장음표시 사용
301쪽
igitur libra citi in ECF, linea CD erit puta in C G; qua cum non sit horizonti perpendicularis; libra ECF in ACB redibit.
quod idem eueniet, si centrum C supra libram constituatur, Vem H. Si vero arcus, siue angulus ACB, sit infra lineam AB; eodem modo libram ECF, Cuius centruna, siue sit in C, siue in H, de- Oisum ex parte F naoueri osten-
302쪽
Si vero centrum librae sit D, quocunque modo mouςatur libra; ubi relinquetur,manebit. Si deinde punctum iri sit infra lineam AB, tunc libra E KF deo sum ex parte pmouebitur. Similique prorsus ratione, si angialus ACB sit infra lineam AB, sitque librae centrum Η, sustineaturque libra linea C H, si libra ab hoc moue tur stu, deorsum ex parte ponderis inferioris mouebitur. de si centrum ILbrae sit D, ubi relinquetur, manebit.si vero sit in K, si ab elusinodi m eatur si tu,in eundem prosus redibit.quae omnia ex hiquae in principio diximus,sunt manifesta. similiter si centrum librae, vel in altero br ehisrum,uel intra,vςl ex ira utcunque ponatur, e dominueniemus
303쪽
pondera in ι ra appensi, silibra inter haec ira diuidatur , ut partes ponderibus permutatim restondeant f tam in punctis appensis. ponderabunt, quam utruqua ex diuisi is punctosiuspendamt r.
RA B libra,cuius centrum sintque duo pondera EF expuuctis BG suspensa: diuidaturque BG in H, ita ut ΒΗ pd HG candem habeat proportionem, quam pondus E ad pondus F. Dico pondera EF tam in BG ponderare,quim si utraque ex puncto HsiaspendamRr sae a C ipsi CH aequalia &νt A C ad CE, ita sat dus B ad 'dus L. smiliter ut AC ad CB, ita fiat pondus
F aci pondus M. ponderaque LM expuncto Asuspendantur. Quoniam enim Α C est aequalis CH, erit a C ad CH ri pondus M*d pondus F.& quoniam maior est B C., quam C H ; erit, & poni ,. hQu. Mi pNFm uus diuidatur igitur pondus M in duas partes cris. R, sitque pars inps F squalis; erit BC ad CH, ut RQ ad Q: &diuidendo,ut B H ad H ita R ad Resdeinde conuertendo, cquunii, H ad H B, ita md R. Pretterea quoniam C H est eo ualis ipsi CA, erit H C ad C G, ut pondus E ad pondus L: maior autem est ij. Quiri. qV rix pondus E pondere L maius. diuidaturitata HC ad CG, ut totum N O ad O, &diuiden invi H G ad G, .uuiis N ςQ0Mς xς doque Ur CG ad GF . ita O ad N. &iterum componendi,ut C H ad H G, ita O N ad N. vi autem GD. Quin m UR F ad O N. quare ex Musi,ut C H ad H B, i ta F- F ad N; permutando,ut L ad Ε, ita R ad N. est a ni pars a ipsi F aequalis; quare&pars R aps N equalis erit Itaque cum pol us ilip i aequale,&pondus F ipsi ratiaqquale, atque pars
304쪽
R ipsi N aequalis; erunt pondera LM ipsis EF ponderibus a qua- quoniam est,ut AC ad C G, ita pondus E ad pondus L; pondera EL aequeponderabunt.similiter quoniam est,ut AC ad CB, hei ita pundus F ad pondus M;pondera quoque F M aequepondera-dς umbunt. Pondera igitur L M ponderibus E F in BG appensis aeque- ponderabunt.cum autem distantia C A aequalis sit distantiae CH; si in igitur utraque pondera EF in appendantur,pondera L M ipsa EF ponderibus in H appensis aequeponderabunt.sed LM ipss E i. m. F in GA quoque ςqueponderant. aeque igitur grauia erunt ponde ' ra EF in C n, ut in Id appensa tam igitur ponderabunt in B G,qua
