장음표시 사용
101쪽
lione ostendetur ob qui distantes linem DH LGl BA, linea HG, ipsi GA aequalem esse. Ex quibus patet C Κ.. ΚΗ HGGA inter se aequales esse. inoniam autem trianguloiu ABChFC angulus ad C et utrique communis;&ABC ipsi Is C, primi, BAC ipsi FKC aequalis, cum si h psi AB ae uidistians; erit triangulum ABC ipsi KFC simile. 1 quoniam NK IC.& HN LF sunt qui distantes, erunt anguli Κc FCIFangulis HIN KHN ςquales; ac propterea reliquus CIΚ reliquo KNH qualis: latus vero CK lateri 'ΚH est qua Ie erila igitur mangulum ΚFQ triangulo F NK simile,&ςquale. similiterque oste detur omnia triangula ALGGM H HNΚ ΚFCinteries e similia, S: aequalia esse.& ob id ipsi ABC similia esse. Fiat igis ut AC ad AG.ita AG ad alia O. sinii liter ut AC ad GH, ita GH ad p. rursu, ut AC ad Hh, ita HK ad Q denique ut AC ad Ch, ita CK ad R. & quoniam AG GH ΗΚ ΚGUir vii. sui taequales, eadem AC ad unam quamque ipsarum candem habebit proportionem , ergo candem quoque habcbit propositionem AG ad O, ut GH ad P, Δ HK ad 5
102쪽
t AC ad GH, ita GH, hoe est A Gi ipsi ςqualis, ad P . rurius ivt AC ad ΗΚ, ita Ν, hoc est AG ad ac laildAn utlΑC ad KC, ita C, hoc elt AG ipsi qualis,ad R. erit AC s ad omnes consequentes simul sumptas AG GH ΗΚ ΚC l hoc est erit AC ad sandem AC, ut AG ad omnes simul: CPQR. unde sequitur omnes simul O PQR ipsi AG cquil les esse. Itaque quoniam similia triangula in dupla su ni prori isseati.. portione laterum homologorum, erit triangulum ABC ad ALG, ut AC ad O. eodemque modo erit triangulum ABC ad G IH, ut AC ad P. rurius ABC ad HNΚ, ut AC ad' in &vt idem ABC ad ΚFC, ita AC ad R. triangulum igitur ABC ad omnes consequentes, videlicet ad omnia tria
gula simul sumpta ALG GMH HNΚ ΚFC, erit ut ACl omnes simul OPQR. hoc est ad AG. ostensum est igitur,l quod propositum fulta l
omnis triangyli centrum grauitatis estin re 'a i ab angulo ad dimidiam basim ductati l
103쪽
ipsi AD 'aequi distantes, erit AE ad EB, ut DO ad Ori&ve . M i, lD Z ad ZC, sic AF ad FC. atque DO ad OB est, ut DZ ad ZC. .it igitur AE ad EB, ut AF ad quare EF ipsi BC stae quidist8ns. eodemquς modo ostendetur ita esse AG ad
CB, ut ΑΚ ad ΚC, & AL ad LB, Vt AM ad MC. ex uidi' sequitur L GK non selum ips pC, verum etiam inter sese parallelas esse. secet EF lineas Gi K. in X'. ipsam vero An in T. 4lneaque GK secet Lα Min in NH. & in Tlinea denique LM: ipsis, AD in S dispescat. Quoniam ausem D. es ipsi .HI aequi distans, estque L. minor qua HI, linea WM ipsi AL tqui distans ipsim HI secabici ac propterea
maum H cenprum grauitatis trianguli ABC ext paralelogrammum DM repcritur. At vero quoniam LD DMsunt para telogramma, reunt LS κD interse aequales. similiter SM. D 'squales. sunt verbWD Do ςquales t ergo & LSSM interse sunt quales.' eademque rarione NY Υδ inters se, Nipsis LS 8M squales e,isten quare in ea SY hisariam diuidi ilatera opposta parallelogrammi MN. parique ratio ne ostendetur lineam YT bifariam diuidere opposta laterat aras Ogrammi ΚX; lineamque TD latera opposita parallelogiam mi l
104쪽
la ex MM Κ kF FC desieripta simitia si A DC, hoc est ad tri gula ASM Κ.F FZC simu umiapta eandem habet proportionem, quam babet CA AEd AD. siquidem sunt o K IF Flaequales quia ero, in triangulum ADB. a omnia ex AL LG GET E descripta triangula similia ALS LGN GEX ELO eandem haset proportionem, quam BA ad ML: dc antecedenteς simul ad omnes consequentes, hoc est totum triangulum ADC ad onnia triangula si naul sumpta.quae sunt in AB, At in AC cons ituta, eand 'm habebit proportionem, quam habet AC AB simul ad AM A L simul, quia verJob sinii litudine triangulorui ABC ALM C A ad A Meth, ut BA ad AI ι erit C A ad AM, ut CA BA sintiit ad AM A L simul. triangulum igitur Adc a omnia praedicta triangula eandem habet proportionem quam habes CA ad A H. l Atque ad Actet maiorem habet proportionem, quam UR ad RH; e- remmyroportio ipsius Cis ad Au est eadem, quae ct totius VRa ipsΣRP. quidluiae triangula AC DMC μnismilia. sintq; AD &M. ς quid litantes, sitque propterea C A ad ΑM, ut CD, ndD .&quoniam VR DC alineis DR in P CU arquidis antib' diuiduntur; erit C ad D, ut VP ad PR. & copontendo CD ἰ ad D. ut VR ad RP. quare ut CA ad AM, i m QR ad RP. ra. quia vero UR ad RP maiorem habet proportionem , quam vid RH. maiorem quoque habebit proportionem CΛ adi A quam UR ad RH. est autem C A ad A M. ut triangulu ABC ad omnia triangula in lineis A AB. ivt dictum est
