장음표시 사용
191쪽
niam figurae, ipsorumque centra interie coaptari positiat. vi omni bas figuris rei hi lineis squalibus,& similib' accidere po test. Hoc tame contingere polle in parabolis, ut AKB SLC. videtur incoaenies. Na quamuis AKB BLC sint aequales, ius intelia similes, non iunt tamen similes ea si militudine, ut sunt rectilineae figurae; ut antea diximus.Quod etiam peripiculi fit ex hoc, quia non temper coaptari poterit portio AKB cu portione BLC. no n. temper recta linea BC cru aequalis ipsi BA; neq; sectionis linea BLC lectionis lineς ΒΚ A qqualis existet.Cii nosemper AC,&quae iunt ipsi AC aequi distates ad rectos sint angulos diametro BD. li. n. qquid istantes lineς diametro Helint perpendiculares, tunc AB BC interse quales cssent; portioq; AKB cii portionc BLC coaptari posset: secus autem minime. Quare centra grauitatis HI li neas KFLG in eadem proportione lecare minime supponi posse videtur; tum exi)s, quae dicta sunt; tu quia hoc ostendet Archimedes in septima propositione. quod si adhuc non elidem ostratu, no potest quoq; iupponi; praeter tim cum si i demonstrabile. ac propterea dem 6 stratio nullam videtur vim haberead ottendendu,quod proposi-ltii fuit. Huic tame occurri posse videtur cu Eutocio inexplicastione hui us loci dicendo, hoc supponere Archimede, quia portiones AKBBLC suntςquales, quaru diametri ΚFLG suiu ς-
quales,& qui distates, quae similiter diuiduntur a puncti P ΗΙ; unde erit LGadHF,vtLIad IG. ex quibus colligiti HF ip si IGaequale esse, ac propterea HG parallelogramu exiliere. Oae in responsio n6eli Eutocio digna. cum cx dictis no sit omninoe
demonstrativa,vires mathematicς requiruu quapropteromittenda est. hac. n. ratione supponitur centra HI lineas KFLG ti
eadem proportione secare. quod nullo modo supponi potest. Quare dici poterit,& fortassι rectius, quod vis demo uitrarionis videtur in hoc esse constituta,vitupponatur puncta HIv-bicunq; esse posse in lineis KFLG; ita ut siue ducta HI fuerit,isiue etiam non fuerit Usi FG aequi distans,demonstratio tamesua ni semper habebit vim,ideq; concludet. Nam ex praecede
ii patet centra grauitatis portionum AKB B Lia esse ita liueis KF LG; hoc est inter puncta KF, &LG. supponatur ita cyde tragrauitatis portionu ALBBLCesse puncta HI ubicuq; po-. X sita,
192쪽
sita, dumodo sint in lineis ΚF LG, veluti Archimedes ipse in d 'monstratione supponit. Ducaturq; HI; quae vel ipsi FG .e-l qui distans erit, vel minus: si est aequidistans , parallelogramueli H FGI,&vera est demonstratio Archimedis . si vero no est aequid istas, nihilominus verissima est eadem demostratio. Nassi HI ipsi FG no est quidista patet in primis puctu Q propin quius esse vertici B portionis ABC, qua punctu N, ac per consequens,qua punctum E centrum graui ratis trianguli ABC. Et quoniam lineae HI FG a lineis diuiduntur KF BN LGς
quoniam portiones AKBBLC sunt aequales, erit magnitudinis ex utrisque AKBBLC portionibus compositς centru grauitatis in medio lineςHI. ergo erit pumaum in quo cognito eadem demonstratio Archimedis ostendet centrum grauitatis portionis ABC esse inter puncta E Q. Nam ex verbis ipsius, cum ait, AEuoniam autem trianguli ABC centrum gramiatis ea 'ctum E magnitudinis mero ex triaque Ah B BL composita eis punctum conctas totius portionis A BC centruis gramictis esse in inlinea c Me ess interpuncta AEE. re totius portionis centrum grauitatis propiuquius est mertici tortionis, quam tria -- guli Noe inscripti. manifestu est igitur centrum grauitatis por tionis ABC, siue sit HI ipsi FG aequi distans, siue non aequidistans propinquius esse vertici B portionis, quam cetrum
193쪽
