIntae:&sextae .similitariportiones:diuersatilin longitu a s danum. Vnde ruata quaecrat prope ho causabit maiorem portioncnuu b g Zc similiter maiorem sextam.qtiare prope hipotest dari sexta cum portione: qirae excedat qliadrante minatore/medietate portior iis , Ni vero quinta ducatur proeped:tunc sexta cum portior excedere quadraniam minora illa medietate por
dabi etia alicubium nee in plus nec in minus.li est dabis aliqua sexta por . tione: q tu excedat*iadrante heu medietate portionis I se uiniquae supponit de se.Ηissippositis dicit. si ponatures citin f ζhoe est sexta cum poretione vel alia sexta citin portione excedete quadramn in medietateponsonis: erit excessus laordani in sciliceti, foesivi portios s. amsi quis dica in noure portiones g:erit tunc es minori, g quare inedia minor erit tu si ef ponatur uti, p.&tanaen minus substralaitur:eoc, excessiis minoris es cunis gstiper tis minor sita excessus es cunas g super l, g.5 qilia exccsstis minor:miti' sub
tualienit adsistendum medium.&li estisnpossibile:u, substra laedo inmore medium fiat minus illabstra laedo maior .Hic supponitnaediain quadranstiaequalem esse: via media supponit esse sexiariam medietate portionis. Vnde suburahedo medietases g:fit media. Sic si dixeris dissiciet iam clio aream esse maiore portione: erites maiori, g.&se media erit inaior:sicilinae festaequalis h n&ad media hahedam interniatore es csis g&hg: erit stilistrahendupli sumedietate f g.Rhoc est impossibile est media prius posita sit:ex substractione
medietatis fg.Nam lucinator fieret ex substractione maioris:&minor exstili straetione minotis.qdestii ossibila. si nirniedia siue quadranti aequalis sit ex sexta cum inedietate potitionis:nectile est excessiim chordammae qualem es se portiora.&sexta:quintae aequale esse.qdfuit inretum. Admissis stippolitio nibus:concitiditde Cula e s cum inedietate f g aequale esse b eiarcui quadratis. Sed hie duo omittuntur. vnsi videlicet: lucini o sextaec qilintaini leniri pose sint. Secundum quomodo fit transitus a maxima sexta quae est chorda qua drantis inportione respondete quae est ut quinta jad minimam tam que intreeta ducta a puncton ad piani inad cum portione sibi respondet per omnes rectas inter medus.. si non sit trananismee formalis etsi suppondones siuenecessarie.
CEx his sequitur circuli iacilisqtiadratura.nam medium.
sequitur etiamsi beaequatur bli:*i circituo tione. CPatet.sit bucc qime' iis biiqiue cireuuoluatur sitnuleum ab termino a fixo:describet conica cratias superficiesaequabitur superficiei spherali ex curuabe.Nam dictum est inlit
supetiore sub nota octonarii: hi id ita ex b c superficiem duplam esse circulo
315쪽
sis.cumbe malis sit ab.psi rectati dest ducatur:conserinaequalis su fietes hi tiere describet.quia longitudine dupla:ad bc.8eoannes intennediadu mea puncto bad rectarn cd:conicas sinerticies describet aequales.ut ibidedimunest.Μodo curiistipponatursuperficies semiplaerica aequari duob'in ximis cireulis aequabitur mamydietis superficiebus. ex quo patet intenturia.
