장음표시 사용
411쪽
Op UsCULA. Sed ad consuetam demonstrationem devenientes exprimamus theorema per aequationem hanc
quae vera sane est, quando quod nostrum erat ostendere Theorema hoc praecedentia theoremata , ut ita dicam, imitatum gaude ipsum suo corollari e Xornar . Scilicet verum se esse demonstrat non tantum de serie . a. q. 8 C., sed de serie bus omnibus geometricis ratione dupla crescentibus , quicumque sit primus terminus , vel simplex, vel compositus, aut integer , aut fractu . Supponatur enim , nunc primum terminum aequare siet per conditiones deo-
Analogi , Sodales sapientissimi, quae per theoremata .corollaria diffunditur, usque adhuc X pensa satis clarentonitiat, posse infinitum aliorum theorematum corollariorum numerum illis similium proponi , sumendo nempe e seriem. a. q. 8 c., vel e quavis alia serie crescente ratione dupla se successivo terminos po ite septem, deinde octo sic deinceps in infinitum . Quapropter mihi satis eis arbitrabor, si sub uno tantum theoremate datum sit coniger infinitum propositionum numerum, quieeX ponendae essent, propositiones ipsas , quas hactenuS declaravi . Video tamen , me potuisse primo universale hoc theorema vobis X hibere, sicque a labores, quem ob tot casus particulare sulti nutilis , vos liberare . Methodum hanc breviorem fuisse non inficior ceterum nescio an fuisset ipsa commodior.
412쪽
I serie geometrica I r. q. 8inc. vel in quacumque alia
cret cente ratione dupla sumpto quo is numero terminorum successivorum, factum ex summa eorum dempto extremo in ipsum extremum aequatur differentiae illius potestatis secundi, tertii termini, cujus potestatis exponens sit nu-nlerus sumptO1um terminorum unitate imminutus , divisae autem differentiae huic per primum terminum elatum ad illam potestatem , cujus eli ponens sit numerus terminorum tribus unitatibus imminutus Intelligitis, Sodales doctissimi, me, cum theoremata ostendissem de parvo terminorum numero, usum fuisse demonstratione simplicissima, quae principium ducebat ab aequatione conditiones theorematis in dato terminorum numero non tantum Capiente, sed eas palam commonstrante, nuda
earum scilicet abscondita sub aliqua alia serierum proprietate. Nunc vero cum ostendendum sit theorema , in quo assumitur numerus terminorum in determinatus, immo, si placeat, infinitus, nunc , inquam, cum in determinatus, infinitus theorematum numerus sub uno theoremate Omprehendendus sit, permittetur, ut spero , ad demonstrationem confugere aliquanto magis artificiosam , non autem,
Proprietatem serierum geometricarum cognitam habent Mathematici , qua uti solent, ut quantitates , quae istas series componunt, an summam redigant. Haec est proprietas: in seriebus geometricis sic se habet secundus terminus primo diminutus ad primum, ut ei tremus primo diminutus ad summam termino rura , qui postremum antecedunt. Quo posito seligatur in formula generati a. am .am'. am .&c quilibet teriminorum successivorum numerus . De nominetur X ponens quantitatis, in postremo sumptorum terminorum , qui terminus idcirco erit an Clare patet, Cum supponamus commodi ergo , veluti indicatum est in primo theoremate, potestatem, in primo sumptoriana terminorum aequare unitatem , ei, quod idem est , m in prini termino elatum esse ad potestatem , quapropter primus seriei terminus , qui exprimendus esset per μ' , X primitur per solam , in praesenti theorema te e Xprime
413쪽
re numerum sumptorum seriei terminorum. Hinc fit, ut sumptos terminos considerantes summam habeamus termino . rum , qui Xtremum antecedunt, nitituta propoitionalitateam am ad quartum , e qua dignoscemus esse
Consequenter multum facile erit per conditiones theorematis ad aequationem hanc devenire videlicet
tandem mr quae omnia irandunt, ut videtis, nostrum theorema valere in quocumque terminorum cujuslibet serie numero, dummodo tamen ejus termini ratione dupla augeantUr. Attamen si rationes 1 serie bus regnarent diversae, quid eveniret ' Ecce , Sodales, theoremata alia nonnulla , quae ad series pertinent alias.
