Guidi Vbaldi e'marchionibus Montis Mecanicorum liber. In quo haec continetur. De libra. De vecte. De trochlea. De axe in peritrocheo. De cuneo. De cochlea

91쪽

AEQUEPONDERANTIUM. PROPOSITIO. X.

Omnis parallelogrammi centrum grauitatis est punctum,in quo diametri coincidunt.

Sit parallelogrammum A EC D. ini o sit linea EF. bifariam secas A E s

itique parallelogrammi MBCD centrumgrauita si Fris in linea EF. hoe enim ostens est.eadem mero de ea a centrum. grauitatis ipsius AC ea etiam in linea KL. quare punctum H patali clogramuli AD cem trum grauitatis existit. Uerum in puncto H diametri paratu grammi concurrunt. duc senim lincis AH HB CH HDι quoniam lineae AE EB EF FD interie sunt quales. similiter quoque ΑΚ ΚC BL LD inter se quales, erit EH ipsi HF cqualis, cum sint ipsis BL LD ςquales. duae igitur AE EH duabus DF FH sunt aequales, & angulus ΑΕΗ angulo DFHςqualis; erit triangulum AEH triangulo DFH squale. ac propterea angulus EHA angulo FHD aequalis. cum igitur sit Eb F recta linea,erunt anguli EHA FH D adverticem:& ob id AH D redha existit linea. ac per consequens diam i er parallelogrammi A D. parique ratione ostendetur BHC rectatu esse lineam. ex quibus patet in puncto H utraque diametrum sion uenire. centrum igitur grauitatis parallelogrm iami AD esipuchum in quo diametri concurrunt. Hrasu est, suo propostumisis. i i

ALITER

92쪽

l Hoc autem aliter quo que ostendetur.sit parallelogrammum AS D. i ius vero diameter sit B D. triangula utique ABD BDC erunt interse aequalia, o similia.

s inuicem quare trianguli coaptatιs , centra quoque grauitatisi serum inuicem coaptabuntur.Sit autem trianguli A Zae tentrum grauitatis punctum R; lineaque ΤΘ bifaria ecetur in H. connectaturque Eli, in producatur. sumaturque FH aequalisipsi HE. Itaque coaρtato triangulo ATD eum triangulo B DC, posito rue latere

AB in DC, hoc est A in C, & B in D. GD autem posvo ιπBC. A scilicet in C,& Di in B. unde & BD cii in ipsam et DB coaptatur, B scilicet in D, & D in B. quia verM punctum H libi ipsi coaptatur, cum sit medium lines BD. -& an πuli EHD FHB ad verticem sunt aequales; lineaque E H est

93쪽

Cognito centro grauitatis cuius ibet parallelogrammi, vult Archimedes ostendere centrum grauitatis triangulorum. di quoniam in hac postrema demonstratione allum psit cen- . . . . trum grauitatiS trianguli ABD esse punctum Ε, videtur ordinem peruertiste,&per ignotiora doctrinam tradidi sit; cum .inon sit adhuc offensuit .. In quo situ dictum centrum in tria- lgulis reperiatur. quod tamen si recte perpendam uti non ita leilhabet. Nam vis demonstrationis est in hoc colast Huta, ut 'lsupponatur triangulum habere centrum grauitati idque tany ριnhu- sum csse intra ipsum triangulum. quod quidem supponi potest. cum triangulum sit figula ad easdem partes concaua. neque enim refςrt, siue centrum sit in E , siue in alio situ, tum modo intra triangulum existat.dcmonstratio enim eode modo lcmper concludet punctum H centrum esse grauitatis pa trallelogrammi AC quod idem obseruandum cst in non ullis alijsdcmonstrabonibus, ut in secunda demo nitratione deci mae tertiae hui' & in prima secundi libri. Antequam a uic Ar chimedes centrum grauitatis triangulorum Ostendat, nonnullas prς mittit propolitione .

