장음표시 사용
61쪽
' Mis . sint aequales,erit G centrum grauitatis magnitψdinis ex AF compositae, quia vero AB eit ipsi EF aequalis, resi qua BG ipsi GEaequabs existet. & sunt magqitudines BE ςquegra, ues, erit idem G centrum grauitatis maguituduiu d E. ter cum sit BC aequalis DE, relinquetur CG ipsi GD ς qua lis; magnitudinesque CDiuntςquegraues. ergo puctum G cetrum est quoque mas ni id inum g . Vs de sequitur,punctu C magnitudinis ex orditibus magnitudinibus Ag CDEF c5- positae centrum frauitatis existere. ν Hoc quoque loco verba illa mgnitudinesqι se ae inumbat rint
grauitatem. Graecus codex.ita mendose legit. ια τάμωα - e
quidem verba hoc modo restitui eouunt. In praecedenti propositione ostendit Archimedes, quesnio do seda abet centrum grauitatis magnitudinis ex duabus in dignitudinilaus squalibus ponapo sit r. In hac autem dein ultrῆl, ubi si dijli ter Frauitatis ccntrum reperitiir in ter plures mas nitudines quegraues N snter se ςqualiter distantes. exqvibus tandem colliget fundamentum epi s dictumgnitudines queponderare debent, ita se habebit magnitudinum grauitas ad grauitatem , ut se habent distantiae permutarim, ex quibus sulpenduntur. & hoc dc monstrat Archimedes
in duabus sequentibus propositionibus. nam maSnitudincs, vellunt commensurabiles intersese, vel incomnaensurabiles. de commensura hilibus aget in sequentii dein commensurabilibus verὁ in septima propositione. & Archimcdes duas seque-tcs propositiones ueluti coniunctas proponit. Nam in sexta inquit Magnιtudines in f ptima uerὁ in quit,Sι amem magnitu eouerint incommensurabitis, quasi una tatumdit pyopositio tui duas partesdiuila. ita uiuacqμις arum ris
si duς fuerint magnitudines inaeqWales, quarum qio si
Alterius dupla tertiquero qu dam . magnitudo min rem m
62쪽
tia tuta maiorem quoque an parteS numero pares metietur.
Sint du in quales imagni tudines AB, sitque A ipsius - B duplex. magnitudo' auiali M . yaei Ai: Dii C magnitudine B metia-ὶ . e tur. Dico C magnitudino i i t i A metiri, mensurationesque numero pares esse . imoniam enim C metitur B, eodem numero C metietur miaietates
ipsius A, quae sunt ipsi B aequale ergo duplo plures erum numero mensurationes ipsius A quam ipsus quare mens iratioties ipsius Α sunt numero pares. duplum enim semper paritatem secum affert. quod demonstrareoportebat Porro maxima in his duabus inuentibus propositionibus adhibenda est diligentia,quibus tota rerum Mechanic uum ratio innititur. QDcirca ut harum propositionum demonstrationes perfecte intelligere possimus; praeter eos argumen. tandi modos, quorum ante quintam huius propositionem meminimuη alterum quoque modum, quo Archimedes in hac sexta propositione utitur,nouise oportetivi scilicet,signitudo A aequeponderat ipsis BC faeta suspensione extio ita scilicet, ut D silcentrum grauitatis magnitudex omnibus ABC magnitudinibus compositae; ip irrum
63쪽
compos et in ,aυkr autus Vero ponoe: Mi L C a situ ib C, inici gant urque p0ndc . E conlutulas hoc cst 'num sis pondus ex ipsis si rhul iunctis com i oti tutia, cuius cetium g-uitatis sit in E coniti tutum; tunc ea cara potentia in E co dem modo hoc pondus sustinebit; piopterea quod code modo qritIIquaginta tantum sustinebit. Quare ponderii BC in ex distanti js EC EB grauitan quam si utraque in. E conisi tuta fuerimi; vel quod idcm est, quam pondus ipsis BC simul aequale in L positum. Ex quo patet id, quod initio prς
fati sumus,nempe, Vnumquodque graue in eius centro grauitatis proprie grauitare. Quocumque enim modo eade grauia sese habent, eodem semper modo in eius grauitatis cetro grauitant
Quibus cognitis, intelligantur nunc grauia BC in linea C A posita e sic; ut in superiori figura :&ut quod propos tum fuit, ostendatur; hoc modo argumcntari licebit. Quoniam enim magnitudines BC suam habent grauitalcm in E , siquidem Proby tantum iotelliguo turri agnitudineς conii posita, u punctum iE centrum gi, uitatis existit, in i cuida velo figura magnitudo E smiliter suam Faber g quitat in pnμβο Eἡ quod est jus ceno ii grauimus a Rueis 'gni V
64쪽
do E est ipsis BC simul sumptis etqualis. distantiς vero A D. DE sunt aequale cum si ut sedem Ierit utique punctum D. in secunda figura centrum.graui talis magnitudinis ex AE cqmpositae,veluti D in prima figura ipsarum ABC centriam grauitatis existit. ac propterea in utraque figura pondera aeque-
Caeterum hoc quoque ostendemus hoc pacto.
