장음표시 사용
111쪽
B L G C P F H I. t Quoniam enim Α est ad B, ut C ad D, erit conuertendo B ad A, ut D ad C. est autem A ad E, ut G ad sergo ex ς- quali B erit ad E, Vt . D ad F. quare componendo BE ad: E, ut DF ad F. quoniam autem A est ad Ε, ut C ad F; Orit conuertendo E ad A, ut F ad C rursus igitur 'ex ςquali erit BE ad A, ut DF ad C. ac denique conuertendo A erit ad BEAEt C ad DF. - Si vero fuerint quattuor magnitudines; ut adhuc A in eadem figuraὶ ad G sit, ut C ad H. si initi- α ter ostendetur A ad omnes BEG simul . s. sumptas ita esse, ut C ad omnes simul DFH. sumendo ut in secunda figura BE, pro na tantum magnitudine, & DF tro
alia; eruntque ex Vtraque parte trestatum
magnitudines eritque A ad BE simul, 'ut C ad DF simul, ut ostensum est. dein i lde A ad G est, ut C ad H, erit igitui i i ιΑ ad BEG simul, ut C ad DFH. B Q
112쪽
Parique ratione si .quinque fuerint magnito situ es ,imodo tres mediae iugatur simul, ita ut dres sine dux exasi magnitudines. & sic in infinitum quod dςmuniitare e porrubat. s
, Ex hoc elici potest . qudd si fuerint quotcunque magnitudii l
ites proportionales; dolis ipsis numero aequales, & in eademi fi proportione, ut scilicet siti ut in prima figura ) A ad B, ut Clad D, B vero ad Ε, ut Dad F. deinde ut E ad G, sic Fad H, & ita deinceps, si plures fuerint magnitudines, si militer erit Α ad omnes BEG simul sumptas, ut C ad omnes simul DFH. Primum quidem A est ad B, ut C ad D.&quoniam magnitudines sunt proportionales, ex quali erit A ad E, ut Cad F. similiter A ad G, ut C ad H. Ex quibus sequitur A ad BE simul ita esse, ut C ad DF. A vero ad omnes BEG fimul, ut C ad omnes simul DFH. & ita si plures fue
LEMMA. III Sittriangpilum ABC. cuius latus BC in quotcunque diauidatur partes aequales BE ED DF FC. & a punistis EDF ipsi AB iquidistantes ducantur EG DH FK. rursus a punctis GHΚ ipsi BC qquidistantes ducantur GL HM ΚN. Dico triangulum ABC ad omnia triangula ALG GMHHNΚ ΚFC simul sumpta eandem habere proportion aquam habet CA ad AG.
113쪽
tione ostendetur ob quid stantes lineas DH LG y A, line-HG, ipsi GA aequalem esse. Ex quibus patet CK ΚΗ HRGA inter se aequales esse. Qimniana autem ttianguloru ABChFC angulus ad C est utrique communis;& ABC ipsi Is C, s. primi, & BAC ipsi FKC aequalis, cum sitfh pii AB aequi distin nerit triangulum ABC ipsi ΚFC simile. 5 quo nimia NK I C. N HN KF sunt qui distantes, erunt anguli KCFCIFangulis HLN KHN ςquales. ac propterea reliquus CΙΚ reliquo KNH qualis latus vero C Κ lateri ΚΗ est quale, erit igitur triangulurii K FC triangulo HNK simile, N: ςquale. similli terque os Edetur omnia triangula ALG GM H HNΚ ΚFCi . interlese similia,& aequalia esse. Sob id ipsi ABC similia esse. Fiat igit' ut AC ad AC.ita AG ad alia O. similiter ut AC ad GH, ita GH ad rursus ut AC ad Hh, ita HK ad sit denique ut AC ad Ch, ita CK ad R. & quoniam AG CH AK' KC ir .a. sunt aequales, eadem AC ad unamquamque ipsa tum eandem habebit proportionem, ergo eandem quoque habebit propositionem AG ad O, ut GH ad P, &' ΗΚ ad &s
114쪽