Adhucaliter:recta quadranti aequalis hoc modo reperitur. Siliaraca sexta cum portione quintae lineae aequatur quadrantat: eas interi uanior supponit.Ptano et, si recta de bad medium deducatur:portiolim 'tercuti in&quartam ut ducta bivitat tu interportiones breuissima.&oeituiuelam S 1,ra:aug r.estveni nil, inbreuissima: Rui augeturius adisupra. Secundo uipponit sextam cum portioneilla:vteste iret v maiorem taequadrante be,inetiam veruin. Tettio stipponitu possit dati sexta cia portios ne sibi correspondente: ualis arcui quadrantis.Et hoc sic dein straret.quia datur ubi in plus utinet cum tut&unimininusivtimercumrS,cunars: misnor liti, r.Igitur daturalisibi ubi nec in plus necinnuntis.&vbicuquaoc fu tit:necesse elisextam clim portione aequati arcui quadratis,qdein intem. uatς to supponsitu, de eversusb:sextae nportionibus surruq continue aligetur: licetportiones etiam innuati sax hoc verum est.Nani traho be&bd:erit e bmaxima &bccius portio.ssis ebcumbe:eritinaxima sexta cum portione.es vero cum fd:minima erit sGta cum portione. deaminina sexta cfipora tione ad maximasextam inportionemecesse est colaturise aligeri sextas m portione. Dicitur minae h maxima sexta:quia eliisqtiitantii alma est. caret mi 3 quinta:ciiiii hc portio sit. Ate sedirituriaturum sexta. illaesus quinta sciliceti b d: inaximaqtiinta. Sicut Quin invisimqtiinta maxunam ponit sextam:ita maximaqitiaita nuntina sextam ponet.Ηis supposuis:bcile concludit de Cussa. nisi posianire paret talis pq:einpersuppositices sextae I cu portione pqtvicis nia he.Patet sic. inquae a sexta cum portione dicetur arquatam
citi:cllaiecere epotiione sextaraequati. Siligitur eptap q:vt curuab e. Si quis ponat epinatoreinpq: tigitur ep maior medietate quadrantis Detur aliqua sexta parte aequalis medietat sarcun&site r sexta.eius portio r siestinator p et per prima suppositione, tigitur e r Rrs:maiorarcu quadrantis.& tamen 1ginui sunt minores ep&pqrper quarta suppositio quae ponsiturae iis quadrati.&ita initior scilicet e reum rs: et maiore palmpq qdest mapossibile cumcpctinis' a maior tot erit igitur ep: maiori q. Sic si dixeris epininore:timc petit minor medietate qtiadratis.cuel cum pq playpoti iesiuiuaeqtialis sit arcui quadratis.Detiiri nil maior seκta aeqtialis medietati artari quadratis: sit et ictutis portio tu es sinanor.Igitiite tectu lunuluninores sunt arcu
quadrantis.& Iic minores:ep R p q sinuit.& tamen simul sunt maiores e p R pq:preqtianam suppositionem.&licinator scilicet et cuintv:esset nititor minore trilicet eptum p q.Fest impossibile Non igitur erit epininor pq:si e pes pq sint ut arcus quadratis.Vnce patet intcium.Debuit ut inpdicta resolutiois ne idemons hare de Ctisa:quomodo illa sexta clina portit 1ietini utipoterunt. Et similiter quomodo fit transitus a maxima sexta ciun sua portioiae:scilicet ei, clim b c ad ininima ciuit sua portione scilicet es citin f d per omnes medias. hoc estist, datis omnibus statis nim suis portioitibus inter et, climbe, Res ms .i: lures non poteruntdati inediae inter ebriim hectes ciun f diquae scilicet sitit mitiores elictimi, c&maiores e secumf d. Sed hoc non videtur ita esse. diu ta intelligatur rectata puncto had quartam lutearn scilicet it c sic in non 'audat aut cadere valeatnatet eam Rhcaliam:erit pxima minor post h e.similiter sua sexta es correlbon ausiatelligatur:&s, inteream N e hmoneadat alia. Si fiat transitus inodo νmisso: non poterit assi ri recta media inter sextam cum sua portione ita ter quasi lille cadunt sexta cum portionibus. Sed ii, sicipatetissimo illam s ta in quae est minoreb ad qua uingobctetit rei ta illa minor e laci imbelmaior illa sextaesiportione:quia adsum sextam itincta es malaria
