장음표시 사용
181쪽
ergo & reliqua σν ad reliquam-est, ut tota BD ad toti QR. rursusque permutando σν ad BD ut τρHOR, conuertendoq; BD ad ον est, ut OR ad τε Quia 'pro ita ei ad x ut τι ad te; erit BD ad ια, ut OR ad rij at verq BD ad Mestiuis vi se . erit igitur BD ad Bx, ut in ad Ol. as propterea diuide 'domita se habet ad xB, ytR ad P. α re messe meritorius retrilineae figurae in portionc M EC inscripta re tym gra-tμis x in eadem proporti'ne diuidere BD, metuus inpari ra P inscriptae diamet; ami gi d MPmara-l
Hinc colligere Iicet parabolas omnes interse similes esse. Reiffert enim Eutocius hoc in loco, Apollonium pessicum in sexto Conicorum libro. qui nondum in lucem prodi jt in similes coni se ones dixisse eas esse, quand0 in unaquaque sectione line ducu turba si aequi distates numero parer ι hoc est tot in na, quot in aliat νωnsuperioribus figuris ductae fuerunt, in v-na quidem. ΕΚ FI GH ipsi AC aequi distantes, & in altera STY V ipsi PX aequi istantes, quς quidem essiciant, yt di 'metri in eadem proportione diuis e proueniani; visunt BN
FI GH in eadem sint proportione ipsarum XPST V Q &quoniam hae copditiqnes in Omiti bys possunt accidere parabolis; visxijε, quaedsmonstrara sunt. manifestum est 3 idcirco parabolae omnes sunt similes. Neque vero existi Anduest, quoniam parabolae sunt similes, figur as quoque plane inscriptas, vi AEFdBHIΚC & XSΥQOZUTPisimiles es. inter se, ea praesertim similitudioe, qua hia 's figurae, pete itineae, ut scilicet anguli sint aequales, & circum inuale angulo lat ira Noportionalia .in parabolis no attenditur lago similitudo. satesim est, Vt praesarae adsint coη diriph psa est quibus sequii itur c ut 'liqudimus) - trapeziae ΑΚ EB FH , ctriangulum quoi BGiri in eadem est eproportione trapeziorum ST SV YZ, ac
182쪽
trianguli OQZ. ac propterea quamio Arctaanlicd In propolsi tione i nqui isi ιn utraque similivmportiouum rectanea, riatogu sique conisectione contentarum, non proptcrea exi fima irdum est reperiri posse aliquas parabolas recta linea terminatas in5 esse similes inter se;ea nimirum iam explicatae si invitit idjne. sunt enim Archimedis verba Me modo in aestigendas
utraque portionum recta linea rectangulique coni sectione contentarum, quae omnes sunt similes, & c. vel tui si diceremus. In similibus semicirculis anguli omnes suiu recti. Honestin telligendum nonnullos semicirculos interie disti miles existere posse. sed hoc modo; in semicirculis, qui Omnes sunt similes, anguli sunt recti. Et hoc modo semper intelligere Oportet, quando in sequentibus Archimedes parabolas ii miles nominat. Nam & Archimedes cognouit omnes parabolas interse similes esse; ut ipse in demonstratione octauae propositionis huius supponere videtur. Oportebat enim aliquam in parabolis demon lirare similitudinem, ut demon thrari post et
centrum grauitatis in omnibus parabolis esse in certo, ac ἡeterminato situ ipsius figurae in hguris enim, quae aliquam interse non habent similitudinem, in ipsis centrum grauitatis determinari minime posse videtur. Dicet autem fortasse aliquis,determinatur tamen centrum grauitatis in omnibus tria gulis, quae quidem in terse non sunt similia. Cui respondendum; triangula omnia, interses milia non esse similitudine rectilinearum figurarum, nempe ut anguli sint aequales, & cim cum aequales angulos latera proportionalia. quod tamen nullam intersese habeant conuenientiam, omnino negatur. Natriangula omnia simul quodammodo illam habent conu intentiam,&similitudinem; quae parabolis accidit. ἱ a .
