Commentarii de Bononiensi Scientiarum et Artium Instituto Atque Academia

201쪽

OpUSCULA . 63lerus . Est enim apud uterum quod apud nos ,& ac litteris A, B, E V ordine designavit ipse , quod nos litteris B, A, F, E quantitates F, apud ipsum negativo signo accipiuntur. Quod si in Oiteriori sequatione valor quantitatum priori aequatione erutus substituatur, fiet AH C - - D)--γn EM , F m F. Inde vero illico eruetur B . A c-- .FE-- . D. A--B, atque alia habebitur Eu-

Itaque si planum Gli R. o. perpendiculare si dis

rectioni vis impretia FH, per gravitatis centrum G transeat, COOrdinatisque relatis, ut ante , ad planum ipsum , ac posito ,' M )' inc. e parte coordinatarum I positivarum ita accipiatur angulus GL ut

no alio perpendiculari ad Gli ita accipiatur angulus GT ut sit ipsius tangens habebitur quaesitus rota . tionis X1s G Si in peculiari aliquo casu fuerit scilicet si summa omnium γ' LM oppositione signi destruatur in toto corpore , et tangens anguli GL ipsim quantitas minime pendebit e quantitatibus tangens ero anguli GT erit , o 'una pendeat e quantita- 'tibus , C, D, pendebit tangens hujusmodi simul ex omnibus A , si , C, D, E . Si si simul evanescet tangens anguli LGT , Magis T cadet in planum hGL. Si simul sit hoc est si summae omnium I et M x et M., destruantur in toto corpore , agis G, Ut antea, cadet in planum GL angulus GL et rectus . Patet autem, quantitate ea omnes hinc inde a plano , quod per gravitatis centrum is directionem vis impellentis transit, non possie delirui, nisi idern pla-

202쪽

planum dividat totum corpus in partes aequales, miles, similiter hinc inde possitas. In hoc igitur Caiu rotationis axis erit perpendicularis plano per directionem vis impellentis gravitatis centrum traducto. Si fiat priori aequatione eruetur Irre altera vero aequatione cum primo eruatur Minis'. B

ho simul binos valores habeat, it FD . E. A F C, axis rotationis circa gravitatis centrum conceptae esse non poterit in plano , quod per idem centrum perpendiculariter ad dire etionem vis impellentis transit. Rursus itaque Constat, non semper verum esse quod Joannes Bernoullius principii loco ad motum corporum determinandum in Propositionibus Mechanico mynamicis assumpserat. Quia summa omnium , positivum alorem habent, patet angulum GT ad rectum usque non posse augeri, ut evanescat ipsius cosnus, fiat AH AE Fiet autem maXimus idem angulus, cum ipsius Otangens erit minima , cotangentis elemento evanescente evadet E F. Hi - . Cum sit elementum sinus Q in casu maxi

miis hisce omnibus plura alia libro secundo Cosmographiae Physicae , a Mathematicae. Haec vero exposuisse modo suseficiat.

Pars Tertia.

DC METHODO COMITIS RADICATI.Volvatur corpus circa Xena aliquem G H. r. Iin planum GH ex puncto quocumque demittatur perpendiculum PQ in sit, ut antea, Pin Z QR, T, RG - elementum mali se totius corporis sit in Vis centrifuga puncti ejusdem , qua scilicet nitetur recedere a pun-eto

203쪽

e ora , proportionalis erit distantia PR, ac resolvetur de more in duas secundum R. , P, eritque .d vis perpendicularis plano RGH vis plano idem parallela e 1it

T. EM. Erit etiam Z.dM Omentum particulae P ad corpus inclinandum circa GH perpendicularem X RG: XT.d erit momentum , quo Orpus a viribus Centrifugis inclinabitur circa Xem tertium G duobus RG , GH perpendicularem in puncto . Ut ergo Corpus circa Xem aliquem RG rotari possit, quin continuat motu novus emergat axis rotationis, primo summa omnium virium centrifugarum hinc inde ab axe aequari debet, seu debet fieri 1 Z.d fr.dM quod esse nequit, nisi a Xis rotationis G transeat per centrum gravitatis . Deinde ne corpus inclinetur aut circa Xem HG, aut circa agem alium

