장음표시 사용
231쪽
parique rationes xtupla ipsius CB ad quadruplam eiusdem CBita se habet, ut sex ad quatuor, hoc est tria ad duo, & Omnes ad o nanes, hoc est composita ex tripla visiusque simul in B PD, et fraenula ipsius CB adcompositam ex dupla utriusquesimvlo B AD, icst quas pia ipsius CB proportionem habes, quam resa ad duo. v texetra Dpli gratia quindecina ad decem, sed eadciti composita ex tripla Umusque si mul AB BD,&sta lupla ipsius Cli ad tres quintas eiusdem composita: cx dupla viri hctquc limul AB BD, de quadrupla ipsius,CB, quae post ia est dccem, habὸt, quam butus. quinque adduo. hoc est ut quindecim ad sex, tres enim quintae ipsius decem sunt sc x. at vcid proportio, quam habet linea coposita ex tripla utriusque simul AB BD,&sextupla ipsius CB ad tres quintas lincae composit ex dupla utriusque simul AB BD cum quadrupla ipsius CB, est aequalis ei, quam habet OB ad FG. ergo erit OB ad FG, ut quinque ad duo. DemonΗratu autem es, AO ad GH proportionem habere, quam qκinque ad duo; tota igitur zo ad totam FH proportionem habet, quam quinque ad duo. Pim, siautem hoc, est quidem FH duae quintae ibias Mae . eod oportebat
Graecus codex post ea verba, qui DE ,rta AC ad B, a non haber, CD ad vae, quae ob ea, quae sequuntur.omninὁ necessaria videntur.ideo postgr caverba, , ετ εο ς desiderari videntur. Vbi autem sunt verba, tet coposita ex dupla utriusque ut, Grae B
In quibus desideratur illa particulo, opia, ideo corrigendus est
hoc modo, ούτω ἀσυγκειμένα εκτε ταβ σμ' σοτεροv, &c. . Praeterca
232쪽
Postremuin theorema,&si non habea i tatam Obscuritate, veluti prς cedens, non est tamen sine aliqua Obsduritate,ob cuius intelligentiam hanc prius propositionem ostendemus.
Si duae fuerint recta lines in parabole ad diametrurn ordinatim applicatae,erit maior parabole ad minoru, ut subus cxl dimidiali nec maioris ad cubum cx dimidia minoris. .
In parabole ABC, cuius diameter BF, duae sint rectae lineae ad diametrum applicatae AC DE. Dico parabolen ABC ad parabolen DBE eandem habere proportionem , quam cub' ex AF ad cubum ex DG. Iungantur AB BC DBBEs iccet
233쪽
que AB ipsam DG in H. Quoniam enim paraboIe ABC1esquitertia est trianguli ABC, itidemque parabole DBEtrianguli DBEsesquitertia existit, erit parabole ABC ad triangulum. ABC, ut parabole DBE ad triangulum DBE. permutando parabole ABC ad parabolen DBE, ut triangulum ABC ad triangulum DBE. Quoniam autem ΑC ordinatim est applicata, unde AF ipsi FG est aequalis, ac per consequens AF est ipsius AC dimidia.erit triangulum ABF dimidium trianguli ABC. cum utraque sub eadem silat altitudine. eademque ratione triangulum DBG trianguli DBE dimi dium existit. quare ut triangulum ABF ad triangulum
DBG, ita est triangulum ABC ad DBE triangulum,ac pro literea triangulum ABF ad DBG triangulum est, ut para bo-e ABC ad parabolen DBE. Cum autem sit HG aequi distans ipsi AF, siquidcm sunt ordinatim applicatae, ob trianguloru isimilitudinem ABF HBG, ita erit FB ad BG, ut M ad HGut autem Fae ad VS G, ita quadratum ex AF ad quadratum ex D G, erit igitur quadratum ex AF ad quadratum ex D G, ut A Fiad HG. quare lineς AF DG HG sunt proportionales. Producatur FZ, ducaturque a puncto D ipsi AP aequi distans, DK, erit utique triangulorum APF DKG anguli ABFiDHG aequales,&anguaus AFB angulo D GK est aequali erit igitur, & reliquus B AF reliquo KDG aequalis, ac propterea triangulum ABF est triangulo D G simile . quare triangulum ABF ad triangulum DKG eam habet proportionem,
quam AF ad DG duplicatam, hoc est quam AF ad HG, quς
est ea, quam habet FB ad BG. atqui triangulum ABF .ad DKG eam quoque habet proportionem, quam 'FB ad G Κduplicatam. tres igitur lines FB GK GB sunt proportionales. ex quibus sequitur ita es le FB ad G Κ , ut AF ad DG; &GK ad G B, ut DG ad GH. sed quoniam trian Sulum G DK iad GDB cum sint sub eadem altitudineὶ ita cst, Vt . ΚG ad BG, si igitur fiat HG ad L, ut ΚG ad BG, erit triangulum G DK ad triangulum G DB, ut HG ad L, C qm autem sit triagulum ABF ad DKG, ut AF ad HG, estque triangulu DKGad DBG, vi H G ad L. ciit ex ς quali triangulum ABF ad triangulum DBG, ut AF ad L. ac propterea parabole ABC
234쪽
ad parabolen DBE eam habet proportionem , quam linea AF ad lineam L. Quoniam autem ita e1h ΚG ad GB, ut HG ad L, & ut eadem ΚG ad G B, ita est DG ad GH. vi vero DG ad GH, ita est AF ad DGι eruiit quatuor lineae AF DG HG L in continua proportione. & quoniam cubi in tripla sunt proportione laterum, erit cubus ex AF ad cubum ex D G, ut AF ad L. cubus ergo ex AF ad cubum ex DG eam habet proportionem , quam parabole ABC ad parabolen DBE. quod dcmonstrare oportebat. loportet autem hanc quoque propositione nobis esse cognitam, nempe quod selida parallelepipeda in eadem basi constituta eam inter se proportionem habent, quam ipsarum altis
Hoc quidem a Federico Commandino in eius libro de centro grauitatis solidorum propositione decimanona demonstratum fuit.
