장음표시 사용
81쪽
piurey ma gn i tu din os, in q ut i, γ' magnitudines qualem baluerint ex qui bus con ita t A rchimedena ad magni tud in um
grauitates omnino respexi sic. ita utiquando Archimedes in- maenitudines aequales, idem cst, ac si dixIsset in magnis mes aequalem habuerintgrauitatem c Praeterea in sextu proposi tione inquit magnitudinesῆqueponderare,ex distantrix permutatim proportionem habentibus,r Ni grauitates. ita ut causa
huius coqueponderationis sit vircuetra est, magnitudinum grauitas. & quaquam in hac septima propositione dicat, magnitudines aequeponderare ex distantus permutatim propo tionem habentibus, ut magnitudines, S non dixit,ut grauitates, intelligendum tamen eis, ac si dixisset, eas ςqueponderare, ut magnitudinum grauitates. hςcemna leptima propositio est pars sextae propositionis, ut iam prς fati sum'; unde si in sexta magnitudines queponderant ob earum grauitatem,ob eandem quoque causam & in hac scptima aequeponderare debent. Prς terea in sequenti etiam propositione dum proponitostcndere quam proportionem habere debent sectiones lin inter centra grauitatum diuise magnitudinis existetes, inquit, quam baber grauitas magnitudinis ablatae ad grauitatem residuae hoc autem deinceps eXponcns, no inquit oportere lectiones lineae eam habere proportionem, quam grauitas ad grauitatem habet; scd horum loco inquit, quam magnitudo ad magnitudinem. ex quibus omnibus clare pei spicitur, quod quando AG chimedes magnitudines nominat, omnino magnitudinum
Ad eorum autem intelligentia, quς dicta sunt in sexta,septi imaque proposi tione, ruque demo strationibus,obseruanduest,qudd in sexta propositione pro magnitudinibus commensurabilibus intelligere oportet magnitudines grauitate commensurabilenita nempe, ut numeris exprimi possint; quamquam non si ni mole, & magnitudine commensurabiles, ut
in figura sextς propositionis magnitudo A ponderet exempli gratia ut XVI. B vero ut VIII. intelligaturq; F magnitudinu
82쪽
B comunis grauitate, ita istaequegrauis uni uique parti DPQR 'quaei quidem, & si non sint magnitu i dine interse quales; sufficit, ut sint aequegraues:veluti magnitudines quoque S TUx interse, ipsisti; OPQR ra ivthna ςque
les ipsius B. &unaquaeque ima hiique ita positis demothratio 1ecte concludet ' si- In hac vero septima Archimedis pn,positione similiter in-guras ιμtelligantur magnitudines h MC in commensurabile; graui tate, ut in eius figura grauitas ipsius C ponderet, ut XII. grauitas vero ipsius ΚM uriaior sit, quam V XX. ita ut Eg graui-l'
83쪽
mensurabiles; eadem prorsus demonstratio idem concludet. quae quidem omnia insequenti quoque promtitione considerada occurrunt. Unde perspicuum est has Archimeidis propositiones, ac demonstrationes uniuersalissima's esse, atque Omnibuς, & quibuscunque magnitudinibus conuenientes. Iacto hoc prςcipuo, ac prcstantissimo mechanico fundamento; in sequenti propositione colligit ex hoc Archimedes, quomodo se habent centra grauitatis magnitudinis diuisae.
PROPOSITIO. VIII. Si ab aliqua magnitudine magnitudo aufera
tur; quae non habeat idem centr um cum tota; reliquae magnitudinis centrum grauitatis est in recta linea,quae coniungit centra grauitatum totius magnitudinis, ct ablatae, ad eam partem producta, ubi est centrum totius magnitudinis,ita ut ansumpta aliqua ex producta, quae coniungit cetra praedictaeandem habeat proportionem ad eam, quae est inter centra, quam habet grauitas magnitudinis ablatae adgrauitatem residuae, centrum erit terminus assumptae.