portione scilicet hc. Vnde uitur.quia non fit transitus a maximas incunt
316쪽
ponionendmilitinacu portione/pet omines uatermedias rectas: tordo traitus istius iterruptus.Ideo vide iactes se necessarisi: Odabilis sit aIiqtia sexta cum pomone sibi respondete aequalis arciii.Etsi detur: no ideo est qtita inpitis&minus datur.Na ubicitiam adducitur plus S mimis:necesse est ac conciti icti dum intelum scilicet qd sit 1cmpcrdabile medii itia propositurias, fiat trasitus aplus ad minus per orianes internicilias indiffereter. Propterea Dosequitur fit transitus in ordine stippartientium a supbipartiente septimas minore sesquitertia:ad supertripartientelia septimastidiatorem sesquitertia&pet omnes medias superpartientes.ergo per aeqtialem:sesquiterti v. qtua non tu transitus ainino, re ad maiore:per omnes dabiles proportiones inicimcdiasiqirution solii sunt suppartientes sed&plures aliae simi inter quas reperiatur sesquitertia. Similis obicistio posset adduci ad predetem resolutione:qupfit perseκtam cum inedietate portionis.Nilailominustae verae sint sui enon:subtiliter tame admodum sinata de Cusa excogitate.Necessario concludere digitur inteliam stium: si om nes sextae cuin portionibus a maximac bad minimae flestinue essent omnes
intermedis iter maxima sextam ciam sita portione 5 mininan sexta iracia in sua portione.Nam recta cimrehe aequalis:est una interitaedia.cum sit inuiolet, cuDe:&maiores clinis d.&sic resti aequalis citruaeberequalis esset alicui sextareum portione. de pederet:q, sexta aequalis esset porticani.ut mostrati tua est. Sed datis dualuis quibi istum sextis cum portionitatistsic ir, inter eas intolliga turnulla sexta ciuia portione cadergrnihilominus: alsignabilis est reetia iiixerit
minor maiore sextactim portione N maior minore sexta cii portione.videlicet illa confecta ex minore sexta: in portione maioris.Vt si data site ictitiit vidi alia sexta inmoream portione intelligatiar inter quas nulla alia sexta cii portione cadat:dieo illas non esse duas con inue intermedias inter e b cuin besto e fcunas cl.eucadat intereas alia:videricet cora secta sexta minore e tis portio riet v. Ex his patet quomodo omneu sextarere portionib':sunt dissestinue me diarint et ei, cu b este e s citin f d.Ft ratione discontulliationis non erit lac puniens si reeta aequalia arctit l,e:non sit una sexta cum portione.Tt eausa Imius discontini latit,nis: stansuIus h cd R curua b e.Nam omnes re hae due a psicto h ad recham c d:non 1 tint continue stateranediae inter l, eminoire&b d maiore.Nam si intelligatur reeta ducta asinincto baddesco, nulla possit cadere inrtet be&ducta quae possit diicia puneto p ad rectaria ed:non erit illa proxime maior post be sed infitiatae eadunt inter ipsam&be.qd patet. Nam si angillus ecclminuatur: nuetur&ducta manente be.&quia in ite potest minui angillus ecd: infinitae maiores be&minores ducta cadunt interbem ductain.Sultima:eritqtiae continget cc. Et ideo oinnes meis saliae diici possi inta imitob ad redhainec si ducantu&erut Omnes continile intermediau quae dari possuntii ter be minore &eb maiore.Ttqd ibi diemini est de sexta cuia rortione, cindice dum est de sexta Rinedietate portioriis.ci, Ii amnes sexiecit medietate portionisanter maxima sextam cum medietate stra portionis5 mimina crimine dictaleportionis simionanes intermi ix: tunc reela arcetiiqiiadnuitis' imitatis erit ut sexta cum medietateportionis.sed quia illa transitus non est continite pomnes intermedias si cutiare per sextasinini portionibus:ideo non est necesseo, reela aequalis arcui quadrantistaeqtietur sint sciam inedictate portionis, Sed de hss haesentis.