Omnis frusti a rectanguli coni portione abscisii
centrum grauitatis est in recta linea, quae frusti diameter existit, ita positum , ut diuisa tmea in quinque partes aequales, sit in quinta parte media; ita Vtiquus portio propinquior minori basi frusti ad reliquam portionem eandem habeat proportionem, quam habet solidum basim habens quadra- tumex dimidia maioris basis frusti, altitudinem autem lineam aequalem utrique simul duplete minoris basis, ct maiori ad solidum basim habens quadratum ex dimidia minoris basis frusti, altitudine autem lineam aequalem utrique duplae maioris,ct
235쪽
Sit in rectanguli com mnione ABC duae rectae lineae AP DE aequidistantes . diameter mero portionis Aoc sis BF. Intelligaturque frustum ADEC a portione ABC abscissum. Omnes utique lineae ipsis AC DE aequidistantes in frusto ADEC ductae, erunt a linea GF bifariam diuisae , ex quo ρο- tet pridem ipsius A DEC diametrum esse GF, lineasque AC
DE lineae portionem in P contingenti aequid Hantes esse . Recta r Aνeb de mero linea FG in quinque partes aequales ι se , qu.ma para modis sit HK. atque diuidatur H Κ in I , ita ut Hl a Darei. α eanim habeat proportionem, quam habet Iobaeum basim habens comm quadratum ex MF , altitudinem mero linea, aequalem mirisique
236쪽
sit quidem ipsi FB aequalis ΜΝ, ipsi 'Dero Gae aequalis P O.
sumaturque: i rum No media proportionalis in. quarta mero proportionalis TN. lineae nimirum MN NX NON r in continua erunt proportione. in eis TM ad m, ita fiat FH ad quandam lineam a puncto I , H lR, NH--πque erueniat . alterum punctuis R. nihil enim refert, siue inter FG siue inter GB cadat . quoniam in portione rectanguli coni ABC diameter portionis ea FZ; at vero EF , mel principalis ect diameter portionis , et/el ducta diametro aequiaectans . I neae et/ero AF 2DG ad imam. ordinatim Iunt a plicatae , cum ' sint qui dictantes . i contingenti portionem
237쪽
in puncto B. si autem hoc , ea it is FB ad T G longitudine AF ad T Ghoc es
aae m. 'V- ρ eis autem MN ad NO An tu ine, ita est MN ad Nx potentia qualido cluidem tres lineae MN NX No sunt proportio--um Anales. it igitur GF ad vG potentia, ita ea . MN ad ,ό potentia. quare, in longitudine in eadem sunt proportiones urAF ad D G, ita MN ad N X. sicut itaque cubus ex MF,
adcubum ex PG, ita cubus ex MN ad cubum ex Verum it cubus ex AF adcubum ex D G, sic portio M SC ad portio nem DSE. vi igitur cubus ex MN adcubum ex NA, ita portio ABC ad portioncm DBE. sicut autem cubuae ex adeubum ex in , ita N ad NT. cum sitat quatuor linea MN NX NO NT in continua proportione. ac prUpscreaerit portio ABC a l portioncm DBE, ut MN ad N T. stare in Huidendo fructum MDEC ad portionem ΒΓΕ est, vili MT at Quibi vero,ut factum fuit, ita est MT ad TN,I' 'ut FH ad IR, est vero FH ipsius FG tres quintae, erit frustum ADEC ad portioncm DBE, ut FH ad I R. hoe ea tres quintae ipsius GF ad IR. . quoniamsolidum basim habeus quadratum ex MF, altitud nem mero lineam compositam ex dupla i in D G, eri a MF, adcubum ex GF proportionem baber, quam solidi altitudo ad altitudinem cubi, siquidem sunt in eadem basi. tam enim solidum , quam cubus basim habet quadratum ex AF . idcirco solidum basim habens quadratum ex AF, altitudinem vero lineam compositam ex dupla ipsius DG,& ipsa AF adcubum ex AF eam proportionem habebit,quam solidi altitudo, dupla, scilicet yius ae G cum linea MF ad altitudinem cubi, hoc est ad FA. At vero quoniam ostensum est ita esse AF ad D G, ut MN ad NX, erit conuertendo DG ad AF, ut NX ad MN, anteccdentium dupla, hoc est dupla ipsius DG ad AF, ut dupla ipsius NX ad MN. & com-lponendo dupla ipsius DG cum AF ad AF, ut dupla ipsius i NX euro MN ad MN . Oaremit solidum basim habens
