장음표시 사용
331쪽
scrae &inscripta relut latera circus piam inscriptis lineae talis liabitudinisi si super eas fiant Paules polygoniae eruntinui aequales. ut si eidem inculo
lein lateri ex is este scri ti eum inscripti a teressistitua tui hexagon stini,hter superlitae amareqtia lateripentagoni circunst isti tu latete inscupti constituatur pentagonus erit pentagonus nexagono ritialis.. si ita esset: rectae coim cIuderet intentum. Sequitur.
Posset eua dubiit esset an portiones teneat Iiabitudine qua de lata ,
CHic docet moduioperandi:in liuitisinodirectilineatione.Si in it circulo da to aliquil polygonia vis dare aequala: vipi ita quadratu. Primo ipsi circulo imscribo ct in scribo quadratu:&aIiam polygonia quae sit trigona cir scribore instabo.Non enim minus et per duas polygonias:potest praxis hui' haberi. Rursus sume duas inanifeste mitiores stinitateri inscriptam:qus Iaathiti dies adinvicem seritet qua latera illarum pol goniarii est iiscliptaru euin insentata, rum latermiis.Et signa aeqitale maiori semilaterem ni inscripti quaesito ii&aequale minori in gnscia latere quadratiiscripti trans aik:&alm.Dicit de s a. potest dubiu essetan pontones fin&cisseruent proportionem qua debes seruare. incia infinitivossint dati minores semilateribus inscriptamquae se
habest ut diadgl:ita infinitar portiones diuersassiliabitudinia possunt alas adi in semilateribus cite siseriptam anitarum unus est puctus inb s: ad querndii testa a cetro abscindit portiorie in semilatere circunscripti quadrati quae clim portione abstist insem Iatere inscripti sintaequales quaelitae. Ad hoc imitur tentandirin an sint portionere inlaesi viillheta l, 8 a s facere indefinita: qitauratisis dari aequalebe R d estinui quaesit no.qua iubet dritidi per lx sexti Tu
Nursiis citin isti ortl1ogontiao q&ag l sint aequianguli vide se notu est erito q ad I g sicula o ad a g. sed a o ad a g:est sicut d i ad I g. qua reper quinti Rielidis:Mo&d i erunt aequales. quia ad l giaequalem proporticine seruat. Si militer deportione cli idem proba tur.stippone iochad f miesse ita rad
332쪽
milatus ipsadrati inculo aequalis. similitet e licum diistinitatus tragoni circula aequalis. Sequitur si non sint aequales scilicet is& c k: tunc varia quoui leue, Diet.hin: est: vanad i&g lisub eade inmeliabitudine. hoc liquetsi Diodo tota huius tectilineatimiis circilli difficitatas test an latera polygoniaria uni circulo aequalium se habeant sicut latera circi scripta tu de inscriptarii. Et tu est via inquit unituersa Iis: in omnibus polygoniis. Elicias ex hoc arte habere omne portionem circit Ii tquar p sectores. CSit data portio a be abscisa a circulo persectores ae Ra bi quae ignota sit haubitudine ad totum circussi cuius rectilineatiorie opto. Sic faciendu est. t talioniichordatia duplicis arcus be:&sit de. a princto h per 31 primi Euclidis: trahoc uidistantem adde indefinitae qualitatis. eontinuo acvsmmdesiuitii&sitaec:etit be ad delut latus circuser turn ad inscriptiun. Deinde a puncto si atom db quod sit g: educo arquidviante adde usq; senatarcu &sit g tr. tralaore fida centro per hadbe:&sit alis. Deinde diuido aliqua rectam notabiliter minor rem glidi de simul:inhabitudine be cum de adhf eum gliper u sexti Euclidis.&sgno maiorem portione id e: quaesit d i. minorem g hrqtiae sit g l.traetho a I m:&a i k.videndi est visii pranadstratu est,ane hadf nussit sicut diadgi. in si non sint in praefata habitisdine: tun ' variands sitiit d i R g I sub praefantali abitudinet uotist id ei leniet. Sit igitur e si ad f in: sicut d i ad g l. doc lit ita Diadh&utl v. Apuneto utra laciae quid istante ad ahqui; sitv x:erit c ux orthogonius aequalis portioni quaesitae. Patet hoc. Nam si ponatur b c latiis
alicuius polygonis:erite v semilatus polygoniae circuisseqtialis. Nerit c v x: portio illa in polygoniai quae erit abe in circulo. Nam sic v si istini lanis uiginni circulo sequias:etite v x pars sextat rigorii. similiter &c b e pars sexta truo ni: cuius b c erit soni latus. Itide ed a pars sexta trigoni: itis d e semilatus. ex
quo patet:be arcu esse sexta pancincsrcii ferentiae.&ab e: sextam esse patre circilli, Rex essequenti: cvxerit portioni ab ear qt salis. Sequitur. Et orna portionem circularetiar. LSi vis arcumdatii: in rella aequale resoluere. Primo per minissa: rediic portione circuli sub arcu R floribtis li superficient recta. ut sit c uxo qualis portioni circuli ah e. Inuenio mediii proportionale iter e v&v x:cuius quadratu aequale erit rectangi ita sub c v R v x per is sexti Euclidis.