84쪽
-ispunctum C see-dam Hvisionem Aroportione responcsentem ρωβ- .erae. ut scilicet sit HC ad CE, Ut AD ad DG. etenim 'ut AD ad DG; ita factu fuit FC ad C E. si igitur secetur linea EH secundum proportionem ipsius AD ad DG; non terminabit
diuisio ad punctum G cὐm sit impossibile eandem habere proportionem FC ad CE, quam HC ad eandem CE. diuisio igitur ad aliud termina oitur punctum, ut K; ita vi H Κad KE sit, ut AD ad D G. unde sequitur punctum K centrum esse grauitatis magmtudinis; ex ADDG compositae. Non es igitur punctum C centrum magnitudinis ex AD compo sitae; hoc ea ipsius A B. est autem suppositum est en- esse. er go neque punctum H eentrum ess grauitatis magnitussiris I G. est
igitur punctum Fι quod quidem est terminus productς lineς CF; quae eandam habet proportionem ad lineam CE inter centra existentem; quam habet grauitas magnitudinis AD ad grauitatem ipsius DG. quod demonstrare oportebat. s C H O L I v M. .
In hae demonstratione intelligendum est etiam punctum H esse posse extra lineam EF, ita ut EFH non sit recta linea. quod si H non esset in linea EF, idem sequi absurdum adeo perspicuum est; ut nec demonstratione egeat. Quoniam si intelligatur H extra lineam EF, iuncta EH,&ita diuisa intel- lagatur, Ut ipsius partes permutarim grauitatibus magnitudinum AD DG respondeant; esset utique hoc punctum inuetum,quod extra lineam EF reperiretur, centrum grauitatis ro
85쪽
tius AB quod fieri non potessisi quidem est punctum C, Vt duppositum fuit. Unde neque illud punctu nihl ipsius DG es:
trum grauitatis existiter. . P: .. LIc est terminus prim pittis principalis, in qua Archime 'des ut initio dixim'ὶ de magnitudinib', S de grauibus incommuni pertractauit; quandoquidem propositiones, ac demonstrationes tam planis, quam solidis quibuscunque sunt accomodatae; ut manifestum fecimus. Nunc itaque se conuertit Archimedes ad inuestigandu centra grauitatis planorum .primumque perquirit centrum grauitatis parallelogrammorum;ostendetque centrum grauitatis cuiuslibet parallelogrammi esse in recta linea, quae coniungit oppossita latera bifariam diuisa. ob cuius intelligentiam haec prius lcmmata in unum collecta nouisse erit valde utile. .
Sit parallelogrammum ABCD, cuius opposita latera ABCD Dnt bifariam diuisa in EF. connectaturque EF, quae nil mirum aequidistans erit ipsis AC: BD. Deinde diuidatur via
inter centra existentes inteuerequales esse. Denique centrum grauitatis parallelogrammi AD esse in linea NO; quςcdniungit centra grauitatis spatiorum mediorum; paralselogramimorum scilicet GF EL.
86쪽
Ducantur a punctis MN ipsi AGE qquidistantes QMRSNT. erunt utique A QRG, & GSTE parallelogramma. Quo uiam igitur parallelogramma ΑΚ GF in aequalibus sunt basibus AG GE, & in ijsdem parallelis; erunt ΑΚ GF il interseqqualia.& quoniam AC GK EF s unietqui distate erit angulus CAG ipsi KGE qualis,& ΚGA ipsi FEGrequalia & botum oppositi interse sunt squales, ergo paralle--nimi. logrammum GF ipli AK quale, &simile existit. Itaque
si GF, collocetur super ΑΚ, recte congruet: cruntque parallelogramma in uicen coaptata. lineςque GE AG, GK, AC,&reliqux coaptatae erunt. quare eorum centra grauitatis inuicem coaptata erunt. hoc est N erit in punisto M. aoniam autem a punistis MN quod nunc intelligitur unum tantum
