장음표시 사용
321쪽
1upponit et, quato macis cresciat:tBo13 agis differui.&quato magis decrescultanto niuitis disseruntra est inanifestum: ciam ouato mordaminor est: tanto anatorem arcus ad ipsaninertia propor ne Vici 'timest)Remtrario.Qitineto supponitu, quato magis differunt linoe longit iidine:tanto plus distet utpotentiae ratiIna.13oia latrata Initiligendues u= tanto pius differat proportionali ter. Hoc silan esset verum. talassicargumentatur. Quato quarta in f scilicet)inaist. tanto i k lenia maior non tamen proportionaliter' dasscientialilaearuin II cs excessus lini tudina:&differentia potetiarum:hoc est quadratoriana inaior. Sic quilio dii ita potitianim quartae&tertiaeniator stili et e f& i kitato differentia potentismin d ghb c secundae scilicet&ptimae maior. Et differetia illaiud effatu: hoe est exciniis illorii cxcessuuinator.quare quato e squarta maiot:tatopi tabe inaioris differetis potetiartriplaria minores.&differetia diiserentiam quaris&tertiae ex una: scilicet e s & i h ct soeundae repesinae scilicet d g& he ex alia maioresinon tamen proportionaliter.
ecsidia igit trabiti Iditae potetiarii quarta, & primae se liabebsit dis aferenses & 1 k quatvere tertis ex una:&d g&b cne dae&primae alia. Ita scilicet si potetia d g secun festinasot possi a b e putaue in aliqua quatitate &potetia e s quartae sit dupla ad possitiani b e primae:erit potetia e r quattacii nator potetia th tertiae in plauu tate .hoc est inaior et potisadgsecudae: maior sit pol beptimae.Acudicat.si potetis es quartae sit dupla ad poterutiam b c prsi rue:ita excessus potetiae e f quartarisi per potetiam i h tertiar ad
excessunt potetitis dg seclindamisuperpoteritiam h cprimae Hinc sequitur. LEt si alia est liabitiido potetianina e t qiiarix b optimae:alia erit habitudo
bituduiem poteritiae e f quaris ad potetivinis c ptiit ite citem,lara H non exsceisum potetiae e f qtiarne superpotetiam i k tertia ad excinum potetue u gi ecundae superpotetiarn b c prunae edi excessus potetiare s quartae stippotetia in i k tertia: sit ut tria R. excessus potentiae do fecitndae superpotetiani h c primae ut viasi:bocdico implicare contradictaone. Namsi tuturin 1 finaa Rimii a lineae pet tepositae sunt minores Saequaliores;prima S seciuida usicie trahent Rexcessus potentiarum est medietas excessus potetranun tertia re quar T. Quinoenian differentia minor:tanto lineae sunt illiores&minores psuarta suppositioiaeunodo excessus secudae&ptinas ut ponis niuior est usi
inci medietas excessus quartae Stertiar qui est ut tria perte.&wloca excelliis secundae&primae:erit ut i tertia excessus quartae&terive perte Etriirsiis cum
hoc seqttitur 1primati secunda sunt maiores:eprima&se lidaquς differtit in medietate dilictentiae quartae&tertiae. irreo quinta stippositionem quanto differetia quartae&tetimnians excedit dilisennam secundae Sprimae:tam to secunda di prima sunt maiores Sinae'iraliores, inligitur maiores erimis S seeundisiunidifferentia inmedietas differet quanaeti tertis.cum differon. tia incidat&primae: Donatur per te una tertia differῆt1χ qirariae&tertia .sic risit maiores Smmoresis unitiores&dissi initiores:qdimplicat. Simile incontic niῆ sequitur: si potieretur difleretia secundae&pitiatae' foret imaior inedietate dis feretiae quanaeti tenue. Sed cum suppositiones quarta videlicet &quinta inteIligantur de augmento &diminuisone linearum simulanon erit inconueniens si duatiturialedixi natores vel ininore sitianblis pnniadi quarta iiis alia rano suptiei ierit efficacior istis.Vnde si dical excessus potetia et suppotetigili maiorcillati duplus ad excessum poteriae dg suppotentia be:necille essetu, statibus ef&nc linea tertia ds descedisset versus D c.posset rectictili mota:veti' eLEt ex hoer ellicorientes ea hectes stat sine augineto S decimieto lineas illas krede posse esse imiores vel minores: et vult de Clisa.qatuc augebunεveses minutari ficu briter:&ivi uniuersaliter oes augebunt vel dunt me. Seque.