quadratum ex AF, altitudinem vero lineam compositam ex
dupla ipsius DG cum AF ad cubum ex AF, judupla ipsius in
cum linea Nu ad ea autem cubus ex AF a Jcubum ex D G, ut cubus ex MN adcubum ex NX, ut ostens umest,
238쪽
cubus vero ex MN ad cubum ex NX est, ut MN ad Nierito mi radi- ex. adcubum ex D G, ita MN ad I T. sicut autem rubin ex DG adsolidum basim babens quadratum ex D G. altitudinem meia lineam eompositam ex dupla ipsis AF, cum linea D G, ita altitudo cubi ad altitudinem ibi idi, cum sint in ea. dem basi , quadrato nempe ex DG. erit igitur ut cubus ex
DG ad solidum basim habens quadratum ex DG, altitudinem verbi in eam compositam ex dupip ipsius AF cum linea DG , ita cubi altitudo DG altitudinem ibi idi , ad lineam scilicet compositam ex dupla ipsius MF , CP linea DG. QAoniam autem ita est RF ad DG , ut MN ad NX , ut vero MN ad NX, ita Noad NT. cum sint MN NX NO NT in continua proportio lxx. Mati. ne,erit AF ad D G, ut No ad NT. & antecedentium dupla, t
239쪽
hoe est, dupla ipsius AF ad D G, ut dupla ipsius No ad N T, dc componendo, dupla ipsius AF cum D G ad DG, ut dupla ipsius No cum N T ad NT. & conuertendo DG ad duplamiosius AF cum DG, ut NT ad duplam ipsius No cum N C. stareo et/t se habct cubus cxDG adibit dum basim habens qua diatum ex D G, alti rudinem vero compositam ex dupla ipsus AF cum DG , ita est ad compositam ex dupla ipsisu ON, tinea TN. Itaque ex i3s, quae dicta s unt, ita se habet solidum basim habens quadratum ex AF, altitudinem vcro lineam compositam ex dupla ipsius DG, &linea AF ad cubum ex AF, ut dupla ipsius NX cum NM ad MN, cubus vel ὀ ex AF adcubum ex DG est, MN ad NT ; ita deinde se habet cubus ex DG ad lidum basim habens quadratum ex D G, altitudincm velo lineam compositam ex dupla ipsius AF, - ει ipsa D G, ut NT ad compositam ex dupla ipsius No, &ipsa NT. Sunt igitur quatuor magnitudines solidum basim babens quadratum
ex divi , ue m ,n in ipsa AT , tib sed Di praes inim soli- dum habens qud diatum ex AF, alii tui si nem jus i 5 1 lineam si inpostam ex dupla ipsius . . . Stipsa AF ad Akium subdum basim habens quadratum ex DG se altitudia ne is compositam ex dupla ipsus' AF & ipsa DG .fagum fuit HI ad IK. τι igitur Hi ad. α ἰ
240쪽
ipsius No cum NT. 'ec mendo Hic, ad ΚI. , ut dupla ipsius NX cum MN, de dupla. ipsius Noaeum NT ad compositam ex dupla ipsius No cum NT, quia verom hoc antecedenti semel 1umitur MN, &1Mel NT, bis veris NM dc bis NO, erit HK ad KI, ut utraque simul MNNT, ε du, pla utriusque simul NX NO ad duplam ipsius, NO, de ipsam NT. in antecedentium quini via. quini apta veris an recedentis ΗΚ est FG, quintupla ruerba terius an rccedentis MN N lde duplae utriusque simul NX NO est quintupla vinusque si- lmul MN NT, de decupla utriusque simul NX NO. dec pla enim est quintupla duplae . ad viqiuinta almiri quesimul MN NT, , decupla viris uesimus NX A addupiam ipsis Ox o immora FG ad FK, meo duae iam taei ivi FG, itaqωntvla viri que=- ΜΝ P T decvlai rei quesimul P X P γγ adduiam tria iusimur Ie NT, l