장음표시 사용
171쪽
AB CD EF interse ςquidstatues. similiter GH KL MN aequid istante sint autem ductae BDF Hm rectat lineae; si lque BD ad DF, ut HL ad LN. sitque maior AB quam CD, & CD, quam EF. unde erit quoque GH maior KL, de KL, quam MN. iunctisque AC CE, & GK Κ M. Dico spacium ACDB ad spacium C EFD eandem habere proportionem, quam spacium GKLH adspactum K MNL.
Producantur AC CE, quaecum BF conueniant in OP. productaeque GK ΚM cum HN conueniant in QR. concurrent enim, quoniam CD KL sunt minores ipsis ABGH, & EF MN minores ipsis CD ΚL. Fiatque ut AB ad CD, ita CD ad V. &vt GH ad kL, ita KL ad X. deinceps CD ad EF, ita EF ad Y. & ut KL ad MN, ita MN ad Z. Quoniam igitur triangulum ABO simile est triangulo CDO, cum sit CD aequidistans ipsi AB. habebit triangulum ABD ad CDO, proportionem,quam habet AB ad CD duplieatam. hoc est quam hab et AB ad V. Eodemque modo ostendetur triangulu GH Q ad KLQita esse, ut GH ad XI quia jvero AB GD V ita se habet, ut 'GH kL X, erit ex aequali AB ad V,& CH ad X. triangulum igitur ABO eandem habet proportionem ad
172쪽
CDO, quam triangulum GHQ ad ΚL a. quare diuid cndo spacium ACDB ad triangulum CDO est, ut spacium l GKLH ad triangulum kLQ. Rursus quoniam ob triangui'ylorum similitudinem ABO CDO, ita est AB ad CD, ut BO ad OD. similiter ob similitudinem trianguloru GH QKLinita est GH ad kL, vi H Q ad Q L. &eli AB ad CD, ut GH ad KL, erit BO ad OD, vi H Q ad .L. & diuidendo BD ad DO, ut HL ad Lin deinde conuerte do DO ad DB, ut L Q ad LP .&est BD ad DF, ut HL ad LN, erit ex quali DO ad DF, ut L Q ad LN. Uoniam autem similium triangulorum CDP EFP latus CD ad latus EF ita se habet, ut DP ad PF. similiter existentibus similibus triangulis KLR MN R ita est KL ad MN, ut LR ad RN, & ut CD ad EF, ita est KL ad MN, erit DP ad PF, ut LR ad RN.&per conuersionem rationis PD ad DF, ut RL ad L N. &
conuertendo DF ad DP, ut LN ad LR. diximus aute GD quiviti
ad DF ita esse, ut Q L ad LN, & esh DF ad DP, ut LN ad LR. ergo ex quali erit OD ad DP, ut QL ad LR. At vero quoniam ita est OD ad DP, ut triangulum O CD ad PCD, &vt QL ad LR, ita est triangulum QKL ad trianguluRKL, erit OCD ad PCD, ut QKL ad RΚL. Quoniam aute tria gula CDP EFP ssent similia, triangulum CDP ad triangulum EFP proportionem habebit, quam CD ad EF duplicatam, hoc est quam habet CD ad Y. cum sint CD EF Y proportionales similiter ob triangulorum KLR MNR similitudinem triangulum KLR ad MN R, ita erit ut KL ad Z, est autem CD ad Y, ut KL ad Z, erit igitur triagulum CDP ad EF P, ut ΚLR ad MNR, & diuiden do spatiu CEFD ad trian 'ra quinti. gulum EFri ut spacium ΚMNL ad triangulum MN R. &uertendo triangulum EFP ad spacium C D, vetriam gulu ti. MNR ad spacium ΚMNL Itaque quoniam ostensuri est i-lta esse spacium ACDB ad triangulum CDO, ut spacium GKLH ad triangulum . Κ LQ. &ut trianguluCDO ad triangulum CDP, ita triangulum KLQ a1triangulu ΚLR, dethd ut triangulum CDPadi triangulum EFP, ita triagulum KLR ad triangulum MNRι denique vi triangulum; EFRadjacium C EFD, ita triangulum MNR ad spactum kMNL,
173쪽
, ex aequalia primo ad ultimum spaci Lim ACDB adspaciuCEFD, ut sipactum G Κ LH ad spacium Κ MNL. quod demo
AEquidi states vero lineς ΑΒ CD ita se habeant, ut aequidi stantes EF GH, sitque maior AB, quam CD, & EF, quam GH.&super CD GH sint triangula CDP GHR,ssintq; BDPFHR rectat lineae,& ut BD ad DP, ita sit FH ad HR. iunctisq; AC EG. Dico spacium AC DB ad trianguluCDP ita esse, ut spacium EG HF ad triangulum GHR. Eadem enim prorsus ratione productis AC EG, quaecum ΒΡ FRconueniant in O Ostendetur spacium/D. ad trian. gulum CDO ita esse, ut spacium ΕΗ ad triangulum GH Q. &esse OD ad DB, ut QH ad HF.& quoniam eis BD ad DP, ut ,, FH adHR,erit ex squali OD ad DP, ut QH ad F R. &vi OD r. sexti. ad DP, ita est triangulum CDO ad triangulum CDP. &vtQH ad F R, ita triangulum GH in ad GHR. cum itaque sit AD ad CDO, ut EH ad GH & 't CDO ad .CDP, ira GHO ad GHR. ex aequali erit spacium AD ad triangulum CDP, ut spacium EF ad triangulum GHR. quod demonstra
174쪽
LEMMA. III. Sit A ad CD, ut E ad FG, dividan
turq; CD FG in eade proportione in HK,
ita ut sit CH ad HD, ut FK ad KG. Dico A ad DH ita esse, ut E ad ΚG.