ad omnes consequentes simul sumptas AG GH ΗΚ n C hoc est erit AC ad sandem AC, ut AG ad omnes simuOPHR. unde sequitur omnes simul OPQR ipsi AG qquoles esse. Itaque quoniam similia triangula in dupla sunt pro lydria. lPOrtione laterum homologorum, ei it triangulum ABC ad ALG, ut AC ad O. eodemque modo erit triangulum ABC ad G MH, ut AC ad P. rur1us ABC ad HNΚ, ut AC adlin &vt idem ABC ad KFC, ita AC ad R. triangulum igitur ABC ad omnes consequentes, videlicet ad omnia tria gula simul sumpta ALG GMH HNΚ ΚFC, erit ut AC ad omnes simul OPQR. hoc est ad AG. ostensum est igitur, quod propositum fulti
P R o P Ο S ITIO. XIII. Omnis 'riangyl centrum grauitatis e qangui' ad diotidiam basim
115쪽
ipsi AD aequi distantes, erit AE ad EB, ut DO ad OB; & ut DZ ad ZC, sic AF ad FC. atque Dolad OB est, ut D Z ad ZC. ςrit igitur AE ad EB, ut AF ad FC. quare EF ipsi BC est aequidistans. eodemquς modo ostendetur, ita esse AG ad
CB, ut ad KC, & AL ad LB, ut A M ad MC. ex quib=sequitur LM GK Ep non tum ipsi pC, verum' etianonic sese parallelas esse. secet EF lineas Gi K. in X . ipsam vero An in T. isneaque GK decet Lu Mα in AD in Tlinea denique LM tysam AD in S dispescat. niam autem Dis est ipsi HI aequid istans, estque L. minor qua HI, linea φλέ ipsi AL tqui distans ipsam Hl secabiti ac proptereat unctum H cenprum grauitatis trianguli ABC extra paralelogrammum DM reperitur. At velo quoniam LD DMsunt paralelogramma, erunt LS WD interse aequales. symili- iter SM D riuales. sunt verὁ D D. ςqualest ergo & LS SM interse sunt quales. eademque rarione NY Vi l intersese,&ipsis LS 8M squaleς existentiquaretinea SY bifariam diuidit latera opposita parallelogrammi MN. parique ratione ostendetur lineam YT bifariam diuidere opposta latera parallelogrammi ΚX; lineamque TD latera opsiosita paral-
116쪽
Ielogrammi FO bifariam quoque i
ssi B descripta triangula similia ALS LGN GEX ELO eundem ha lμιρropartιonem, quam SA ad ML: & antecedente ; sim ut ad mis. Et omnes consequientes, hoc est totum triangultim AIC ad nnia triangula si naul sumpta.quae sunt in AB, At in AC confli tuta, eand 'm habebit proportionem, quam habet AC AB simul ad AM A L si mul, quia vera ob sinii litudine trianguloruABC ALM C A ad A Melf, ut ΒΑ ad AI ι erit C Α ad A M. ut
CABA simul ad AM A L simul. triangulum igitur ASC a somnia exi quies praedicta triangula eandem habetproportione. m quam halet C A ad A V1. Atque ad AM maiorem bases proportionem, quam UR ad RH;eremm proportio ipsius A ad Au est eadem, quae I totius ad ipsa
χ P. quadoquide triangula AC D MCε sunt iliae sintq; AD &l. M ςquidi itantes, sitque propterea C A ad A M. ut CD ad D .&quoniam VR DC alineis DR P CU aequi distantib' diuiduntur; erit C ad φD, ut VP ad PR. N coponendo CD ἰ ad D. , ut VR ad RP. quare ut CA ad AM, ita v Rad RP. m. quirin. quia vero UR ad RP maiorem habet proportionem , quam 3 q ' ad RH. maiorem quoque habebit proportionem Cn adiAM, quam VR ad RH. est autem C A ad A l. vltrix iugului ABC ad omnia triangula in lineis A AB. lut dimina eit
117쪽
