장음표시 사용
191쪽
Statuamus igitur, corpus circa aXem Ct, revolvi, motum alium concipere eidem X Communem, .parallelum. Sit G planum , quod per Xem gravitatis centrum G ducitur punctis quibuslibet in aut , supra aut infra planum acceptis , in Xem planum ipsu a ducantur perpendicula x, b, PQ , pq. Sit v velocitas rotationis centri gravitatis circa Xem quia angularis velocitas particularum omnium rotantium est eadem , absoluta autem velocitas est proportionalis distantiae ab age motus , si velocitas puncti cujuscumque P secundum rectam M tangentem circuli radio P descripti. Sit etiam a
velocitas a particulis singulis parallele ad arcem Concepta, quantitas motus communis totius corporis 1 M , . citatuamus, motus hos Omnes unica vi gigni pose, cuius directio FH plano Gl occurrat in puncto sit o velocitas communis , quam ipsa gigneret, si in Centro gravitatis imprimeretur, a propterea sit vis eadem emissio ex
in planum BG perpendiculo F dividetur vis ipsa in binas alias, unam perpendicularem , alteram nagentem in plano BGb Simili modo velocitas puncti cujusque P secundum P concepta resolvi poterit in duas aliae Unam . p . φ,
sive perpendicularem plano BG , alteram pla
no ipsi parallelam. Et quia vis omnis secundum P eodem modo agere debet in quovis demum rectae ipsitus puncto plicari intelligatur, sive in P, sive in M referamus Vires Omnes ad planum BGb, ac concipiamus e sinagulis punctis
duplicem vim oriri in puncto in unam perpendicularem plano, alteram b jacentem in plano ipso,
rectae B,aut GC parallelam . Quia summa omnium Q .c .dM aequal=s est massae M ductae in distantiam G centri gravitatis G ab axe B, in primis summa omnium virium perpendicularium ortarum e motu corporis , seu vis unica ipsis
aequivalens S J vel M aequalis erit vi perpendicta
192쪽
lari G. M r, qua gignitur: cum vis perpendiculari plano sit ad vim parallelam agi ut FΚ: ΚΗ, erit etiam ΔInsuper viribus omnibus relatis ad punctum , si V Η parallelae sint X Bb, vis particulae δε corpus volvendum circa axem aliquem, prior Bb parallelum erit . UO. d. dini T. CO BM. a.d Mi M. CO. φ .d Μ - . . d M. At si centrum percussionis ab axe rotationis distet intervallo O, oportet ut impedito motu alicujus puncti in rectam positi vires omnes ad corpus omne volvendum circa axem alium H compensent se se invicem,
CO sive erit Coei . Pariter erit HO BC . d momentum ejusdem vis perpendicularis ad corpus rotandum circa Xem alium, jacentem in plano G , rectae H perpendicularem in puncto aliquo Q atque ut impedito motu puncti H nulla etiam rotatio hujusmodi oria,
Denique summa omnium virium o rectae GC parallelarum, quae haberi poterit in punctis omnibus supra planum C postis , aequalis erit summa omnium quae habebitur infra ipsum planum cum punctum P tendate P in M, punctum aliud inferius p contraria ratione tendat e m in ; vis N , quae ex summa priorum omnium virium emerget, in partem adversam tendet cum vi in , quae resultabit ex summa omnium virium posteriorum. Et cum sit in L G BC Q .d momentum vis ad cor
pus omne revolvendum circa axem plano G perpendicularem in puncto L, si vim L in L applicari intelligamus, ut impedito motu puncti L nulla etiam rotatio hujusmodi oria
193쪽
que si visi , quae parallela est axi rotationis, exponatur recta GE cum duabus parallelis viribus componatur;
Simul itaque acceptis omnibus prodibunt quinque aequationes, quarum prior motum agi parallelum, altera quantitatem motus rotationis, tres vero aliae positionem ipsius aXis determinabunt scilicet
Ex binis prioribus aequationibus manifestum est , velocitatem rotationis in centro G eamdem esse, quam vis perpendicularis plano G gigneret, si in centro ipso imprimeretur ac pariter velocitatem particulis omnibus communem, .parallelam agi t eamdem esse , quam vis X parallela in gravitatis centro impressa gigneret. Et si plures sint vires plano G perpendiculares, cum omnes, Ut an te diximus , ad unicam vim dumtaxat reduci possint ac pariter cum semper unica vis exsurgat ex iis omnibus, quae gunt in plano dato absoluta velocitas centri gravitatissem
194쪽
Opus C ULΑ. semper ea erit, quam binae vires e aliis omnibus compositae juxta directiones parallelas in centro ipso simul impreisae
E aliis vero aequationibus colligitur quod si sit HO directio vis impreii e totius Horansibit
hoc est nisi rotatio incipiat circa axem aliquem immobilem Patet autem , non semper summa omnium QB AE . , Ρ4. BC.d in toto corpore posse evanescere. In ipso enim simpliciori casu duorum corpusculorum virga inflexili connexorum, quae jaceat in plano BGbo ad agem B convergat e parte , quantitates di BC 'b i se invicem non destruent Pariter si virga infleXliis p ila. p. quae duobus pondusculis sit nulla planum BGbsecet in puncto G ad planum ipsum inclinetur quantitates in BC P. - b utrinque positivae erunt, summa etiam possitiva . A Xis igitur, circa quem corpus ob quamlibet vim impressam rotari incipit, non erit semper perpendicularis plano, quod per gra Vitatis centrum directionem vis impellentis transit. Si nullus sit motus agi parallelus is fiat in postrema aequatione O - , Ut sit G datae alicui quantitati aequalis fieri debebit etiam fi in B C. . M o . Secus si si B C . o. dM data eli et quantitas , ipsam per Δ 1 videndo haberetur quantitas major qua cuinque data. Inferius autem resoluti terminis patebit generatim esse Δ - iis omnibus in casibus, in quibus it PQ . BG. r. LM . , ac vice versa . His plura addidit MogZius, quae theoriam motus amplificant. Hae ver , quae generalem solutionem problematis corporum utcumque impulsorum continent, ex ipsius libro excerpsus modo suffecerit.