Ligitur ii medio volueris lunulam abscindere:seu circulum. . sic , Ruitur. CSi igitur tertia hi talis est q, spoimria est indit quantita stentinor potetia ei et potet tabcminor sit posita gh Rcumhocid γ fit du
322쪽
msa ostii h:estarinialetiqd fit ex ductuam vim lilia sint tartum. Nolantet addit recum hoc aeqd fit ex duetua oscin1dia metus inita octauam Partem ita
cunisteriae si g h sit ut b oc est aequale es qd fit ex ductii a ni octauar partis circianferetiae quadrati circulo aequalis in se siue in in liqd idem est. Nain infiiu possimi dari mediae sic si, excessitis potetiae e s stiper potenain maioria inedia γ excessum potentiae minoris mediae siue secundae super potentiam bc: est ut potentia es ad potentia hc mineri si vertim sit quod de haditi id me excesstium dictuin estisoli imillae erunt inediaequssitae: is artim quadrattim medietatis rertiar ut in kIὶxqiiale est ei qd fit discitis ea nidi aliaetriti antedietate securidae. Seu quitur. CEκemplum innuineris, Og,ao sit longittidii te scitiusqtiadratucllas:eriti, cradix dess. in y8 duplus est ad 'siminit potestas bc dii pia est
potestatiao,nunacius igitur longitudis is b c: erit radix de os si habeti posset. R e f erit radix de is6: qtiiqiiadrupltis est ad sicut est e f potestate ad a o. erit igitur es longittidine i : qiii est radix de is s. Esto igiti irςν gla ponatur longitudine ii: erit eius quadranini siue potestas is t. a quo susstrahe potes lautem b eis cilicet sR:&residuum scilicet L erit excessus potestatis g h stiper potestate h c. Disp)ico 1ι:&fit Q. qtie si ibstratio a potestate e fidi restaurina erit, o sitie potestas de l. l. Sic secundum istant propinquitatem: tantus csset quae dratus circi Ilo aequalis scilicet is , . Vnde cons iitu κ Itis potestatis e f s ilicet xi superpotestate k l scilicet ix , ad excessi in potestatis g li scilicet m superpotellatebc scilicet, Sisella het viei ad b c potestate. qaituat ut o : ad Er.
Vnde ii ductio a o quae es, longitudinem initus cilicet scu i ieculi da longitudi drae produceret quarta parte de iueo: liabereti irinte tua sed quia plus sucit: hoc dicit de Cusaeue quia gli liniuiduae est nainor xi. id potestas minor retini: similita excessus potestatis viper potestate heminor M. Vndectium iniis siti fraheti ira potestate es. quare maius erit residui im. cum hoc q, ductio a o mi h. ii Merit lora iisdine innior scim feci inda: namus producet usi eis cui secua. Et sicubi quadana propinquitas attingitiir.
Est aurem ali alia tulis difficile in praxi re m re Iias lincas medias.
laqtialitate qua ili excedit be . Sirigit pli: excess'il siti, he:duplico p k:&sitdqlo iudiearieti ad pym transit ut eq: sic est Dianistini excessi inici supinn logina die pluesse ad excessumili stipe h.Viamo: erit radix udrat inseririgitudinis in n. vide cstetis:dictu est qua reficii ted admialogitii sine: itas cado in potestate. Sili et sinitii ad belogi iudie:itali ad gh potestate. Ex quo serquipq, excessus potestatis f c suppotestate om:ad excessu potestatis linippotesta eb g dup erit. Et si a i finiis possunt dari maiores h e q cadet iter h puctii R psimi tertiae dixi, enaes distater ad h e:R ifinitae possunt dari minores d cq in
323쪽
si id nad ke:erit excessus de stipet tertia nilqtne scillaeta pirrusto r educit ut adocessum secundae quae aptuictos educitur superbeluti cd ad b e stuc vuqdadpk.qdidetii est.Eodeinodo dicendum est:demccssabiis potetallini E. nearum cadentitura inter g f&bc.Namidein est iudicium.Adieceriae1adtrrigis tur:quae malinter illas.dicit de sa*mnait tertia Si hi eclinda:sidi eiu c fstinidiametrii i l aequale fiat quadrato mino.&hoc latitude duabus:vctificati potest.Vsi in odi estertia respectu potestatis: siciatmia tertia resperiti legituduus.&ilent secuda respectu etia potestatis:sictiti ksecuda respeeiu longittidiatis.&cs quarta Sbgprima.Vnsiciit eses semitas quadrati circulo citcsserisplicust semidiatrieter erit utefutab g senillat'quadrata eide circulo inscripti ecit medietas quadratiss&monredietas latriisqi Iadrati circulos quali .Sed quomodo sciri poterit an ductioc siil aequalis sit quadrato ex momodocet de CtIsa.vhi cet veru qd detrahitudine excessus dicit:adhuc res quodamodo ignota maneret. Volumus ait propinquis numeris dehabitudine illorui excessuum ali, qua dicere:adhunis quadratii declarationem.El inanilas lina in de conlpidimentis Aritiuneticis:de Cusa ponere liabit ridinem circunferesilia: ad diatri trumsut Alclumedes ponit.Sed adlluc apparetius suinenatis:Sponanius Iaabitudinein circunferentiae ad diametrum longitudine maiore tripla sesquio ua.&lv ccem resinouimus vitain istius aliquadodemonstrare imino etiamaiorem ttipla super decupertine septuagesimas primas icit Ar lvinede assentiendo. Sit igitura o longitudine: ter mi talis diametro circuli longi itidine 8 potestates .eritghinaior Ion nidines cisii quarta. qilia circunferuntia Ioingiuiduae inaior criti Unde etc ad s. tiolus sis quies auris cIl. Risistis si glisit solita 1 quarta:erit quadratiis Arctili maior si ducito e fis cilicet μ in ci crix quarta.V1ade 8 in 6 cum i quarta: facit so. ideantus igitur si perliabitudine illorum excessui ina: potolinus inserte quadratum arqilalcm aut maiorem sic.