temproportionem, quam ad HR. linea igitur, quae eandem habeat proportionem ad HR, quam parallelogramma MNIX FO ad circum relicta triangula , maior erit, quam VH. Fiat itaquὰ in eadem proportione ad HR, utparauelograrema ad triangula; erit utique Q H maior, quam VH. Goniam igitur smagmtudo ABC, cuius centrum grauitatis eR H, in ab ea magnitudo Aauferatur composta ex MN IX Ff parallelogrammis; in magniturinis ablatae centrumgrauitatis est punctum R; magnitudinis reliquae ex circumrelictis triangutis compo hae centrum grauitatis trit ιn recta itanea RH ex parte H producta, assumptaque ahqua adHR eam habeat proportionem, quam habet magnitudo ex parallelo-'grammis MN ΚX FO conitans ad retiquum, hoc est ad reliqua triangula. α centrument trauitatis magnitudinis ex sesis circumrelictis triangulis compositae. quoa fieri non potest. octa enim reιta linea εκ per stipsi AD aequiri Iante ιn eodena plano tria lguli ABC, in iba essent omnia ιentra grauita risit riangulorum, hoe e I in miramque partcm Q , centraquc grauitatis trianguli A L M, ac centrum magnitudinis ex virisque triangulis LGN MK. copo sit in parte QIesiit debereti
118쪽
centra vero grauitatis magni tudinis ex GEX K F compo-j sit , ac magnitudii exta ETO E , complastriae cli en in parite C , ita ut punctum in magnitudinis ex om albus trian- ωΥ ibi ut . mod ii ducta linea peta es sina tu erae M IV 1. 'Aoi e sidii tans e Mimet u
Id ipsum vult adhuc Archimedes aliter ostendere.obsequetem velo demonstrationem hoc prius cognoscere oportet. LEMMA. Si intra triangulum uni lateri ςqui distans ducatur, ab op-lios to autem angulo intra triangulum quoque recta ducatur inea,aequi distantes lineas in eadem proporti ne dispescet. Hoc in secundo nostrorum planis phqriorum libro in ea parte ostendimu ubi quomodo conficienda si teli ipsis,instrumento a nobis inuento demonstrauimus. hos nempe mod . Sit triangulum ABC. ipsique BC in- Aera triangulum ducatur utcumque α-
qui distans DE. a punctoque A intra triangulum similiter quocumque du- catur AF; quae lineam BC secet in F; iis linia deris 1 E- A , '
119쪽
iuuantivir KL LD Dh DH; secetque D H ipsam KL in . iungaturque MN. de viam igitur triangulum M EC Eimis erer agulo DFc, c mst Bia ipsi FD aequi istans; siquidem sunt ut tam CB ibifariam diuisa, ideoque sit CF ad FA, ivt CD
adl DB. triangulique Maec rentrumgrauitatis eapunctum ti larguti FDC centrum irrauitatis eiris punctum lL. puncta enim ti intra mirumquὰ triangulum δει ne similiter posita. etenim ad homoti latera angulos efficiunt aequales. boe enim perspicuum. ea cum enim
sint triangulorum ABC DFC homologa latera AC FC, liν. rani. l AB FD, BC DC, sintque AH FL aequi distantes, erit an .
120쪽
CAB aequalis; reliquus igitur angulus LFD relhquo HABaequalis existit. & quoniam ita est CF ad FA, ut CL ,d LH, cum sint FL AH qui distantes. CF verbdimidia est ipsiuslCA, erit & CL ipsius quoque CH dimidia. at CD ipsi uuCB dimidia existit, erit igitur DL ipsi BH quidistanti ac propterea angulus L DC est ipsi HBC ςqualis, εο LRF ipsi HBA qquali cum sit totus Cm toti CBΑ qualiηρnguli vero ACH & H CB tam sunt trianguli ABC, quam FDC.
Ob eodem autem rationem trianguli E BD emtΡ grans Me spu- ar. -υ. etum Κ. similiter enim ostendetur punetiam K in Ariangu-
Io EBD esse si militer po si tum, v c H in triangulq.ABC
levisorum EBD & FDC om sisa centrum grauitatis R. octumlN. parallel grammi vera centrum grauitatis est 'cin Μ, 'hi simili tradi meis mycμrrunt, ae pre mea metuitudinis ex triangulis EB D mc una cuparallelogra'o AB compositae centrum tra-tatis est in Mea MN. verum trianguloruEBD FDC, simu lque parallelogrammi ΑEDF, hoc est totius
est squidistans; ideoqu-N numquam cum ΑΗ conuenire potest. nectititur punctum H centrum gra-tatis trianguli