quare erit uti plui: ad orthogonium cuti. Et sit latus istius quadrati virectas st: erit quadratus de s g duplusportions a b e.quia duplus ortlaonio e v x. Et sielatus istius quadrati virectat g:etit quadrat' de s gduplus portioni ab e qitia duplus ortilogonioe v xtequalis portioni. Rursus per io sexti Tuclidis idos ad a b& f g tertiaestinue proportionale itae sith i cist per is sexti Euclidis te ctangi alii in subab&hi aequale tiadrato des g. dico hi: aequalem esse arcui he. Patet. mper secundi cap. libri transtruitatiora i Geonae trica ru:duimosi ue multiplicatio semidiametri in rectam aequalem mcdictati arcui des ribit sit: perficiem arctualem portioni est is contentae sub arcii&feci oribus. Igittit multiplicatio 1osius semidiametri in rei tamae iii ali arcus: superficiem dupla in ipsi
postioni describet. Sed multiplicatio ab inli i:dc scribit superficie in dupla portioni abe. erit exessequentic hi aequalis arcii ibi. Non eniti nisi inreetia aqria
Iemarcui: potest multiplicatio sei nidiametri superficiem portioni dupla describere. Et ita de omnibtis portionibus clinili aut circili feretis esset dimidilusi ha bitudo latetu diuersam polygoniarii viri circulo aequaliti nequalis esset habitu dii laterum illam polygonsarii circunscriptam&inscriptam simul. Si placet:
Iaane habitudinem in propinquisntimeris examinemus, In veris investimo possibile. Proqito amicitendu est.*sidi sarpo sonis uni circulo sint: uae Ies: percomunem scientiffinuscein ςquales erunt. Sumamus duas polygon avsatis comune : trigonuscilicet&quadratu. sub qui hirim nim: sunt tractata. Des holgilduos circulos inuice aequales: iti orsi semidiametri sint a b Red. omni scribo circulo ab triconsi: similiter 'inscithn.Itide&circido cd: circim scribo&inscrtho quadranti devolumi is videre in propinqtiis nil meris: traxhitudinem e f esi h i ad I in cum p q. m. manifestsi urigo a ad sibi inlaspium
333쪽
Meqriadnisu.Nam a esimida trigoni:est ad a b prima longitudine dupla. vidi miines ut Geometricis transmutationibus:circa principiti. Igiturae ad ab siue ali potestate et quadruplia. Si inister per prima duodecimi Euclidis: trigoraus es gitti sono liki erit quadruplus .intelligendo circulii exa e: imi scripta trigono e g t. Ex qtio constat latus circiuiseripti trigoni lateri inscripti: esse lon, gittidine clii plia scillaetes adlla. Rutius es etiam inanifestu: qii adratumi inrio tiadrato P qrs esse duplu, incum c d&dlsuat aequalesric t per pliani Euclidis contineat eorum quadrata: erit potestas e t dupla potestati e d. quare portandem prima duodecimi clidis:quadratiis ini noni iadrato pq rs erit duplus. Sint igitur senudiametri scilicet ab&e d potestate ἡ:eritae Lecudatusgoni potestate iv. aqua sisti bstra laatur potestas a b scili et *: residuum erit fritanta erit potestas b e. cum a e: contineat eo testates siue quadrata a b R e b. Similiter: rites potestate 35.quare longitudines:&hiloirgitudine l. Rrie e s cuhi: erit longitudine . Rursusqis iacci potestate supponiti irini dest ei a quaelis: l ni potestate erit rarip q potestate 6. Radix vero de ii sciliceti 11ucstini,nor 3 cum ii 0 ducentesini quinqua est missextis. Patet. Nani quadratus de :este. 8c bis duct' in ii0 ducetesiimsquinqua esuria isextas: facit dii celestinas quinquagesis misextas pro duobus iuppisaentis. Quadratulus gnomositas scilicet de iis i ducet e sini Ruinquagesinu extis esti 16i duce testina quinqitapeta sextae ex x ducet est aquinquagesima sexta. Reductae ad fractineries integratii eas p ς6 diuidedo: erutfs ducet silia aequinquagesimaesextae cu81 ducentemnisquinqilagesimus iis ex x ducentesina a quinquagesima sexta. Additae nis plenaei itis:mintro a duci testim quinquageui Da textaecia Si duce cesinais' tim lita gessimist cxtis ex adu itesima quinquagesimal exta. Reduel sad via ita lex eavper Lso diuidendo: erinil cum i duce testina quinquagesiana se κta RHi discentesin quinqua pessimae xta ex i ducentesima quinquages, tria sexta.&tatus erit gilomo qui tundis quadrato de 3 scilicet ψ: faciet ix cua duretes aquingua gessima sexta& si ducetennis quiqua gestinissextis ex rducentestinaquinquagesila sextatqui maior est potem te i in. quare t in logi αtudine minor erit 3 cum iis ducentesmi Ruinquagessinissexus. Similiter p qquae est potestate is :erit Egitii dine minor L cum io sexa esimisquartis live est
minor, rei iis ducentestinis uinquagesinus sextis.quod idein est. Patet. Nam uadriitiis de x:est .& L his ouet' in et sexagesina as quartas: facit iis sexage ii Dal lii artav pro duobus sui plenariis. Quadratii lux gaiori innis scilicet de Σ' sexagesimis quartis: est R i lex a gestinaequarta ι κ 1 sex adesima quarta. Redu et .vad fractioiles integrarii eas per 6 diuidem Jo:ersitis lex a sui aquarta clio sexagesimis quartis ex i sexages in aquarta. Additae supplenitatis:enit ilo se xagesimaequar te curia ' sexagesimis quait ex i sexagesina .iqii atta. Redi tris ad unitates eas 1 cilicet ps sdivide do: erimi L cu i sexagesinia litari a lx a sex aegemis quartis ex isexagellina arta. I ttat' erit gnomi ii iiiii lac quadrato dextm licet .i : erut 6 cu i sexagesima cita Ria lex age si initii uariis ex i 1eκ agesimae qitaria. Et intris efit quadratiis de L cu Mi exagesimis quattis: siit u lit. duces