V plano GH perpendicularem , esse debet XZ.dΜαο, ζ1 XT.d M o sive, ut in formulis superioribus monuimus, summa momentorum omnium Z'-- TR. me si se debet maxima , aut minima . uterus in Probi et de motu corporum rigidorum iisdem factis substitutionibus, quas supra indicavimus is differentialibus nihilo e X aequatis in aequationem cubicam incidit, cujus tres omnes radices reales esse invenit, ostenditque in unoquoque corpore saltem treses axes se ad angulum rectum secantes , circa quos ubi semel rotatio inceperit, inaequalitate Virium centrifugarum nunquam variari possit. Radicatus aequatione aliter disposita ad easdem conclusiones eleganter, ac breviter pervenit. Processus calculi hujusmodi est. Si valor quantitatis X F.d ex X superiori formula accipiatur, ac nitatio Xaequetur, dividaturque per quantitatem prodibit

ac pariter si e formula VIII accipiatur valor quantitatis XZ.dM, dividaturque per pq, ac nihilo Xaequetur, et

Quod si primae aequationis valor in secunda aequatione substituatur, erit Tom. I III.

204쪽

Ducantur jam fractionum priorum numeratores in denominatores alterius fractionis, ac posito semper H- o reductisque terminis erit IV. an ED-FC. AF)-seu BE EC DF

Fiat modo ac sitis tangens anguli GL A. o.

FR rhy-Dy- DE A B F.A B. Ad )-E. Dφ-D F. O. Quia aequationis cubicae una saltem realis est radix, patet in quovis corpore unum saltem lse Xem, circa quem, si semel inceperit rotatio, invariabiliter Continuari possit. Statuamus planum G sic duci in fig. I. ut sit S axis hujusmodi invariabili posito xy M: - , fxzdM E - , evanescet primus, secundus, quartus AEquationis cubicae terminus , atque in tertio aequationis termino fieti H F. - B. A-- Ue pro eodem X invariabili erit J B., C. Ita vero coordinatis corporis ad invariabilem axem Grelatis, posito et o , si fiat insuper hi,

205쪽

eruetur

Scilicet bini habebuntur valores anguli GL in bini erunt alii axes in circa quos pariter invariabilis rotatio corporis haberi poterit. Si valores bini tangentis anguli GL in se invicem ducantur, prodibit c - Η B GC C--B--δ B- t. quod esse nequit, nisi tangens unius anguli aequalis sit colangenti anguli alterius, hoc est nisi in ages hujusmodi angulo recto distent a se invicem . Et cum possit -- o planum G esse debeat rectae G perpendiculare in unoquoque corpore saltem tres erunt Xes invariabilis rotatio ais per gravitatis centrum transeuntes, sibi invicem perpendiculare S. Tres ergo etiam in unoquoque corpore erunt Xes sibi invicem perpendiculares, circa quos particularum omnium rotantium momentum erit ma Ximum, vel minimum . Et quidem respectu a Sis GH , possit, erit Omentum totius rotationi j TR .dM T AH respectu aXis G, Osit momentum erit AH C:

respectu tertii axis V, qui plano HG insistat perpendiculariter in puncto G, erit momentum H B dataque adeo aequatione Corporis , momenta particularum omnium circa aliquem invariabilem a Xem rotantium determinari facile poterunt.

Si sinit in ages invariabiles HG, G coincidant rectae G L , Osito E mT O , raro, erit tang. T GL ac prior tangentis ipssius valor erit angulus GL fiet rectus ut antea dictum est. Erit vero etiam alter tangentis valor quae Cum sit quantitas in determinata , patet quod si in aliquo plano per gra- a vita-