esse punistum in ductae fuerunt ST QR ipsi AGE aequid1- ' stantes, linea ST coaptabitur cum QR, quippe cum amba hae lineae ab uno puncto prodeuntes ipsi AG ςquidistantes esse debeanti purictum igitur S in in & T in R coaptabitur. eri tque QM ipsi SN qualis,& MR ipsi NT. ac propterea linea GS parallelogrammi GT erit coaptata in AQ;α ET coaptata erit in GR parallelogrammi AR. Vnde erit Ain qualis G S, cam sint coaptatae; S: GR ipsi ET
qualia cum sint quoque coaptatς. Quocirca quoniam parallelogramma AR GT sunt inuicem coaptata, parat Τερ ' lelogrammorumque opposita latera sunt interseqqualia,erut A GS GR ET interie ςqualia. Nunc autem intelligatur Iarallelogramma ΑΚ GF non amplius coaptata. &quonia
GS ET, interse suntaequales,&ςquid istantes; puncta RS in unum coincident punctum. eritque QST linea recta. ex quibus patet, rectam linea. quae coniungit centra grauitatis MN ipsi AGE aequid istantem existere eodemque modo ostend
turrectas lineas, quae coniungunt grauitatis centra No, cen
traque OP, ipsi AB aequidistates esse. Vnde sequitur lineam MNOP rectam esse. Quare primam constat grauitatis cetra
Quoniam autem ostensum est QM aequalem esse ipsi SN, MR ipsi NT, eodem quoque modo ostendetur OT ςqualem
87쪽
tem esse ipsi SN. Quoniam igitur. OT NS sunt squales, itidemque TN S M aequales, erit CN ipsi NM aqualis. eademque ratione ostendetur cite ipsit ON: H1- decolligitur lineas MN NO lUP inter centra evis c ues in
. i , Postremo quoniam parallelogrihima I ID
sunt ili uicem aequalia, & nutia ero partu, centraquesu uitatis sunt in recta linea posita. lineς que MN. NO Uλhi uter centra sunt ςquales, magnitudinis ex omnibus AR OB LL HDa.-ν. eludi magnitudinibus compositae centruna grauitat' elthi linea -- . bifariam diuisa. Et quoniam MN ti aequatu ipsi CP, punctum, quod bifariam diuidit M P cadet in inea NO. centrum et go graui ratis omnium magnitudinum AK CFEL H D, h oc est parallelogrammi Abi es illinca: NO, qu coniungit centra spatiorum mcdiorum CF EL. quς quid c
Quoniam autem centrum grauitaris parallelogismi AD est in linea NO, & in linea MP bifariam diuita; non repugnare videtur, quin inferri possit, hoc centrum este in puncto i lT, in linea EF existente. Quod ramen fallum cst nam posset quidem concludi centrii lie in medio liner Oisi quideest in medio lineς MP,ut dictu et ij sed i)5 in pucto T ex demostratione enim ostenditur. N S aequalcm csic ipsi TO. at ver bl Nr ςqualem esse ipsi TO, nullo modo demonstrari potest; nisi supposieremus centra graui ratis MNOP in parallelogralmis i tale habere, ut MinM R. & MR RN, S RNNT &.NT .TO, dcco inter scςquales sient. quod nullo modo sup p ni polcist nam hoc modo centra grauitatis parallelogrammorum AK CF &c. cssent in lineis, quq bifariam secant Oppos id laterat essent quippe in lineis a punctis MN OP du clis ipsis AC GK EF &c. aequi distantibus, quae opposita latera AG CK, GE KF, EH Fia dcc. bifariam secarent. quodetrid, quod Archimedes demonstrare insequeti nititur. quod i quidem in causa est, ut demonstratione ad impossibile id de-l ducat. supposuimus autem ut par est in parallelogramma cen-
88쪽
tra grauitatis habere; accentra grauitatis MNOP intrarallelogramma extitere, quoniarn parallelogramma sunt figurae ad easdein partes concauae. quod quidcin eodem modo 'ab Archimede in sequentis ponitur. a iii
' pis patallelog - centrum grauitatis est in recta linea, quae opposita latera parallel grammi bifariam diuisa coniungitii Q, l
Os ipsi Ex quod quidem fieri potest, quia
aB in partes temper ςquales. in ex his erit totum parallelo rammam in parauelogramma aequialacum enim sint parallelogramimorum Dases
