Commentarii de Bononiensi Scientiarum et Artium Instituto Atque Academia

481쪽

longe opportuniorem rem esse, si ejusmodi factum tale sit,

quod ex solis vel effectus, vel cati se elementis constet. Hac itaque proportione iactum interis actionem , aut status Ilutationem admi Isa ingulis elementis in suas partes dii itibulis, quid in motibus directis accidat, qui a constantipotentia gignuntur , paululum quiramus. Lex Galile eit, C sequare T littera P potentiam .Xprimente, Tiser sempus, per quod potentia successive massam urget factum ergo MVS in aliud convertitur 'I S, quod, cum ejus elementa omnia ad potentiam spectent, actionem propterea designabit. Jam vero quam proportiOrae facto Vs cum actione concessim rus , eadem tacto P Seii concedendaci vera igitur actio in Mauper tu istano risi cipio compositam potentiae, temporis , spatii rationem sequutur. Quod si a causa ad effectum gradum iaciamus , cum ex altera Galilei lege compertum habeamus ' erit factum MVS quare status mutatio erit in ratione composta directa dupluata a CP triplicata velocitatis, Wreciproca simplici potentiae Hranc Vero necessario consequitur, quod si eandem nassam eandem

ponamus C quirere velocitatem , eo minori status mutationi

obnoxia sit masti, sive eo minor sit effectus, qui gi senatur, quo maior est potentia . Quod quidem consectari uim quantam menti rationi vim inierat, quisque videt, qui vel leviter

Consideret, eam status mutationem , quae in a fana ducitur, dum ea a quiete ad datum velocitatis gradum transfertur , esse ser per eundem effectum , a quacumque tandem potentia illa latus mutatio inducatur

At tolerabiliora consectaria profluent, si illud spat i genus astumamus , quod a mobili percurritur, aut percu Ir, re

tu dato tempore is aequabili motu . Notum jam cui Queeli velocitatem sequi hujus spatii rationem is illam olla

in hujus locum substitui quod si fiat , erit MVS i μ'

Hoc autem , quod ex iis tantum elementis conflatur, quae effectum constituunt, ipsus effectus, sive mutationis Lirius accuratam mensuram aequabit, eoque propterea in ratiocinationibus licebit uti tanquam vera actione , Cum qua necessario aequam habet proportionem. Injucundum Mitai se

acci Du hoc consectarium Maupertuisio, qui ut a principio

482쪽

OpusCUL A ad vis vivae conservatione recederet, quod universe generatim verum negabat, alterum de minima actione principium indugit, Mactionem cum ejusmodi facto proportionem habere constituit , quod desimi in vim vivam ei bilii Zianam . Quam facti MVS cum vi viva proportionem multo jam ante annos animadverterat Leibnit Zius, immo factum ipsum in hunc iam usum deduXerat in Epistola 4

commercii epilcolici psum inter WJoannem Berno ullium: verum cum factum MVS in alterum si' converti posse intelligeret, illud deseruit, hoc constanter tenuit, utpote quod magis esset simplex , Me minori elementorum numero conitans. Nihil ergo novi protulit Mati pertui sus , cum posuit faelum CS aetionem potentiae metiri neque ero hoc ut novum aliquid protulisset , si quae fuerat in hac re LeibnitZii sententia cognovisset. Interim memoria tenendum est, utrumque factum M US V proprie , vereque solum effectum , aut status mutationem designa res actioni vero per proportionem tantuni modo, quandam comparationem pol se aptari. Ipsa enim actio ab eo solum facto proprie , vereque definitur, quod ab iis tantum elementis Conitituitur, quae ad causam spectant cujusmodi esset factum P S cum quo duo illa MVS, habent proportionem, si tamen ' illud spatium significet, per quod potentia corpus insequitur. Sed atis jam de Cl. hujus viri sententia, sitis etiam de natura facti MUS loquut sumus immo satis Lia Aposuimus, quando nam is quaenam inter factum illud, lactionem intercedat proportio . I Iunc alteram aggredimur quaestionis partem , quae tota est de Maupertui sit an principia usu Praetermittendum equidem non elici ne cui fortasse viteamur

aliquid de industria silentio praeteriit se), plures , eosque l. viros ope minimi facti CX abditas , maXimeque drificiles

quaestiones enodasses quos inter Cl. Euterus curvam defuit-Vit, quae a projecto describitur verum minimum fictum MVS quod ille quantitatem motus vocat in spatauin ductamo minimam actionem praebere, multoque in US Uersale in eo facto principium situm esse , asseruit Un es m. Attamen, ut brevior sim, nihil dicam de multi pia i nocusta, ad quem l . illi viri factum MVS traduxeruo neque hoc nostrae est quaestioni necessarium, in quia Oluna