Quia a olisitudine di potestate tinent b e potestate gli potestate maior 3 cuin i decima sexta qui est quadratus de 6 cu i quarta.etit igitur excesssus secundae luacaesuper prunam tmaior γ cum x decima sexta si ptuna poto flate fuerit oscille cessus duplicatus:faciet 1 a octaua. Vnde vatis exscessus secundae super primfiduplicatus:facieipluse x cu i oetalia adeo suthlanis de potestate er: et iramus residuumtu faciat t* cum i octaua sublatiis.
Et ex insequenti se dum de Cissaqliadratiis circuroaqlialis erit minor o ni immis residiatis exsithstractione i csi x octalia a potestate e Lqi cui sit dom nidine Stoit potestate is . At si x cum, octaua substraliantur de ei :resbdutim crit*ς cui τ octauis. ilicii sit nainor so:&sorninor ut dictum est qua drato circulo arcities . A fortiori: tit 0 cii τ octauissminor circulo.& tamen seuoindum de Custideberet esse maior. hoc indiibita teconflat:adtrahendam tertiam lineam qine est latus quadrati circillo arqiralis longe minus substraulildcbeta potestate quartae a numerusduplus ad excisum potestatis seriindae super prima.Constat rursus excessum potestatis quarta super potestatem ter tiaena excessui Potestatis secundae stiper potentem primae minorem seruare proportionem:il potestas quartae potes lati priniae.
Ola aute adhuc alios quosdam stibiles modos taxere.*r ia modo scilicet omnis circulus immediate in quana volueris resoluitur pol Fonia:abha eo li peripheria elaeuli euruat prius in recta lineam resolui oporteatiquos pro exercitio: ad nugis isses remitto..Si quadrati circuli latera ei resiscripta: & siascripta: retragonoris descripseristat icctro circit Ita spina, tum ubi circunscriptae latus cirifierentia contigerit linea duxeris dialia a centro ad fine lateris trian Isi conclaesdol traxeris ii deinde a cenπo per
aliqud psim arcus ad latus circiiscriptae linesiit aIi modo . alia linea
semessistas latrastus polygoniarsi tirasiens de latere ad Iatus triana
mu p inde psimi areus Lerit aequalis duab' portionil quas prior
324쪽
linea a cetro ducta P inde metu de lateribus polygoniarsi die arsi se,. euerit iter ipsa linea N: alis q est latus trianguli ad psiet si coringetiae
ducta erit linea illa aequedistas medietas Iateris polygon arcui correspondetis circulo aequalis.Vt si suptra cetro describatur circulus cui volo tetragonia aequale inuenire.quadrantem signo:qui sit b cidetraho latera tetragonoru N: fit latus tetragoni circula ipti der&tagateirculii in f pucto. traho af& a d N: bc Iatus tetragoni inscriptidi ubi he secat a s pono k.traho deinde de a per alique psidium arcus
h f linea ad d fl& sit puctus in arcu g:ti vhi secat latus bli ponatur L& ubi latus d f ponatur m.& per g traho aequidistatem ad a fide a f
tas lateris tetragoni circulo aequalis. x CPro intellectu huiuslprimo cosideradsim si super a cetro circulum descripseris:&Gtingente indefiiiitaeqilatitatis eide in puem adluxeris tracta linea a LN: deide dea ad cotingere linea a c duxeris: si secet circulii in spuino. duxeris quoq; Iinen aequidistatem ad cotingente de pucio lineae a fiq sit o per g indefinite.illa erit de qua per alia lineade a ad cotingetem durea:ςquatrix absciditur.& sit a I, d abscindes orluta. or sit aequatrix qua sic voco.quia Iunulat ops quam de area
circuli abscinditisubstituit lirga quale quillitate iuumo triangureetiIineum a r o aequalem portioni circuli a ii c3 CSecsido cosiderando figuracsicotininte&Iinea de qua aequatrix abscinditur seruatis ν de aliquo meto cireuli potest ehorda sic trahit portio eiusdem chordae inter a s & a e addita ad c faequetur ilis ii dictaeinluatrici.&sit punctus in circulo h.&portio chordae intera e re a fisit i k.. Tertio costderadu κ figura priori in est rigete di linea de si a quatrix abscindis seruatis si alia mobilis linea iaceat sup a e q sit a linilia versus sinisti ii a fixo manete reuoluati muniet vis ad alique pian etu circuli a quo si ducis chorda aequidistas esit inpeti vis ad lineam asportio illius inter ac&as addita ades aequabis aequatrici q pal abscindis.& sit psietus ille in circulo:h.ci: semichordaui k.1: portioi h δε abscisio aequatricis:o r.nec potest cise alius punctus u unus ille
h:lia quo sic eueniet. Nam ante illii portiones excedunt aequatrice: 5e
post illum aequatrix vincit.hoc verum: si ii sitierit semi quadrans. desii non :varia g ptinctum quouis eueniet. s CDico igitur hoc casu aequalitatis portiones esse aequales veri aequatrici illam esse o r. Si negauerisin dixeris portiones Bre minores vera aequatrice de simiIiter o r.tunc si portiones deberent esse aequa. iesruporteret lineam dea quae illas ab indere deberet cadere interc&d.&ita arcusg fibret minor u esse deberet:& lunula Og f minor u h rg. Sed quia dicis or: minorem aequatrice. itur aequatrix cadit supra o riversus contingentem:& o riinsta eam versus ti L. quare ipsa Or absciridit maiore si aequatrix.&lunula g o serit ma/ior si h r gidi ita erit minor & maior. Sic si dixeris portiora maiores di o r maiore aeqtrice:ide seques in uenies.Patet igitur propositu.
