Commentarii de Bononiensi Scientiarum et Artium Instituto Atque Academia

351쪽

et o INunc quaerendum , ubi habeat fieYum contrarium . D Diarentietur sequatio AE prodit ite C. H t. tacis V dis Se et . Sumpta tamquam manente dis iterum differentietur ponatur dia o . habebi

ta o,in facta divissione per provenit

a ac quae aequatio quum valet, habetur flexus contrarius. Valere autem non potest, nisi S c . t C c. emerit uterque positivus, aut uterque negativus, quod obtinetur in primo, tertio , quinto c. quadrantibus. Quoniam autem provenit accit, et, quare ordinata in punctis flexus contrarii erit aequalis cosinui. Ex his cognoscimus progressum curvae . In Fig. s. linea abscissarum, in qua sumuntur tempora abscindantur partes Aci, V c. Omnes aequales quadranti Circuli, cujus radius Curva tangit lineam abs issa umin puncto A , eique obvertit conveXum, tum facto flexu Obvertit concavum : Ordinatae crescunt tum in primo qu adrante , tum in parte secundi in puncto autem supra definito habetur ordinata maxima , post quam decrescentibu ordinatis curva venit ad secandam abscissam in fine secundi quadrantis, progreditur ad partes negativas, primum obvertit abscissis convexum, deinde facto flexu concavum in tertio quadrante, Mi parte quarti crescunt Ordinatae, ione deveniamus ad magi mam , deinde fiunt minores, Curva in fine quarti quadrantis incidit in abscissam, .ultra eodem passu progreditur. Ordinatae maXimae semper maiores fiunt. Haec curva docet, quaenam post tempora ΑΙ sua distantiae inter corpus, centrum , hoc est TZ quae in duobus primis quadrantibus possitivae sunt , in secundis duobus negativae, atque ita deinceps alternatim. Ut inveniamus spatia a corpore peracta , describamus eurvam, cujus abscissae Ordinatae nempe spatia Consecta a centro. Haec est curva sinuum versorum , atque

in hunc modum describitur Normalis A ducatur R

352쪽

sto OpUSCULA. aequalis radio parallela M. Ad lineam abscissarum AD describatur curva cosnuum circularium x , cujus prima ordinata est R. Manifestum est, fore S mo ergo S s et x, quae indicabunt spatia a corpore consecta In quatuor primis quadrantibus io spatium positivum est; in quinto, seΣto negativum primum, tum evadit positi-Vuna, positivum perseverat in septimo, octavo atque ita deinceps, quemadmodum figura ob culos ponit. Verum non videtur omittenda aequatio inter e, quae est hujusmodi Cc Ordinata

nulla est, quum valet haec aequatio, C tAEquatio primum valet, quotiescumque S C. CC. t quod evenit in principi primi, quinti, Oni c. quadrantis, ut e tabula etiam cognoscimus . Definiamus angulos, quos curva in his punctis facit cum linea abscissarum . in nitio curvae, seu primi quadrantis, quoniam facta seminin a incertum est, quinam ordines infinitesimorum possim negligi, qui autem secus , confugiamus ad notas series, per quas omnis ambiguit. tolletur. Norunt omnes

ergo

Igitur facta terminorum reductione

Facta e minima omittantur termini omnes praeter primum , sic quae pertinet ad quartum ordinem infinite simorum . Curvam itaque in eo puncto oscula ita parabola quarti gradus Cognoscimus item differentiam inter

353쪽

OpusCULA. 2o3s, z, facta t minima esse infinite simam quarti ordinis. Quoad reliqua puncta ut angulus determinetur , fiat

ergo seu sinus anguli ad cos1-n Um in 1 Curva vero ob x negativam post haec puncta progreditur ad partem ordinatarum negati Varum.

Sed praeter definita puncta in aliis infinitis valet aequatio m C c. Quum autem at semperpositiva , ad eos quadrantes ea puncta debent pertinere , ubi est positivus . In primo secundo aequatio valere non potest quod ita demonstro Super diametrum H r Fig. describatur semicirculus, vi , ex puncto erigatur tangens normalis diametro M. Si valere pote itae quatio, aleat in arcu F, ut ordinata I sit H

Ducatur H FT, centro H radio, describatur arcus G, Jungatur Notum est , esse H T: ergo erit bin ad arcum H ΚT ergo arcus K F, ΚΓ; sed arcus T i arcum ergo arcus quod est absurdum quia tangens, est semper major arcu G. Igitur nostra sequatio in duobus primis quadrantibus locum habere non potest . Sed neque valet in quinto, nono, de

a Sc. Q, quod fieri non potest . Igitur puncta non posunt pertinere ad quintum , nonum, de Cimum tertium C. Lia drantes. Igitur locum dumtaxat habet aequario in se X to, decimo, decimo quarto, c. quadrantibus, in quibus curva lineam abscissarum secat. Necessarium est modo determinare, quando nam spatia a corpore peracta sint maxima vel positive, vel negative. Differentietur aequati CC. t ponatur