nis, cum inquit Archimes . en lHFGL aer uiseu FI iis P IN. &c. immitando secun- Idam Arctii taedis demon1trationem huius propositionis, vel idelenda sunt verba,parausio animum est HFGI, tamquam 'ab aliquo ad dita, ita ut verba sint hoc modo viii uersalia, e , quoutam aequalis est FN dc quae sequuUuru vel sat for- istasse Archimedi visum est, 1eoltcndisse hoc contingere exi 1tente HI ipsi FG aequid istante. quia si etiam non fuerit HIi aequi distans FG, idem sequi tanquam notum omisit. cum per; facilis sit demonstratio, ut dictum est. Archimcdesque res valde notas i pe praetermittere soleti Hoc idem etiam considerari potest in secunda demonstra tione quamuis verba hanc dissicultarem non habeant. na eadem sequitur demons statio, siue sit HM lineae IN qui disias vel non aequidistansivi ex verbis Archimedis perspicuum et L ... etenim manifestum est centra grauitatis portionum AKB 'ue 'BLC esse in lineis KF LG. similiter centra grauitatis trian-lgulorum ΑΚΒ BLC in ijsdem esse lineis KF LG. ut in puctis IN, quae necessario diuidunt KF LG in partes proportionales, unde FI GN evadunt aequales. & quoniam portionum contra H M s uni propinquiora verticisus KL, quamJ'triangulorum centra IN. ideo necessie est pucta HM in liridis ΚI LN existere. quare sint puncta H M ubicuque in lineis ILN constituta; ductaq; HM, quae siue stipsi IN qui distans,
siue non aequi distans, leni per erit puctum Q propinquius vertici B, quam T. eodemque modo erit punctum Q mediu li- Aneae HM centrii grauitatis magnitudinis exportionib ΑΚΒBLC compositae. liquidem portiones suntςquakn qu quide omnia ex ipsamet demonstratione sunt manifesta. suntque haec eade obseruada in duabus sequutibus demostravonib'.
Data portione rectalinea, rectanguli quhconi i,
sectione c5tenta. in portione figura reictilinea plane inscribi potet ita ut linea intercentrum graui
194쪽
AE EPONDERANTIUM. ionis, ct figurae rectilineae insta iptae, mi ltatis portionis, ct figurae recthneae insta iptae, mi
nor iit proposita recta linea. H ., i
l Datis portis AT , qualis dicta H7. euu ceutrum astitatis fie punctum M. O ini a Maxwmserisasuae trian Eum M EG sitque pro posita recta linea F. in quam pro nimem balet SH ad F, eandem l habeat triangulum .ASC ad spatium h. ivortione autem QEc pia ne inscribatur figura rectilinea MGBLc, ira eis circumretieraportis
l 'si que figuσα inscripta centrum grauitatis sit punctum D aeico lineam H E minorem esse ipsa F. Ramsi non , mel aequalis ea, mei maior . autem: maior est figura re stilinea AGBLC, quam triangulum ABC, maius vero est spactum K portionibus ANG GOB BPL LQC simul sumptis; ideo rectilian is AP ro . GELc ad circi mrelictas portiones maiorem habet prosecudibM' portionem, 'quam triangulum 'APC ad K. hoe eLI Hae ad F. at uel ro PH non baset minoremproportionem ad F quia, habet ad HE. cum non sit rei ν HE ipsa M si enim ponatur H E ipsi F
195쪽
raidistilinea AGBLC ad circuiti rςlictis portionςs in atqsem fhabebit proportionem, quam vi iri L. si sHE maior, quam F, habebit B H ad F, hoc est trianguli l. in BC ad K maiorem proportionem, quam I H ad HE. lmiato igiturna, forem bia prioretio noerrare ui et AG Lc a circu-rebctas portiones, quam Zis ad HE. Uare si fiat tit rectilia inea figura LAGBLC ad circumrelictas portiones , sic alia quaedam hahal oleae EM, M an rammea MGMir istiones ι mavor erit quam H B. habeat igitur ut dictum est HE proportionem eam, quam habet figura AGBLC' ad reli
quas portiones, Μ centrum est grauitatis magnitudi
nis ex circumrelictis portionibus compositae. quod esse non Rotest. Ducta enim recta linea RS per Μ ipsi AC aequidistante in ipsa sunt centra Famjatis et icuique portioni respondentiqua scilicet ut centrum magnitudinis ex portionibus AN G GOB compositae sit in linea RS. sed in parte M R. . in parte verὁ MS sit grauitatis lcentrum magnitudinis ex reliquis portionibus BPL LQCllcompositae 3 ita ut punistum M magnitudinis ex omnibus ilportionibus compositae centrum grauitatis existat. quae tame lesse non possunt. quod idem accideret, si etiam RS ipsi AC aequid istans non esset. Patet igitur HE minorem esse, quam F. Cum neque maior, neque squalis este possit. quod quid- ῶ-mon sirare oportebat
196쪽
quales essent spacio K. Rursus plane adhuc inscribatur in portione ABC nonagonum, deinde altera figura, idque semper fiat, donec circumrelictς portiones simul sint spacto Κ minores. quod quidem fieri posse ibidem offendimus: '
PROPOSITIO. VII. Duabus portionibus similibus recta linea re
ctangulique coni lectione contentis, centra grai
uitatum 1ametros in eadem proportione di scunt.
