장음표시 사용
122쪽
Sit triavgulum ab angulo A ducatur GD ad dimi diam S C. SE mero ab angulo B adimitatam Mi C. qu quidem line et AD BE se inuicem iecent in pli:
pr cedenti. erit utique centrum graui -
tatis, ubi lineς ADBE se inuice lecat. secant vero sese in H. ergo punctum
H centrum est gramiatis triari tali ABC-quq d demonstrare oportebat. , . , I c
s C H O L I V M. Similiter si ducta fuerit CH, de producta, bifariam secaret l
AB. In hac enim linea esset centrum grauitatis triangulis cc ltrum vero est in linea ab angulo ia dimidiam has m ducta: ' lergo haec linea ab angulo C ad dimidiam AB ducta esset. Praeterea si linea a punisto C ad dimidiam AB duci a no transiret per H, esset utique in hac linea centrum grauitatis; sedc trum quoque grauitatis est in linea AD, dein linea BE, ut in H; unius igitur figurς plura darentur centra grauitatis. quod fier; non potest. quod quidem, cum sit in conueniens, nos in lnostro Mechanicorum libro dari non posse supposuimus. I - , Quare linea CH in directum ducta, bifariam secaret AB. quod quidem paulo infra aliter quoque ostendemus, non ut 'lis prius demonstratis;quae Archimedes obsequentem demo-itrationem, tanquam demonstrata supponit. Vult enim Archimedes, postquam inuetiit centrum grauitatis cuiuslibet trianguli, centrum quoque grauitatis quaerere trapetii duo la- xt era ς lutili stantia habenis. quod est quidem pars triannuli,& tanquam fruitum a triangulo abscisi um. Lipponitque dentrum grauitatis cui stibet trianguli esse irae recta linea basi du .cha qui distante, quae latera ita diuidat, ut palles aduerticem sint reliquarum partiunxinuptae. quod quidem ortum ducit ex cognitione alterius theorematis ostendentis centrum gra-
123쪽
uitatis cuiuslibet trianguli esse in recta linea ab angulo ad dini id iam basim ducta ut Archimedes demonstrauit 3 S insu periti eo puncto, quod dictam lineam diuidat ita, ut pars ad angulum reliquet ad basim sit dupla. Qua re hoc prius ita osteldcmus. ' I
omnis trianguli centrum grauitatis est punctum in recta linea ab angulo ad dimidiam basim ducta ex iliciis, quod li-lneam diuidat, ita ut pollio ad angulum reliquae ad basim, sit dupla. . 'Sit triangulum ABC in quo ab angulo A ad dimidiam b.isim BC r A cta ducatur linea AD. Ducaturque '
ab angulo B ad dimidium balim lAC linea BE, quae sedet AD in F. Ee l '
quoniam centrum glauitatis tri agu- - i . huis. .lli ABC est punctium F; ostendendu est lineam FA ipsius FD duplam ei- se. iungatur FC. quoniam enim A E est qualis ipsi EC. erit triangulum P no I: idcABE triangulo EBC aequale, cum sint sub eadem etltitudine. Ob eandonique causam trianguluAFE triangulo EF C existit aequale. si ignui I triangulo AB Eauferatur triangulum AFE, & atii angulo EB C triangulum auferatur E FC; relinquetur triangulum ABF triangulo BFCaequale. Rursus quoniam Bl est aequalis ipsi DC; erit trian-x .sexti gulum BFD triangulo DFC aequale, siquidem eand cm habent altitudinem .duplum igitur est triangulum BFC ita agu-ili Br D. Quare & triangulum ABF trianguli BFD duplum . existit. quia vero triangula ABF FBD in eadem sunt altitudin'.idcirco sese habebunt, ut bases AFFD. retque triangulum
ABF duplum est ipsius FBD; ergo portio AF ipsius FD dupla
extitit. quod demonstrare oportebat. .