testinisqiiii 'iragesimis sextis'. quod idem est. nudoc si potestas pq sit lolii m 6: erit pq longitudine minor 1 rei tac ducetesimis litui plage siniissextis'. Q vio fit: ut i m&pq simul longitii dine minores sint cu tu ducente funis attinquage
sit nisi extis. itiare es culi ita di in ciuili q: maiore serii abit proportione sic ad ς cum L ς discetesimis uii aqua simissextis . univi longitudinis ruina erus deImcu Pile κplaeetis r peste: lamelle est minuere numer m cii Li dii celesin iis quis clii age sint in extis. qti faelo: es culaiirmiore scitiabit ad lin&pitri ortione o oad ς cu Mς ire tesimis quinquagesiii .issextis. Restat Ia trigonoe gs: qum aram dare a qualem. R videte habiti id ille e s ad latus talis iliadrati: sint vitia,
hitudo es cum ii vad l meum pqJ es uni circulua h:cum trigono scripto .cotinuo ba: viii g. Est manifestu a, recta ligulla quaestibu&bs coli rietur:aequali vest trigono e eLVnde si iter g b Rh t recipiatur unam tu pro: Portionale P 0 sextu Euclidis quod sit tu: erit quadratiunde t utqd sit ivxs
334쪽
tes debs &gbsimul. dix de Στ:est maior s en is centesimisvicesimilam auis.Igitur b glongitudine:maiore tit ς cu ις cetesimisvicesiiDisoctauis.Patet. Na quadras de s: est ι; .Et s his duet 'm xs cetesimaticesuria soctauas:facit aso cetesima micesimas auas ero supplernetis. tiadratilliis gnomonis scis licet de is centeminimicesimis uis: est secentestinae uicesimarina irae ex xcentesimauicesimaoctaua. Redue adfrassiones integram eas per sdiuidedo:etunt centesim uicesimae maecu H3 centesini uicesimilactauis ex icentesiunavicesimaoctaua. Additae supplanaetis:erunt1s cete aeuicestinaes octauaem x13 centesimisiticeiunisin is ex x centesmauicesima statia.R ductae ad unitates eas diuidendira et 11s:eruntvm cum iis centesimisui iuini mula & 113 emtestinisulce uinisoctauis ex x cetesimauicesianao flaua. Et tantus erit gnoin quiitinctus quadrato des scilicet M:mini is cum ris cer tesi1resvicesinat elati diiu centesimisvicesiinisoctauis ex t centesimaliscessumetoctaua.Et tantuSerit quadratus des eii 1s centesimisvicesimi ctauis: qtii minor estpotestate bgiqua est ut L Igitur bglongitudineuitator erit sesi ας cente linistricesimilaetariis.Et eκ consequutitialisltiplicatio b f in b g plus proiducit. una ultiplicatio 3 in s cum xs centeiunisulcestinisculta tisiquae proclicitu cuin s centesmisvicesimi scibilis.Igitur trigonus e g sectit maior is cumri centesimistaceui lactauis. similiter quadratus ivx y si es toti tudine sit 6.Ruistis,quia radix de xς cum πι centesimisvicesimis ausimiaior est 3 citiai centesimisvicesimiso Lu .a fortiori igituri vicin tudine: asoterit 3Gahi celestinimicesimi muss.Patet. in quadratus de res his dii
xii iii centestinasuicesima soctauas:facit scentesim uicesimasoctauas pro stipplemetis. Quadratur Omonas scilicet de iit celasinistiscessinis fauis: est i s et centesimaeuices unam statiar ex x celestinauicesunaoctaua.Reducia ad fractiones integraria eas Per 128 diuidedo:east ii centes immiscesimarina Ecutra μ' coitet istriceninis auis ex i centelimauic in octaua. Addutae suppliarietis:erunt 84n centesimaeiticesimaeoctauae in cent unisulcesi ianistisiuis ex x centesii uicesimatamiua. Reducta ad states: erunt ε cum τα cente suessuicesimisomuisti si cetesimisvicesimis auis in t cetesima: uicesimaoctaua.Et tantus erit Fomo qui iunctus quadrato de stilicet;:eriitas citin τι centesii nisui simis aula di cetesimisvicesimiso uisex xcetesiimatricesimaoctaua.Et tantus erit quadratus de eum trui centesimisustasi misoctauis:qui minor estu is eum τs centesimistricesinas soctauis. A fortior igitur:erit minor u potestas de t v quarest maior is est τs celestinistiscesimi suo uis. Et ex sequetit ursi tu maior erit 3 cu thicentesimisuscessimisu octatiis.Manifestu est igitur e t ad t viminore longitudine seritare proportio nem: 6 ad 3 cu i centesimisulae Toctauis. m. t v Iononidine: masor est ni centesimisvicesimisoctauis.modo crescente 3 in ut centesimisus cestinisoctauis:decrescetproportio 6 ad maiore numerast 3 eum 11t centes, missilaesita Toctauis. Rutius diuido 6 in duo a qua: 8cerit medietas
cum diacentesimi uinquagesimissextis. Sed e f in t vvninorem seruat proportione u 6 ad 3cii ixi centesimisvicesimila uisa tureti 1 minorem seruabit:4 ad unu curn ducentestasiquinquagesimissextis.Rursus res plico litint s. similiter triplico unu eum 1 9 du Besimisquisquagesimis seriistrissimis eu L3ς ducetesimisquinquagesimissextis. Sicili spreir ς adstas in in duoetesimisquinqu eumluvius ad v in14 ducetestinisqui
335쪽