Sint duaportiones, quales ta EFG. quarum astametri BD FH. filia portionis 4ARC centrum gra/inatis punctum Κ. 1 ias vero EFG punctum L. Pemminandum es, puncta hL m ademproportione diametros aeuidere, ita ut BK ad KD sit, ut FL
197쪽
EI. e inportione EFG rectilineum plane inscribatur, ara ut linea inter centrum grauitatis centrum grauitatis Aurael insiripta minor sit, quam LM.Atque figurae inscriptae centrum graui tatis punctum A. crit utique punctum L propinquuis vertici s. F, quam punctum X. & quoniam LX minor est, quam L M, erit quoque punctum X vertici F propinquius, quam M. D portione autem A C inseribatur figura rectilinea simili tura in portione EFG inscriptae. hoc e Isimiliter plane, sita nempe ut figurς la tera multi ludi ne ςqualia habean tὶ cuius centrum graui talis sit punctum N. & quoniam figurae in porrionibus plane inscriptς habentia tera multitudine aequalia, ipsarum centra grauitatis diametros BD FH in eadem proportione dis p scent. quare erit BN ad N D, ut FX ad XH. positum aute 'fuit ita esse F M ad MH, ut ΒΚ ad ΚD. si itaque punctu X propinquius est ipsi F, quam M; erit&punctum N ipsi B propinquius, quam K. est vero pumstum Κ centiugrauitatis portionis ABC, punctiim vero N centrum figurae inscripte; ergo centrum grauitatis figurς inscriptae propinquius erit verticiportionis, quam centrum ipsius portionis. flera pote I. Manifestum euigitur eandem basere proportionem BK ad KI quam FL ad L H. quod demonstiam oportebat. l
Prςsens demonstratio ea tantum ratione essicax esse videtur, quatenus supponitur punctum L vertici F propinqui' esse,quam M. ex hoc enim sequitur pumstum X este ipsi Fpropinquius, quam M. Vnde euenit absurdum, nempe, pulctum N est evertici B propinquius, quam Κ Quod ii luppositum fuerit Bh ad KD ita esse, ut FP adi Phli fuerit autem P inter LR. tunc centrum grauitatis figuri in EFG
198쪽
plane inscriptae est et inter puncta PHI unde centrum etiamta
figure in ABC similiter plane inscriptς inter KD eueniretι lelletque centrum grauitatis portionis ABC vertici B propinquius, quam centrum figurae plane inscriptae. ideoque nullius accideret absurdur . Quare si s uppositum fuerit FP ad Pi esse, ut BK ad KD, tunc ut eadem demonstratio rei propositae inseruire posset) diuidenda est et diameter BD in Q; ita ut BQ ad QD sit, ut FL ad LH. quoniam maiorem habet proportionem FL ad LH, quam FP ad PH; siquidem maior est FL, quam FP,&PH maior, quam L H. Vt vero
maiorem quoque habebit proportionem BQ ad QD,quam KD. & componendo BD ad D maiorem, quam eadem BD ad D h. 4are maior est D Κ, quam Din &ob id
punctum K propinquius crit vertici B, quam Q. Deinde plane inscribenda es et figura in portionc ABC, ita ut linea inter centrum figurae inscriptae, & centrum portionis minor esset, quam KQ, & reliqua quae tequuntur, ita tamen, Vt quς
facta sitat in EFG, fiant in ABC;&quae in ABC, fiat in EFG. ostendeturque centrum fi urς inscriptς in portione EFG propinquius esie vertici F, quam centrum grauitatis ipsius portionis EFG. quod quidem fieri non potest. Ex quibus peripi
cuum fit demonstrationem esse uniuersalem. &hanc demositationi xpartem Archimedem omisisse, ut notam. Et ut antea admonuimus, quod centra grauitatis diametros in eadem