In triangulis enim ABC DEF duchς sint AG DH ab angu- .lis ad dimiὸias baies.sintqii Ediuisa triangulorum latera in eadem proportione, in punctis YL OP. & ut ΑΚ ΚLL ita sit ΑM MN NC,& D in QR RF. ductuque LM LN Ο PR, ex a sexti quae lineas AG DH secem in puniatis ST V Xs, primum quideerunt ΚM LN OQ PR basibuς BC EF aequid illantes; quas mostratio- lineae AG DH in punistis ST UX bifariam diuident, cum sit vera pri-
183쪽
LN O PR in eadem proportione diuisaes siquidem.ita est AS ST TG, ut DU X XH. cum sin si ut exposita propomtiones AK KL LB, & DO OP PF. Praeterea erit spacium
ut PQ ad triangulum DO Q. Nam quoniam triangulii ABC simile eth triangulo ALN, oblatus LN ipsi BC aequi distans; erit ABC ad ALN, ut AB ad AL duplicata. eodemque modo erit DEF ad DPR, ut DE ad DP duplicata; eandem autem habet proportionem AB ad AL, quam DE ad DP: quadoquidem latera AB DE in eadem sunt proportione diuisa; critigi tur triangulum ABC ad ALN , ut triangulum D EF ad DPR. similiterque ostendetur ALN ad AkM ita esie, ut DPR ad DOQ. Quoniam autem ABC est ad AI N, ut DEF ad DPR, diuidendo erit BN ad AI N, ut ER ad DPR. At verδ quonia . ALN ad AKM est, ut DPR ad DOQ; erit per conuersio-'nem rationis ALN ad LM, ut DPR ad P in qua-lre ex ςquali BN est ad L M, ut III ad Pia. Cum autem sit . AIN ad AKM, ut DP Rad Do in erit diuidendo LM ad . AKM, ut PQ ad DOQ. Quocirca erit spacium, BN ad LM, vi ER ad PR, & LM ad triangulum AK M.
ut PQ ad citangulum, DOQ. Ex quibus perspicuuir est omnia triangula aliquam interse habere similitudinem, ex qua possibile fuit determinare in omnibus situm, ubi repe
184쪽
ritur centrum grauitatis. Quod si figurς nullam coii uenien-li tiam, nullamque similitudinem ioperie habuerint; ut in quadrilateris, pentagonis, & reliquis figuris, quae interse neqv latera neque angulos quales habhat; S Propterea nullam interse conuenientiam , similitudi hem habere possunt; impossibile quidem esset in psis deeerminare si tum cetri grauitatin ita ut om nibus quid tinteris, ac omnibus pentagonis quotmodocunque factis,& ita cς teris figulis deseruire possit. Cum exempli gratia in pentagonis modo in uno, modo in alio situ centrum reperiatvΗ tru ut sutardi per 'figurae. Possumus quidem in n.quaque figura reperirie purictum positione, quod sit quidem centrum grauitatis illius determinatae figuarsi. 'tin niae primitib tollendidi i . esset tamen impossibile
in omnibus proprium certum, ac determinatum situm repelire; ut scisicet sit in tali linea, talique modo diuisa, ut omnib' petatagonis,& hexagonis, caeterisque huiusmodi deseruire postiti ut determinatur in triangulis, &ut determinari potest in quadrilateris; quae vel sint parallelogramma, vel duo saltelatera sint aequi distantia. cum in his conuenientia, quam triangulis accidere offendimus, reperiatur; quandoquidem sunt triagulorum portiones. similiter in parallelogrammis facile erit ostendere aliquam interse similitudinem existere. pelagona vero hexagona, & caeterae figurae, quae angulos aequales,&aequalia latera habent, iam constat similia esse inter se.
praeterea circuli omnes sunt similes. Ellipses quoque interse aliquam habent similitudinem, in quibus describitur figura, plane inscripta. ut perspicuum est in libro Federici Commandini de centro grauitatis solidorum. ac propterea in his, & in alijs, quibus interse aliqua similitudo reperiri potest, centrum
quoque grauitatis determinari poterit.
Sint quatuor magnitudines ABCD. sitque A maior R&.C maior D.. Dico. A ad D maiorem habere pre Portionem. quam habet B ad C. .