Iisdem namque positis; aequeponderarent scilicet grauiα ABC facta ex D suspensione. stque punctum E lcentrum grauitaris ponderum CB. quae quidem pondera CB grauitatiscentrum habeantin linea CB. Dico pondus A ponderi ipsis CB simul sumptis aequali in E constituto aequeponderare. Mente concipiamus distantias ECEB, manente centro Ε, icirca ipsim circumuerti posses ut modo sint in FEG, modo in HE K. similiteri telligantur pondera CB, modo in i FG, modo in HΚ existere. Quoniam . igitur punctum E centrum est grauitatis ponderum CB3I erit idem E cum situm non mutetὶ centrum grauitatisponderum insitu FG, . ac ponderum in HΚ existentium. Quia vero unumquodique pondus sex dictis proprie n eius centrograuitatis grauitanpondera simul CB siue sint in FG, siue in HΚ, proPile in pancto E grauitabunt. . At vero quoniam idem, H pondus
65쪽
t pondus unam & eandem semper habet gra4Iti reui,etit pod lex CB compositum aequegraue tam 'in quam in FG, & in sim H K. considera Adu nempli pondera CB u revera sunt, nil aliud esse nisi unuarii tantii di pitandu tex G compoti tum .' quibus periplexiuin est, pqnitum E eoden, semper modo grauitare. i Uare quoniam pondou CZ itidiq tu CB ipsi A qqueponderant. statim hie n 'bintsumuiraetem in puncto Eue eadem pondera C B liue sint in FG , siue in ΗΚ, eidem ponderi A aequeponderabunt. si quidem propries emper grauitant in E, & eandem semper habent grauitate Intelligatur denique ΗΕΚ in centrum mundi tendere; runtvlique utraque pondera HK, tanquam in puncto E costituta,vt cx prima propositione liostro tum Mechanicorum elici potest, quamuis per se notum sit si quid cm scors atra. pondus Hiecundum eius centrum grauitatis proprie grauitat super puncto EI pondus vero Κ eli, tanquam ex E appensum; unde Nin eodem puncto E quoque grauitar. Itaque quoniaambo proprie grauitant in E, erunt pondera HK perinde, ac si unum esser pondus ipsis ΗΚ, hoc et ipsis CB aequale, cuius centrum grauitatis sit in E coniti tutum. at vero pondus
A ipsis CB in situ HK existentibus aequeponderat. em' idepondui Aipsis CB in E conlututis, hoc cst ponden ipsis CBiimul sumptis ςquali i in E posito atqueponderabiti quUd dc-
monstrare oportebar. . i' l Hi P
Quod idem quoque, si pluta essent ponderat,' similiter o
Valet itaque consequentia, puntium D centrum ingrauitatis magnitudinis ex ponderibus ABC compost K Ii ergo i
idem punctum D centrum est grauitatis pondo; is in A, &poderis ipsis BC sin 1 ut quali in si cishstituti. exqupconicquitur, quὀd si magnitudines ABC ex D aequeponderant, ergo ex eodem D magnitudo ipsis BC simul aequalis in E posita, Ac magnitudo A aequeponderabunt.qubd si recte perpendamus, nil aliud sunt pondera in BC, nisi mognitudo in E constituta. si quidem punctum E. ipsius centrum grauitatis
In nostro autem Mechanicorum libro in quintae proposi
66쪽
tione tractatus dς libra duas itulimus de imonstrationes ses c