in Id appense. Sint autem pondera E F in CB appensa sique Clibrae centrui Et diuidatur Cain H, ita ut C Η ad HB si,ut pondus in F ad E. Dico pondera EF eam in C B ponderare, quisi in puncto H. fiat C A ipsi CP aequalis,&ut CA ad CB, ita fiat pondus F ad aliud D, quod appendantur in A. Quoniam enim C H est aequalis C A, erit CH ad CB, vir ad D, & maior quidem est C B, quam C Η, idcirco D pondere F maius erit. Diuidarur ergo D in duas partes G Κ, sitque G ipsi F aequalis; erit ut BC ad C H, ut G K ad G &diuidendo,ut B H ad HC,ita Κ ad G; & conuertendo,ut C H adH B, ita G ad K. Vtautem C H ad H B, ita est F ad E. vi igitur G ad K, ita estFad E; & permutando ut G ad F, ita K ad E. simi ij. in autem GF aequalia; erunt& Κ E inter sese Musia.cum itaque pars A G siit ipsi Faequalis,&Κ ipsi Et erit totum GK ipsis E F ponderi-quimi. bu saequale.& quoniam AC est ipsi CH aequalis: si igitur ponderar F ex puncto H sispendan ruri pondus D ipsis EF in H appensis is, inina queponderabit.sed& ipsis inluepoderat in C B,hoc est F in B, &Ε in C; cum sit ut AC ad CB, ita Fad D. pondus enim E ex ςentro librς c suspensum non essicit,ut libra in alterutram moueatur partem. tam igitur grauia erunt pondera EF in CB,quam in H appensa.
305쪽
Sit denique libra ΑΒ, &expunctis AB suspensa sint pondera EF: sitque centrum librae C intra pondera; dividaturque A B in D, ita ut AD ad DB sit,ut pondus F ad pondus E. Dico pondera EF tam in A B ponderare,quam si utraque expuneto D suspendanmrfiat CG aequalis ipsi CD; & ut DC ad C A, ita fiat pondus E ad aliud H; quod appendatur in D. ut autem G C ad C Lita fiat pondus F ad aliud Κ; appendaturque Κὶ G. Quoniam enim est, ut BC ad C G, hoc est ad C D,ita pondus Κ ad F; erit Κ maius pondere F.quare diuidatur pondus Κ in I,& M N; fiatque pars L ipsilis; erit ut BC ad CD, ut totum L MN ad Ls &diuidendo, ut BD ij.Quinti ad D C, ita pars M N ad partem L. vi igitur B D ad D c, ita pars M N qVΤm ad autem A D ad D B, ita F ad E: quare ex aequali,ut A D ad Dc, ita MN ad E .cum verbAD stipsa CD maior erit & pars MNi -.qui mi. pondere E maior:diuidatur ergo M N in duas partes M N,s tque M... h. aequalis ipsi E. erit ut A D ad D c,ut N M ad M; & diuidendo, ut Ai 1.quinti. C ad C D, ita N ad M: conuertendoque vi Dc ad c A, ita M ad N. v t' autem D c ad c Α,ita est E ad H; erit igitur M ad Nut EadH;&per Archi. dς mutando,ut M ad Ε, ita N ad H. sed M E sunt inter se aequalia, eriith H inter sese quoque aequalia.&quoniam ita est AC ad CD, ut Had E:pondera H Earqueponderabunt sipalliter quoniam est ut G Ciches. ad CB, ita Fad Κ, pondera etiam x Faequeponderabunt. ponderatio. huius. igitur B x H p in libra A B, cuius centrum C, atqueponderabunt. cu
dera NHaequeponderabunt. Δ quoniam Omnia aequOponderant,
demptis ii N ponderibus,quae aequeponderant, reliqua aeque ponderabunt,hoc est pondera EF& pondus LM ex centro librς C siuspensa.
306쪽
spense. qtita vero pars L ipsi F ess aequalis,A pars M ipsi E ae o talis et litotum LM ipsis FE ponderibus simul sumptis aequal Λ ci ai sit CG ipsi CD aequalis, si igitur pondera EF expu- D suspendantur,pondera EF in D appensa ipsi LM tquc- ponderabunt. luare LM tam ipsis E F in A n appensis aequepos Uc rant,quam in puncto D appensis. libra enim semper eoὸcmmCuc uianet. Pondera erEo EF tam ita AB ponderabunt. quam
m puncto D. quod de montire oportebar. ius. Ilac Mιt omnia ne unice tamen magis9aliter ostendemus.