354쪽

Ad hanc stiluandam debet t, aut uterque eL se positivus, aut uterque negativus , quod contingit in primo , tertio, quinto c. quadrantibus . In primo designat initium ipsuna, ubi in tertio spatium maximum est positivum, in quinto negativum, atque ita deinceps alternatim . Haec spatia maxima tum positiva, tum negativa audio quadrantum numero, semper fiunt majora Reitat, ut flexus contrarios determinemus. Differentie-

Μanente di differentietur iterum ponatur dx - ,

quae Vera erit, quotiescumque hoc est in initio primi, tertii, quinti c. quadrantis, in quibus punctis curva gaudet flexu contrario PrO3relsum curvae itendit Fig. . Divisa in quadrantes linea abscissarum T curua eam tangst in puncto A, eique ObVertit Onvegum , donec in initio u adrantis tertii sese in Contrarium flectat, obvertat concavum intra uia Ctertium quadrantem habet ordinatam maximam deinceps ad lineam abscissarum accedit, eamque secat in initio quadrantis quinti, intra quem praedita est ordinata negativa maxima tum iterum secat absci illas intra se Xtum quadrantem intra septimum ordinata fit magi man demum curva in initio non quadrantis rursus abscisa secat, atque ita deinceps progressu satis manifesto. Nunc ad curvam velocitatum advertendia est an initis,cu; us aequatio est hujusmodi EX hac apparet, Ore velocitatem, O , quum S c u

355쪽

ΟpUscu ΕΑ. et os quae aequatio locum habet in primo, tertio , quinto c.

quadrantibus in primo autem valet, quum ET aequationum Vero comparatione apparet, eidem abscissae convenire velocitatem nullam , maximum spatium confectum a corpore vel ad unam , vel ad oppositam partem quod facile aliunde cuique constare debet. Sed videndum quem angulum faciat curva in initio cum linea abscissarum . Quoniam incertum est, quinam ordines infinitesimorurn possint omitti, qui vero secus, confugiamus ad series supra possitas, per quas inveniemus

omnes termini omitti possunt praeter primum. Igitur u zzz , quae est infinite sim tertii ordinis Curvam itaque in initio

osculatur parabola prima cubica. Determinentur nunc velocitates maximae vel positivae, vel negati Va: Differentietur aequatio, Wponatur e qua uit Sc. t mi, quod continget, quum t aequabit aliquem e terminis seriei , et , ω&c., no est quum nulla est distantia corpori a centro Quare pro his casibus velocitas OUUna Velocitas nulla est quum aequat et , , , Io, cvelocitas maxima est positiva t demum quum aequat in I ω c. , velocitas magi in negativa est II is velocitates inveniemus in tabula, easque nunc a X imas esse constat. isterentietur aequatio bis, tonatur ut dem terminetur locus e Xuum contrariorum Winvenietur t. dSC. at di*Sc. t retro, ex qua

356쪽

eto OPUSCULA uterque postivus, aut uterque negativus hoc est in secun-d , quarto , seXto c. quadrantibus . Quapropter sexus contrarius respondet punctis, quibus convenit maxima distantia corporis .centri. Progressus curvae indicatur a Fig. . Curva tangit lineam abscit strum in idem conveXum obvertit tum inter puncta et , a se inflectit, .concavum volvit ad punctum habet maXimam Ordinatam inter puncta et , 3 secat abscissas, eisque deinde convexum obvertit inter puncta , se inflect1t, concavum volvens ad punctum habet ma-Σimam ordinatam , atque ita deinceps Ordinatae maXimae vel positivae, vel negativae eo majores fiunt, quo crescit quadrantum numerus. Haec omnia proprietates motus corporis clarissime manifestant. Possem simili modo evolvere casum, ubi distantia initialis corporis, centri finita est, sed quoniam posui trium circulorum radios a aequales Gses, non possum unum imminuere , quin alii quoque militer minuantur . Ut cognoscam quid eveniat, si radius magis magisque decrescat, mutans nonnihil hypothesim secundum Xemplum addo, .suppono quidem radios raequales inter se, sed radium a quemcumque Sit itaque A m a Fig. 3. , C a ecqua aequalitate descen dit Centrum attractionis initio sit in , corpus

357쪽

Op UsCULA. OIConstituatur hic valor in formula inventa, ut oriatur . Q fdi CE α' fdes c. t. SC. t et, Summa toris autem inclusae, ut constat ex superioribus , sunt huiusmodi di fa S t. Sc tra H T . Quare aequatio in hanc mutatur

--ASc. - BC c. Haec aequatio intercedit inter , c, Definiendae sunt constantes A, B Sizdite, esti,&Sc. α , r ergo Quapropter aequatio prodit t ziz Ad determinandam constantem invenienda est primum potentia applicata corpori in puncto M. Fiat ut haec erit potentia quaesita, quae per minimum tempusculum ut constans spectanda est. Quare aequatio inter minimas , erit hujusmodi, Vm Spatium a centro confe-

358쪽

sto opUSCULA..t, sed haec minima est ergo Quapropter aequatio rite integrata est hujusmodi H C t z. Ex hac Me illa, quae comparat tempora, spatia

a centro transacta , nimirum Cc. t descendit ea, per quam spatia a corpore consecta cum temporibus conferuntur. Etenim me--s-T e- C t PC C. t

, quae ad hanc reducitur Cc.