serie geometrica . D. V. c. si tres successivi te mini sumantur , factum e summa duorum priorum in tertium aequatur medietati differentiae quaaratorum secundi tertii divisae per pote itatem o primi. Videatur hoc in particularibus Xemplis.1 - 3 9 as
414쪽
OpusCULA.matis hanc praebent aequationem
idest verum elle theorema, quotiescumque sit a zz D, quod erat demonstrandum Neque minus verum inspiciemus theorema, cum ipsum non tantum de serie 1.3. 9. 2 8 C., sed de quacumque crescente xatione tripla proponatur. Instituatur enim crformulam generalem aequatio. Erit haec
N serie geometrica I 3 9. 2 7 c. si quatuor supcessivi, termini sumantur, factura e summa trium priorum in quartum aequatur medietati differentiae cuborum secundi tertii divisae per potestatem 1 primi Hoc etiam observetur in Xernplis
Et ad demonstrationem veniendo , juxta conditiones datas haec nobis erit sequatio
idei verum eis theorema, cum sit zzz34 quod demonstrandum erat. HOc-
415쪽
Hocqti theorema, ut antecedens, ampliari potes ; 1- delicet ipsani valet non tantum de serie I ri . . 27 C., sed de quacumque crescente ratione tripla . Ita itituatur per formulam generalem aequatio
Jam videtis, Sodales , facile mihi esse analogiae auxili: osum ei in serie . 3. 9. 27 c., vel in qua cum Que alia rescente ratione tripla non modo tres aut quatuor terminos, sed sive quinque , sive se , sive septem, sive quovis alio numero, immo etiam , si mihi libuerit, infinito. Ex hoc infinitus gignitur theorematum numerus Theoremata haec autem tali ordine progrediuntur sic altera ad altera accedunt, ut omnia in unico theoremate comprehendere datum sit. Id ergo accidit theorematibus ad series ratione tripla crescentes spectantibus, quod accidere supra observavimus illis, quae series ratione dupla crescentes respiciunt. At proponatur theorema hocce tam multa theoremata, ea potius infinitum theorematum numerum ample eten S.
IN serie geometrica C. V. P. I c., vel in quacumque alia
crescente ratione tripla sumpto quovis numero terminorum successivorum , factum e summa eorum dempto extremo in ipsum extremum aequatur medietati differentiae illius potestatis secundi tertii termini, cuius pote itatis eX ponens sit numerus sumptorum terminorum unitate imminutus, divisae autem medietatii Uic per primum terminum elatum ad illam potestatem, cujus X ponens sit numerus
terminorum tribus unitatibus imminutus. Eligatur e formula generali a . m. am'. am'. C. quivis terminorum numerus Den Omine turis exponen quantitati m in sumptorum terminorum X tremo , qui idcirco eritam . Deinde per proprietatem serierum geometricarum in demonstratione theorematis quarti adhibitam per conditiones theorematis, quod nunc de monitrandum it, haec habebitur aequati ΟΚ 1 a.
416쪽
am diti quae aptis artificiis pertractata ostendit Consideratis serie bus geometrici I. 2. q. 8 c. I. 3. 9. 23 c., omnibusque aliis possibilibus ratione sive dupla , si1-ve tripla crescentibus, ne Mao est qui plane non sentiat considerari similiter polle quamcumque e aliis infinitis numero serie bus ratione crescentibus vel quadrupla , vel quintupla, vel seXtupla, vel quavis alia, etiam irrationali aut ita determinata. Dicanaus vero aliquid de ratione quadrupla , pro possit theoremate , quod valeat de quacumque serie ratione quadrupla crescente is de quocumque numero terminorum, qui in ipsa serie sumantur, ratio haec quadrupla inam , Ut ita dicam , nobis indicet, qua ad generatissimum theorema, de omnibus rationibus, de omni terminorum cujuscumque rationis numero perducamur.