Lailia arciis lilic sunt x tertiearcus quadrantis: t. t tertia duoruar si qtiadraticis t.T.sexta quatitor arcuti quadranti u.erit igitur: medietas ars tertig patiis circularetiae incilli,et ideo hotest sciniflorda duplicis areus hke.qa dupite
dietati t v. similiter kr:axitialis he.facio ac indefinitς qitantitatis: et a pune tolvit alio pet t.ptimi Ei iesidis aequidistantem ad ac indefinitam et sith p. fa,cio transire ab aliquo purasto in ii p signato qui sit s recta ad a e indefinitarat sic in traiiseat pertiquς sitsrq:ita tamen P ducta redita aptinetoli ad purultum
317쪽
q sit diis talangitudineadias.dicit de Crisa:ylindrica laxarquale esse super 1 es sola erati ex likc deseriptae ut siliscum fio terminoo fixo circulioluatur: cylind ita describeri nis semidiameter basis cisthoSalathido h s.¬uestu, contra ex la q descripta. svmfici aequale habet superficies cylindrice exti uoessereptae. lirare stipsiciei spherali ex hκc descriptae:assignatae it cylindrica8ι conica si pficies aestitatis.', si duxeris apiictoli ad rei rutrasq aequale tu:ex ea coniram describes supficiein aequale liuidri extis Rcomes exti keeriam dicta in litera hedete subnota octonatii.quarecta quale spherali sipncies: ex iclinia k h c.Et ipsius conic status:aequale erit cuniae.Etl clitera ex opposito praenus e litem:demostrare posset de Cusa sic.ως aedicta sunt de arcu qua ldrnitis:de oanni arcu in analogia intelligutur. in si ponatur Ia kc loco arcus uadrantis:eritIa optima lineatis secunda o qtertiai 5 sqqtiaria.supponendo en inlis: lindrica superficiein supficies splaerali exti lic describat aequale
Ru, liqconica si ipficiem:aliis equale. Inuenio sextuarquase portioni:qtiae sit elici imhr. unde perpniis sach cum kr aequales simulertit arcinii he.&eritia lir quinta:&ch sexta .portio vero:erit kr.Vndo ex opposito costat quomodoliabita tecta aequalicurum tuenitur cylindriradiconi sup esxqitalis si lacta: li. scilicet faei ordo medietatem rce saequalis citrupe chordanuvi cstch quae est aequalis medietati t v. inde diacmo a puncto mobili scilicet Ia recta n p taxi Dinum chordaeextra arcu:sicum quae extra erit aequalismit medietati rei cirrutitetmiralis.Vt est likr: itis hiaeqitalis este k.rilaoc habetiir sexta elicii portione κ radini licea quales:&sintulo qtiales clinia '.qitarc firma disdia a puris cto signato in lipporriad rectam ac indefinita in qua sitfr': siti, qlongittidisne dupla ad la iactittis latiis quo cylindrica stip esae tialis describetiit si ipficieilbnerali excitrua Illic.&liqlatus conicii erit sipficiem ipsis aeqitale descitii is Pthaec aperta mitis quae cietassint inpinissa adimittantiir vera, Sequitur.