483쪽

Opi7sCULA . 323 quis sit illius principii usus in aequilibri vectis, Win corporum collisione cum Maupertui si agendum prCposuimus Ad quam quaestionem dum propius accedimus, nec eis est duo haec semper prae oculis tener : primo utrumne e facto MUS, quod minimum esse fingamus, generatim , .uni- Verse verae profluant naturae leges deinde quonam modo illud factum ad minimam actionem possit referri. Itaque quod ad aequilibrium attinet: duobus hinc inde corporibus vecti horizontali adnexis illus punctum Uaerendum sit, circa quod corpora haec duo in aequilibri quiescant Ut lio ope principii de minima actione praeit et Maupertu istas , illud punctum quaerit, circa quod si minimus ignatur motus, quantitas actionis sit minurra Vectis longitudo sit m , Orpora vero vocentur Μ, primum a tancto quaesito ille intervallo i alte tu a diatabit intervallo Minimo illo motu excitato corpora duo , suum singula arcum describent, qui similes inter te erunt, distantiarum proportionem servabunt Ar US

hi aequabunt spatia descripta, ab iis erunt velocitates

desumendae. Denique factum e singulo corpore in sui ar- Chas qua iratum, sto in quadratum D tanta a puncto quaesito quantitatem actionis juxta l. hujus viri sententiam designabit, quam analytice X primet formula x' ' Haec vero minimum actionis praebere debet ergo differentiando erit Maedae mcdY--Nxdae o di Viciendo

fundamentale principium aequilibri vectis continetur. Hanc demonstrationem, quae visa ei auctori suo pleno alveo fluere , suspectam ita 1 maxime dubiam efficit accurata quaedam, diligens animadversio , quam in re haud illimili P. Vincentius Riccatus in Dialogis de viribus vivis apponit ad finem diei septim . Cur enim au- pertui sim duo tantum gravia corpora assumit vecti alia XL, in quibus mali gravitates, quae conliantem semper na-beant inter se proportionem , in eodem sim puncto conitituta Θ Quid ergo dioersa sit utriusque massae dispositio PNOtu;Π lam cuique est, aequilibrium nullo modo a mallis totum vero a potentus pendere , cita qui dem, ut hoc integrum servetur , sive mairbe . in unum punctum uniantur,s sci sive

484쪽

3a OpUSCULA.sve distribuantur per diversa vectis puncta, sive tandem

quoquo modo colio centur, dummodo tamen potentiae in iiDdem semper punctis consiliant. In hac autem diversa a Glarum collocatione deficit omnino principium illud, ipsa ratiociliatio ad insanabilia absurda deducit. Si enim ut ea pluribus, quae afferri polsunt exempla, unum, vel alter una proferam utramque massam in unum punctum colligas, quod non dividat vectem in ratione reciproca potentiarum, utriusque massae intervallum a centro motu Voce minimum actionis juxta institutam a Mauperi uisio rationem esse deberet - Ν. x' quo post , initoque calculo fiet nudum ergo erit huius nodi intervallum adeoque massae e fulcro erunt suspendenda ; quo nihil absurdius dici potest . Si autem aifas iisdem punctis adnectas, in quibus sitae sunt inaequales potentiae, illarum

. - sive ' -- 'x', quod cum minimum esse debeat, differentiando erit dae Unde x vici ci

quod est aeque absonum . Quare hoc Maupertui si principium arctis admodum finibus continetur, utpote quod tunc Olum locum habet in aequilibrio, cum potentiae, massae iisdem si1nt punctis anixae eadem sit utrarumque proportio. An rin advertendum praeterea est, universale de aequilibrio principium nullo modo posse in eo facto coniti tui, quod e mali P ejusque elementis constat neque enim fieri posset quod tamen fieri certum est), ut massi e mutasto, aut diversa ejus diffiibutio nihi officeret aequilibri , Interim dum ex hac mali ae nutatione , diversaque di tributione aliqua necessario in illud factum mutatio induri rur. Cum igitur aequilibrium totum in potentiis tum sit, ab illis propterea earumque elementis omnis ejus ratio desumenda est hanc autem facile hauriemus e ipsa equiti brii natura, si quae east, attente consideremus . Itaque in aequilibri nullus Motus , nulla intervenit mutati ita tusci quod non Seo fit, quod nudae sint potentiae, quae adsunt utique , sed ex eo solum , quod contrario nisu sese invicem impediant,

