장음표시 사용
71쪽
siquidem ostentum est ST TV VX inter-
se aequales esse. Eodemque modo ostendetur XZ ZM caeteris aequales esse. magnitudines STVXZM 'numere pares, cita sectiones totius L Κ, in quibus insunt)ipsi. N aequales sint interseqquales,& numero pates. cum ostensium sit sectio, . nesin LG, & in Gh existentes numero pares osse. stat munia talis. tudinis ex omnibus STVXZM magnitudinibusco inta eretrum fgr iratis esse medietatem reaa lineae, in qua Gntragrauisatis mamm' dinum babantur. Itaq- cum LE sit aequalis EC mero in D lx tota Lc aequalis erit c K. cum autem sint LH DK. aequales;si- . idquidem sunt eidem N aequales. & Harum medietates, hoc est
LS ipsi MK ςqualis erit. & ob id SC ipsi CM est aequalis
at vero linea SM magnitudinum centra grauitatis coniugit ergo magnitudinis ex omnibus STUM M magnitudi hibusτοηρ taeentrumgrauitam ess punctum loco magnitudinum STVX, to centro grauitatis 4 ε ad E, A mera loco ipsarum ZM posito D, erit punctum C grauitatis centrum m ' gnitudinis ex utrisque magnitudinibus AB compositae. ac prop terea ex cra C queponderauat ergo magnitudines AB ex distantijs DC CE, quς permutatim eandem habent pro portionem,Vt grauitates,qqueponderant. quod demonstrare
Circa finem Grseus codex habet, is κίπια τἀν H-ν quasi dicat, centrum grauitatis magnitudinis ex omnibus magnitudinibus STVXZM compositet medietatem esse res λς lineς VX, cdς centra mediarum magnitudinum VX coniungit; quod eum sint omnes magnitudines numero pares; itideesserpunctum C.& quamuis hoc sit verum,non tameo ad hoc respexit Archimedes duabus de causis. Nain secudo corollario prςcedentis ostendit centrum grauitatis omnium .magnitudinum esse medietatem reet lineς, quς grauitatis centaROmnia coriiungit. Deinde concludis e volens punctum C centruesse grauit iis omnium magnitudinum,statim inquit hoc se . qui, quia LC est ipsi CL Oualis, qu sunt medietates totius
72쪽
rectae linet L Κ. Et non dixit, quia VC sit ipsi CX ςqualis.
Quare codicem graecum ita restituendum Censeo. τὰ κέροντῶν τοὐ ut Vertimus.
Ob sequentis verὁ demonstrationis cognitionem, hoc problema prius ostendemus. l
Duarum expositarum magnitudinum in commensurabilium altera utcumque siccetur; magnitudinem tota secta magnitudine minorem, &altero lcgmento maiorem, alteri vero expositae magnitudini commensurabilem inuenire . t
nes in commenturabiles . i 'I RE BCc ieceturque ipsa-Ja2'- l. iii rum altera,puta BC, Vt- . Η πcumque in D. Oportet 3 u sic
magnitudinem inuehite I Z Ο q Ο qminorem quidem BC, maiorem item BD, quae sit ipsi AB commensurabili Auseratur ab AE pars dimidia, rursus dimidiae partis ipsius AEdimidia auferatur;& eius,quae remanet,adhuc dimidiabdque semper fati donec relinquatur magnitudo minor quam D E suod quidem perspicuum est posse fieri ex prima decimi Euclidis propositione. st itaque AF, quae minor existat, quam)C. quippe quς AF, cum sit ablata ex AE semper per dimitam par eni, metietur utique AF ipsam AE. Desii de mul- tiplicetvrs AF s uper BD, tum demum multiplicatio ultima, et in ptincto D cadet, vel miniis. si cadetι sece nex DE magnitudo DG ςqualis AF. quod quidem fiet,i quo nia AFinorea Dcl. Goniam igitur AF metitur BDI & DG; etietur LAE otam BG. Sed & ipsam AE metitur; ergo F ipsarum BG AE communis existit in ensura, ac propte- ea BG ipsi AE commensurabilis existi si quae quidem BG ininor est BC, maior vero BD. Si vero ultima multi-
73쪽
ultima multiplicatio caderet in D. i si vero maior esset HD, quam AF, tunc non esset ultima multiplicatio. quare cum sit DC maior AF; erit& HC ipsa EA maior . si itaque fiat H aequalis AF; erit punctum K intor puncta DC. Bic igitur minor erit, quam BC, & maior BD; eodemque modo ostendetur AF ipsarum Bh AE communem esse mensui si commensurabiles inaghitudines minorem habuerin proportionem,quam distanus permutatim habehisveqquo ponderent, maiori opus eri imagnitudine, quam sit ea . j qui ad altςram magnitudinem minorem proportionem habet.