206쪽

OpusCULA.vitatis centrii traducto plusquam bini sint axes invariabiles rotationis, rectae omnes in eodem plano per idem centrum traductae erunt totidem axes pariter invariabiles Haec fere in schediasmate quodam undecim ab hinc annis conscripto mecum communicaverat Radicatus. Deinde vero in epiliolis ad me datis singillatim indicavit quae ex theore nate trium axium principalium theorematis aliis compositionis motuum rotationis, Conservationis momenti ejusdem particularum omnium rotantium nova methodus erui posset motum corporum quorumcumque pro Casu quo libet determinandi Scilicet vis impressa in tres alias resolvi debet, quae motum aliquem rotationis circa tres Xes

principales seorsim singulae possint gigneres subinde vero Stheoremate conservationis totius momenti erui debet velocitas rotationis uniuscujusques ac denique juxta theorema Compositionis motuum rotationis binas sumul rotationes Com Ponendo, rotationemque inde prodeuntem componendo rursus cum tertia inquiri debet velocitas totius compositα Totationis 'adicati methodum nitemur analytice X ponere Theorema conservationis momenti rotationis continetur

citas rotationis et in distantia 1 a centro gravitatis G o-

cetur erit 7 nimirum velocitas eadem habebitur momentum vis impressae dividendo per summam momentorum omnium rotationis Theorema vero compositionis motuum rotationis, ut illud in praecedenti Commentariorum volumine g. V. dissertationis De inaeqtialitatibus Terrae , c um circa axem jam X posuimus, hujusmodi est. Si binis viribus seorsim impressis corpus aliquod circa duos aXes LG r. rotari possit, lauarum rotationum directiones intra angulum V L sint contrariae, binis viribus simul impressis corpus rotabitur circa axem tertium G a- Centem in eodem plano, velocitas rotationis circa Xen Unum G erit ad velocitatem circa G, ut sua. GTQ n. LGT, ad velocitatem autem rotationis circa Xem G Ompositae se habebit , ut sua. GTQ sua. GL.

His positis sint G, G in axes principales se ad

207쪽

Op UsCULA. 69 angulum reflum secantes in puncto G Win ipsorum planum e puncto quocumque P ducatur perpendiculum Κ, .sit V perpendiculum aliud ductum X K in G. Sit etiam V agis tertius, qui binis prioribus insiliit ad rectos

ca G. Tandem directio vis impressae plano G occurrat in puncto O Vis omnis, qua motus rotationis gignitur, utcumque ad planum HG sit obliqua , semper in duas resolvi poterit, quarum una , sit plano ipsi perpendicularis in puncto O, altera vero II in plano eodem jaceat, .ssit ibidem rectae OG perpendicularis. Altera haec vi essiciet, ut totum corpus circa Xem G rotetur, eritque rotationis Velocitas Prior autem vis resolvi poterit in duas alias plano HG pariter perpendiculare in , QS: eritque Vis, quae in puncto H applicari debet, velocitas rotationis inde ortae circa axem S erit se aes pariter . 4

erit is, quae applicar debet an puncto S, Ve-

locitas rotationis circa axem Hli Jam vero rotationes binae circa axes s Hli conceptae, eum intra angulum Gli directionem contrariam habeant, Unicam rotationem component circa axem G jacentem in

208쪽

tationis huiusmodi velocitas

fiet tang. GL in si Quare 4.Aε B. cos. OG Η λεα - 4in OG H. B C ' datis axibus principalibus, directione vis impres ae innotescent semper in anguli, qui possitionem agis rotationis in unoquoque corpore determinant. Si aequalia sint momenta circa axes binos h sive si sit -- σα B erit tang. GS tang. GH in tang. GL nimirum erit angulus G aequalis angulo GH , ex constructionem recto , ac fiet tang. I GL 1 α n. I GL cos. GL - Π C: C. se l. In hoc casu singulare erit, quod D. Canterganus e superi Oribus formulis recte deduci monuit, quod scilicet angulus I GL minime pendeat ex angulo GH, vel CS Casu huiusmodi haberi debet in solidis revolutione figurae planae circa axem aliquem genitis, in quibus diametri omnes plani per gravitatis centrum transeuntis, perpendicularis agi revolutionis sunt totidem ages principales. Pro hisce autem solidis elegantia alia theoremata ex iisdem formulis polliant colligi. Ut si proponatur Onus rectus, cuius altitudo radius baseos in juxta ProbL ora Gm LM erit tang. GL I ac simili