.mutuo sultentent Tota ergo se pudibrii natura positae est , quod potentiae ita sint affectae, ut nulla consequi actio

485쪽

ΟpusCULA actio possit, quin ipsae potentiarum actiones aequales sint,

atque contrariae Assequi autem per ratiocinationem possumus, quando nam potentiae ira sint affectae , Ut contrarias actiones egerant, aequales Finge enim minimum excitari motum, atque inde ortas actiones diligenter ad calculos revoca si hae aequales sinat; an potentias habes ab opposito hinc inde nisu impeditas, per consequens aequilibrium. Dissicile non es et ostendere, si 1 locus ferret, ab aequalitate actionum , quarum mensura des utri itur a potentiis, a spatiis accessus recessus a potentiarum centro , certum universale principium deduci pro quolibet aequilibrio . Sed hanc rem omnem, de qua nunc me uti non thagere, egregie pertractavit idem Riccatus in sermone illius diei. Denique mirari satis non possul a Maupertuis in animum incidisse , ut in ipso aequilibrio , hoc est in summa

omnium rerum quiete, minimam actionem inquireret. Quaelibet enim actio utcumque minima , si qua tamen sit, nec omnino nulla , finita semper eis debet: ex hac vero aliquis semper effectus, sive aliqua st a tus mutatio Onsequatur Necesse est, cum qua stare aequilibrium nudo modo potest. Quod si actionem ideo minimam dicat, quia sit omnino nulla, tunc illud mirum est, quod ad hanc inquirendam factorum M. ac , summam accipiat, quam nullam fieri omnino est impossibile , cum facta illa duo , cum quibus corporum adtiones proportionem thabere constituit, sint quantitates positivae. Si vero duarum ectionum differentia sumenda sit, tunc ut act, nulla evaderet, esse deberet M. - Ν to, e qua aequatione oritur, δε - a ' adeoque massae et Tent in ratione reciproca duplicata litantiarum a fulcroci quod quidem a certa , immo praecipua vectis lege aberrat quam maxime. Sed his omnibus praeterni issis, demus i ii Maupertia isto potentias massas ab iisdem punctis pendere, eandeme se utrarumque proportionem. Num proprerea erae ae uim libri leges generatim, universe e minimo actionis plodibunt Equidem multum suspicioni locum praebet ipseMaupertulldus , qui in inno actionis ita utitur, ut ponat di-ructiones potentiarum vecti esse normales. Quid autem si ob

486쪽

326 p UsCULA. obliquae in vectem inciderent Θ quod fieri sane potest etiam

cum mali, potentiae eandem proportionem tenent. Itaque in vecte rectilineo Fig. 1. AFB a punctis A in pendeant allae M N , iisque adne Xae sim potentiae , N, quarum directiones esticiant cum vecte Ara angulos AB Q, BA- r. Quaeritur punctum ci ca quod corpora duo conitituant aequilibrium . Ex principiis aliunde petitis compertura jam it, aequilibrium tunc consequi, cum corpora duo sint in ratione reciproca linearum FL, V, Liae e puncto F incidunt normatiter in directiones potentiarum . Supere it ergo inquirendum , utrum minimum Maupertui si anum ad idem nos consectatium deducat. Ut id assequamur, fac ut minimum eae cites motu nia, vectem transferas cita situm a Fb; quo in motu puncta A, B minimos arcus de hibent Aa, Bb, potentia novas acquirent directiones Centris intervallis vero a N minimi deline entur arcus at, Bo: duo jam habe inus spatiorum genera , . quorum alterum ab arcubus alterum vero a partibus O X primitur . rimum illud spatii genus it per quod gradiuntur puncta duo A, B, illud autem secundum, per quod alterum corpus ad centrum potentiarum accedit, recedit alterum. Quoniam vero ab utroque hoc spatior Uin gene Ie metiri Velocitates possumus , duo propterea erunt genera elocitatum . Nunc ea spatia , easque velocitates assumamus quas indicant arcus A a, b, quorum ea ei semper proporti in quae est parti ut i a Tae sinat, ut antea, Μ, Ν