185쪽
Hoc a nobis ostensum fuit initio tractatus de sciς, in no
Quoniam enim A ad C maiorem habet pro . portioncm, quam B ad & A ad D maiorem quoque habet proportionem, quam habet ad in lA igitur ad D maiorem habebit, quam B ad C, quod demonstrare oportebat.
Omnis portionis recta linea, rectanguli quhconi sectione contentae,centrum grauitatis estiti diametro portionis.
l Sit portio, mi aecia est, M EC; cuius diameter sit 'EP. demnia γ' strandum indictae portionis centrum grauisatis esse in linea BD. An. non, sit punctum E. eras stridueatur 'si BD aequidimns EF, a 'que inuentione inscribatur triangulum M BC eundem basim AC habens, in altitudinem portioni aequam . quam proportionem habet CF ad FS, eandem habeat triangulum .A EC ad se cuin
186쪽
h. in portione autem piane inscribatur figura rectilinea AGI NC, ita eis reticiae ρortiones AOG GPB BQNNRC simul sint minores ipso K. inscriptae quidem rectiti e gisae centirumgrauitatis ect in lineas' A D. sit punctum H. connectaturque HE, c producatur, sta pun
rea maiorem habebit proportionem trianguli tu ABC ad di 3. iisti. ctas portiones, quam ad Κι inscripta vero figura AGBNCm,ior est triangulo ABC, Κ vero maius est reliquis portionibus. Manifestum ea in Hiir Aurum rectilineam in portioηe in Friptam maiore habere proportionem adreliquas portiones AL G GIohB M N C, qudm triangulum ABC ad K. ed mi, triangolunt BC ast Κ, ita ect CF ad F D Iura igitur issereta ad reliquas portiones ma-ram habebiι proportionem, quam CF ad FPιboc es LE , ad
EH. Cum sint L H CD a lineis aequi distantibus L. EF ii H D diuis e. quare cum figura inscripta ad teliqu4λ portiones maiorem habeat proportionem, quam LP ad EH; linea, quae ad EH eandem habea t proportione, quarta figura, inicia pia ad reliquas portiones, ni ior eri r qua LE. Habrati ituri ME ad EH proportione eam,qug figura inscripta a portiones. ψoniam igitur punctum E centrum fgrauitatis totiusponionis, figurae au e m ipsa inscriptae centrum ora uuatis ea punctum Hr conit reliquae magni-etudinis ex cireumrelictbportioνω eompstaesentrumgrauit uia esse in linea H Eprodractauia me assum al,qua recta linea M E eam propora'nem babear a M II, qua gurρ inscripta adcircumrelictas portiones. inuare magnitudinis ex circumreliciisportionitas composita centri grauitariseriunctum quod Rabsurdum . mucta enim Gra*T per punctum M 'si Z D aequi istante, in ea omnes circumrelictaestortιones centra grauitatis babebunt. hoc. eli magnitudinis ex portioni
187쪽
. In hac demonstratione obseruandum est; quod qua do A chimedes hi quis, in portione autemplane infiniatu figura &c. intelliget dum est, inscribatur primo pentagon una AGBNC in portione plane inscriptum; quod quidem relinquet portiones AOG GPB BQN NRC, quae simul uel erunt minoresspacto Κ, vel minus. si non, rursus plane adhuc inscribatur in portione ABC non agonum ιdeinde alia figura; idque semper fiat, donec circum relictae portiones smul sint spacto Κminores. quod quidem fieri posse ex prima decimi Euclidis l=ater. Aufertur enim semper maius,qua dimidium. Cum quaeibet portio paraboles trianguli plane in ipsa inscripti sit ses qui tertia. Vnde triangulum ABC maius est, quam dimidiuportionis ABC. triangulumque AGB maius, quam dimidiuportionis AGB. similiter triangulum BNC portionis BNC.&ita in alijs. Quae quidem omnia sunt quoque manifesta ex vigesima propositione,eiusque demonstratione de quadratura paraboles Archimedis.
Demonstrato centro grauitaris cuiussi bet paraboles in eius diametro existere; ostendet Archimedes, ut diximus n parabolis grauitatum centra in eadem proportione diametros dispescere. antequam autem hoc demonstrer, duas pr iittit sequentes pro positiones ad demonstrationem necessarias.