Quoniam enim ita est CH ad HD, ut FK ad kG; erit componendo CD ad DH, ut FG ad G Κ. est autem ad CD, ut E ad FG; CD vero est ad DH, ut FG ad GK; erigo exaequali Α erit ad DH , ut E ad GK. Deinde quO- , .niam est GH ad H D, ut FK ad kG; erit conuertendo DH ad FIC, ut GK ad KF. rursus igitur exaequali Λrit ad CH, ut E ad FK. quod ostendere oportebat.
PROPOSITIO. III. Si in utraq; duam similiti portionu recta linea re
ctangulique coni sectione contentarum rectilineae figurae plane inscribanturi figurae vero inscriptae latera interse multitudine aequalia habeant; rectilinearum centra grauitatum portionum dia metros similiter secabunt.
176쪽
OR. tua Buri EhFI GH. quae interie,&ipsi AC ςqui distates erunt; bifariamque a diametro BD in punctis LMN diuisa: erunt. Iungantur similitere di TV quas bifariam dia meter OR in punctis9- diuidet. eruntque ductae lineat ipsi XP, &interse aequid illantes. PDdMicturὰ lineis aequidistantibus GH FI ΕΚ inproportionibus numeris deinceps ama-
ribusposito enim uno BN, eit quidem NM tria, ML quinque, L D septem . sed similitera lineis Q Z ΥU ST in pro
portioni laus diuiditur numeris dcinccps imparibus, eade. n. latione si ponatur Oo unum , erit βα tria, . 9 qui tui; , & si Rin portiones jserum dixitDetrorum BDOR sunt numero aeiquales. quot.n sunt BN NM MLLD, tot sunt Co 9R. pa rei diametrorumportiones in eadem elliproportione, ut quemadmodu
M, &β adis,&υ ad L. At verὁ quoniam ita est DB ad bue L, vi RO ad Os; sunt. n. ut sexdecim ad nouem &ut DB ad B L, ita est quadratum cx AD ad quadratu ex EL;& ut RO ad Os, ita est quadra tu ex X Rad quadratum ex Ss; erit quadratu ex AD ad quadratu ex EL,ut quadratu ex XR ad ex Ss quadratu. ergo ut AD ad EL, ita X Rad Ss.& horum dupla nepe AC ad ΕΚ, ut XP ad STe eademq; prorsus rone, quoniam ita est L Bad BM,ut so ad G sunt. n. ut nouem ad quatuorὶ Ostendetur EL ad F Mita esse ut Syad Yὰ,&horum dupla,scilicet E K ad FI ita est e,utST ad Y V. Cumq; sit M Bad BN,ut Mad c o, ut scilicet qua tuor ad unum; simili ter ostendetur F M ad G N ita esse viYὰ ad CB FI uero ad GH, ut Y V ad QZ.unde colligitur nosolum portiones diametrorum sui diximus in eadem esse proportione,sed cra parallelas AC E K FI GH,& XP ST Y V QZ iis eade leproportione. cin Trapetjorum i us quidem MELC, σε ipsiusASTP centra grauitatum esse in lineis Un sR similiterposita,cum eandem habeant proportionem AC ΕΚ, quam AP ST: lineaeque LD sR bifariam dividant suas aequi distantes AC ΕΚ.& XP ST. etenim si ponatur trapezij AK centrum grauitatis γ, ipsius vero XT centrum glauitatis H, erit Lγ ad γD,
ut dupla ipsius AC cum ΕΚ ad duplam ipsius ΕΚ aa AC. & s A ad HR erit, ut dupla ipsius XP cum lST ad duplam ST cum X P.quoniam autem ita est AC ad ΕΚ, j
3. Archi. de quad. parab. ex 2O. yramiconicorum
178쪽
ut X P ad ST, & antecedentium dupla. hoc est dupla ipsius AC ad Ec erit, ut dupla ipsius X P ad ST.& componendo dupla ipsius AC cum ΕΚ. Vt dupla i-Mi8. .isi psius XP cum ST ad ST . At vero ΕΚ ad duplam, ipsius ΕΚ, ita est, ut ST ad duplam ipsi iis ST, sed ΕΚ i. vis. ad AC est, ut ST ad XP, erit Ec ad utra lue consequentes sim ut sumptas, hoc eis ad duplam ipsius ΕΚ cui 'AC, ut ST ad suas consequentes, nempe ad duplam ipsius ST cum X P. Itaque quoniam ita est dupla ipsius ACcu ΕΚ ad Eh, ut dupla iplius AP cum S Tad ST, & est ΕΚ ad duplam ipsius ΕΚ cum AC, ut ST ad duplam ipsius ST cum XP. erit ex ς quali dupla ipsius AC cum ΕΚ adduplam ipsius ΓΚ cum AC, ut dupla ipsius X P cum ST ad duplam ipsius ST cum X P. ac propterea ita est Lὸ ad γ D, visH ad η'R, & ob id centra erunt in lineis L D sR si-I,