I serie geometrica . 4. 15.6 4 , vel in quacumque
alia crescente ratione quadrupla , sumpto quovis nume-TO terminorum succelsivorum , factum ex summa eorum dempto extremo in ipsum extremum aequatur tertiae parti differentiae illius pote itatis secundio tertii termini, cujus pocellatis exponens sit numerus su riptorum terminorum unitate imminutus , divisae autem tertiae huic parti per primum terminum elati ad illam potestatem , cujus exponens it
numerus er minorum tribu unitatibus imminutus Su natur e formula generati m. am . am'. am . S C. qui-Vis ter ora ira Orum numerus , atque u Xra regulas , quibus in theoremate quarto, Win septimo usi sumus, veniamus adsequentem aequationem
Qex hac aequatione ecce post brevit si mas operationes demonstrati, id est ecce aequati haec ait Ura m. Animadvertite nunc tandem, nodales doctissimi, tum cum a ratione dupla ad tripla in transeamus, actum e sumpto uin terminorum summa dempto Stremo in extremum
417쪽
non amplius aequale esse quantitati, quam antea aequabat, sed ejus medietati cum transitus fiat ad rationem quadruplam , aequale esse tertiae parti . Hinc itaque mihi visum est argumentandum eis Ob quamdam analogiam, si regnaret in serie ratio quintupla, tunc factum aequare quartam partem illius quantitatis , si regnaret ratio sextupla , factum aequare quintam partem is sic deinceps. Haec autem in caussa fuere, ut ausus sim statuere theorema amplissimum cui scilicet subjiciendae sint series omnes possibiles sive crescentes, sive decrescentes ratione qualibet. En theorema hocce, quod vero in infinita, qua gaudet, universalitate theoremata illa etiam, quae supra declaravimus , non comprehendere nequit.
Τ quacumque serie geometrica, sumpto quovis termino
rum successivorum numero, factum e summa eorum dempto extremo in ipsum X tremum aequatur differentiae, quam habemus elevando secundum, tertium ad potestatem, cujus exponens sit numerus terminorum unitate immi-Rutus , dein subducendo potestatem hanc secundi a simili potestate tertii, divisae autem differentiae huic per primum terminum elatum ad potestatem, cujus exponens sit numerus terminorum tribus unitatibus imminutus, dein mulistiplicatum per denominatorem seriei dempta unitate. De monitratio erit brevissima. Jugia solitas denominationes, regulas, atque secundum theorematis conditionet haec in tituatur aequatio
quibus nimirum aequationis membris ad eamdem denominationem eductis, hibebimus Hec erant, Sodales optimi, theoremata , quae de geometticis seriebas meo se se animo Ahibuerunt. Animad Versiones thaud paucae theoremata secuti sunt. Ex his nonnullas
418쪽
OpusCULA.las , humanitate vestra permittente , vix attingam . Post hoc finem faciam Primum videtur minime contemnenda es e formula, quae nobis patefacere potis sit alicujus seriei summam evidens autem est, secundum membrum aequationum , quibus nostrae X pressimus theoremata , divisum per quemvis terminum serierum , ad quas sequationes hae pertinent, aequale et se summae Omnium antecedenti una terminorum . Atque si utamur aequatione theorematis noni, secundum membrum possibilibus omnibus geometricis seriebus inserviet. Neque sane negabo, mathematicos habere methodos simpliciores , quibus serierum summas detegant sed cur methodum hanc aliam antiquis addere recusabunt Posset aliquando forsan inter eorum supputationes ipsis formula haec noitra se se offerre Mideo non prorsus inutile esse , quod antea cognovit sent. Secundo loco animadvertendum esse censeo, cum in demonstrationibus theorematum primi, secun cli, tertii habeantur aequatione S
in demonstrationibus vero theorematum quinti sexti
hinc aliquid deduci, quod , ni fallor, serie bus in summas
colligendis utile nonnihil videri possit id ei quotiescumque a potestate cujusvis gradus subita catur summa omnium potestatum inferiorum , radicem illius Oteitatis aequare cum a potestate cuiusvis gradus subducatur duplum summae potestatum inferiorum, radicem ilius potestatis ovare : cum subducatur triplum radicem aequare : sic deinceps. Facili negotio haec intuemur, formulas duas dissimiles simul comparando, quae tamen habeant in quantitatibus negativis idem coeffciens. Consideretur exempli cauisa aequam tio haec
Men ob perpaucas operationes Sed ut his concedatur universalitas illa , atque illa inplicitas, v c ipsis conveniunt, unica propositione claudantur
419쪽
omnia . Videlicet, si a quavis potestate omnes subducantur potestates inferiores eodem coefficiente affectae, O testas prima, sive adi aequabitur coeffcienti unitate aucto . Sit enim coeffciens nobis sic apparebit superior aequatio
Tertio loco observationibus nostris dignam porro esse
arbitror seriem valde illustrem, ad quam statim vocamur a demonstratione theorematis primi. In hac apparent per regulas quadratorum affectorum alores duo quantitatis ;nempe I. Ualor hic secundus nobis exhibet seriem geometricam c.