124쪽
Sit rursus triangulum' ABC,& AD BEt a b angulis ad dimidias bases ductae sint calytique punctum: F ivlbi se inui 'a lavis. Cen. imant centrum grauita Iis; ιrianguli. ABC. Dico AF ipsius FD duplam esse. Iungatur DE. QEoniam enim mi AC in.punctis DE bifariam secantur; erit
sulum ABC simile est triangulo ΕDC. γ l . u. ac propterea ita est BC ad CD, ut AB ad DC est autem Bo dupla ipsius CD siquidem punctum D bifariam diuidituCὶ erit igitur AB dupla ipsius DE. At vero quonia ii AB DE sirniparallelae, erit triangulum AFB trianguli, D smile.& ut AB ad ED. ita AF ad FD. est. βαK. putem AB ipsius ED dupla- ergo AF ipsius m dupla
existiti quod demonstrare Oportebat. Ex ij quae demonstrata sunt, ostendemus, quod paulo ante proposuimus, nempe cum lineae AD BE bifariam secent
BC CA. Dico lineam CF produistam bifariam quoque ie- care ipsam ΑΒ. sProducatur enim ijsdem p sitis) CFGH; quae lineam AB secet in G. & a puncto B ipsi AD aequi distans ducatur BH. quae ipsi CG occurrat in H. Quoniam igitur FD est ipsi BH ςquidistans, erit CD ad DB. ut CF ad FH. CD v ro est aequalis BD; ergo CF ipsi
FH aequalis existit. ac prsepterea CH dupla est ipsius CF. At v ro quoniam ob similitudinem trianguloru CBH CDF, ita est
125쪽
ivetum & AF ex proxime demonstratis) ipuus FD duplexi extitit. erunt igitur BH FA interse squales. Goniam autem BH est qui distans ipsi AF, aequiangula erunt triagula GBHGAp. quare ut BH ad AF, ita BG ad GA , quia vero ΒΗ hst, ipsi Ap aequalis, erit & BG ipsi GA aequalis ergo in ea EFG bifariam diuidit AB. quod demonstiareopori Reliquum est, ut ob sequenteni dem onstrationem alteram
Centrum grauitatis cuiuilibet trianguli est in recta linea basi ducta atquidistante, qua latus ita diuidat, utpanadangulum reliquat ad basim sit dupla. . '
In trianagulo enim ABC ductast DE basi BC atquidistans, quae latus AB diuidat in D, ita ut DAipsius DB sit duplex. Dico in linea DE centrum esse grauitatis trianguli ABC. Ducatur ab angulo A ad . dimidiam BC linea AF, quae diuidat DE in G. erit AD ad DB, ut AG ad GF, ac propterea erit AG ipsius GF dupla. punctum ergo G centrum est grauitatis trianguli ABC. Uare constat centruesse in linea DE quod demonstrare oportebat
126쪽
Ex hoe elici potest centium grauitatis cuiuslibet trianguli est e in medio EM t. e lineae basi aequidistantis. quς latas diuia dat ita,ut portio ad verticem sit reliquς ad basim dupla. Eihelii in DG ad GE, ut ad FC. sunt veris BF FC α- fisi i quale ergo&DG GE luterse sunt aequales. quare grauita-Ma. demo iis centrum G est mediuim liueet Dia strationem
Omnis trapezij duo latera invicem habentis aequi distantia centrum grauitatis est in recta linea, quae latera aequi distantia bifariam sed a coiungit; lita diuisa, ut ipsius portio terminum habens mino Irem parallelam bifariam diuisam. ad reliqua pori tionem eandem habeat proportionem, quam ha
127쪽
AGD centrum gramiatis inlinea EG. ergo reliqui trσι. M ECD centrum grauitatis erit in linea EF. iungatur itaque R D, quae intria
p 1ecet. erit itaque triauult DBe eentrum grauita, is iis linea UM. eum sis QS B D; sitque propterea DH ipsius HB dupla. o per punctum H ducta sit basi BC aeqaid stans MH. est autem centrum quoque grauitatis trianguli DBC in linea DF; quς est ab angulo D ad dimidiam BV ducta. α redisti triangulieontrum grauitatis est punctum A. Eademque ratιone eum si t D Κtertia pars ipsius DB, ac propterea sit ΒΚ ipsius KD dupla; sitque. KN aeqvi distans ipsi AD; erit centrum grauitatis triani guli ABD inli nea K N, idem vero cen trum reperi ur quoque lin linea BE, cdm sit ab angulo B ad dimidiam AD ductas
128쪽
nea OX. diti autem trapeziii centrum gauitatis ect etiam in li-lnea EF , quare trape i ATBCD centruis graAιtatis eu punctum P. At ero triangulam PC D ad AB D proportiouem babet eam, quam . OP ad FK. cum sint puncta OX trianguli ,rum centra gramitati ac punehum P virorumque conramine centrum. Sed tieriangulum S DC a triangulum ita est quoque basis BC ad b1lim A D. com triangula eandem habeant altitudinem,