325쪽
DE' MATHEMATICIS. ANNOTATIONES OMNISANCTI.
CVolo aute adhuc aIies quosdu possibile sua os ingere quo modo.
i Sequitur.Vt stauper accirodireliqua, hoc loco patet:de Cula veste cireu Ilo tetragonusqua assignareadeo dicosiderationes lictes:cocludi habet de tetragono. ut notae multima.OIallic sunt aperta:supposita figura.
Pro intellectu Imius primo consideradum.. si supra a centro. Haec consideratio facilis est auxiliante figuractvera. 2CSecundo consideradum figura cum contingente Oe Imea de qua. Sitniliter ista consideratio de se 1 cilis i& vera. si Tertio consideradum in si alia mobilis lilaea iaceat supera c:ρος sita l.& illa versus sinistru a tuo manente reuoluatur:perireniet vis ad aliquem Diactum circuli a quo ii ducitur chorda aequedistans conis tingeti vii Iineam a s portio illius inter a c &a s addita ad e faequabitur aequa triet quae per a labscinditur.
Lldoc non probat tir, inlicet perPrima consideratione possit duci linea de Φa centro ad contingetate quaesita disreas deo gindefinita latus aequarix trians gula a oriportioni cireuualis Et iuniliter perseeunda licet possit dari punctus in arcula quo ducta chorda aequedistans colla :portio chordae cades inter ac Masaddita cf squetur aequatricior.n propterea inde scoussu, linea ducta a cetro ad continFtemtabscindensae quatrice perpriura considerata OM: etiam traleat per Puneuia quo chorda proposita per seculiani cessideratione duc Macrit.aut ecotrario si recta sit ilicta acciro appuctu claordae: iactes necesseti fisire perteranis ullae quatricis .iussit illud. alitera de Cusa probetur. Modo permotumas:vtnsiqi intelligitiscilicetu, stio inotu abscindataeqiratrice eum peruenerit ad piincturi didae: qui sit h. dsti st.&tanni erit us h e puctus:a quo ducta scilicet chordasponio cadens inter a s Sacaddita es secuitur te quatrici.notau
nsi aequale assignare proposuit.laic dicit suppon&oonanes cosiderationesve, ras filis sit semiquedriis. probasse intentu.quia onerit seinilatiisqtiadrati iraculo aequalis.Et sino sit fetaaiquadras:varia in lititὶpuiu'tig.puta sis it maior:
Dico igitur lioc casu aqualitatis portiones. CScilicatcs 5 ik:essea quakS verae aequatricior. Si negaueris:&dixem spore stiones fore inmores verae aequa tracti&similiter ornamnie:tunc si portiones deberi tesseaequalesioporteret lineam dea quaeillas abscindere dcherct caderem,
Sed suia dicis ot :minor ea quatrice. Igitirraequatrix cadat supra or:liocestininus distat a contingere.& o r infra cautoc est remolitis a coninigentem propinquius lik.quare ipsa orat,sctaidit maiore lunulant: si aequatrix.Munulae o s: erit maior qhrς. quia vera aquatria quae erit steriit Sor: faciet portionet ligmaior .sgitur go stetit minor 8 maior. Stipponit de Cusa in maiore anteces' dentis unum ignotum&ab ipso indemonstranimrscilicet et, aequaniκlubrat se iras transire perpuletinia sectionis intaculo factum ex ea quaeducta accratro ad contuagetem abscindet portiones aeqtiales uatrici. Naara siquis dicat o rveram esse χ'uatricena nil istolaitates s Ri k eneminores:non potest illi id impugnare:nisii per tertiam cssiderationem.sciliceta, recta di illa a centro absim
dcias ae litam ceria:transitpapii mima quo chorda ducta portio chordaera interas Nacaddita es aequatur aequatrici vel dicereptitutini: scilicet maea strix liabet transire per punctum in Arriinferentia per quem transit cinnem ipsas portiones a 'irales.&tunc iliconuerumnapi icia:concluderenni Istis
duobus demonstra G:beiae concludit scilicet *a d abscindens sequatricem:
326쪽
transealpet phari tinna quo chorda ducta smii istantes ad d ciportio ipsitis