LI tit aliahes arte quomodo si sciuetis cylindricain superficie jlier aliaequat lIeirupoteris ex laoc reperire nicam aequalocustis langitudo sit longstudo citi lisar.eo scilicet inodo:quo iam parisianus per inuetionem Eneae sexta cum por litoneclive invia sint aequalis adliabendam rinam tuae aequale.qua habita: facile e stituetiit latus eonteum/qddest ibet supficiem sphera lim lindricie , aequale. Sequitur. Et quoniani ex Archimede artem habes. Illud tangit de
sa:ha depfectione inathematicaldires.Abscissior uim spliera Ilah1ludo cursita stiperficiei adreelain basis:est ut lineae de renitti adcciamini basis cu scinis diametro basis ad sinu semidiam minabasis. Viade siclicis daretist qui ad circulum ex oli se traheret sicili sebat,et occilinoli ad o h Iongittidhae:luc cir cuius aeqtiaret supficiei spherali ex like.proiit expiariabini'stio loco.quom dia vero Arctii medes redurat:ignorant'.1Delu:hue locu vidini'. Sequit. it expiaullis patet quomodo inne curua:etia si ignores estis habitii dinem.Hoeli rado stati in pinuso:cognoscendo latus cylin sista sin scies qualis supficies spherali ex curua Et sic ex anteliabitis: habere poteris .l imo habeas ciretitum lui ficiei splacialitequakii per haestudine lino de etciuilia cctro basis cum sesiiudia ineno basis ad mlain semidiametriini. Deinde illius circuli recipe recta quadranti aequale: lese edo rectangulana aqua circulo.constituerilisus suu perrecta aequalem circi vaferentiae inctilibasis:recta lagitia aequale priori res githae.' mimis latus:erit Ilindriculatus,quo habito:uatun reduces ruffire et imaeqtiale modo pinis .Et exemplicaiisa sit data citrualic cuuis liabituditu id ltiadi ante vel ad totam circunt. tuam ignoto.Video in quadratet simiarior et si maior:recipio parteat ilota quasipfiricin spheralem describit: non tando linearia de et nidi per ocri semidia1netnim hasis scistic eth o.stiuenio est. Illum qui selfabrat ad circi ilum exho:sinit eo linea de emissic filios dissiletro basis ad hol itudine.sic enim haheblair.tiunanir per sexu elidistmedia pportionalis iter c ocii hol&lio .R ipa erit semidiameter circuli: quays
e oculio ad holongitudine per correlarium 1 sexti Euclidis.Rursus illius m
318쪽
culisnueti quadriatem: inremmaequale tabluo.Inquaduco diantetrum:&sit rectagula aequalis ipsi circulo laesu iciei spherali ex lih GDesiade resoIlio circunferctiam circuli exho:m recta aequale. sup quam rectangula describo aequalem pilori.stili cet quae aequalis est si fietes spherali extili c. Sic enim dest Me
tutaquadra rectant Iam:&iunge latus ad reminaequale circunferentiae circilliolio:&perro sexti Euclidis:imienias tertiam continue proportionalem post latusquadrati quae erit minor latere quadrati )R sic trahehis tres continue pro portiona s. deperis sextimesidis recta gultim qd subptima scilicet tecta aequali circunferentiae circuli exho:&tertia quae estinueta aequale est quadrato ex secunda.&Meonstituere vales rectagulam super rectam ita circunferox tiscirculitati octiniim latus si te gulae qd est tertia cotinue ortionalistestiatus lindricaeaequalis superficies superfitie spiretali laκclei sit lis.fa ac indesinitam risti tripta cupia longitudinead la s: secimdu qua circinum extendori posito pede circini inli circiadum.& ubi secat ac indesinatam:pono' trahohq:etith qtatus conicu.trahos q:&Mhabebominam h neam ho seu damlis tertiam o Miuartain sq.Inuenio deindesextam aequalem portionis suae silc k cum κ r:Ripsae simulerunt aequales arciti noto.hoc estignos taetrusituduiis:sciliceth he.Et ita deo 1anibus dicendiim est. Se iistur. κquo iam patefecit. iii Archimede viderunt:facilius gnos richae litera itidi cabunt.Non enim Archimedem hic vidimus.