tes duo pondera vi CB tam in punctis CBronderare, quam si utraque ex puncto E suspe udantur. At veru quo ni in demonstrationes ibi allata: ijs indigent, quς Archimedes in sequenti sexta propositione demonstra uir, idcirco demon stra tioncs illae huic loco non sutit oportunae, ut ex ipsissumi possit mn- quam demonstratu na poendera CB, tam in punctis CB ponderare,quam si utraque ex Disi pendantur. Date hinc loco h tantum susticiant rationes, quae dictae sunt. Ex quibus pQtest Archimedes distam consequentiam colligere; nempe magnitudines ABC ex D aequeponderant, a uisantu au zm BC, loco ipsarum utrisque simul ςquegrauis pota attar magnitu' do in E; similiter lige maenitudo ipis A aequeponderabit Postea vero ex ijs, quae Archimedes demonstrauit, fieri potest regressuqui apertius, manifesti lilque cognoscim valeamus, pondera BC ita ponderare, ac si utraque ex piin sto E suspen
C terum hoc loco Archimedes non solum de duobus,veruetiam de pluribus ponderibus idipsum intelligendii admittit. visi magnitudines STVXZM aequeponderent facta suspesione expun isto C. sitqRe magnitudinum M Z cenitu grauitatis D, ipsarum vero S TVX sit centrum gravitatis E. si itaque magnitudines STV X, dc ΖΜ ex Caequeponderant; auferantur
STVX, quarum loco ponatur in E magnitudo ipsisSTVX simul sumptis ςqualis Maseranturque ZM, arque ipsaru loco eo natur in D magnitudo ipsi ZM,simul squalis; tunc licet in erre, ergo hae magnitudinis in. LD postae, queponderabunt. Quod quidem ijsdem prorsus modis ostendent . yraeterum si mente coucipiamus distantias, ES EX,
67쪽
nec non magnitudines STVX in suis distanti js circa centrugrauitatis E circumuerti posse, veluti distantias DZ DM, magnitudinesque ZM circacentrum D. moueantur autem SEX, &ZDM, donec in centrum mundi vergant. similiter ostendetur magnitudines STVX esse,ac si in E essent appen, siue constitute; magnitudines vero ZM ac si in D pos tae fuerint.&c. Ex quibussequitur, si punctum C centrum est grauitatis magnitudinum STVXZM. ponatur magnitu .
do ipsis STVX simul sumptis qualis in E; magnitudo autem ipsis ZM simul aequalis in D; punctum C similiter
ipsarum quoque centrum grauitatis existet. Vnde utroquem, do aequeponderabunt.&ita in alijs, si plures laetint magnitudineS.
Magnitudines commensurabiles ex distantijs eandem permutatim proportionem habentibus,
Ut grauitates, aequeponderant.
commensurabitissint magnitudines AP quarum centra grauita tis distotia te habet grauitas magnitudinis ad grauitatem magnitudinis ira si di iu C ad Fctantiam E. Octendeta est, si centra grauitatis AB fuerint in punctis ED constituta, hoc est A in Ε, & B in D; magnis misex virisque magnitudinibus compositae emi gramiatis essemctum C. Horiam enim ita est magnitudo-ad magnitudinem B, me aec ad magnitudo A i, B commensurabilis; erit m CD ipsi CE remmenμrabilis, Mesrecta linea rectae lineae commensurabilis existeti mare 'sarum Ecc D communis reperitur mensi . quae quidem sit N. deinde '--
'si Ec aequalis 'γtraque DF DK ι ipsi mero aec aequalis M. in 'quoniam aequaliseu DG is communi addita CG, erit D l si EG aqualis, sed DC est ipsi EL qqualis:e Mititur αν h/M EG.quare utraque L E EG qualis est ipsi DC. aena .