195쪽
DE NOVA EIUSDEM PROBLEMATIS SOLVENDI
METHODO. SI ut antea in fig. 8 directio vis impressae FH , rotationis axis Bb, velocitas agi parallela , , velocitas rotationis centri gravitatis G, .m velocitas rotationis puncti cujuscumque P atque haec in duas alias resolvatur . si perpendicularem plano BG parallelam rectae G. Sit insuper G parallela a X B, producaturque . , quousque ipsi T in occurrat, jungaturque R , ac sit . φ
c U. p. Itaque perpendicularis velocitas in duas alias resolvetur, quarum una gravitatis Centro, Wparticulis singulis communis erit, altera contraria directione tendet ex in in P. Velocitas autem hujusmodi Cum velocitates quae directionem habeat rectae QR parallelam , componet velocitatem .s perpendicularem recta P in puncto P proportionalem distantiae a recta T , quaeque, cum in partes contrarias hinc inde tendat, Communem motum minime assiciet. Quod libet igitur punctum feretur binis velocitatibus quae toti vi in gravitatis centro impressae responderent, atque insuper Velo citatem aliam habebit, qua circa Xenio per gravitatis
centrum transeuntem revolvi perget.
Jam vero quia vis Δ juxta H impressa gignit velocitatem communem Δ in vis perpendicularis plano BG gignit Velocitatem -- in puncto quocumque ' intelligamus
Iam duas alias aequales vires contraria directione imprimi in centro G. Orientur inde velocitates binae Q, - . , quibuSCommunis centri gravitatis, particularum omnium aliarum motus extinguetur. In a autem hypothesi figum ma- Tom. nς-
196쪽
neret centrum gravitatis, sola superesset velocitas A. proportionalis distantiae ab X , quaeque est ipsa velocitas rotationis circa gravitatis centrum conceptae . Quod si igitur rigido cuicumque corpori imprimatur vis aliqua , cuius directi per gravitatis centrum non transeat, corpus duplicem inde motum concipiet projectionis, rotationis circa ipsum Centrum quidem motus projectionis idem erit, ac si in Centro vis omnis parallela directione impressa esset motus autem rotationis erit idem , ac si fixum maneret centrum , vis in solum rotationis motum impenderetur At insuper cum sit, centrum percussionis corporis, quod circa Xem Bb primo inclinari incipit e notis centri
mrcussionis formulis habebimus O ly HO M
QR BC - QR . RG atque insuper summa omnium QR omnium etiam G hinc inde a centro gravitatis oppositione signi destruitur. Itaque erit Ilo f QR. G. M
Antequam ulterius progrediamur considerandum est quod cum in posterioribus hisce sequationibus sit, vis perpendicularis plano GCν, . t velocitas rotationis circa aXem BC conceptae, se . di velocitas rotationis alterius , quae circa a Xem G suboritur momentum vis impressae respectu prioris X is aequabitur summae productorum massae , velocitatis distantiae ab age ipso , sive momento particularum Omnium rotantium' ac pariter momentum vis impressae respectu axis alterius aequabitur summae momentorum Omni Um
197쪽
rotationis, in quam dempto communi motu prior rotatio resolvitur. Erit etiam G differentia momentorum duarum rotationum , quae circa binos X es parallelos per C, G transeuntes haberi possunt aequalis scilicet momento trati alicujus cylindrici, per cuius superficiem intelligatur masis a corporis distribui, cujus radius sit C , velocitas autem circa Xem per C transeuntem ea sit, qua primo gravitatis
centrum moveri incipit. Momentum denique rotationis circa Xem transeuntem per Centrum gravitatis minimum erit momentorum omnium , quae circa alios parallelos a Xes similiter possent colligi. Praeterea cum sit risi velocitas , quae directionem rectae G in puncto quocumque parallelam thabet, erit