Olo nunc investigare cliuomodo per linvitas quadratura circuli inuestigetur:qua viam veteres frustra attulauerunt. deest intelio inter latus polygoniae circunscriptum circulo &latus polygoniae inscriptum:reperire lineam quae secet Iunula lita Φtriangulus rectilinealis aequetur portioni eis It icuius ille fuerit arcus.Puta esto φ super a cetro circuli: bc arcus sit quarta circunsere aliaetiari e fIatus tetragoni circuscribatur lineis a s & a e tractis:de e blinea sit chorda siue Iatus tetragoni iscripti.Volo signare lineam tibter e f& bcquc siit i lis ius secet lunula i m n:ita ch sit a qualis portio-iribus b i l t& c k n.ur a i k triangulus: aequetiit a b m c portioni circuiuiso cuius inuestigatione suppono latus inscriptum elia minus ar cut&ciraescriptum maius:&plus maius tu inscriptum minus.Secudo. duae lineae cadere possunt inter latus inscriptum de circa inscrtis
plum quaru a aequetur arcui:&alia aequet triangulii rectangu tum portioni circuli.&vocetur prima: quae est latus inscriptu.secunda:quae aequatur arcuisertia:quae aequat triangulii recta tu portioni circulari.&quarta:quae est latus polygoniae circuscrip aeriatio suppono ii illaequatuor Iliaeae sic se ha latim quando una crescit omnes crescunt:& qufido una decrescit omnes decrescunt. Nam ad augmisum unius:sequitur Φ de alia augeasQuarton, quilio magis crescunt: tato magis differunt.& quam magis decrescunt :t5ro mi anus differunt. intomqulito magis differunt lineae: lato plus dirustrui potetiae earsi. Ex his: sic argumetor. Quato quarta maior:tato tertia maiori & differetia linearu Ae potat iam earu maior. Sie quam secuda maioritato pria maior:& differaea linearsi 5e poteriar si eam maior. sic quilio differetia potetiars quartς be teri malor:trato sedς de priae maior & dimretia illaru differetiarii maior.qre quum stria maior:tato pria maior Ibe differetiae potetiara ipsam maiores. de differisia differetiar si qris de tertista viral& stas de pris exalta maiores.
319쪽
ecundum Igitur habitudine potentiaria quartae & primae se habe abutit differentiae quartae de tertiae ex una: e seclidae & primς ex alia. Ita scilicet Q si1 potetia seindat est maior potetia primae in aliqua qua ltitate &potentia quartae est dupIa ad potentia priniae:erit potentia lquartae maior potetia tertiae in dupla quatitate. Et si est alia habitu lao potentiarsi quartae N primae: alia est habitudo qualitaturali si dis is rentiarsi.Si negauerissct dixeris habitudine potetiae quartae ad potetiam primae eue dupla & non excessum potetiae quartae suptertialad excessum potentiae secundae super prima sed,excessus potentiae quartae super potentia tertiae sit ut tria l& q, excessus potentiae se si ita super potentia primae sit ut vitai:hoc dico implicare cotradictio inem.Nam sequitur lin prima re secunda lineae sunt minores 5e aequaliores:u prima Ae secunda quae sic se habet . differetia est medietas. Quato eiu differentia excessuum minoritato lineae similiores Ac mianoresδε cum hoc sequitur in prima&secunda sint maiores:il prima de secunda quae differunt in medietate differetiae quartae & tertiae. f Nam quanto differentia quartae&tertiae magis excedit differentia lsecundae be primae: tam secunda & prima sunt maiores be inaequaliores. Erunt igitur maiores primis be secundis ubi differentia est mea
dietas: si differetia ponatur una rei ita di crctiae quartae &tertiae. sic ersit maiores & minores simiIiores de dissimiIiores. qa impIicat. Simile incouenies sequitur: si poneretur φ differetia secundae de prisniae Bret maior medietate differetiae quartae&tertiae.&hoe inconiiciliens sequitur in omnibus:si habitudo excessuum potetiae quartae super tertiam di secundae super primam dicatur aliau potetia quattae super potentiam primae. i igitur hoe medio volueris lunula abscindere seu circulum qua, iurare: sic facito.& sit in tetragono. Esto igitur . sup a cetro b c qua dras sit descriptus:trahe Iineas sectores de a Wr l, N: e indefiitiin quatitaris.trahe chorda b e:de Iatus circusseripideo f N: in o lagat axes. trahe semidiametru :a insigna deinde secunda lineam aequalem arcui iri ponatur esse g h: N: ubi serat a o ponatur i.Deide signetur tertia
linea q fit hi:& ubi secat a o ponat m.Si uis tertia sciIicet k I talis estim eius potetia est in dupla qu1titate minor potetia e fisa potentia b c potentia g h.& α hoe idqd fit ex duetii a o in i h:est aequale ei qd fit
ex ductu a m in m l habes intenta.fi no:varia cilious. euenietruemplum in numeris.Estomao semidiameter sit icuius quadram 9: erit bc radix de 93 t&e s radix de tys. Esto igitur m g h ponatur ne erit eius quadratu ititia quo substrahe 93:manet 23. dis si huius ses Ircet q. s substrahe deI95:manet ios.Si duello in s in dimidio uaretur ductioni medietatis radicis de i so ita se siue a m in m l id idem est cu ά i m sit ut in Drunc haberes intentu.& m I dupIicata esset coasta illiadrati aequalis circulo:& quarta circunseresiae esset u.sed si be
ne calcitias:reperies V parum excedere.