Sit libra AB, cuius centrum C; statque ut in primo casu duo pondera EF expunctis BG suspensa: sitque GH ad H B, ut pondus Fad pondus E. Dico pondera EF tam in Gn ponderare,quam si uvaque ex diuisonis puncto H suspendantur. Construantur eadem,hoc est fiat AC ipsi CH aequalis,&ex puncto A duo appendantur pondera L M, ita ut pondus E ad pondus L, sit ut C A ad CG; ut autem C B ad C A, ita sit pondus
M ad pondus F. pondera LM ipsis EF in GB appensis ut
supradictim est aequeponderabunt. Sint deinde puncta No centra grauitatis ponderum EF; connectanturque GN BO; iungaturque N O,quae tanquam libra etit;quae etiam efficiat lineas GN BG inter se se aequidistantes esse; a punctoque H horizonti perpendicularis ducatur H P, quae No secet in P, atque ipsis GN B O sit aequidistans. denique connectatur G O, quae H Psecet in R. Quoniam igitur HR est lateri go trianguli G BO aequidistans; erit G H ad HB, ut OR ad RO. similiterquOniam R P est lateri G H trianguli OG qui distans erit GR ad RO, ut NP ad PO. quare ut GH ad HB, ita est NΡ ad PO.
307쪽
ut autem C H ad H n, ita est pondus F ad pondus E; ut igitur NP ad P O, ita est pondus F ad pondus E. punctum ergo P centrum erit grauitatis magnitudinis ex utrisque EF ponderibus compositae. Intelligantur itaque pondera EF ita esse a libra No con nexa, ac si una tantum estet magnitudo ex utrisque E F composita, in punctisque BG appensa. si igitur ponderum suspensiones BG soluantur, mancbunt pondera E F ex H P suspensit; sicuti in GBprius manebant. pondera vero EF in GB appensa ipsis LM ponderibus ςquepol derant, pondera EF expuncto H suspensa,eandem habent constitutionem ad libram AB, quam in BG appensa: eadem ergo pondera E F ex H siispensa eisdem ponderibus LM a 'ii eponderabunt. aeque igitur sunt grauia pondera L F in G3, Vtin H appensa. Similiter demonstrabitur,pondera E F in quibuscunque alijs putas appensa tam ponderare, quam si utraque ex diuisionis puοι H suspendantur.si enim ut sirpra docuimus in libra pondera inueniantur,quibus pondera EF aequeponderentieadem pondera EF ex H suspensa eisdem inuentis ponderibus aequeponderabunticum punctium P sit semper eorum centrum grauitatis; & H P horizon perpendicularis.
308쪽
Pondera 'aequalia in libra appenseam infrauitate propertionem habent quam dinantia ex quibus appenduntur.