Si in portione recta linea, rectangulique conisectione contenta rectilinea figura plane inscribatur,totius portionis centru grauitatis pro squius est vertici portionis, qua centru figurae inlcriptiae
188쪽
Sit portio ABC, qualis dicta ea , i in vero diameter μ ΣΘ. xl primumque in ipse plane inseribatur triangulum M BC. in diuidatur liais BD in Ε, ita ut dupla sit ZE psius Eae . erit lique trianguli ASC histri.' centrum grauitatis punctum E. V iuidatur itaque bifariam miraque it Mae Σ in punctis FG. apunctis FG i ta P ducantur aeq-H-lflantes FK GL .erisIaneportionis Ah B centrum grauitatis in linea -- 'Fh. portionis et ero BL C centrum grauitatis erit in linea GL. sint itatquepuncta HL connectanturque HI FG. quae BD lecent in QN.
erit utique punctum Q vertici B propinquiuKquam N qui alvero estis ad F A, ut BG ad , erit FG aequidistas ipsi AC, eritque FN ad N G, ut AD ad DC. est verb AD ipsi DC aequatern AF dimidia ipsius AB, cum sint AF FB quales ergo S: DN dimidia ess ipsius DB. at verὁ quoniam DS tertia est pars ipsius DB, siquidem est BE ipsius ED dupla, erit pia na
189쪽
Rursus in portione pentagonum rectilineum GKBLc plane inscribatur.sitque totiua portionis diam ur B D. rutriusque autem portionis A Κ BL C diameter sit et traque ΚΕ I S. es' quoniam in floratione xB plane insiriptae Isigura recti Mea tri latera A KR, I rotias ritonis AKB centrum grauitatis etae pnipuus Meraici quam .enrmm rectilineae AKB. st itaque portionis AHB ιentrumigravitatιι punitum fra trianguli veropumtum I. Rursus autem 'potionis BL C centrumgr uisitispunctum ML. trianguli Aera BL Ct 'actum Miuria turquὸ ΗΜ quae BD secentini lietis
QT erit utique punctum Q vertici B propinquios, qua T. , & quoniam s si ducta esset FG) lineae H M iN FG ab ,
190쪽
.lα manife Dis es totis Als iqnis: ψ cen μωέ με --. Ita scin O p-αoyse quam strvvirense et tria.-lgulum ABC admiroqueps risura AhB, ELOκ dre habea pineris ipsius terminώm habens p-ctum hoc eis Oca ad p.rtisredi Minorem QRY'ntagoni alveis AKBLC,ishq est' magni iudi uis ex triangulo ABC, triangulisque AKB Bin i inpolitae centrum grauitatis est in linea FT sic d uisa in S, it quam habet proportionem triangulum ABC ad triangula AKB BL C, eande habeat portio 'sius ad T terminata, hoc est ST ad reliquam SE. uoniam igitur maiorem habetproportionem triangulum aABC ad tria gula K a L BC, quam a portiones AKB BLC; minora enim, 1iant triangula portionibus. habebit TS ad SE miore proportionem, quam QO ad Ol. ac propterea erit punistu S
propinquius ipsi si, quam O. Nam si punichum S primum
esset in eodem punia o O, tunc TO ad OE, non quidem maiorem, sed minorem haberet proportionem , quam QO'8. quint ad OE, cum sit To minor QO. similiter ob eadem caulsam si punctum S esset inrer OT, minorem haberet pro-8.quisti. portionem TS ad SE, quam QS ad SE, quare&adhuc maiorem haberet proportionem QΟ ad OE , quam TS ad SE. necesse est igitur punishum S csse inter puncta OE. Itaque cum punctum G sit centru grauitatis portionis ABC, punctum vero S centrum sit grauitatis rectilineae figurae AKBLC; confrat portionis ARC centrum grauitatis propinquius esse enici β, quam centrum rectiliseae AP inscriptae ιρει----ibus rectilineis Auris in portionibus plane inscriptis , aiam e pinu. tquod demonstrare oportcbat.