militer posita. Rursus eodem modo ne eadem lypius repetantur)Trapetjorum BFIk STPT centragrauitatum, quae sitnt . , s luer hoc cli in eadem proportione aevident tineas LM 9 , ita ut sit L ad εM, vis ad ei. O in trape u FH TZ centra grauitatum in similiter divident MN G, ita ut Mη ad ηN sit, ut in ad k , sed in triangulorum G Η centra grauitatum λώin lineis B erunt si inliser posita, tali dem Bλ ad est, ut se ad Ao; quippe cum in dupla sint proportione. eandem autem habent proportionem Traperba, triangula: Narria cum,
que, erit spacium A Lad lpacium EM, ut fpacium X9 ad lpa-I1. Imma. cium S . similiterque ostendetur DK ad LI ita esse, ut RTad 9 V. quare totum trapezium AK ad. EI est, ut XT ad SV. parique ratione ostendetur ita esse trapezium EI ad FH , ut SV ad YZ. quia veto iti est F M ad G N, ut γα ad Qβ, est autem MN ad N B, ut αβ ad ota sunt quippe ut tria ad unum, erit fpacium FN ad triangulum G BN, ut spacium α. lesimis. Υε ad triangulum . . eodemque modo ottendetur ita esse spacium lN ad triangulum BNH, ut spactum β ad triangulum Co Z. Ex quibus sequitur ita esse traperi u FH ad triangulum BGH, ut trapeaeium YZ ad triangulu OQZ. c
180쪽
si itaque diuidatur in ita ut sitis ad ,γ, ve traperiti AK ad EI. erit punctum centrum graui ratis AEFli C. similique modo diuidatur δἰ in ρ, ita ut ad trapelletium XT ad SVS em punctum e grauitatis ccii trum' figulael XSYVTP.quia verὀ ita est AK ad FI, ut X T ad XU,'eiit adoret te adeo Diuidatur aut steinceps in re, sitq; ad ση, ut FH ad triangulum BGH, erit punctum centruna grauitatis figurae FGBHI. eademque ratione diurdatur m in V, sitque
ad ri, ut YZ ad triangulum Om erit puninum centrum grauitatis figurae Y QOZV. sed est FH ad BGD, ut YZ
ad OQZ, erit igitur M ad is, ut m ad Ut. Quoniam autem
rit igitur figura AEFIΚG ad suas consequentes, ad figuram eos .. scilicer FGBHI,ut figura X SYVT P ad suas cinias equentes,hoc' 3: est ad figuram YQOZU . Diuidatur itaque in x. ira ut
ad 2 sit,ut figura AE FI KC ad figuram PGBHI, erirpunctum σε. ραχ' centru grauitatis totius figurς ΑEFGBHIL C. similiter di uidatur re in , sitque xl ad te, ut figura X SYVTP ad figuram YQ JZV, erit punctum 'l centrum grauitatis totius figurae XSΥ ZUT P. quia vero ira est figula A EFI G ad figuram FGBHI, ut figura XSYvTPalfiguram YROZU. Gntra ad v, viri ad te. Itaque quoniam BD ad Di est, ut ei ad R*, cum sin x ut lexdecim ad septimi he est L ad FI , visu adHR erit BD ad L ut ., ad ut BD ad ,D, rta OA ad o R. rursus quoniam BD ad LM est, Ut ORids'Membe ut sexdecim ad quinque; & ess L ad M, ut; ado, erit BD ad L, utOR ad sLest vero BD ad I γ, ut OR ad s. erit igitur BD ud utramque simul L L, dioe est ad 'γήπιUR:idi'. sed quoni 2 est Dadri , ut de ad redierit BD ad ut OR ad .. est 'aute soad DF ut OR ad Rδ, ut dictum est, ergo BD ad Dν est: ut OR s3.ι ,-j ad Re. sinit limoque ostede ui BD ad BA iri ἡffe, ut OR ad CVCum itaque sit BD ad DRide ad EW, ut OR ad Re,&ad Or; humi. rit BD ad DR B. simus, ut OR ad Resesimul, & Petmuran do tota BD ad totam OR, Vt- ablata ad ablata n