qtiagesimissextis. Et permittati in siciit 9 ad 1 cum 23s ductartesimii umquagesimis sextis:ita 3 ad unu cu et o duceii testinisquininiamsiniis sextis.Sed e ρad t v minore seruat*portione:Eginidine a ad viati cu duc aestinisquisquagesimissextis, Igitur euam minore seruabitiu ς ad ς cuL3s disceritemnis 'iiiiiquagesianissextas. Vnde costat latus trigoni inculoa qualisiad latias quas grati eidem circulo aequalis cu trigonus B quadrat 'mincem sint aequales)mirnorein longitudine seruare proportioncm:u 9 ad 1 cum 23ς ducetcumis uino qua gestinissextis Et prius monstratsi si latus trigoni circulo citc scripti cum latere insalpti adlatus ouadrati hide vel aequali circulo circus plicsi fatere in scripti quadrati mala seruareproportione:u ad ς aini Las ducentcsinus quinquagesimissextis.Etl ces veritas scilicet in latera polygoniam viues culo aequalium/minore sertiant propollioneadinvicemirospeetii proportionis maioris inaequalitatis: si latera unailium polrgoniarsi cimiscriptam uni circuisio cum lateribus inscriptam.NOirigitur ranae seruant proportionc:siueaequas leni vi credidit de Cula.
Escripto super a cetro circulo & tracta diametro h a cla i maxima chorda in infinitii extensa quae orth DaIiter se, cet b a c tquaesit d a e. si tunc sup aliquo puncto in a c qui cleb distet secundu longitudine chordae arcus tertiae partis circuli quisit scirculum euius semidiameter sit f b descripseris: ille de maxima
chorda ab indet rectam g h medietati circuli aequalem vel propilla qua.q, si dei, & e rectas adg Ii traxeris: erit sui cies bg c ii aequalis vel propin tua superficiei circuli bed e. si Ad citius intellectrum describe circulum super a: qui sit hcd e prius.&trahe chorda arcus sextae partis circuli lde sit lintre quartae Partis quae sit ili & tertiae partis: quae si n o. Et cosidera ex quo omnis chorda est minor arcu: be us chorda maioris arcus. . tunc ciracuIus qui debet perti trafire&habere cetrum inbe diametro 6c se,.
care de chorda extetasa aequale arcui: ille habebit necessario centrum Vltra aversius citanto distatius quam arcus maior ciri chorda suba aditur.&minimus omniu quo uo potest dari minor: haliubit cellatrii in a cuius semidiameter a b. Maximus aute circulus habebit ceni trum ultra a versus C tmaxime distans ab a:cilius semidiameter malaxinia. qui circulus abscindere deibet de maxima chorda:re fui aequale
semiesreulo.& illa maxima semidiameter: litaeritur. ecundo est attendedit in chorda aliqua potest signari: quae sit me, dia inter chordas ei copares. Et voco com ires chordas: cluarti una minor signata i& alia maior sic Φ Rr arcu aequalem distent a signat. ta .vri i hi ab l m & n o Nam cum ita reus sit ut i 1utunc I m o di cuiarur c ares t h. Dico q, potest chorda smari :vbi oes duae eopas res hal et potentias quae limul iunctae sunt maiores duabus potetiis chordiae mediae.ut si ad I in chordaespares aliquae traherentur:earumiciuiae seinperunt maiores duabus potentiis i m. t test etia chorda media lignari: ubi potentia: omniti duarii coparium serunt minores duabus potet iis chordat mediae.ut comparili ad n o. Ita potest
gnari chorda:ubi omnisi duarum coparium potentiae eriit aequales duabus potentiis chord quia quato potetia minoris cisaris est mi Ur Potentia chordae mediae: lato maioris copuis est maior.& quia
336쪽
. ni omnisi duarum repatium potentiae erunt aequales duabus intentiis chordae mediae:patet illam esse chorda iMNam potentia i mcum potentia n o:a quatur duabus potentiis i k. Sic potentia maxinue chordae scilicet d e cum copari scilicet cu potentia minimae chordaeraequabitur duabus potentiis i k.di quia potentia minime chordae non est aliqua patet potentiam diametri aequari duabus potentiis ivssiue lateris tetragoni inscriptitata de omnibus duabus comparibus
Tertio suppono,i k bis excedit duas semidiametros: scilicet tua, ximi circuli a mitur &minimicuius semidiameter est a b. di hoc iis tum relinquo.L quo elicio duas copares chordasad i h dabiles: tuae simul iunctae aequabuntur illis duabus semidiametris. Nam dabiles sunt copares maiores:scilicet prope i h.& dabiles sunt minores: distatissime ab i h.lpitur: aequales.s C arto elicio ex hism o esse semidiametrii vel prope quaesti circuIi.Nam cum potentiae coparium aequivalentici duas senia diametros
requentur duabus potentiis tk 5: I m siit semidiameter minimi circuIi cuius potentia si de duabus potentiis i li substra limir Irmaanet po/tentia n o: ideo n o erit semidiameter maximi circuli quaesiti. G Quinto elicio q, si ia o est semidiameterit unc si in a freperitur psi eius qui sit piit alap se habeat ada tisicut sagitta arcus ib hiausa. xitramclbe semicirculi erit pcentrucirculi dep heius semidiame, ter quae de i h chorda extela abscinditq riquae duplicata aequabitur g h.Et si de omnibus duabus coparibus sic seceris lex proportione se,
sitrarum centra inueniendo: abscisioties quae de extensis coparibus ficiatis intuli tinctae senatur aequabuntur g h. licet imi omnis abscisio unius coparis: aequetur suo arcui .Et ita de infinitis paribtispean.