siquidem sunt in ijsdem parallelis AD BC. quare ut BC ad A ita OP ad quoniam anguli RPO SPX ad verticem sunt squales,& angultas PRO ipsi PS X, veluti angulus mP angulo PXS eth ςqualis, erit triangulum OPR triangulo XPS simile, quare it OP ad Fa, sis PR ad PS, est autem BC ad AD, ut OP ad PM it igitur Bc ad AD, ita P ad PS & antecedentium dupla, duae scilicet BC ad AD, ut dux PRad PS. & componendo duae BC cum AD ad AD; ut duae PR cum PS ad PS. &ad consequentium dupla, ut scilicet duae BC cum AD ad duas AD, ita duae PR cum PS ad duas PS. dictum est autem BC ad AD ita esse, ut PRad PS. quare conuertendo AD ad BC erit,ut PS ad PR.&antecedentium dupla hoc est duae AD ad BC, viduae PS ad PR. Itaque in eadem sunt proportione duς BC cum AD ad duas AD. vii duet PR cu PS ad duas PS. sicut verδ d ut AD ad BC, ita duePS ad PR. antecedentes igitur ad suas simul conlequentes in eadem erunt proportione. eare sicut duae BC cum A adduas oleum BC, ita duae R Picum PS ad duas P 4icum PR, buum μνum duae quidem EP cum esi uraque simia Sae T F. bis enim assumitur PR, semel vero PS. Cum autem lineae DH EUalineis dividantur qui distanti s ED OT HM, erit DK adli ι-- ΚΗ, ut ER ad CS; h D vero est aequalis ΚH, erit E R ipsi oras. RS qualis. erit igitur ER cum RP, hoe ea PE ipsis SR RP qualis. mero PS cum P sitraque γS SE. bis enim as sumitur PS, semelque PR. & quoniam FS est qqualis ipsi S R. quod quidem eodem modo ottendetur, cum sit FS ad SR,ut BH ad H h. erit FS cum SP, iaceB PF ipsis PS SR aequalis Quare ita se habet PE ad PF, viduae BC cum ΑD pddu sAD cum BC. Centrum igitur grauitatis P trapezij ABCD
in linea est EF, quae iungit parallelas AD BC bifariam dill uisas
129쪽
utias ita ut pars PE, quareth ad minorem par.ii telam AD ad reliquam partem PF eam habet proportiouem, quam 'dupla liptius BC, quae est maior aequid illantium , una Cum minori 'AD, ad duplam minoris AD cum maioreta Dyt, quaeproposita fueram.
. Graecus codex post ea verba, cum sit HB tertia pars ipsius AT . habet isd τοὐ ο- ωαρήλληλος τοῖ βασει dici. τατ ἡ μι, quo Iulquidem verba illa Ouκτυ perperam loguntin, quorum loco ponerem ita Vt sint hoc modo restituenda, τλ
Haec sunt, quae de centro grauitatis figurarum reisti linea tu Archimede lcriptar liquit, Ex quibus maxima certe utilitas habetur; neque amplius de rectilineis figuris Archimedes peta. tractare voluit.ex dicit, enim alia omnia dependent. Nam cetra grauitatis rectilinearum figurarum, quae aequalcs angulos, lateraque aequalia habens, ex his inuenire poterimus. quae quidem figuri in circulo inscribi possunt. QRod sane Federicus Coniandinus in criis libro de centro grauitatis solidorum in prioribus propositionibu' praestitit. aliaque nonnulla, vicentra grauitatis rectilinea ruiti figurarum in e lipsi, deinde ipsius circuli, & ellipsis centra grauitatis inuenit. Onanesque demonstrationest in i jς, quae in hoc libro iam demon strata sunt, funda uidi praeterea ex his citam idem Commandi itiis in comm εtariastiori Archimedis de quadratura paraboles, squo ad pra-xim in grauitatis centrum Culullibet figurς rectilineae ad inusnit. Quod qaidem n is quoque, ut initio polliciti fuimus, non ullis mutatis idem ostendemus. hoc prius supposito. .
Triangula in eadere, basi constituta eam in rei se proportionem habent, quam eorum altitudines. Hcic autem demon stratum est ab excellenti Limis viriς, v risique Euclidis interpretibus, Federico Comandinci, &Chri
stophoro Clauio; qui hanc propositionem post primam sex
ti libri Euclidis de monitrarunt. . PRO 'Diuitigoo by Corale
130쪽
Cuiustibet rectilineς figuret centrum grauitatis inuenire. Triangulorum centrum grauitatis iam ab Archimede domonstratum est. Sit itaque primum quadri laterum ABCD, cuius opor- , -- teat centrum grauitatis inuenire. Ducatur AC, quae qua Z drilaterum in duo triangula / ABC ACD diuidet.a puchis, 3 Ique BD ad AC perpendicu . ., I ilares ducantur BE DF. In- i
ueniantur deinde ex dictis ce Vtra grauitatis triangulorum . C , i
ABC ACD. sintque puncta iGH- iungaturque GH, quae diuidatur in Κ, ita vi GK ad KH sit ut DF ad BE. Dico punctum Κ centrum esse grauitatis quadrilateri ABCD. Goniam enim triangula ABC ACD in eadem sunt basi AC, erunt intersese, ut altitudines. quare triangulum ACD ita se habet ad trianguluABC, ut DF ad BE. hoc est GΚ ad ΚH. iunctu ergo Κ cetrum est grauitatis magnitudinis ex utrisque triangulis ABC ACD compositae;hocest quadrilateri ABCD. lSit autem pentagonum ABCDE. iungaturque ACAD. inueniaturque triaguli ABC centrum grauitatis H. quadrilateri veris ACDE ex proxime demostratis ce-trum grauitatis inueniatur . Iam utique constati ducta ΗΚ ὶ centrum grauitatis totius ABCDE in linea