Guidi Vbaldi e'marchionibus Montis Mecanicorum liber. In quo haec continetur. De libra. De vecte. De trochlea. De axe in peritrocheo. De cuneo. De cochlea

201쪽

LIBER SECUNDUS.

Silportio A BC, qualis duram. inius vero da meter centrum vicem grauitatu sit fluoremn Id. ostendendi est Vsius HohAmalteraran 'sse. Ptine inscribatur in portione ABC triangulum AB C. cuius Gutrumgrausiatis sit8unctum. E. Moriamque diuida tur mira 'qui AB BG ιου punctis EG.c ipsi BD aequia, stantes ducantur Fh qu portionis Acentrum grauitatisius portioutS. BL C pun- letum convectanturque FG MN LL, quae diametrum BD s

202쪽

i r AEQVEPONDERANTIUM.

Dri, is ali erri FG ipsi AC squidistans. & ut AD ad DC, ita FO ad

OG. . sunt autem AD DC aequales, ergo FO OG, ac percon- l sequens M QN interse si inta quales. itaque quoniam porpostprinia tiones AKB BLC sunt aequales Hrrique portio-imus AKB BLC compositae centrum grauitatis erit in medio li-a .p, ibu ne 'MN; hoc est eritpunctum quoniam PH ad HD OILit ΚήRI ad MF centra enim grauitatum portionum in ea

dem proportione diametros sccare necesse est ) componendo ad F M. permutandoque in OBII ad KF, ita H D ad . F. at vero BD qui ruplae Zipsius KF. Hoc enim 4 infine demonstratum ess, ess signum hoc, H. quadrupla igitur inquirit. ipsius F. re in reliqua BΗ reliquae kΜ, hocini qaiaruplis ex His . exulercle autem tota BH, quae c5-

203쪽

LiBER SECUNDUS. 17

ac propterea erit 'sius BD pars tertia. Verum ED Vsius Diu pars tertia exivit. Cum centrum grauitatis ιrianguli AZC sit

uetum E. quod ita diuidit BD, ut BE apsius h D sit dupla. jlΑt vero quoniam totius lineae BD quae composita est ex DE Mi . t EX XBὶ tertia pars est ipsa DE. & tertia quoque ipsa Bra

reliqua igitur XE tertia es arsi usta D. quoviam totius pomitionis centrum grauitaris en punctum H; magnitudinis mero ex Ῥ- iri ueportionibus AhB SLC compositae centrumgrauatviis ect punietum F. trianguli mero ASC ect punctum E; erit triangulum AzCetum trianguli auia ASC esit punctum E; erit triangulum AzCad circumrelictas portiones A K B BLC, mi ad HE, tripia autem est triangulum QEC portionum. c..m rotaportio ABC δεηθῶ i: V k tertia sit trianguli ASC, excessus vero, quo portio ABC supe- λι- rat triangulum ABC, sint portiones AKB BLC simul sumptae. tripla igitur est ipsius HE. Osrensa mero es etiam

tripla ipsius 4x quare erit QX ipsi HE aequalis . :& quo- , niam F Q eit tripla ipsius QX, erit HQ cum QX, hoc est tota BX quadrupla ipsius uX, hoc est ipsius HE. si

militer quoniam XH quadrupla est ipsius quintuplai titur eg XH cum HE, tota icilicet AE 'sius Eri, Me in TIA ipsius EH. inuicem erim seunt aeqMales EX ED, ut osten-lsum est. Ciam itaque sic DE ipsius ΕΗ quintupla, erit DE cum EH sextupla ipsius EH. Gare sextupla eri tota DHipsius HE. σω ΣΤ ipsius DE tripla; sequialtera igitur est B Hi as HD. Quare centrum Mauitatis id ita diuidit diameia bauis. trum BD, ut pars BH ad HD sesquialtera existit. quod de

monstrare oportebat. I . . .

Ea verba in demonstra tione posita nempe Hoc enim in fine demonstratum M. MnesZR umboe, H. ita credo esse intelligen-l' da, quod scilicet Archimedes alicubi, in fine, sitie liuius, si

ue alicuius alterius demon strationis, demonstrauerit lineam Diuitiaco by Corale

204쪽

i 4 AEQVE PONDERANTIUM.

BD quadruplam et se ipsius ΚF. dc ubi hoc demonstratumo erat. ibi quoque pro ligno posita fuerit lutcra H. quod quidem ostensum est a nobis paulo ante iecundan: lauius propositioncm;vbi etiam apposuimus pro signo hanc literam H. Rursum in demonstratione paulὀ infra Archimedes dixit, Hoc enim demon Iratum est,sci Ilicet BD ipsius B S quadruplam esse. iupponit autem hoc tanquam denion stratum post primam piopositione huius,ubi tota BD csesexdecim, de B Squatuor, ut eodem in loco ostensum fuit a nobis. Uci ad ea respexit Archimedes, quae ab ipso in decimanona propositione de quadratura paraboles demonitiata fuerunt. ubi circa sine demonstrationis ostendit BD quadruplam e sic ipsius BS. Inuento itaque centro grauitatis Paraboles, vult Archim desinucifigare centrum grauitatis frusti a parabole abicissi. quemadmodum in primo libro post inuentionem centri grauitatis trianguli,adinvenit etiam centrum grauitatis trapezij.

quod cst tanquam frustum a triangulo abscissum. quare duo adhuc theoremata proponit, in quorum postremo, ubi sit cetrum grauitatis fruiti demonstrat. in sequenti vero quaedam demonstrat necessaria, ut huiusmodi centrum determinare postit. QAoniam autem sequens theorema arduum , dissicileque sesc offert; nonnulla priusquibusdam lemmatibus ostendemus, ne si in demonstraticine ea inferciemur, longa nimis euaderet, ac taediosa demonstratio. quae quidem sumina indit gelattentione. quamquam in hoc theoremate explicando adi vitandam obscuritatem copiosum sermonem adhibendum curauimus; ne breuitati studentes obscuriores essemus. I