chordae cadens interas & a e additae faequetur aequatiles Et si, ubi secat cita cunfereti recta abscindes inlater ecircunscripto&inscripto portiora aequa essequat, :habeat equamgtransire .utpositosi, a e abscindat in o ite Ii h portiones aequalis aequatrici:quae linea ac secat circulum in s di per ipsuin puαctum transeataequatrix. Sed quiasgnota suritis a. ideo Ripia quadratura. Scdsi metati ere paratis apa Unus.qri id de his portionibus sentiamus.tria supα ponendo.Pnmo circunferetiam circuli adesametriim:longitudinentinores cruare proportioneinti Iasesquis uina. quo patet arcum quadratis mira rem esses cum x sectu da longiniuine:&qtiadratain aeqinlein circillo ininore essest 33 culni se ciuidadatus veto quadrati circulo aequali v longitudine iniit'
esset; cunas vigesimisquartis.Patet. ira quadratus de 6 cu 1 vigesimi1 qtiartis. estinator a 33 cu 1 secunda. I turradix quadrati circulo regi talis umenai: noterit 6 cum s vigesimisquartis.cum sit minor:qradsκ de 38 cu i secunda. Patet.Nam quadranis deo:est . Adhabedum moenonerquiescitcuponitur per additione ς vigesimamquartam:ptimo inuenio supplenaeta dilecto 6 bis in vigesimasquartas:&mmi coviissima quartae pro duobus supplemenso Ad habedum quadratullina gnomonisqtiint duelliframonuin scilicet s vicgesimam quartarii in se:&fiunt rus vises immitarn ex a vi fiunaquarta sitie
qingetemna septuagesimactextaeqclide est:quia aesties.se sic idratul' gnonuisitas solii facit, vicesimaquarificu i vigesima litariae M t vigesima quarta Ionirmonao festim faciet:6i vigesimasquartavclim xvigesutiaqisarta ex aviucesima quatia.Reduclias framones integrarum ad unitates:eas per M. diuidicendo Ss uiaticum i vigesimisquartis& x vigesimaquarta ex x vigestina quarta.&tantus erit gnomo:qui luctus quadrato deo scilicet reicrut 33 cum 13 vigestini variis&i vigesii quarta ex x vigesimaquarta.Dtannis eritquaadratus des com svige 'irariis:qtii maior est discum i secunda. uia igitur latus quadrati circillo aequalis:longitudine munis erit a radix de 3s es a se cuda a fortiori minus est: a radix dein m M vigesimisqualtis& i vigesima, quarta ex iViges inra litari atqrixest 5 clinas viminiis quartis. Si igitur diam inis circuli longitudine ponatiar :etit latus quadrati cilicillo mitiali minus Ggitii sities cum s visesinassquartis. id fuit dein stranduan. Sectu doliis ponimus istas proportiones Meaequales:scillaeta kad hilao ad O g5 a s adfe.Patet. amest manifestum:istos ortlaogoni stillaeta kbaogdias ciaeque angulos esse.cum anetas ac frago Raik mitales sint:- stendam partem primi Euelidis tigilia per quartarn sexti estissima:eriit latera relatilia proportionalia. Sicut itura fadao: ita cados.&perinutatim siclitas ad scuta ao adon Similiter sicut an ad a humo gadhi.& permutatim siclita , ad o glita a lamhi.Tertiolaeponimus se adlinpotestate esse duplam. Datet.Nam petiam dicta sicut a fac ahista se ad k i. Sed a fad a k:potestate est dupla tauri se traheat:ut semidiameter adsemilatus quadrau. Igitur f cad ki:erit etiam potestate duplalper sexti Euclidistratione orthoponiorum a k i:8e a s e aequiangularum.Hispi strabitis. Sit o tauquatrix siue Icinitatus quadrati circulo a 'oicius RH af τ longitudine:e in perpriinanis iappositionciniatus quadrati circulo aequalis minus longitudine u 1x eum s duodecimis.quia ad iniplicatiotienus meti longitudinis diametri circuli:sequitur di Imriolaumetitoreitudinis lauretis quadraticirculo aequalis. t igitur o r longitudia Κ:minus Q 6 cum s vigesimi uariis.Et cum a g per V primi Euclidis: eontineat simuIquadrata. a o.o g.' quadratum sto: nussissper premam suppostre cin)u 3s citin
xsecivida.sii tui substrahata quadrato agiqilest y ma Ionginidis sit retariu scilicet io eu is ida. minus erit quadram Og in hora quo as es et secuα
327쪽
proportionem seruare potestate:Qj ad xx.Quo fit:visiqiIactatu dea oi 'partes aequales diuidaturierit quaciratus deosnaaior septuagesilvae tismae qua arati dea o. Si enim nosset plusuris uiam in es liniae Plexipsi' quadrati dea ornica Oadognori seruaret min.3re proportione 2 ad M. Sic umillinc f: eritplasuti septuagesima septiinteptes quadrati dea fqtila sicuta oado gesta ara df cpersecunda suppositio .sed quadratus deaf:est V cuius t septilagesimasepuma:est ut 9 Ieptuagesimae septimae.quaeducta in Mfaciet ii,L s magesimas tunas.reducts ad unitates:erunt 13 cs 18 1eptuagesimiss*tiinis.Vnde potestas deferetit maior illusis tua gelanis tin