74쪽
portionem A ad C, quim ED ad EF. Dico, ut niagnitu-;dines ex distantijs ED .EF aequeponderetit, mitori o-lpus esse magnituὸine in F, quam sit magnitudo A; ita ut ipsi C in D aequeponderare postit. sat EDad EG, vi magnitudo A ad magnitudinem C. Deinde fiat ΕΚ aequalis EG. exponatuique altera magnitudo L ipsi A qqualita aoniam igitur minorem habet proportionem A ad C, quam BD ad EF, &vt Α ad C. ita ED ad EG; habebit ED ad
EG minorem proportionem, quam ad EF. ac propterea EF minor est, quam EG. quoniam ausem A ad Cest, ut ED ad EG, commensurabiles magnitudines AC ex distanti js ED EG atqueponderabunt. Cum vero ΕΚ sit aequalis EG, magnitudines AL aequales ex distantis aequalibus EL EG similiter aeque ponderabunt. At velis quoniam C in D aeque- ponderat ipsi A in G. similiter L in K eidem A in G qqueponderat; ςqualem habebit grauitatem C in D, ut L in K. Itaque quoniam distantia EG aequalis est distantiae Eh, longitudo ΕΚ maior erit longitudine EF. ergo magnitudines AL squales ex inaequalibus distantijs ΕΚ a. poli. EF non ςqueponderabunt. sed magnitudo L deotium ver-μμ' get. si igitur in F collocanda sit magnitudo , quae aequeponderet ipsi L in Κ, proculdubid hec magnitudine A ma-
aor exulet. Inaequalia enim grauia, nempe L, &magnitu'
do maior, quam A, exinaequalibus distantijs ΕΚ EF 'α-queponderant, dummodo maius, ii est magnitudo maior. quam Α, sit in distantia minori EF. minusveQ, hoc est magnitudo: L, sit in minori EK. Quoniam itaque magnitudo Clin D est tquegrauis, ut L in Κ, magnitudo, quae in Fipsi. L irii K. aequeponderat, eadcm quoque in F ipsi C in Daequeponderaiat maior velo magnitudo, quam sit A in F ipsi L in K aequeponderat, ergo maior magnitudo, quam .A in F, ipsi C. in D aequeponderabit, quoa demonstrare opor- ,
tinat. . Hi seognitis possumus ad Archimedis demonstratio m
75쪽
PROPOSITIO. VII.' Si autem magnitudines fuerint incommensurabiles similiter aequeponderabunt ex distantijspermutatim eandem, atque magnitudines, propomtionem habentibus.
Sist incommensurasiles maenitud es A B c. TVZnditia edierat DE EF. Habeat autem MB ad C proportionem eandem, quam Hictantia ED ad sesam EF. Dico, si ponatur AB ad F, C v lird ad D, magnitudinis ex trisque in B c composita centrum gratuitatis esse punctum R. si enim non aeque Moabit i si fieri potest i AB posita ad F ipsi c positae ad ae; melmai rea Mae, quam C, Mad F aequeponderet ipsi C ad D; mel nonais maiorisitqui ex cessius HL; ita ut ΚH ad F. & C ad D mueponderent m. i. min turgia ab ipsa AB magnitudo NL, cpaae ut Minor ex ανmble- Ρ L, quo maior ect tota AB, quam C, ita ut equeponderentrividi testi ost quidem residuum A, hoc est KN, commensiurasile Vsi c. Et quoniam minor est IN quam ΚM, minorem quoque
76쪽
habebit proportionem LN ad C, quam h M ad eandem l C. tota vero ΚM ad C est, ut DE ad EF; ergo ΚN adit C minorem habet proportionem; quam DE ad EF.ntam igitur magnitudiues A KN C, sint commensurabi-Ies,'minorem babetproportionem A, hoc est hN ad C, quam DE ad EF; non aeque ponderabunt A c, hoc est ΚN C, ex dictantiis ex p=HE. V E EF, posito quidem se, hoc est KN ad F, C mero ad P. &ή- ut aequeponderent, oportet, ut in F maior sit magnitudo, quam ΚN; ita uti pii C in D aequeponderare possit. Ac ης. propterea cum sit hH adhuc minor, quam KN, si igitur Κbi ponatur ad F, & C ad D, nullo modo aequeponde abunt. quod tamen fieri non potest. supponebatur enim eas aequeponderare. Non igitar magnitudo minor, quam tota ΚM in F magnitudini C in D atqueponderat. Eadem a sem ratione, nequesi C maiorfuerit, quam viaequeponderet 'si in B, hoc est ipsi K M. etenim grauiore existe te C ad D, quam K Mad F. primum auferatur ex C excessusi quo C grauior est, quam ΚM, ita ut aequeponderet ipsi KM . Deinde rursus auferatur quaedam magnitudo minor excessu, quo grauior