UB ipsi ΚΕ aequales,parallel ijsdem sint parallelis AB CD constituta,
Iramma aequalia. similia vero, quoniam a. γαν. log mis igitur aequalibus, atrint ox prim
diuisa est EB tis ducantur NPM LR IS GT OV ipsi EF 'viductamei
89쪽
1i-l tauo KF mπιι em coaptatis, e centragrauitatu interse conu nient quin vero iii EB facta est clivisio 1empcll Hi duas partest parallelogramma intED nuin emplariab ac pe cola sequens&quq sunt in EG numero paria: Maarii& qui sui ita toto AD numero parii aeris. Itaque quaedam erunt magmtudines aequi tib ntium titeru' bes pastis, 'oc est o-lmnes, quae iunt in AD, centraquὰ grauitatιs inarum in recta linea junt Uinstituta,-bnea inter centra Iunt a-mmitudinis ex issis bu h1ὶus rems fa centrumfIGaiiatu rabi in recta h. quae conluvit centratri visaris meaebrum spatiorum, paria elogiansmo iiii scdscet LF ΚF. H, J d. xipponitur esse centrum grauitatis omnium magnitudinum, hoc est parali clogrammi AD, extra media parallelogramma LF ΚF exsit. etenim chm sit ΕΚ minor HI, linea ΚS ipsi EF cquid illas lineam HI ipsi ΕΚ aequi distantem secabit, quippe quae relinquet punctum H ex ira figuram ΚF, ac per consequens extra media parallelogramina LF ΚF. quale pumaum H non est centrum grauitatis parallelogrammi AD, ut supponcbatur. ergo congat. centrum grauitatis parallelograumi A Ec D O in recta tinea EF. quod demonstrare oportebat.
Graecus codex post, centraque grauitatis ipsarum in rect linea sunt con tituta,habet, καὶ τὰ οἰσκλα, 1 94 eiam ἀτων μεσαν ἀυτά τε ἰσαε-ι, quae quidem omnino lupeisua nobi
ulla iunt,& tanqua ab a i quo addita. Nam si Archimedes dia xit omnia parallesogramma esse in ter se,& ςqualia, Λ similia; non opus est addere, media LF ES esse intcrie ς qualia, &qus ab his fiunt ad utramque partem , ut MR KL NQ GV, AP OD, esse interse aequalia;cum omnia ut dictum est) sint qualia. quare verba b c meo quid cm iudicioὶ dclenda sunt,
demonstrationes enim mathematicς nullum admittunt sy persuum. & Archimedes non tantum superfluus,qμin postus ob eius breuitatem diminutus sere Videatur. .i i
90쪽
Ex hac non a propositione duo corolloria elicere possum'; ij quae quidem tanquam valde nota fortasse videtur omisisse Arsichimede quamuis primu insequenti demostratione inseruit
Ex hoc perspicuum est cuius ibet parallelogrammi cetrum grauitatis esse punctum,in quo coincidunt rectae lineae, quae opposita latera bifariam lecant. Nam ut Archimedes etiam se quenti demonstratione inquit si parallelogrammi ABCD line j i
patet in EF centrum elle grauitatis parallelogrammi A C. similiter conliat idem centrum esse
in linea GH, quae opposita latera AD BC bistriam secati e- ut in lux in Κ, ubi is GH se inui in secant.
Ex hoc patet etiam, cuiuslibet parallesogrammi cen trii grauitatis esse in mediore, lineGquae bifariam opposita latera dispescitata Cum enim ostensum sit centrum grauitatis parallelogrammi AC esse punctum L. &Ob parallelogrammum EH est BK aequalis BH. propter parallelograminum vero ΚClinea lKF est aequalis: Hia suntque BH HC aequa les. eriti EΚ ipsi KF aequalis.punci umergo Κ citin medio trectae line ita. quae opposita latera AB DC bifariam diuiditaEodH; prorsus modo ostedetur, Κ mediu esse re 2ςlines GH, seae talariam ieeatopposita latera AD BC.
In sequenti Archimedes adhuc peisistitio inuentione centri graui talis parallelogrammorum, alia tamen methodo. nam hoc per ipsorum parallelogrammorum diametros duobus modis assequi tunt i i J APRO- Dissiligod by Cooste