68쪽
rea dupia eu LS 'sius m . quia vero utraque D G DK aequalis facta es ipsi CE , erit cripsi quoque nΚ ipsius CE dupla. are N etniariu LG Gh mititur, cum in ipsarum medietates DC CE
metiatur. Et quoniam magnitudo A isa est ad magnitudinem lis, ut PC ad CE, ut autem DC ad CE, ita es LG -GΚ, utra rue imitriusque duplex existitis quidem LG dupla est ipsius DC,& GK itidem ipsius C E duplex erat magnitudo A ad magni-l iitudinem B, ut LG ad Gh; & conuertendo magnitudo B ad magnitudinem A, ut KGad GL. aeuo plex autem ect LGipsius totvlexsit magnitudo A i us F, erit mrique L G ad V, et1t magnitudo A aa F, atquieII KG ad LG , ut magnitudo B ad magnitudinem-LG vero ad N est, ut magnitudo A ad ipsa F,ex aequali igitur erit KG adH, ut magnitudo B a F.quare aequemultiplex est hG ipsius meiati magnitudo S i us F. demon ratu aut est reing itudineis imus F multiplicem esse,sividem est magnitudo A ad ipsam Rut LG ad N, quae quidem LGmultiplex est ipsius N. qua propter F ipsarum AB communis eximi mensiura. Jtaque diuisa LG in partes L H,H E,EC,CG , ipsi V aequales, cadent utique diuisiones in punctis EC, quoniam N ipsa EC 'ibi is metitur,nec non ipsam quoque L E metitur; cum sit LE ipsi CD aequalis. eruntque diuisiones L H, HE, EC, CG, numero pares cum N dimidiam ipsius LG, hoc est CD metiatur.
69쪽
eri Imrisui ipsiFaerebia. Dividantur letiiones LH,AE,EC, CG bifariam in punctis STVX. si itaque in et ar Minminei us LG, apponatur magnitudo aequalis iis F, quη ceἡt' o a uitati habeas in me sectionis; istin LH ponatui, agni uclas, in HE. magia, ludo, T. in EC, magnitudo V, ii in CC magnitudo X, jpiatumquc unaquaeque S TVX sit ipsF aequalis: habeat vero inpgnitudo S suum gr/vitatis ςtauui quod sit punctum S, in medio sectionis LH, nempe in pu
70쪽
LH, HE, EC, CG, interse sunt aequales; erunt ST TU UXterie aequales. quare lineae inter centra Trauriatis magnitud binum ST UX ex itherHessant intersc ς quales. omnes που - m.
O PQR, de numero, dc magnitudine sunt quales; ergo marmmagnitudinibus ST UX eomposita cemhumgraimtatis erismaum E. cum vnnes magni tu diales iS P v x puemita
quippe cum sintin lectionabus I H HE LG CG nurnero pari ciuia in L Ei EG qualis em lar odii L E cstipii EG aequalis, dempti xaequalibus LSGXiequalibus, iiqisidem sunt dimidia sectionum. L H. CGπqaaltum rerunt SE EX iii lterse aequales unde ex praecedonti coli igim si punctiim E centrum estὰ auitatis magnitudinum STVM s mirer aut/m se detur, quδὰμ diuidatur GK in partes D DK ipsi N aequases cadet utique divisionum aliqua in pu D, siquidem N ipsaς GDDΚ metitur; cum utraeque sit aequalicipii EC. diuisiones que GDDΚ numero pares erunt; cum N.'dimidiam ipsius GK, ipsam scilicet EC metiatur. si itaque diuidatur GD DK bifariam in punctis LM. deinde diuidatur magnitudo in partes ipsi F aequale sectiones GD Did in GK existentes ipsi N aequales, erunt numero aequales sectionibus in gnitudine B existentibus ipsi F aequalibus. quare
ρartium ipsius GL anomatur magnitudo aequalis jsi centrumgrauitatis habens in mediosectionim, ut ponιtur imagnitudines ZM insectionibus GD DK, ita ut magnitudinum centra grauitatis, quae sint ZM, in me ito sectionum GD DK, ita putietis
nempe ZM sint consti ruta, omnes autem magnisu es ZM: sim ut sint aequales ipsi B. magis aenis ex omnibus magni tudinibus Z M composite centrum gra-tatis erit punctum P. cu m si t ZD: qualis D M. yeae magnitudines ST V X sum magnitudini Asequa ev&ZM ipsi B ergo Aragni ab .a stan quantumpositMad Ε, ina' ro ae ad D. eodem acilicet modo se habebit mastgnituὸo A imposita ad E, ut se habent magnitudines STVX; Uia vero B se natabit ad . D; v t magni tudiri es ZM- fluit a. xem magnitudines ST UXZM interse aequales, cum unaquaeque sit ipsi F qualis unique omnes, i hoc est ipsarum centra grauitatis in recta linea posita;quaitarum centragraiaratis posita tinus aqualiter