105쪽
'bent proportio nem, quam Pol adHR. linea igitur, quae eandem habeat proportionem ad HR., quam parallelogramma MNIX FO ad circum relicta triangula , maior erit, quam VH. Fiat itaque in eademproportione ad HR, ut ratulogramma ad triangula; erit utique Q H maior, quam VH. AEuoniam igitur est magmtudo ABC, cuius centrum grauitatis ea H,'ab ea magnitudo l
auferatur eam sis ex MN IX Ff parallelogrammis magnitudinis ablatae centrum grauitatis est punctum R; magnitudinis reliquae ex circumrelictis triangutis compositae centrum gratittatis erit m recta linea I H ex parte H producta, assumptaque ahqua voQH,qua adHR eam habeat proportionem, quam habet magnitudo cx parallelogrammis MN ΚX FO conitatis ad rebquum, hoc est ad reli-l qua triangula. α centrum est grauitatis magnitudinis ex sesis eiriumretietis triangulis compositae. quoa fieri non potest . ucta enim reιta linea εκ per stipsi AD aequiae Iantern eodem plano tria guli ABC, in ina essent omnia centra graui talis triangulorum, Me e I in miramque partem ἰη, centraque grauitatis trianguli ALM, ac centrum magnitudinis ex viris.
que triangulis LGN MKH copositς in parte deberet.
106쪽
centra vero grauitatis magnitudinis ex GEX K F coin p.,-s sit , ac magni tudini,eQmO E compis sileae client in parille C , ita ut punctum in magnitudinis ex omnibus trian-
Id ipsum vult adhuc Archimedes aliter ostendere.ob sequctem velo demonstrationem hoc prius cognoiccsς Oportet. LEMMA.
Si intra triangulum uni lateri qui distans ducatur, ab op-lsosito autem augulo intra triangulum quoque recta ducatur ἀinea. aequi distantes lineas in eadem proportione dispescet. Hoc in secundo nostiorum planisphqriorum libro in ea parte ostendimu ubi quomodo conscienda s t ellipsis,instrumento a nobis inuento demonstrauimus. hos nempe mod , Sit triangulum ABC, ipsique BC intra triangulum ducatur utcumque α- ,
108쪽
Si duo triangula similiasuerint, alterius Verberianguli centrum grauitatis in reddilinea fuerit, quaesit ab aliquo angulo ad dimidiam basim du-sa; ct alterius trianguli centrum grauitatis erit in linea similiter dueta.
109쪽
21. Pnui. ΤΗ, mi ME ad Em erit aequali AB ad BH.ut DE .d EN. si q- , rursusque permutando P ad DE, mi SH ad Ex quo ni 6.Iexti. autem anguli ABH DEN, quos ipsis lineς continent,siinit aequales, erit triangulum ABH triangulo DEN simile. quire anguli sunt interse aeluades, o circa aequales angulosiater ua inoportionalia. siautem hoc, angulus BAH angulo ET N e I aqualiAUnde m reliquus anulus HAC angulo NDF aequalia ex lint. Dolvisdem totius BAC ipsi EDF est aequalis. Eademque ratione ant ν. post bu gulus PCH 'si EF ea aequalis stangulus ficta angula ψ' aqualis. sensum est autem angulum εABH gs et Eu aquatim s ob similitudinem autem triangulorum ABC DEP totis .iq
ipsi P EF aequalis existit. Porro ex his omnibuspatrepuncta ΗΝ homologa latera esse*-terposita, ercum ipsis angulos aequatis e fi cere. Cum ieitur puncta HN sint 'ninterposita; o punctum H ren reum straωtasuti BC. m. it m N ιη vvo OBF te reum grauitatis exicto. existente igi tur centro grmi cuius in linea, BG abangulo ad dimidiam basim ducha.- aberum gliuitati centrum N in linea EM similiter dusta, teptiuur.
quod demonstrare Oportebat. ' M . . al
110쪽
. 1.3i h Inii cita b L A niumnu ob AEqui diltantes lineae lineas in eadem proportione dispe- lSin lineς AB CD, quas secent es qui- 'istantes lineae AC EF BD. Dico ita eLi e BE ad EA, ut DF ad FC. primum uidem AB CD vel suntςquidistantes,lel minus. sis uni aequid ista lites,iam habe o Ptur intentum. Nam BE aerit aequalis DF, EA ipsi FC. unde sequitur ita esse BEd EA, ut DF ad FG. . .
'ra , est quoniam BD EF sunt aequidi stantes, erit GA ad BE, vi co id DF. hcopo iendb GE ad EB, ut GP ad PD. Σonuertendoque BE ad EG, ut DF rid FG. rursumuonsata EFf AC stant Equidi stantes; erit GE ad EA ut GF ad FC. e . :it igitur ex aequali BE ad EA, ut DF ad FC.
Secetit vero sese lineae AB CD. ut in tertia figura. ob simia ex sexti. itudinem triangulorum BGD EGF, ita erit BG ad GE,