Si quatuor magnitudines in continua suerint proportione,& earum excessus in eadem erunt proportione magnitudinu. l

205쪽

Sint quatuor magnitudines AF BH CL D in continuat proportione; ut scili Isi μ' Ad BIm veBEI ad CL; de CLllad D. excessus vero, quo ΑF superat BH, sit EF. & excessu quol

BG CL aequales. Dico EF GH KL in eadem esse proportione, ' sunt

magnitudines BH CL D, siquidem omnes in continuauinta proportione; excessus igitur EFi sibi a L, in eadem quoque sunt proportione ut magnitu lines BH CL D. quae quidem

206쪽

si tres fuerint magnitudines, es allae ipsis numero ae ualeia

&in eadem proportione, In primiS magni tuainibus prima ,

& secunda ad tertiam erunt, ut in secundis magnitudinibus prima & secunda ad ternan

AB CD E P

tebat.

Si fuerit AB ad AC, ut DE ad DF. Dico excessum BC ad C A ita esse, ut excessus EF ad FD. Quoniam enim est AB ad AC, ut DE ad DF, erit con-i. I

207쪽

iboniam enim AB eshad AC, ut DE ad DF,etrix conuertenia AC ad AB, ut DF ad DE. diuidendoque CB ad BA, ut FE ad ED. est autem AB ad AC, ut DE ad DF, erit igitur ζ7 πex aequali BC ad CA, ut EF ad FD. quod demonstrare oport

208쪽

i 8 AE EPONDERANTIUM.

Quoniam enim est A ad B, G D ad erit m sit ut BEsimu vi A ad Ba similiter quoniam B ad C est, yt E ad F, erit BE simul ad CF simul, vi v ad .C. in eadem igitur sunt proportione AD simul, & BE simul , & a simul, ut ABC.

quod demonstrare oportebatis.

L E M M A . CV. Si magnitudo magni tudinis fuerit sesquialtera ad tres quintas eiusdem erit duplex sesquialter

Sit AB ipsius CD sesquialtera. sit uero CE tres quintae ipsius CD. Dico AB ad CE ita esse, ut quinque ad duo. Fiat EF qualis EC, erit CF sex quintae ipsius CD. &quoniam ΑΒ ipuus CD est sesquialtera, suoerabit AB ipsam CD dimidia ipsius CD. erit igitur AB septem quintae cum dimidia i-lisius CD. quare CF minor est AB. fiat igitur AG aequa- is CF. erit utique AG sex quinti ipsius CD. & ob id GBipsius CD quinta est pars cum dimidiata.&quoniam C E est eiusdem CD tres quintae, erit BG dimidia ipsius CE. quare GB ipsam CE bis metietur. Et quoniam EF est aequalis ipsi EC, ipsa BG bis quoque metietur ipsam EF. quam

209쪽

totam CF, hooeth iptim AG quater metietur. at vero CB scipiam sehiel metiturapia igitur GB totam At quinquim metie-ltur; Ex quibus liquet GBipsarum ABCE communaem etsi mensuram. Et cit quidem AB quintupla ipsius BGy ipia vero CE ei uidem BG duplae, . erit AB ad CE,vc quintupla ad dupla. hoe eit duplex ici ilialtera. quod doni'olirare om l letata.

PROPOSITIO. VIII l.

Si quatuor lineae in continua fuerint proportione, ct quam proportionem habet minima ad exces sum, quo maXima minimam super t; eandein habeat quaedam assismpta linea ad tres quintas excessus, quo maXima proportionalium tertiam excedit: quam Vero proportionem habet linea aequalis duplae maximae proportionalium, ct quadruplae secundae, ct sextuplae tertiae, ct triplae quartae ad linea aequalem quintuplae maximae, I decuplae secundae, ct decuplae tertiae , ct quintuplae quartae, ean dem habeat quaedam assumpta linea ad excelsum, quo maxima pristortionalium tertiam superat; vir aeque simul asiumptae lineae erunt duae quin

210쪽

iso AEQVE PONDERANTIUM.

Snu quatuor tineae D portionales M B Sc BD .ua ut AB adl C sit, ut BC ad BD. de ut BC ad BD, Masit BD. ut BE . quam proportionem bilei PE ME A, eandemd abeat FG ad tres quintas ipsius in D. quam autem proportionem baset linea kqualis dom ius B, qui rupta ipsiusBC, I ex pia ipsi' Bra, in inpiat, BF, ad bina aequale quRupiat PMae,et de pia ipsi'cta, ricvl ini' qumntuplae jsius B E,eandem babeat GH ad AD. Operiudum est FH duas quintas esse ipsius Mae . eoniam enim proportionatis sent Az BC AD TE, ipsarum excessus CD DE in

et . 1

huius.

lembu- quoniam magnitudines ABBC BD uuia lin continua sunt proportione, & earum excessus AC CD DE in eadem erunt proportione. quia vero tres sunt magnitudianes proportionales AB BC BD, & aliς ipsis numero ςquales, M,. imisa cadem proportione AC CD DE, erit in primis magnitudinibus prima, & secunda ad tertiam, ut in iecundis magnitudinibus prima,&secunda ad tertiam; laoc est utraque simul MB TC ad BD eandem habebit proportionem, quam utraque simul: AC CD, hoc est GD ad DE s in ob eandem rationem cuma, I. m. NeS sint proportionales magnitudines AC CD DE, aliςqueb με- eodem modo proportionalcs BC BD BE; erit utraque simul