dem regulam:abscindere poteris rei nas aequalcis semicireaeo. Si veron o non est semidiameter:tune non cocordabunt illi abscisones. Ideo varietur:quouis cocordabunt in aute superficies b g e h iaequetur superficiei circuli:satis patet ex praemissis.
Sexto elicio quomodo portiolies circuli inter compares cadentes Isthabent ad circulum: sicut se halla tarcias inter ciSpares ad circunse rentiam circuli.Puta inter i in & n o portio circuli: est sexta circuli. quia arcus in de arcus moesunt sexta circii ferentiae . quato enim portio inter i k di i m est minor duodecima:tat oportio inter i k di: no cthmaior duodecima parte circuli. Et per harae cossiderationem:poterisum ias abscisiones portionu circuli lacere ioc varios tringulos aequare.Et haec sufficiant.
Descripto super a centro circulo:& traeta diametro b a e at Q.
Vulta maxillia chorda indefinite extensa: abscindere rectami ualdi die. tui cimili liocelline sietati circunferentiae circuli.dicens per propositionein:gh a qua inesse inedietati circunferentis circuli b a c d e.DιMκ insequctibus
337쪽
UQuomodo arcusti chorda sextae patus circularentiae detur sirisIstriR tet' i, ecquartae:est manifestu.lua instinidiat aeter:est cliorda arcus sextae partis citca ferentiae..iaequaturn congruit ruosito:sic describi debet. Sumpta aequali se, nidiametro inter pedes circini collocav1uipedem i e:&isto fixo moueat alius versus arciam quadratis ebG ubi secat euin ponem. Rursus loca iteria peda circini in d: titae similiter.vbi abscindit d hquadratem: pone l.usae t inretiectiorda sextae partis circuisentiae.Rursus colloca ipsius Acini pede in hi mo, utatur alter secando quadrantes bd&ebri sectiones nota pern&o. tralae norec habes chorda tertiae partis his ferentiae. Deinde quadrates in diro aequa per 10 tertii Euclidis.diutae:§iones nota peri &k.trahet k:8c habes chordam quadratis. Claordaminorem esse arcu suo:&Φ qunto arcus maior tato minor est proportio chorda ad arealsatis expretium in geometricis transmutatio hus.c teta in litera sunt naanifesta auxiliante figura.
Secudo est attendendu*chorda aliqua potest signari:qi Ia sit me .clia inter chordas ei compares. Et voco compares chordas.