est C, quam hM , ita viaequeponderent ι residuum vero sit ipsi KM commensurabile, &c. similiter ostpiidetur nulla magnitudinem ipsa C minorem positam ad D ullo modo aequeponderare ipsi LM ad F politae. inare magnitudo C ad D, E M vero ad F qqueponderant. Vnde sequitur magnitudinis ex utrisque magnitudinibus compositae centrum grauitatis esse punctum E. ac propterea incommensurabiles magnitudines AB C ex distantiijs ED EF, quae permutatim eandem haben t proportionem, ut magnitudines, aequepon, derare. quod demonstrare oportebat.
In demonstratione occurrit obseruandum, quod si exces
sus HL ita diuideret magnitudinem ΚM, ut residuum ΚΗ fuerit coinmensurabile ipsi C; tune absque alia. constructiO- urina uenili dimicommensurabiles C e Iistansij s. DE ZR qu p deωxnt; quod fieri non potest. ichna minor'
tam habeat Dissilirm by Corale
77쪽
habeat proportionem ΚHad quam ED ad EF. si qui delsupponitur ΚM ad C ita esse, ut ED ad EF. Archimedes veli Θ, videmonitiatio absque distinctione sit uniuersalis, prς-lcipit existente ΚΗ ipsi C commensit rabili, siue in commentsiirabili ὶ ut auferitur pars aliqua minor excessu HL, ut AL, lita tamen,ut reliqua ΚN sit commensurabilis ipsi C.quod qui ldem fieri posse ostensum est in proximo problemate. ex totale uim magni tudine ΚM partem abscindere possumus, yt KN
minorem quidem tota KM. maiorem vero ΚΗ, quae ipsi C commensurabilis exi 1tat. Cognita Archimedis demonstratione de incommensura bilibus magnitudinibus, idem alio quoque modo ostendere possumus, applicando nempe diuisibilitatem,&commensurabilitatem non magnitudinibus, veriam distantijs. hac autem prius demonstrata propositione. PROPOSITIO. .' Si commensurabiles distanti et maiorem habuerint proportionem, quam magnitudines permutatim habent; ut queponderent, maiori opus erit longitudine, quam sit ea, ad quam altera longitudo maiorem habet proportio.
sint distantiae DE EH commeti rabiles; magnitudines veris sint A C. habeatque 'ED ad ΕΗ maiorem proporti nem, quam Α ad C. Dico ut m ςqueponderent, maiori opus esse
78쪽
esse longitudine, quam sit EH. exponatural
DE ad EH. erunt utique magnitudines GC intcr se commes urabiles. Deinde fiat ΕΚ aequalis ΕΗ, exponaturque magnitudo L ipsi G aequalis. Quoniam igitur G ad C est, ut DE ad EH, ob commensurabilitatem atqueponderabunt G in H, & C in D. similiter aequepondcrabunt magnitudines aequales GL exaequalibus distantijs ΕΚ ΕH. Cum igitur C in D ipsi G in H aequeponderet; L vero in Κ ipsi quoque G in H atqueponderet; eandem habebit grauitatem Cin D, ut L in K. Quoniam autem maiorem habet proportionem DE ad EH, quam Α ad C, & ut DE ad EH, ita est G ad C; maiorem habebit troportionem G ad C, quam Aad C. ergo maior est G, quam A. ac propterea magnitudo Aminor est magnitudine L. posta igitur magnituditie L in Κ,& A in H, non aequeponderabunt;& ut ςqueponderent, Oportet, ut A in longiori sit distantia, quam sit EH: In qualia enim grauia L A ex in qualibus distari iijs inueponderant, maius quidem L in minori distantia ΕΚ. minus vero, raue
Incommensurabiles magnitudines ex distantijs Permuta a eandem; atque magnitudines, proportionem nabenu
79쪽