proportione diuidunt, omnibus parabolis competere iniciligendum est. si quidem omnes sunt similes. quo demonstrato, in sequenti, quo in loco, & in qua diametri parte reperitur cerrum grauitatis paraboles demonstrat, quod ut res perspicua reddatur; haec prius demon strabimus.' L E M M A. I. 'Si magnitudo magnitudinis fuerit quadrupla, minor vero magnitudo alterius magnitudinis sit tripla, maior magni t do utrarumque simul magnitudinum tripla erit. i
199쪽
' i Quadrupla sit magnitudo A magnitudinis BC. sit vero BC alterius magnitudinis CD tripla . Dico magnitudinem Autrarumque simul BC CD, hoc est BD triplam es G .: Quoniam enim BC tIi- .ipla est ipsius CD, erit componendo BC cum CD, hoc est BD ipsius CD quadrupla. sed magnitudo quoque A quadruplausi ipsius BC, eandem igitur i, habet proportionem A ad BC, Vt BD ad CD . &i h lpermutando A ad BD, ut BC ad CD. S: est quidem BC tripla ipsius CD, ergo A ipsius BD tri- opla existit. quod demonstrare oportebat . .
Si magnitudo magnitudinis fuerit sesquitertia,erit magnItudo minor ipsius excessus tripla . Sit magnitudo ΑΒ masnitudinis C sesquitertia; excessus verὁ,quo AB superat C, sit BD. Dico magnitudine C ipsius BD triplamesse. quod qui , . dem ex se pate . Nanu quoniam BD est exces- vsus, quo AB superat C. magnitudo autem ABipsam C superat tertia ipsius C parte, cum sit AB ipsius C sesquitertiab. erit igitur BD tertia pars i-tius C. quare magnitudo C ipsius BD tripla
existit. quod ostendere oportebata. .aei I 'i . l
200쪽
laonia .n. AD multimi mi est ipsius A G, erit m pars ipsi'AD. ac propterea ipsam AD cietur.'rursus quoniam ΑΒ, hoc est AC una cum CBltaria aes ipsius BCperio diuide AC ipsius CBquintupla. uncin B ipsam A ac proseerea etia ipsam AB metiε tuti V autemi AC'id AD, ita I si CB ad aliam' magnitudinEG; erit utique CB ipsi iistiG iG pars tertia cum sit AC ipsius AD pam=quoque p Atertia. Itaque quoniam CB ad Gest, ut AC ad ADP: io
moberit permutando CB ad C A, ut G ad AD. BCvebis, ipsam C A meritiir , eiusque est pars ulniu; erotia a DG ipsam quoque AD metietu's .'em suu tipsu visars P. lsi ab cicquinta. Doniam autem BC ipsam BA metitur, eademque BC ipsam quoque G metitur, erit BC ipsarum AB G communis mensura su a vero AB sextupla est ipsius CB, G vero est eiusdem CB tripla, erit AB ad G, ut sextupla ad triplam. hoc est se habebunt ii dupla proporti me qua Propter in lki 6 AB dupla est ipsius G, ac per consequens G psalmi IO MIGi IiD AB metitur. Soniam igitur G totam AD metitur, &ablatam AB'uoque metitur; metietur G reliquam BD. Gigitur ipsa ruiti AB BD communis existit mensura. &quo iaAB dupita est ipsus G, tota vero AD eiusdem G quintupla, existit, erit reliqua' BD tripla ipsi μs G. Ex quibus sequitui DB ad B Α ita se habere, ut tripla ad duplanta. mare DB ipsius BA sesquialtera existit. quod ostendere Oportebat . .
, Omnis portionis recta linea, rectangulique co lni iniqne contentae centrum grauitatis diametrum portionis ita diuidit, ut pars ipsius ad verti licem portionis reliquae ad basim sit sesquialtera. l . - Y LP l