e Sequitutdico in potes chorda signari: ubi omnes duae chares trahet potes 3tias quae simul susetae sunt maiores duabus potenis chordae medipvi si ad lincla ordam espares aliqua traherentur:earsi stolent hae seinper erunt maiores duabus potentiisl m.Patet M. trahos g chorau vidulamia adlin sic g marscus arcui hin aequalis sit terunt f g&il copares ad chorda Ina.Vnde potentiaes g&ili simul:ertintinatores duabus potetissim.Nulni est latus hexagoni insscripti:&i k latus cluadrati.Modo cum omnis costa quadrati ad mcdietate diaet Dietri sit dupla potest .ite: tilpoteuai kaequalli siluat,' potetissi an.qtiare potestia ilici potetias g si anil:maiores enit duabus potentiis I m. R quotquot tra. Neris compares: erunt Potentiae earum simul duabus potciitiisl ni. Sequitur. II otet tiachoida media signati:vhi pomitiae omniti duaru compartulant minores duabus potentiis chordae media .ut eompatisi: adno. Patre. ralit ex tritorduae uidistante adno Reu, arcus ot aequalis sit arcus ok:etunt 1kRsti opares admordan o.Vnde dis potentias ri Rh k simul ins res esse dilabus icti' go. Quod enim verisitatur de duabus csiparibus ad inedia muta&de
inedietatibus patium ad inediet assi mediterra manifestumn o sit latus trisuoni inscripti&a q prima terita o se lida Egitudine dupla ad a q.per ea quae dicta statu:in principio Ceoinetricam transmutationu. Si igitur a Dip testate sit :etitaqpotestatevtvnia.&qo:potestate ut 3.Rtirsiis ci invitis illa lux qtiadrati inscriptis&aherum quae viaequalis hkrerit ali potestate dupla ad lik. Quo fit: utpote illas alceu potestite hk dupla sit ad potestate O q. am potestas a limitialisa oest ut Δhkvidi .etit igitur potestas ahcsi potestate liR:ut 6.Moado potestas o inest ut 35 duae est potestates ut 6. Sed cia r t minor sita tae lita, Issa hiest manitem potestitem ricum potestate Iih minore esse duab'potcstatibusq o. Et exessequeti:potestas s t cum potestat et k:minor est duabus postestatibus no.Et ita ae omnibus comparib'adno:erit arguoidum. Sequitliri CIta potest signari jaorda:vhi omnium dilanini coparium cliorda potentiae erunt aequales duabus potentiis chordae medix . Illam cliorda:dicit cliei k.N a potentia i m cu potentian O:aequntur duabus pot&itiis i k. Patet sic. N at ut diu citi inest potentia ali: dupla est ad potentia lah.Modo potetia pirataim notent
aequalis cliori ael niuer αδ tertii Euclidis.& quia a erest sit per naedietate arcus: transibit perii dietate chordae. ut superitis monstratu est. Igimr per 3 tertii Elielidi ae perpendictitariter inest stiperox:sictitat, super Im .Erueti 1aqneotia Iis medicisti chordaeox:8 chordae lin.5 exc5sequenti per o prim Hiclinis: potenvia o aequalis erit potentiae pinsit aqcum potetia qO.Patet igitur m
338쪽
erit potentiasto a turduabus potentiis lik: qtilaao aequialis ah per distinutionein inculi erit stinuiter potet Qq oeliinpotentia p maritialis dii abus poteli sit h. Similiter pomin anoeliini nutequalis et it cluabiis poteti Nili. I tia in sic patet, sita opotesate ':crata q potestate via uni &qo potestate 3GL h p ratem te x. Modo potetia' oscilicet 3 criti potetia a q aeqtiali p m: facit - .licut irigitiit duplus est ad ,: ita potentia q o cti in potetia p intdii pia est potenti ae la , h. Et eodemodo deditatius quibii scuquoparibtis: est dictaadd. vi si sint datae istaedua comparess g&ἰst: sicularciivglia' litati s sitarcii th t. dico potetiam .
ciis tra sit: ita per medietate chordae.qua rear::mitalis erit medietati chordaei v. cunar t&ae: sivit a inlidis intestini lacino perpediculares superi, c. I stigit hir
mionem circuli. constat Potentia r t clina potentia a r sitie y g: aequale et sed u. hiis poteratis sit h. Rex cos quenti poteriti a s t cur citetias g: λ qtiali verit dila: Iuis putriatis si h. qirod fuit de ira Onstrandus. Ne litis. I Si 1 potentia ina ita is chordae scilicet declini copari sibi licet mini P toti atrii iii mei l is ,r lx: M aliat illi rdria litis potatis Is ih. 5 qilia potetia milianax choi dxii Deli aliqua: atet pol etiam diametris ilim de a uitari dilabiis poteti si h . Nam ut diriuesta haei litatis a elle uatur duabus pol is h h. quared exequabitur dilabus inolentiis i h.
Et ratio huius est otii a ce omnib' in iis chordis es armus vetita nit: isitur R de maxima Nininima parium verisitati est necesse. Non aut Eccouersia: se triti it forinaliter. Si enim aliquid de inaxim irentini 1 noverificatur: nsi taliae eonuub'ni ediis vertificari est ii reesse. Sed fom aliter sequitur illud decimi uehus mediis velificatii rupiti iri de niaximo Nilaria civerificabiti ir. Nam pro portio ira axinas ad milia tnaci parium ad i k ut est d p ad initii infirii 1ida testtanii finiti ad infinitu quae nulla dicitur. Ni, ni unen rc plerstat rediae ad me
diam mina artii incidit pri,portio: erit ranu siniti ad infinitu in .cum sitiatast siniti ad finicum.
ETertio supponoq, ilii se excedit duos semidiametro duomicircit
ioru: se ilicet maximi circuli q qii aeris N: minimi citi' semidiameter.
CEt hoc est manifesti im .cii in i kl is: im torsit he. Sciluinir. si I x quo elicio dii a scopares chordas ad i kdalii lex: quae sint uliuidiae v.is,ut ut illiis dii ob' sein idiani et iis scilicet senu diametro minimicirculiqi res viali x semidia iraetronia xiiiii circuli qui quaeritur. Ratione assisi tanq: in itiit. Natri dabiles liant comparesnaaiores: scilicet avel k:Rdat,iles liliat muti,ies:distantisti me alii L. Rhoc est verum. Sed concitidit: initis r&x iiii ies.supponitit, fiat transitus a duabiis coparibus id i h m nores uital, ii semediametris ut est deculi iac5 paria di hiad duas rapa res adi hi illae sint ulniaiores sint duabuq semidiante metris ut hae quae si int prope ih IKromites media scopares: tari et a reri lini nore duabus semidia inerti si ad ma in reinu, et Dinues fiam melli is .mioc deari os ratione indaget. Noenirn sequitiirlitaturit, i plus N inititis: igitur ibi datur nec plum iee miniis, Sed belle sequitiir datur plus A minus: igitur alicubi daehile est nec plus nec ininus.