Mis siue mal sae ergo in ratione reciproca partium A, B. Quod quidem consectarium tunc solum cum veritate consentit, cum A: FB fuerint ut in Ut autem inter O tremas has lineas haec intercedat proportio, requiritur omnino , Ut anguli ae, aut aequales inter se sint, aut alter alterius complementum ad duo rectos

ni vero velocitares, spatia metiantur minimae partes accelsus, recessus Ai, o minimum Maupertui sita nulla

487쪽

V Μ: in ratione composita . Verum haec

proportio , ut cum ea congruat, quam in sequi libri potentiarum oblique in vectem inc1 dentium servari jam digimus, utrumque sinum aequalem requirit hinc etiam aequales inter se angulos aut saltem utrumque simul aequalem duobus rectis, propterea potentiarum directiones inter se parallelas. Denique illud restat, ut velocitates quidem desumantur ab arcubus Aa, Bb, quos uneta in minimo motu describunt, spatia vero a minimis partibus accessus, aut recessus Ai, o Quod si fiat, minimum habebis

S c . r. - Sc φ. U UL, quae tandem proportio apprime est veritati conformi S. Plures iacientis mutationes induxi easque singulas diligenter sum persecutus; verum aliquem mihi videor ex labore meo fructum percepisse , cum ad eas tandem de Uenerim, quibus indiget minimum Maupertui si anum, ut in veras desinat aequit 1bri leges tunc etiam, cum directiones potentiarum quemlibet cum vecte angulum includunt. Hic vero locus esset iterum proferendi eas animadve siones, quas

jam ante proposui nimirum factum , quod minimum actionis exprimit, ineptum prorsus essici, cum massae non ab iisdem punctis pendeant, quibus potentiae adnectuntur illud praeterea nullo modo Ois ad altionem reterri, siquidem non minima, sed omnino nulla actio intervenit in aequilibrio, cujus natura exigit, Ut actiones potentia I Um, quae in aequilibrio eis dicuntur, propterea quod aequales sint, oppositae, elidantur invicem, sese mutuo impediant. Sed ne jam dicta inutiliter repetamus , hoc DUM erit addendum , scilicet rinimum Maupertullianum , etiam cuin ad vera consectaria deducit, non intinum actioniS

esse

488쪽

nec cum actione conferendum ullo modo, sed minimum Geometri cuni ex illa profluens actionum aequalitate quam suo jure postula natura aequilibrii. Cujus rei en certa demonstratio. Desumptis actionibus ex factis M. At, si hae aequales inter se ponantur, fit statim N

adhibita integratione , quae inde oritur formula M. Sc. φ. x Ν S c. r. minimum reddet. Sed est x -x:: Aa Bb &x S e .ssu: - e. Sc. r: Ai: bo ergo M. Sc. p. x N S c . r M.Aa. Ai. N. Bb. bo, quae est formula Maupertui sit ana. Quoniam autem haec alteri aequalis est, ipsa quoque minimum necessario sum ciet quodpi Opterea , cum ex ipsa actionum a qualitate sit per ratiocinationem dedi seium , ejus generis esse constat, quod Geometricum appellanmus. Hoc vero si tamen potentiae, massae ira sint constitutae ut aliquem illi locum concedant deesse nunquam potest , quin ipsa actionum aequalitas , immo tegra perear equi lab Ira natura Sed sitis iam ni illi videor dixisse de usu aupertui si an principii in legibus aequilibrii: nunc aliqua de communicata ne in Ctus . in qua non de iis tantum agam , quae a Cl. viro pertractata sunt, sed quaedam praeterea addam, eaque issiciliora , deducia sive ex communicatione motus, quae fit per vectem , sive ex ea, quae in directos ictus subsequitur. Qua vero hactenus incessimus via , eam in hac quoque postrema quaesti Cnis alte tenebimus, inquirentes primo uir Umne e facto VS , quod minimum esse ponamus, generatim, niveis verae profluant naturae leges, deinde statuentes quonam modo minimum Maupertui sanum ad veram possit naturae actionem reterm . Quod si 1 hac parte saepius mihi contigerit dura corpora nominare, hoc non ita est antelligendum , quas velim hoc nomine eorum CorporUmeailientiam statuere. In hoc enim id unum mihi propositum