PROPOSITIO. XI. Si duo triangula inter se similia suerint, ct in i psi, sint puncta ad triangula similiter posita. ct alter unx punishum trianguli, in quo est, centrum fue irit grauit iis, ct alterum punctum trianguli, in quo eli, centrum S rauitari, cXistet. ii. - :

Dicimus

94쪽

Dicimus quidem puncta intimilibus figuris esse similiter posita. quibus adiaquales angulos ductae rectae linςae, es efficiun t angulos ad bo-imologa latera dictum statua septimo po Milatini

angulo EDN aequatis ιxistit. maior minori.quo I ri mremtes .i λδν ligitur punctum G centrum est grauitatis triangati DEF. uare sit punctum N. quo demonarari oportebvit.

95쪽

eta 1atuitam is similib' simili vht yntal ostendimus in scholios septimi postulati. Praeterea idem vidposse punidem videtur Archimedes in triangulis demonstrare, quod in sexto postulato uniuersaliter in figuris supposuit. Nam si centra grauitatis supponuntur in similibus figuris esse similiter posita:& in similibus trianguli j quoque erunt similiter posita. Inter hςc tamen maxima est differentia,nam in postulato inquit. centra grauitatum in similibus figuris esse similiter posita; cuius quidem conuersum, nervi pepun sta in similibus figuris similiter posita esse ipsarum centra grauitatis, est falsum. quod est quidem m nifestum absque alio excmplo. ac propterea Archimedes hoc in loco inquit, si duo erunt putasta in similibus triangulis similiter polita, & alterum ipsorum fuerit ce-trum grauitatis. & alterum quoque cetrum grauitatis exi1tet lVnde propositio hec potius est conuersa postulati, quam eadσὰ H. G

' in, fleniori strationem cutem nouisse oportet, quod si punii studii si 'fuerit in linea DN,riinc anguli EDG EDNessent interiemini es; ac propterea demonstratio nihil absurdi tones uderet.'ἀhόc autem caliuostendendum esset, angulum EFG ipsi MN Hualem ess GVel Fh G ipsi FEN. quae quidem eodem prorsiis modo ostesidentur. comparando nempe angulos sFG EpN angulo B ι angulos vero FEG FEN ipsi CBH. G fuerit in alio situ, ut in triangulo EDN, tunc anguli FDG'FDN. Ostendentur squales. & ita in alijs casibus, ubicunque scilicet fuerit punc um G, sempcr aliquod iii uenietur huiusmodi absurdum quae quidem omni- fieri non possunt.'

96쪽

LlBER PRIM US. PROPOSITIO, XII. S duo triangula similia suerint, alte s verb

eriansuli centrum grauitatis in rectilinea fuerit, quaesit ab aliquo angulo ad dimidiam basim du-sa; ct alterius trianguli centrum grauitatis eritin linea similiter ducta.

97쪽

aequales, erit triangulum ABH triangulo DEN simile. quire anguli sun t interie aequales, in circa aequiaes angulos titer u noportionaba. siautem hoc, angulus BAH angulo ET N ea aquatis, Unam reliquus angulus HAC angulo NDF aequalis ex sit liquidi dem totius BAC ipsi EDF est aequalis. Eademque ratione an m msi, gulus PCH ipse EFPic ea aequalis. erangulus HCG avida aquatis. ostensum ess autem angulum eABH ιUT EM aquatim si ob similitudinem autem triangulorum ABC DEP totis .iqith. . est ipsi DEF qualis'. ergo inrufavis anguia HBoipsi NI F aequalis exstit. Porro ex bis omni Vatetpuncta H N aihomologa latera esse iliter posita, er cum ipsis angulos aequat s et cere. Cum igitur pumcta HN r similiter positas et punctum H een trum strauitans trian B c. m. ι - N s. gust OBF id trum grauatariae Bec existente igitur centro grayit tu id in linea BG ab angulo ad dimidiam basim ducta. M aberum grauitati eantrum N in linea EM similiter duitas eperitur . ,

98쪽

icunt.