Quarto elicio ex Ilis: ii Oelse semidiametrum vel pro squaesiti circuli. Nam cu potericiaecoparitim .soluit talent in duas semidiametro qnia viiiii circuli scilicet minimi: aequetur duabus poteriis i h. Et climini lit si midiameter minimi circuli: cuiuς potetia si de duabuς potentiis i ii substrahatur ire manebit mitentia n o. quaren a: erit semidia meter cuculi maximi qua siti.
339쪽
C IIomodo potenuan ocu potetia linorquetur duabus poteriti is i k:fuit sprius demonstratii. Vnde si de otiabus potentiis i h subtrairatur potentia i m: 1iecesse est residusi esse pomitian o. Hic supponit de sa in una coparitim adi haequaluini duabus 1 ei indiametristae qualis sit semidiametro mininai circuli. quoci Don demonstratur. Nec videtur maior ratio ex praemissis: cur nitor co, parium det, eat esse aequalis semidiametro minimi circii Ihil inaequalis.
uinto elicio : q, si ia o est semidiameter circuli maximu4 Vt autem a s diuidatur sic u, minor portio scilicet a b sit ad totam a s sicut b sti agitta climine ili ad sagitta ab elicitae de solii ira opus est 31 sexti Euch dis. Tt ut similitet diuidi valeat: secudum haDitudine qitatu in re sagittaru . Nan si a padps sit sicut bladat: erit a padhsiciit bladab auiam istipponitia Gesse se in diametrucirci illinaximi. qis adlauc ignora ε. Ideo pii'ina piliqti nuumetis venabimur an sit alii sit: ualiqti id de ista littera delet mmcnuis. Titiae statilii vcitatione faciem tis. Se iiii f. sin autein stiperficies h g c ha qtialis sit stipes es circuli bd c e: satis ex praemissis patet. Sic nim glisit Daedietas circularentiae: est inani sestsi si, niti Itiplicatio a c in g la producet rectangillam aequa:
lam circularitiae dupla erit ad trianguluc gh. quare aequalis superficiei bgcla. Haec de se sunt manifesta.
si Sexto elicio quomodo portiones circuli inter compares cadentes: se habent ad circulsi i sicut se habet arcus inter compares ad circuisseret iam circuli. ta inter I in Λ: n oportio circuli: est sexta circuli.
Hoc tetigit inde trans intitati thus moinetricis:cap. sectando. in quod hic vocat naedia copartiam: illic naedistini ditiistolais .vtili: est mediu diuisionis ec media copariti. dicit igitur si, portio circuli inter lin reno chare Mad i k:est pars sexta circuli uia arcus f n in in o quos capiunt repares incit serenatiae circuli pars sexta. laocvt c ruit Mosito:patet. Nam tracta a in&a o.vbia in secat g o pomturia & ab angulon:educatur perpendicii laris supera inquet sitii p. est marii festu:utagulos orthogoniosos actas mitiis dualis. Nas ma Palis est a gr& am aequalisa o quare a s aequalis erit go ch sint orthogonii. Na demendo potem se a Rapo alea o similiter potestates in apo aleam:residua erut aequalia. cu ab aequalibus aequalia dematiir. Igitur angulus g oa: mitialis erit angulo f am: sinat liter&angit lota a o. cum per ultima sexti Eueclidis tanguli hani Rinaotatae quales. Rursu fidi quia illius triangit Ii a ii c, anentili ad basim 1 unt aequales: illa o Sala Iaieta aequalia percduersam ς ptimi
Ilii et iis . Rursiis patet istos tria gulos ortlingonios opti Rapti: quales esse. quia duo latera vitatis duobus alterius sunt aequalia: A. anguli 1 tib ipsis c&enti. constat enim per ς prima Euclidis: ah ciangulumeri, pin diro aequa esse dius, sui n.&simil1ter perio eiusdem:ao in duo aequa esse diuisani. quare iter sierit aph tria ligulus:triangulo agaequalis . sunt etainianabo orthogonii:similiter agri a li aequales sunt a n&ap:8c anguli sub ipsis contenti. lirare per primi Eucli dis: aequales mini.& ex costqtienti tringulus a lio: dupli is erit triatagitti agh.