489쪽

est , ut ea loquendi ratione utar , quam ipse tenet Maupertui sius, qui sui principii usum in motus communicatione totum expedit solvendo duo problemata, quorum alterum pertinet ad dura corpora , alterum ad elatii ca. Cum vero asserat, corpora dura post ictum communi velocitate ferri, jam eas cum Borellio, Vallisio, Mariotto P. Le Seur, Jacquier huic corporum generi leges aptat , quae Ollibus conveniunt. Quare durorum Corporum noli in ea niversim corpora debent intelligi , cujuscumque tandem generis sint, quae post ictum communi cum velocitate gradiuntur His praemissis, quae ad rem facere maXime videbantur, e quid de duris corporibus ponat Maupertui sius . Duo hujusmodi corpora ad eandem partem C erantur cum velocitatibus i in vero ita velocius quan B, ut hoc assequi, impetum in illud facere possit utrumque autem ab ictu recedat communi cum velocitate se Quae hinc mutatio in natura consequitur, tota in eo sita est, quod corpora A, quae ante ictum diversis velocitatibus agebantur diversaque eodem tempore spatia percurrebant , nunc eandem habent velocitatem x eodemque tempore idem spatium ae conficiunt. Igitur non dissimilem mutationem haberemus , si interim dum corpus A actum velocitate a spatium transigi a , idem insitens plano materia omnino vacuo in Opposita in partem cieretur velocitate per spatium corpus Vero , quo tempore cum Velocitate b spatium praetergreditur , a simili plano non ad oppositam , sed ad eandem partem ferretur cum velocitate zzz per spatium V b. Cum autem haec plana eodem semper gradiantur motu , live corpora illis insistentia quiescant, sive suo O- tu gaudeant propterea sit, ut quantitas actionis , quae ab

que actio cum minima esse debeat, habemus jam minimum

sive et Y A ad x aBxd b d Y - , communem velocitatem Haec de duris corporibus, quae ad eandem partem tendunt, quaeque propter ii ipsum eandem ab ictu recipiunt quantitatem motu , quamam ii serunt in ictu . 1 incile non est totam hanc rationen

490쪽

OpUSCULA aiis etiam corporibus aptare, quorum alterum alteri occurrit, vel altero progrediente quiescit alterum in quibus omnibus facile deveniemus ad consuetas formulas communis velocitatis inio si horum alterum immobile obstaculum offendat, huiusmodi obe erit veluti quiescens corpus infinitae alsae, cujus velocitas x et in o. Alter u a Maupertui si problema est hujusmodi Corpora duo et allica inuo nomine ea vult intelligi, quae perfecta elasticitate gaudento A, diversiis velocitatibus. bpraedita ad eandem partem C dirigantur; A vero tanto maiorem habeat velocitatem quam ut in hoc aliquo cum impetu incurrat. Velocitates, quae ab ictu nascuntur sint , ω', quarum summa , sive differentia summam , aut disserentiam, quabit earum, quae fuerant ante ictum. Quid mutationis in natura contingat, quomodo cum ea Comparari possit, quae induceretur, si corpus utrumque plano in-ssi iteret materiae omnino experti jam paulo ante monuimus Quare 1nimum actionis erit

fingas , quorum alterum quiescat, alterum in quiescens Corpus aliqua cum velocitate feratur, vel alterum alteri CC Ur-rat, nihil est facilius, quam notas formulas velocitatis post ictum ex hac ratiocinatione deducere . Illud praeterea inde Conficitur, quod si alterutrum corpus infinitam massam apponat, alterum, quod in hoc impingit , eandem ab ictu refert velocitatem , quam habebat in ictu . Denique quam-Vis eadem sit uirium vi Varum unam ante se post ictum cum tamen haec vis i. se integra restauratio in ela 1iicis solum corpo bus accidat, minime vero in duris, propterea loco universali principii habenda non est; sed minimae

actioni , quae utrumque hoc corporum genus aeque Comple ctitur, hic erit locus concedendus Haec Maupertui suo in quibus quamvis vera, ea tamen

protulit, quae propterea quia directos solum ictus respiciunt,