Sin lines AB CD, quasscent aequi- distantes lineae AC EF BD. Dico ita esse BE ad EA, ut DF ad FC. primum i quidem AB CD vel suntςquid istantes, vel minus. si sunt aequi distantes, iam habetur intentum. Nam G rit aequalis DF: & EA ipsi FC. vii de icquitur ita esse BE ad EA, ut DF ad FG. . b' a Guno ii d. II A misi dim 2 ivdib ΑΒ CD non fuerint aequi di

conuertendoque BE ad EG, ut DF bd FG. rursisquontium EF AC sunt Equidi . Prit,' i a... id stantes; erit GE ad EA, yx GF ad FC. e. icit igitur ex aequali BE ad EA, ut DF ad FG.

Secent vero lete lineae AB CD, ut intersia figura. simia ex sexti.

litudinent triangulorum BGD EGF, ita erit BG ad GE, ut 'DG ad GF. & componendo BE ad EG, ut DF ad FG. 'est vero CE ad EA, ut GF ad FC. ergo ex aequali. Ita ad Merit, ut DF dic. quod apmqnstrare oportebat i be A

i l.

99쪽

Quoniam enim A est ad B, ut C ad D, erit conuertendo. B ad A, ut D ad C. est autem δε ad Ε, ut G ad H, ergo ex ς- quali B erit ad E, Vt . D ad F. quare componendo BE ad , E, ut DF ad F. quoniam autem Ajesh ad E, ut C ad F; e. . rit conuertendo E ad A, ut F ad C. rursus igitur 'ex ςquali erit BE ad A, ut DF ad C. ac denique conuertendo A erit ad BEAEt C ad DF. - . ' :Si vero fuerint quattuor magni tudines; ut adhuc A in eadem figura ὶ ad G sit, ut C ad H. simili- α ter ostendetur Α ad omnes BEG simul sumptas ita esse , ut C ad omnes simul DFH. sumendo ut in secunda figura BE a pro na tantum magnitudine, & DF pro

alia; eruntque ex Vtraque parte trestatum

magnitudineueritque Α ad BE simul, ' ut C ad-DF simul, ut ostensum est.dein I lde A ad G est, ut C -ad H, erit igitur l -t is A ad BEG simul, ut C ad DFH. AB P η

100쪽

. Parique ratione si quinq e fuerint magnitodiues,l codem l imodo tres mediae iligatur simul, ita ut troes sint duit xat magni tudita . de sic in infinitum quod demonstrare oportabat. f

COROLLARIUM.

Ex hoc elici potest . quod si fuerint quotcunque magni tudit nes proportionales; &aliet ipsis numero aequales, & in eadem si proportione, ut scilicet si ii ut in prima figura j Α ad B, ut Clad D, B vero ad Ε, ut Dad F. deinde ut E ad G, sic Fad H, & ita deinceps, si plures fuerint magnitudines, si militer erit Α ad omnes BEG simul sumptas, ut C ad omnes simul DFH. Primum quidem A est ad B, ut C ad D.& quoniam magnitudines sunt proportionales, ex quali erit A ad E. vi Cl. ad F. similiter A ad G, ut C ad H. Ex quibus sequitur Α ad BE simul ita esse, ut C ad DF. A vero ad omnes BEG fimul, ut C ad omnes simul DFH. & ita si plures fue

rint magnitudines. ι ι . . .

LEMMA. III.

Sit triangulum ABC. cuius latus BC in quotcunque diuidatur partes aequales BE ED DF FC. & a punctis EDF ipsi AB squidistantes ducantur EG DH FΚ. rursus a punctis GHΚ ipsi BC qquidistantes ducantur GL HM ΚN. Dico triangulum ABC ad omnia triangula ALG GMHHNΚ ΚFC simul sumpta eandem habere proportionem s