In hac igitur serie valet theorema primum, quod de serie crescente ratione dupla valere demonstratum est . Propositio haec ad altera perduXit: destin valere de serie I - I&c theorema tertium,' quotquot alia proponenda fuissent de ratione dupla, dummodo tamen termini, qui sumendi essent in serie, numero isent imparici quo in casu aequatio , quae exprimeret theorema fieret mo Immo valebunt pariter de hac seri theoremata, quae respiciunt Wrationem triplam, quadruplam is quintuplam is omnes alias , dummodo ver , ut supra enuntiatum est , dispar sit numerus terminorum, qui sumuntur, quippe quia semper nobis erit aequati Non item , si par esset terminorum , Ut sumerentia , numerus . AEquatio , quae institueretur ad exprimendum theorema se se con, erteret in aequationem aliam , quae haberet membrum unum negativum , alterum positivum: quod esset falsum, impossibile . AEquatio primi theorematis effet
AEquatio secundi theorematis esset
420쪽
OpusCULA Haec duo exempla sussiciant quoniam satis clare patet, cum
numerus terminorum sumptorum sit dispari, primum aequationis membrum affirmare quantitates easdem , quas negat at membrum alterum .assirmare pote itatem quamdam, negare eam ipsam quo fit, ut sive formula unius membri sive tormula alterius sit nihil , quod naturam mutare numquam potest , etsi in primo membro multiplicetur per quan titatem quamdam in secundo per quamdam potestatem dividatur. Verum cum numerus terminorum umptorum parsit, in primo membro multiplicatur quantitas positiva pernegati Vana, quod exhibet quantitatem negativam: in secundo autem membro additur potestas potestati aequali, quA summa dividitur per potestatem inferiorem hoc praeitat quantitatem positivam Minime tandem dubitandum est,
quin series haec nostra Sic obediat theoremat nono, quod in infinita universalitate omnes omnino se-1ies complectens, illam quoque comprehendet, Culus S
Ponens sit ata, vel quod idem significat V.
Credidi, Sodales humanissimi, haud molestum vobis futurum fuisse, in meae orationis fine me ad stam seriem considerandam converti, quae praeterquam quod satis clara amerat, mirum in modum ejus celebritas aucta est, cum eam paucis ab hinc annis expendere non fuerit dedignatUs in hoc sapientissimo congressu Praeceptor meus Franciscus Mamria a notius Philosophus vere ummus Magni homines Nonia Ulli, ut probe scitis, ante ipsum seriem hanc intuentes, huius summam aequare nihilum judicaverant: anottus, ut in philosophicis, atque mathematicis rebus solet, hanc meditans, summam ejus aequari posse cuivis quantitati demonstravit, ac proinde seriem sub tragit a nihilo , in quod ob antiquiorum mathematicorum incuriam redigi coaetam erat. Praeceptori, quem magi me veneror , hoc etiam titulo plura debeo quoniam nisi ejus inventa , demonstrationes sermoni huic meo praeivissent, multa meorum ne O rem atUm parS, nec non mearum animadversionum in nihi, tum conversa evanesceret. SE