sit libra B A C suspensa expuncto A; &secetur A C utcunque in D: expunctis autem DC appendantur aequalia pondera EF Dici, pondus p ad pondus E ea in grauitate proportionem habere, quam habet distantia C A ad distantiam A D. fiat enim ut C A ad A D, it ipondus p ad aliud pondus, quod sit G. Dico primum pondera G Fexpuncti C suspensa tantum ponderare ,'quantum pondCra EF cxpunctis DC. secetur DC bifariam in H, Mex Happendantur utra i Hμ μ'
que pondera E p . ponderabunt E F simul sumpta in eo si tu, quantum ponderant in D C. ponatur B A aequalis A H, secetu rq u e B A in Κ, ita ut sit ΚΑ aequasis AD: deinde ex puncto B appcia datur pondus L duplum ponderis F, hoc est aequale duobus ponderibus Ε quod quidem aequeponderabit ponderibus E p in Happensis, hoc est appensis in D C. Quoniam igitur,ut CA ad AD, ita est pomius: in Fad pondus Gserit componendo ut CA AD ad AD, hoc est ut CK ad Amta pondera FG ad pondus G. sed cum sit,ut C A ad A D, itas pondus ad pondus G; erit conuertendo,Vt D A ad AC, ita po- ira dus G ad pondus F; &consequentium dupla, ut D A ad duplam ip- quinti. sus A C,ita pondus G ad duplum ponderis F, hoc esst ad pondus L. Quare ut CK ad D A, ita pondera p G ad pondus C; & ut AD ad duplam ipsius AC, ita pondus G ad pondus Ls ergo ex aequali, ut C '- Plin-Κ ad duplam ipsius A C, ita pondera F G ad pondus L. sed ut C x ad duplam AC, ita dimidia CK, videlicet A H, hoc est BA, ad AC. Vt igitura A ad AC, ita FG pondera ad pondus L. Quare ex sexta eiusdem primi Archimedis, duo pondera pG ex puncto C stispensa tantum ponderabunt,quantum pondus L ex B; hoc est quantum H pomi Ia
309쪽
pondera L F ex punctis D C suspensa, itaque quoniam pondera FG tantum ponderant,quantum pondera E F; sublato communi ponde, . 4 ii ς ponderabit pondus G in C appensum, quam pondus E in ii. D, ac propterea pondus F ad pondus E eam in grauitate proportionem habe t,quam habet ad pondus G. sed pondus F ad G erat, veC A ad A D: ergo & p pondus ad pondus E eam in grauitate proportionem habebit,quam habet C ri ad AD. quod demonitrare opor
Si vero in libra BA C podera EF Hualia ex punctis BC suspendantur; similiter dico pondus E ad pondus P eam in grauitate proportionem habere,quam habet distantia C A ad distantiam AB. fiat AD ipsi AB aequalis,& ex puncto D suspendatur pondus Gaequale ponderi F.; quod etiam ipsi E erit squale. & quoniam A Dest aequalis ipsi A B, pondera FG aequeponderabunt.eandemque bab bunt grauitatem .cum autem grauitas ponderis E ad grauitatem ponderis G sit, ut C A ad A D; eritgrauitas ponderis E ad grauitate ponderis F, ut CA ad AD, hoc est C Αρd A B. quod erat quoquς
ostendendum. ALITER. sit libra B A C, cuius eetrum A, in punctis vero BC pondera appendantura qualia GF; sitque primu
B C. Dico pondus F ad pondus G eam in grauitate pro- poitionem habere, quam
habet distantia C A ad distantiam AB. fiat ut BA ad AC, ita pon
dus Fad aliud H, quod appendatur in B. pondera H Fex A aeque ponderabunt. sed cum pondera F G sint aequalia, habebit pondus HK. Primi ad pondus G eandem proportionem,quam habet ad F. vi igitur Cis,hites A ad A B, ita est FI ad G. vi autem H ad G, ita est grauitas ipsius Hy Q'in i, ad grauitatem ipsius G, cum in eodem puncto B sim appensa.quaro ut C A
310쪽
ut C A ad A B, ita grauitas ponderis H ad grauitatem ponderis G. sum autem graui tas ponderis F in C appensii sit inlualis grauitati ponderis H in Rerit grauitas ponderis F ad gi auitatem ponderis G, ut C A ad Aa, videlicet ut distannia ad distantiam. quod demonstrare Oportebat.
Si vero libra B A CseCetur utcunque in D.& in D C appendantur pondera aequalia E F. Dico similiter ita esse grauitatem ponderis ad grauitatem poderis E, ut distantia C A ad distantiam A D. fiat B aequalis ipsi A D, & in B appendatur pondus G aequale ponderi Ε,& ponderi F. Quoniam enim A B est squalis A D; pondera G Eaequeponderabunt.sed cum grauitas ponderis F ad grauitatem ponderis G sit,ut C A ad A B,&grauitas ponderis Esit aequalis grauiti ii ponderis os erit gauitas ponderis F ad grauitatem ponderis E, ut C A ad A B, hoc est ut C A ad A D. quod demonstrare oportebat.
Ex hoc manismum esi , quo indus a centro librae nragis di Geo gramius consequo velocius moueri. Himpraeterea natera quoque ratio facile omniatur.