Rursus as adas:est sicutas ad f m. mag: qtialis sits m. quare at ad a g: potestate est ni a.&exc5sequet sortiiogonnis asin: ortlaogonio ag hi luserit. Nam per re sexti elidis:a s ad tertia conuesve propolliona post abestim igitii die tripla. Vnde eonstat superficiems ingluada gli orti logoni uine
dupi.un. 8 exc5sequenti per o quinti Euclidis: triaris ullis alio aequalis erat si is pcet scit f gliin. His praeliabitis. patet I mno: esse sexta partem circuli, sic. Nas in gra est na edictas. Sideo erit duodecima I t cum o sit duo declina pars circcuras Tontiae: erit portio circialis tib arctimo ecto tibiasam Rao: ut pars duodecit Da circuli. Denio ab istis portionibus connitie scilicet in li oresidua sunt triari pultiva ho&stiperficies f ghmni restini probatae aeqtiales .eritiinurms go:mitialis 'ortioni ma o. Rex con licitii uiperaecies in i riore vilis erit potitorisba o. quare: est ut pars sexta circuli . Flita de omnibus portioni ,' istiter pates:est incendii. Igitur R de portione interim ximati triviis ficoinpac
340쪽
tium: quamn rnaxima est d ed minima chorda minuru arcus. Nam quae est
proportio arcus db cum ebad totam circularentiam: eadeerit portionis inter conmates ad totum incultim.siciat enim arcus simul sumpti sunt medietas circunaerentiae:ita portio latet compares medietas es circuli. Vnde perta cisa:
res adi h de solis istis paribus uitelligitum variae possunt fient abscis iles:&varii trianguli aequales. Nam aqrcit duplus ad gh:quare aequalis trianguα Ioaho metum aqadag:potestate dupla.Nam aq:est inedia proportionalis inter ab&a g. Sicut cium a bada g Egitudine est dupla: ita a b ad a q potestate
dupla.His pactis:patica dicere volumus de hac resolutione. Et deisipto circulo bdee:tralio chordam tertiae partis circuferent scilicet ii O,signo aequalem inb c:qiraesith s.facto f centroteam est duco.qiue a1naxitnachorda de ine
definiue extensa abscindat gh: qua dicit de Cusa mirari medietati circii feten: tiscirculi.traho fit:&a o.qiua ab adapes Egitudine dupla:crilao ad apportestate quadruplari adpo potestate se ulteri L. nisi a opotestate sit Aterita puniam& p o potestate 3.Ruisus dicium est inde plementis Arithmeti
eis:circularciatia in circuli ad diametriim longitudine linamorem seritare proportionem tripla superdecupertiente septi lagestiuas Primas.quare si h c Ponatur
longitudi)K-i:erit circus retia circuli mator 1M.ciiiiis pares quarta: est sς cum 3 quartis.Vnde pars quarta circii fremtix:longitudiriertiator erit sc est qilarolix.&ex consequenti: potestate maior erit ι1 1κ crisia ideclinas exta quies quaαdratus de sς ciit a s quartis. Nam quadratus deues:eit bis di irius in 3 quartas: facit no quartas pro duobus supplementis. uadratilli regia in aius scilicet de 3 quartis test ut o quarta ex a quarta/vctodecimissextis quod idcinest. quae tutuli supplementis:erunt quartae cum 1 decimasexta. Rei ductae ad unitates eas per diuideso: mant 83 in i decimasexta.D tantus erit gnomo quiluidius quadrato de s s qui est in rerunt uos cum a decii nassexta Et talitiis erit quadratus des s cum quartis. Et quia quarta pars in ferentiae circuli:longinidine maior est s cum i quartisistolarnetrus circula loncungittidule sit mi. ideo potestas qtrariae Daritv circimferentiae circulit maior astu 3 cimi idecima sexta .Rursu si helongitudine sit Itierit ab longit 1idi, ite 3ς cum i sexunda.cuius quadratus:es 115o in i quarta. Nam quadratus de 3ς vsh 3s bis ductus in 1 smidain: facit To secundas pro Irupplenae tis.B quadratulus gnomonis scilicet de a secum:esi et quarta,quae ciun Tose, cundis:erunt secundis cum a quarta. Reducta ad unitarates reno u eum x quarta. Et tantiis erit gnomo qiii iunctus quadrato de u quieti ixis : erunt1M cum i quarta.n tantus erit quadratum de ις cum 1 secunda:siue ab velao. Rursus I quarta de irine cum quarta: est uς cum a de inrasexta.& laruaerit potestas: dea p. Nam sicut i in i quarta ad Decum i deditius exta: ita potestas dea o ad potestate a P. a poteIlas lithluaria a Dotes latea o quae citat cum aquarta Residusi est v s cum idecuriissextis ditanta erit potinus:
depo.sicut enim a o ad p O potestite tales uitertia:ita , octim i quarta ad 9 s eum 3 decimissextis. Rursus O s cum decimissextis quadruplicatus: facit 3 8o cum 3 quatris:&tanta erit potesta den o: litietis vel f liquod ideincst.Nam sicut no adpo potestatein quadrupla:itar sci cum qtrartui adsins cimo decimissextis. Radix vero de r so cum ι quartis .est maior 6r cum ας sexagestinis. in quadratus de Oi:esi in M.At oi bis diu sin αο sexagessim facit 3cis sexagminas pro duobus supplementis. Quadratulus Mosanonis scilicet de is sexagesi latest s*r sucages em 1 sexagesima.Redi ix ad fraetiones integratiun diuidendo eas per somno 1 fmgesimae cum x lexagessima ex , sexagesima. Additae supplemmatismum uocum i sexagesimam i sexagesima.Resuetae ad unitates eas per inuidetis do: erui s. cum lx sexages is fit 1 sexagesima ex i sexagesima.Ttiatus erit gnomonilii iiictiis quac rato de Ai scilicet ς' ra: it i, sexagesimis dis sexage lima ex t sexagesina .Ettatus eritqtradratus de si rem sexage unis