Est autem aliquatusum difficiIe inaxi reperire has lineas medias: . secunda de taliam. de pro alleuiatione laboris:sie fiestoarctaea
320쪽
a eqNues T semidiametris:cu1'medisi sit b.trahe orthogonales c cl&be:&sitdcvta es&ebvla b. trahe Iitiea:a e d.signa i c d stitu dia ametru :& sit e frui sentidianaeter.& medietate chordς ratis signa ibe:& sit bg ut medietas chordς ars qdratis.trahe linea:i' g. Et M a die potetia cisadicis ei &b gradix be:inc iter be&cdqre potetias medietatu mediaru Iinearu sicci sc3 & tertiς. Puta sit potetia medietatatis se ut i k:Δ ubi secat f g signa L& vide i latu i ii euedit b e: defae e d i duplo excedere tertialq sit m n.ita Φ c d excedat in lai dupla quatitate q i k excedit b et Ze ubi ni ii secat f g pone inSi tuc ex duitam o i se ide eueniat qd ex duetu semidiametri i I i liabes interii:& m o duplicata erit colha qdrati circuli si nolvvaria quouis eueniet. Et sicut i quadrate opatus es:yportionabiliter poteris i aliis arcub' prioribus attetis operari ιθ' lunulas abscindere di circulum rectilineare.
Volo nunc investigare quomodo per lunulas quadratura circuli.
Hippocrates:per lunulas quadrare voluit circulu. si,niliter 8e Antiphon. I icebat tali Hippocrates: arceri trinaequari chorda iri.quia di sunt lineat ab eos depueto leduetae:&ieode scilicetnteriamnatae. Ideo Giccbat aequales. Sed lutithoc veruin rectas.Oesquippe metae ab e et seto edtietae Sin eode termis nais: suntaequalis Unde inferebat: ircularetia circuliaequari circularenae polygonincide inscriptae. Antiphon vero:in lunulis triangulos duumvallulate, tu costilliebat.voles tande perlauiusinodi itiati tos Pirenaread viait: si sequatretur Iuniita.qdestiinpossiDile in supiicies:diuisibilis sit in infimisi.&ois talis triangulus:luntlla sit nimor. Cusa os edere voles quomodo id possit fieri: quinq; suppositioires mittit.Priino supponitia, lanis circulo ins pisi: mei arcu.vthc laorda sitie latus quadran:nim' est arcu binc.v prius monstrautu ei . Sc de istit' circus eripiti:naaius arci ibine.&plus emat':uiscripua miti'. hoc e excessits of suph in caret niaior est excessunt ac siit hcclior in Filiae
scresciat.&qn una decrescit o deaestativieta eresestsinaui necesse est ut aligultis ea f fiat irrator.et, si fiatiniortinanilam evi oti simul decieseere.145 iii ex. ortionabiliter decresce laut crescet. soluerit quarta scies imobilis erit insitas ei fi oneat ita lip metati5 ora vero reliq:morieri hal et necesse. cisieni annii luse a s emetes niator: sescedetpria se ehordasseda aeqlis arcitis tertia a P sportione cimili.ideo notiti crescet uortionaliter: quatri e LNec uerso cit ansgii Miminor:as let.Ideo notiti decrescet sportionaliter: quat sies. uari