tervi: t suntliteri h potestater torsi s cuin i tertiis.quae est incilietas:dex cimo tertia .hoc constat:pcrtertia suppositione. Sic subtiliter propitaque fecit dum innacii minus Jhabitarerunt potetiates decfoth.VMedicinii iri cs:longitudine esse maiore μti et quadra si missio stauis. in radix de H cu itertia:δmaror.quare a fortiori se Iongituduieteritinator. Patet M.quadratus de 3:est
&3bis dumisii 1 quadraresim octauas:facit 186 quadragesimas octauas pro stipplemei tis. tuadraturius gnomonis scilicet de si quadragesinis auis: est ut quadragesimae octauae ex x quadragesmaocta reduetae ad traetiones integratum unitatum eiusdem denominationisi eas scilicet per ψs diuidendo:
erunt Lo quadragesimaeoctauaecu i quadragesiti octaua ex x quadragelana octaua,ninges eas suppicinctis ri fi liiit Do qtiadragcsitnaeoctauaecu i quasdragesima latia ex t quadragesimia taua. Redue ad unitates eas scilicet per sdnitdedo:em1at cs r qtiadragesimasbeialiis& 1 qtiadragesimaociatia cx i quadragesiunaoctava, A tantus erit gnomo qui iuncius quadrato de 3 scilicet 0:erunti cum t quadragesiniistetavis N i qtiadragesui Oelaua ex x
quadragesila Octaua. Et tantus iniquadratus de 3 quadragesimis auuis: qui minor est ucsi i tertia.Nam tet 14 quadni lix muc:reddunt stiluina quadrasesimasoctauas.& ucs is quadragesii vivis fiunt ut ricu i terecta. Alardoti igitur e flongitudineuna tot mi3AE 3rquadragesinus, uis. quia eiuspotestas:langemmor est is cui quadragmauso flavisti a quadras
gestimoauare i quadragesimaomt .Erit etiami ksonsilii dine maior vix quadrages nussit et uiis Nana quadratus dei:Mη .&x his disclusini 'quasdragesima elatia facitio3 quadrases asin lauas pro suppletrictis. Q llad Mnitus gnomonis: cilicet de T quadragesimi foetauis est τι , udragesuris octauae ex i quadragesima octaua. reductae ad staevoncis integrarunt per 8 eas dis rudi do: uat is quadragesimaeoeta cuς quadrages initibet aliis ex t quadragesimao mitta. Additaesuppleniens. erutiI3qliadragesimae octauae citi auquadragesiimis diuiseκ 1 quacragesimaoctaua. Reductae adunitates cas per μdiuidendo. erunt acsi in quadragesimistet aliis&0 quadragestinisbetauis exs liradragesianaoctaua. utantus erit inno qui iunAus quadrato de i scilicet interiit6 απτ qiiadragesimilaelauis&s quadragesimis hiausso i quadragesinaaoctaua. Et tantiis erit quadratus de a cum in quadragesimi etauis qui minor est 6 citin x tertiis. insculmi quadragesinaisoetii uis:sunt ut 6 cum 1 tertiis. Α fortiori igitur i k: longitudine niaior erit α cum x quadragems Oetalitis. iuncius potestas:loirgentator sitis cum in quadrage unus auis iac qiiadragemnis betallis 1 quadrages auriat .quia maiorae cum 2 tertiis. Ex lio itertim constat c ficti k sinitI:long tudineesse maiores/u ritu quadragesurimo tau&.8c 1 cuin in quadrage unis omitiis simul.qua sunt 6 riurito suadragesimi incitatis:siues ci squadragesimis status.quod ide est Ilanifestum cibigitur e f R i h simul aiores tila sequatrice o riquae ut dictum est longitudine minotest 6 minas vimini quartis.&imodo collat ef&i km multi itidine maiores esses cum s vigesinusquartis.Et laxc in vetitasTu
328쪽
st Andam nunc vltimo quomodo simul reperiunturi quae vo
lueris latera polygoniaru aequalium circulo. cuius liaec est
propositiorii semidiametro circuli di malilateribus polygoniarum circuscriptarum 6e lineis coplementi inscriptis linea de ccis troadiatus circunscriptae ducta abscindit minore portionem de linea coplementi unius inscriptae N imaiore de semilatere eiusdem circunscriptae 1 quae simul aequentur semilateri polygoniae aequalis ciris culo:tune saliae Iineae sic duetς suerint per portiones talia linearu Isem inc portiones se habeat ad priores portiones semilaterum sicut semilatera fimul iuncta unius polygoniae ad semilatera simul iuncta alterius itales similiter abscindunt portiones scilicet minore de linea semeti inscripta idi maiorem de semilatere circunscriptae quae sibinae aequatur semilateri talis polygoniae aequaIis circulo. α EEstost, super a cetro circulus sit descriptus: cuius semidiameter sit ab.tractis semilatere trigoni circunscripti b e:& linea coplemeti d e.