. - c. t . Quoniam data est velo-

citas centr , scilicet S t, invenietur velocitas cor poris per analogiam' u di. e differentiationem detegitur Z - Cc. - . Item ae . d Cc

Per hascebulam aequationes formemus de more sequentem ta-

r- ha

Quae

359쪽

ΟpUSCULA. ος Quae eonsectaria ex hac tabula erui possint, operae pretium ei perpendere diligenter.

Si radius omnis motus tollitur a centro attractionis is sese offert hypothesis centri immobillis, ubi quantitates s V, hoc est spatia a centro peracta ejusque velocitates nullescunt. In hac hypothesi corpus a puncto , ubi initio quiescit, tempore fertur ad centrum, percurrens spatium et e - , ibique praeditum est velocitate . . e. Cundo tempore ultra centrum progreditur post confectum spatium velocitatem Omnem amittit. Tettio tempore redit ad centrum is acquirit velocitatem per directionem oppositam . Demum quarto tempore inpercurrit spatium et e m regreditur ad punctum, ex quo

initio discessit, ibique quiescit Circumstantiae itaque, quae

initio motus habebantur , rursus sese offerunt quare coIpus motus hosce reciprocos in infinitum iterabit. In hanc ipsam recidit hypothesis, in qua radius a Concipitur minimus, infinite simus geometrice. Etenim litantiae, et in hypothes a nullius post tempora H, 6 o&c inveniuntur m in hypothesi a infinite simae prodeunt ac proinde non differunt nisi per quantitatem a geometrice infinite simam, ac tuto consemnendam post tempora ero . 3 C. , posita O, semper inveniuntur non neglecta a crescunt quidem per quantitates , π, c., quae modo uni politi.

Vae modo negativi, at semper geometrice infinite simae, adeoque tuto negligi possunt. Idem dicendum de spatiis p. r et is a corpore , quia, computato radio haec spatia deficiunt vel superant spatia peracta in hypothesi centri immobilis per easdem quantitates eo ne trice infinite simas. Idem dicendum de velocitatibus, quae post tempora

Veniuntur minores per quantitatem quae est minima geometrice post tempora Vero a di , ω, συο c. reperiuntur

crescere per seriem arithmeticam Stc., cujus termini modo positivi modo negativi sunt semper minimi geometrice, pro nullis iberi possunt nulli reapse sunt in hypothesi centri immobilis. Tom. I. si V

360쪽

2 IOOp UsCULA Veruntamen licet ne negligere motum centri attrahentis, si radius sit physice minimus , hoc est insensibilis Si centrum attrahens dumtaxat spectemus , nihil est quod prohibeat. Namque centrum hoc numquam distat ab initio motus nisi per distantia physice minimas insensibiles , neque velocitates habet nisi minimas, insensibiles, errore S, qui Committuntur, sese invicem corrigunt, neque ita Odiguntur in summam , ut quid sensibile umquam eis Cere possint . Verum si motum corporis spectemus , idemne licebit pronuncia res Si negligatur motus centri , distantiae corporis a centro post tempora bo c. per solam quantitatem minimam differunt a veris, quae inveniuntur considerato motu centri ast post tempora ,3 o C. non computato motu Centri sunt semper c O, Computat vero inveniuntur successive augeri per serieruarithmeticam c., atque alternatim sunt positivae, negativae . Initio quidem istae minimae sunt physice pro nudis haberi possunt; sed quum series numerorum imparium in infin tu i augeri possit, aucto temporum numer , tandem Vadent sensibiles , neque contemnendae Ut hoc clarius pareat, supponamus partem millesimam radii esse quantitarent physice minimam insensibilem, sed partem cente si iam sensibilem et se, neque contemni posse . Ponamus a, distantiae fient in , ,

oec ita , Ut exprimente u quocumque numero integro , incipiendo ab unitate , terminus generalis si

Fiat II ergo distantia corporis a centro erit O. OIO3ω, quae est major parte Centesima οὐ adeoque parte centesima r , qui est Facta erit a 2 - qui numerus indicat numerum temporum elaps Tum igitur post tempora 11 4en sibilis facta est litantia corpori a centro, que tamquam nuda consideratur atque iti error , auehis temnoribus, augetur, ut tandem litantia Cox ris a centro evadat major illa , quae in initio motus