rare. Si autem si seri potest) non atqueponderibunt; dist1i the DL EF aliter sese haberedebebant,ut magni thdines AC' ςqueponderent. Quocirca vel longior est .EF; quam opus sit, vel longiur est ED. sit EF longior. aitque: enecta ux GF, ita ut p0sita magnitudine A in G ipsi. C in D, ccq ronde. ret. Fiat EH maior Eo, minori vero EF. sit autem EHipsi β commensuxabili . 1 Myoniam igitur DE ad Elemaiorem habet proportionςm', quam ad EF 3 iti ut DE ad i.i EF, ita est A ad C; m totam habebit proportionem DB ad ΕΗ, quM A .ad C, itin Ride longitudincti ED E H interse spinmensi'rabile' ergo agni rudo A itis Id ipsi Cilnis ν ά-JD-πquepondζryhis., - queponderet, maiori opus est longitudine, qu in sit H ιδ ta uti A ipsi CiuiiD aequo ponderare possiti atque adeo cum adlluc minor sit E quam EH; magnitudo Atio: si iis a 'itudini C in D. nullo modo aequiponder bin supponebatur enim A in G, C in D, ςqueponderam. 'cademque prorsias rarittioneysi Laac: longino erit, quam ripus se, ita vini agnitu-: vives aequemndureonrastensitivi magnitudine Vi hullo pari icto aequeponderare posse ipsi A in F in minori distantia i quam DE. Quare magnitudines incommensurabiles AC exti: diltanti js ED EF, qvIe rideto phrinsitatim habent propo li
' - IRpudrilaustri ni Mant, quintam p post mohein balal bilis,diximus propositionum praeceaenuum duroquina uo 'nes planiores euadere, si intelligamus magni tudines eiusdem
Hespeciei,&homogeneas. kod quidem si Archimedemi; de I
80쪽
l hi vel de reistilineis tantum dena onsti iones attulisse ut non linulli fortasse Lisbexiitimarunt) intcssageremus; ita ut ex An lchimedis demisiastrationibus aron sit adhuc uniue iter dip monstra tauri liocpi qcipulim fundamentum; nemperi ni audines ex distariths pe litarim pmn remne habent buses, ipsarum grauitates, ς sep derare inlatic Certe rationes ab Archimede aliam Gipitrumque dem onstipationum tin3 rnini inae percipiemus. caesa propter ea, quaedem bnstra uiro minii bus magnitudinibus vaniuersaliter competere iplbin via vis lmullatenus est dubitandum. Neque enim,ut peric ste,&Mnr iuersaliteri ciamus,magnitudines quopoliderare ex dithun iij sisermutatim proportionem habentibus utipsaruna grauit lus, alii' quam prς cc lentibus propostionibus incris enim. In hoc en in funaamento .demonstrando minime dies iiiv tus extiti LArchimede . Nam sit ad propositiones ab ipse: Ilaetas, pr ipueque ad vim demonstralitatum respiciani usi siue magnitudines intelligantur ciuidem speciei, siue diu exsς, si
hς quidem,sive rei iuncς, siue quomodocunque mixtς, ni hilominus demonstiation Aident prorsus concludeuia ita ut Archimedes non de aliquibus magni rudinibus tantum M monstrationes attulerit; sed de omnibus prorsus demonsti a ueritati his enim Archimedes non ad magnitudines inarium, Verum ad magnitudinum grauitates potissimum respexit quandoquidem loco grauium. magnitudines nominat; VI post quartam huius propositionem adnόtauimes. quod quidem facile ex verbis ipsius recte intellectis apparere potest. Ain quarta propositione cum inquit duae fuerint magniluaenestquales, ut antea diximus, intelligendum cit eas ςquales este grauitate . quod non sistum ex eius demonstratione liquet, VmQm etiam ex modo loquendi, quo usus eiuArchimedes in aliis propositionibus .i In quinta enim propbsitione, quς eiusdem eii cum quarta ordinis, & natu , inquit; Si trium magnitudιnum centre grauitatis in rectae linea fuerint ρ ra, cri magnitudines aquatim habuerint grasitarem . ter post quintam demonstrationem bis quoque eodem Votitur loquendi modo, nempe cum adhuc proponit