& tractis etia semilatere tetragoni circu scripti b fi re linea coplementig la. & si volueris: poteris pluriu polygoniarii trahere subtiliter similes Iliaeas semilatera.Trahe deinde linea de a ad bc:-υ hiabscuidit d elpone ii di ubi b sepone h. Deinde trahe aliam de a a d b f& ubi abscindit g h:pone ubi abscindit b c:pone ni. Dico si abseisio natis nor deg h qus est g livna in maiore de b f quae est fi moriuntur semilateri quadrati aequalis eircula:tuc si abscisio minor de d e q est d i ι se habet ad g l sicut b c esi d elad b feti Q h.de sic se similiter habuerit c haclf mrerit d i cum e k tsemilatus trigoni circulo aequalis.Et habebit se semilatus quadrati circulo aequalis ad semilatus trigoni circulo aqualis:fictit portiones dii tae ad inuicem. Et uti facis in illis: facito
3 Procedit haec propositio eo. Nam ex varietate lateru diuersarupolygoniaru aequalium uni circulo: sequitur varietas latersi polygoniarum circuscriptaru i linearu complemeri inseriptaru . quare sit. cui se habet illa latera: ita di ista simul siti pia .l linc fu abscisiones quae fiunt per lineas a centro ex lateribustad constituetadu semilatus polygoniae aequalis circulo: tenere debent eande habitudine ad inuice ut eiusdem habitudinis latera efficiant. . ENon est aute dubium Iineam de centro:portioneis abscindere posse de semiIateribus quae aequentur quaesitae. Sed posset difficultas effeι quomodo sciri possunt lineae complemeti: tuae additae ad semilatera polygoniaria circuscriptarum efficiunt latera polygoniaru eiusdem areae.Puta si de additu ad de ponitur latus trigoni: a , t res h additum ad h f efficit latus tetragoni.sed habitudo laterum: de facili sci tur ex superioribus . nitur aut e linea coplementi in trigono: semiis latus poIygoniae inscriptae ut est d e. & alia coplemeta secundu hoc:
adaptantur. Dictatur aute coplementa: quia additae ad semilat' po, Iygoniarsi circunscriptarum constituunt semilatera polygoniarum
Posset etiam dubiu esse j an portiones teneant habitudine qua
329쪽
bent. de:sic porciis facere.trahe a h in lanni: re similiter linea dea Fr f in logum & hia ea unam quae sit n o aequalis b c & d e. Diuidein duas portiones:quae se habeant ut g h ad b-o pr& n. hanc stiliscet o piniquidistanter ad b c inter dictas lineas de a per b & per f colis Iora.& linea quae de a per g h ducitur abscindit portione de o p: quae se liuitat ad portione abscisam de gli sicut portiones laterum Sit igitur portioni o p linea o q:qui se habeat ad g l isse ut debet. si igitur cl icit ut o q:tunc habes illa portionem. Sic incito de alia portione lineaen o quae sit r s:& sit r s vi p n. appIica inter lineas de a per b & sicut prius Iam alia portione:& si portio quae Wr linea a q in r s abscindiatur quae sit s timerit ut e l. thabes intctu.si notuvaria ut fiat. Et haec est via uniuersalis: in omnibus polygoniis. Elicias ex si lar teni habere omnem portione circuli quς per se res a centro abscindi potest: tia ad totu improportionabile in rei lincam superficiem reducendi. Et omnem portionem circsiferentiae ι etiam improportionabile ad totum medio laterussetadum praemisssa:inlineam rectam conuertendi.
Pandam nunc vltimo: luomodo simul repertuntur quae volueris latera polygonici rutu aequalium circulo. cuius haec est propositio. CLuaea in corias lancilli:vocat nai latus polygoniae uiscriptae ut infra pate: thit. dicit igitur si super bccud ei fiat triangulus arquitiinus similiter&supb f e &glaygiiadratus: t triangulus quadrato aequalis. Ideo iiixta ita liabitudine scilicet be eud e:1db f eun1givinaendit itiones abscindere a lateti circmscriptarum iussis,ptam polyzonlatu' ela dira polygoniam aequabinnareas rutrierunt,ut ex se enim ω ni m.
Esto . sup a e o sit descript' cirrulus: ius semidiameter si a b.