RG. p. db ipsius momentum ad corpus omne OlUendum circa Xem plano G perpendicularem in centro G. Atque Ut corpore circa Xem T revoluto nulla alia rotatio hujusmodi habeatur , oportet ut summa eorum omnium momentorum X aequetur momento vis sive esse debet
O. M a quod cum Moggii aequationibus omnino convenit. Tandem cum sit G
Η GO. - , pro rotation ISmo tu determinando sequationes bina laabebimus I. PR Ἀ.d ij PQ RG. Q. MII. O .fPR dM M GO .fQR. RG .d M. Sit modo M. o. Gli perpendiculum demissum excentro G in directionem vis imprelsae t in Lin traducto per his orna aliter ad directionem ipsam H sit Gperpendicularis rectae Gli . Quod si insuper plano Gli perpendiculare sit planum GL h ducatur recta parallela intersectioni planorum G , ea cum recta O, qua parallela est X TG , ita concurret in puncto O ut anguli I GL , Oh, H FK aequales sint inter se . Denique e puncto quocumque P in planum G H ducatur perpendiculum PQ sit QR perpendicularis a X T , a fiat PQ zzzZ RG sitque simus cossinus an
198쪽
catur perpendiculum V, rectaeque L in plano G erigatur perpendiculum V, jungaturque Η , ob rectos angulos vi , vhH erit hv H m. Gli, H -- . Oh Gho Substitutionibus itaque suo loco factis duae superiores aequationes duas alias uteri aequationes suppeditabunt.
Ut ex binis hisce aequationibus eruantur valores duorum angulor una GL , GL, e quibus pendet positio axis rotationis, formulas quasdam geometricas praemittere portet. Sint fg 11. binae rectae G se invicem secantes ad rectos angulos in puncto in earumdem planum e puncto quocumque Praemittatur perpendiculum
PK in ducatur perpendiculum aliud V. Deinde ducatur planum GL, quod planum prius secet normaliter in recta G, atque e P in planum GL ducatur perpendiculum PQ , Me in in G perpendiculum aliud QR: tum vero datis rectis Κ, V, angulis LGS, I GL inveniendus sit valor rectarum PQ RG . In primis quia K perpendicularis est plano GS plano GL parallela recta in perpendicularis plano GL aequalis erit perpendiculo D ex K in L ducto , uncta quem erit angulus DG rectus is et D i K . Si P - U I, G, , Q QR - , R X, sitque insuper n sinus , . cosnus anguli G vero sinus, cosinus anguli GL Si ego in L, AE productam
ob angulum D rectum anguli Dr, G debent inter
199쪽
Quod si elementum totius corporis sit des , eoque ad planum HG relato innotescant summa omnes, ac fiat
Cum dato corpore dentur summae Omnes A, B, C, D, E, F si quantitates etiam , pro conitantibus accipiantur, solae , n sint variabiles, atque elementum variabilis anguli GL sit , ac fiat, im du du Ob fiet 44 'p mn ' di , d m -- pφ B Qq A lus eodemque ordine sumptis elementis omnibus terminorum qui summam omnium Z - - - .d exprimunt, et in puncto quocumque quantitas i H T d Mi r du fXa.d M. Pariter i&' pro constantibus , p vero pro variabilibus accipiantur, Wsit et elementum anguli variabilis LGT, possit d. p p di, d. - Dps , eodemque modo aliis omnibus elementis sumptis, et in puncto eodena quantitas ' i'. di frZ. M . Quare sibi nos angulos GL , GT, eorumque sinus cosinus mul variari intelligamus , erit ' -- '. d. et du AT .dM--adet .fXZ.dM si quo in casu rectangu-
200쪽
ma erit, vel minima His positis redeamus ad motum corporiam , ad priorem aequationem motus fΥ--Z- .dM - .fXZ.d . Quia coordinatae X, T Z in fig. in sunt eaedem ut constructionibus inter se invicem collatis patet , si valores quantitatum Γῆ - Ζ'. M XZ. M sumantur ex formulis VII, VIII, ac posterior haec quantitas ducatur in , posito 3 fiet primo ny - - ' -m' ')A-A, m 1 n' ' ν- ν. Deinde evanescent termini , in Uibus Occurrent quantitates C,
ac pariter anp V pq F, - Quare collectis terminis prior illa aequatio abibit in hanc aliam Pariter cum altera aequati , quae Orporum motum de
B in aequationes hujusmodi pro binis angulis , qui Ο-sitionem Xis determinant, eaedem sunt quas invenerat Eu-