. Ex his elictis quomodo de Cusa supponit has tres proportione esseamas mles: scilicet diadg lckads inribe est inde ad b f csig li.Ideo dicitu, scunilautius quadrati circiιlo atqiralis ad seinitatus nasotia ridenrearatio a. qualis: se haubet ut portiones dictae adhnucetii. ain sid i ad g lisit ut c kad f in:erit coitet sini gladii tui uis in ad e h. quare per 13 quinti 1:riclidis:etit g l cus in addicuituli sicut vel gi addi vel r inacch. dog I si fila simul stippotissimi vishmilatus quadrati circillo aequalis.similiter d i cum c k: ut semilatus re oenici se circitio: iralis.rili sterii elicias γηlcus in ad d trechisebat, sit vilis est glvat he cum deper ii quinti sua dis quia viis similestiales:scilicet g Iad d 1 vel f in ad c k.Quo fit: ut sicut tetragontis cuius senilianis erit vis in cum g bestaeqtialis trigono citius scini lanis es tute hesid i ut supponi'
ita tetragoniis cuius senillattis erit ut b f cum g li aequali serit trigono cui's initatus erit vic kcumde.Et hoc ratione latem simili uin polygonia Tu aequam leni proportione seruantium. Ideo trigonus ad trigonii erit sicut qliadrativi ad iiiadtatuin .R pernilitatun sicut trigonusnaaiorniatori quadrato: staminorit gliruis nasinari quadrato. Coritat igitur:curgii&d e diei sivit lineae comploe incuriti sitia additae ad semilatera circunscriptatumi conpiciat stanilaicia polya
IVocedit hcc propositiore reo. Nam ex varicrate latera diuersarumIygoniarix qualisi uni circulo: se luitur varietas siue habitudo I
reriim polygoniarum circunscriptarum & linearum comulamenti si uas dicitesse latera polygoniam inscristarsi. Q irate sicut se hamissa lateu , raPolygo risi vim circulo aequalium ita ista simul sunsta sci et mnscis s
330쪽
planam&inscriptatu.Hoc si dicere sciliceto latera polygoniam uni circulo
aequalium illana habitudine tenent: quam latera simata polygonianini circulo circuns piam cum lateribus inscriptam. Sequituris Hinc Sabscisiones qiis fiunt per lineas a centro ex lateribus polygoniam scilicetest scriptarum stliptaruna ad costituendusemilatus polygoniis circulosequalis:tenere debent eandem habitudine adinvictantvt eiusdehabitudinis latera emant.Et hoc est:
verum: si quod supponit de liabitudinibus lateruita esse supponatur. Vis serbitudine it in teneat qua be cuin deiadbs ci milh:neeesse est vi portio abscisa de de ad abscisaince glast in praefata laabstudine scilicet transi totum ad totum. Similiter portio abscisa debc ad portione abscisainde hLVt tandem cooesudatur di me kitanet abscisum Me bcudeiads i cu finitanu abscisurii deh f euglusehabete uti totum be es delia totub I cum gli,c Non est autem dubium lineam de centro portiones abscii idere posse de semilateribus qui simul aequentur quaesitae.
q. CScilicet semilateri polygoniae circulo aequalis. Etita esse videtur quiscstdae bilis linea de centro qua eliis &dabilis quae nil illis.eritigitur dabitis: quae nec βplus nee minus quaesita abscindat.Nam si ducatur reeta acci troadrcetati forpebputa ad punctu κ:turic portiones de hs &gliscillaeis κ&g ysimilli sitit
maiores quaesita,&cuin a x cotinue mouebitura fixo versus a Dportior aestis
inuberunt minores portionibus f κ rei g y.cum veto niota critvshi puctuin hvtesta k:portiones abscise scilicet fkcumgvsimul Munores stant quaesita. Igi stur cadet puctus inter h&x adque recta a cetro ducta:potu es abscindet nec Miaioresnec minores iresita.Et hoc est vetu si fiat transitus amescire quaesita scilicet fx eum g ν:adminore scilicet f kcugviper omnes intermediis sin5: Io erit alec erecta a cetro portiones aequales quaesiue abis ere. sed transrat. Non in hoc latet dissicultas rectilineationis iretili: sed tota versatur in iis quae dehabiti disie Iatem sunt dicta. Sequitur. 2Sed posset dii illas esse: quoinodo sciri possvullime plenacti 9ua additae. Sic enim sciri possimi. putas d e sellulatus inscripti trigotu additu ad bc ponitur lat' trigoni circulo aeqitalis: a
tunc glisen latus quadrati inscripti adcitum adb boni t latus tetragoni eide circulor hiatii. Sed liabitudo latetu de facilis it ut G iuperioribusi scilicetpta ea quae dicta sunt priinoc .de Geometricis trans nutationib'Et exessequAu:lineae complementi facile sciri pollasit. l Ite supponit de Cusa diuisionem anguli recti in quotlibet partes:qtia inediante super datam fieri potest quaecilia. polygonia*posita.Et lore diuisio fieri potest per ea quae dicta suntptimo cap. de Gometticis transmutationiblis:suppoivio secundii prete missunt ciussicin libri. Sequitur. Ponitur autem linea coplenienti in trigono: semilatus polysgonis inscrip evies de.&aliac tenuriata:secudumIioc adaptatur. Naeriit similiter:vtieinitatera insalptam polysoniam. Sequitur. Dicuilli irati tec5αpkinenta.qitia ipsae lineae qua sumis lasentilatera criptaui)additae ad semilatus polygoniarudire siseriptarum: constitiiut semilatera polygoniarii arearii sequatim. Et illud essequens est ad hoc quod prius dixit: scilicet ex vati clate siue habithidine latetu diiunsarsi polygonsanun aequalitiin uni circulo sequi varietate sitieliabitudine latersi estasiis piaru. . Ex irae litera elicitiquomodo facile data quacum polygonia talia ei aequalis MLVt sit datus trigon': cui volo utagonu aequalem assi re.Diuido semilatus inlim dindiei lateris circunisi putristonicirculo ad semilati inscripti:quo diuis sumpta maiore portione &duplicata super eam per primi primi Euclidis constituo tisanguis p usa tertim citiinscribo hircussu Neidem elicii scribo&inscribo pentagonum.minoseinil inis pentagoni circuns cryti eum scini utere inscripti unam lineaeonsti tuendo:qira duplicatalstiperea costituo poenaponu qui per praemissa dato tris nono a qualis erit.&ita deoirinibus polygoniis:dicenum.Nam suppositio de orsaes sidua diuersae polygonlaetaedissimiles fuerinthide circes citcta