Commentarii de Bononiensi Scientiarum et Artium Instituto Atque Academia

491쪽

OPUsCULA. Iangustis admodum finibus contineri videntur ad quae praeterea non haec una , sed multi pic , atque diversa data ei via, eaque praesertim, quam ope motu, translati primus aperuit Chri itianus genius. Itaque ut hujus principii usus in motus communicatione , qua majori potet amplitudine donetur, hanc pono generalem formulam Axd ad χ- quae minimum Maupertu 1sianum exprimat . In ea autem litterae Velocitates corporum , t B post ictum significant: quae quidem , si dura sint, sicuti communi cum velocitate progrediuntur poli cium ita erit x 3, S dx I, 6 hin communis velocitas sint elastica, quoniam in illis velocitas respectiva post ictum aequat eandem velocitatem ante ictum haec autem aequalis ei differentiae Velocitatum ante ictum, illa vero differentiae velocitatum pol ictum , sed contraria ratione sumptarUm , erit I unde I an generalem formulam , e qua eaedem deducuntur velocitates, quas ipse posuit Maupertui sius , aptemus iam communicationi motus, quae fit per vectem . Utile visum ei initium hinc desumere, tum qu 1 hic communicationis modus directorum ictuum genus non X cedit, tum quia sola velocitas, non vero etiam eius directi , ut in ictibus in directis, nobis ei in Qelligin-da . Igitur vecti Fig. a. CK, quod moveri libere possit circa punctum C, adfixum sit corpus B minime grave hinc

enim omne potentiarum genus ei removendum D; corpus vero A in directum impellat punctum , quod A verius moveatur. Omm Uni Cati motus, quae ictum consequitur, eadem prorsus ratione peragitur, ac si nullus ei se interpositus vectis tamen tot actionis tempore directus sempersit ictus. Quare si velocitas corporis A ante ictum sit post ictum corporis vero B ante ictum post et im- , minimum actionis juXta Maupertui si sententia in erit

ante ictum, post ictum P ergo quoniam

corpora dura post ictum communi angulari velocitate aguntur Trio erit

492쪽

nique x - Quam formulam si ita per-

tractassem, ut eiecta x otam fretinuissem, inventum fui Tet

de lallicis corporibus sermo sit ex iis, quae saepius diximus de respectiva horum Corporum velocitate ante, post ictum , facile constabit velocitatem tum corporis A, tum punctio ante ictum post ictum ver

talis formuh e qua jam invenerat Bernoudius ope virium assa due applicatarum, sicuti cum rei veritate consentiunt, ita etiam multum addunt certi tu in is au pHrtuissiano principio. Sed jam nos ad ictus indi1ecto confera Ilia . Corpora duo Fig. 3. majus, Amminus congrediantur

493쪽

tur in puncto C cum velocitatibus C, C, eorum centra conjungat recta rectae vero quae Corporum velocitates designant, ita producantur, ut C sit X. gr. 'C . Per punctum C du-Catur recta quaelibet parallela MN, cui pariter parallelae erit ' ' conjungens centra M', '. Jam si corpora moveri incipiant, nullumque in C offendant impedimentum , singula aequali tempore suas spatii partes NC, ' conficient: at cum se mutuo impellant in C, haec, si dura sint, juxta Maupertui si sententiam communicum Velocitate recedent ab ictu. Hujus autem velocitatis neque directio nota nobis est, neque quantitas utraque igitur est invenienda . Ex puncto C ducatur quaelibet C o, quae quaesitam velocitatis directionem designet, eius Vero pars C O ipsam X primat comi nunem velocitatem . uncta M , 'conjungant cum puncto O rectae ' , ' O , ex quibus praeterea normales incidant in C in rectae M S , ' in, sit Γα - , ' p, denique Communis poli ictum velocitas O . . Ne vero in re Onge diversa a Maupertui 1 ratione vel minimum re Cedamus, a C animi adversas, corpus, quod autem de laoc dicam , de altero quoque dictum volo , dum post ictum progreditur per O, eandem mutationem subire, a ii interim dum percurreret cum velocitate M C , translatum ess t per 'O cum velocitate M O. Novum igitur spatium is nova, quae inducitur veloc1tas, designatur a linea 'O minimum vero actionis aequabitur M MO--N 'O , sive e 1 . secundi libri Euclidis ' - a differentiis acceptis , M', 'palx 1N'aedae a 'i d x et o qua formula quia saepius uti opus erit, eam deinceps brevitatis causa littera A)nominabo interim si eam dividas

munis velocitas l. Haec autem formula generatim exprimet communem velocitatem cujuscumque directio, ni S, quam significant litterae, Nunc danda est opera, ut inveniamus locum Communiuin velocitat uua quae cinfinitas ii verssis directionibus posse

494쪽

possunt convenire . Igitur ex punctis , M', ' ducantur ΟΡ, 'H, ' normales illi rectae, quae e puncto C ducta est parallela , conjungenti centra corporum sit Crimis, Pom),MH, Κ c, CH, m KCzzv, anguli vero OCKα φ r erit jam O, sivei it 3 . Verum ut ex hoc quaesiit loci aequationem eruamus, determinandae sunt , qua in re cum seni per prae oculis habendi sim diversi anguli , quos diversae communis velocitatis directiones constituunt cum H CΚ, utile erit ad facili Crem analysim trigonometricum calculum advocare. Itaque e trigonometria notum est sinum totum esse ad cosinum anguli N in, sive r : :q; ergo e.

quibus in locum sinuum 4 cosinuum substitutis erit - 4. '' od vero attinet ad

495쪽

B); denique ejecta radice peractaque divisione per '-- , fiet c)-- tyy Quoniam vero initio posuimus, majus HAE secetur in V in ratione reciproca massarum ' M', punctum V cadet ad partem

H ti quae spectat ad circulum Quem ut construas e puncto V erige normalem Ag. q. Vin et ' Κ, duc in cujus dimidia pars C T, sive T Centro P, radio a describe circulum; hic erit curva quaesit . Ex puncto T duc B in Laltera C V alteram parallelamin V , sumptisque Ticies et, B u erit CVmz-- rat,4 RUiu - I denique ex puncto ducta qualibet O , quae circulum secet in , erit factum N N 'O minimum omnium, quae gignuntur, si punctum , ex quo ducuntur 'O sit ipsum antersectionis puncturr rectae Cia CUm circulo inquirendum tamen superest inter infinita puncta intersectionis rectem cum circulo, quorum uagula diversum praebent factum M'. 'O'--N' N O , quodnam illud sit, e quo minimum factum habeamus. Est a M' t

496쪽

336 OPUSCULA. rmulam voco C . Si aequationis B differentia sumas,

duae respondent ordinatae altera altera duae pariter altera altera quatuor ergo , quae jam novimus puncta , nempe R , possunt quaesitum minimum sussicere Antequam tamen aliquid certi hac in re statuamus , observandum nobis est diligenter, quid novi accidat, si formulas A), ω C ponamus aequales inlinit, id enim omnino et faciendum , ut maxima Omnia, vel iminima tuto detegamus . Hoc autem quamvis in ictibus directis possit omitti, propterea quia nihil inde consequitur absurdi, pretermittendum tamen non erat Maupcit uili , qui universalem quemdam modum ac rationem de sui princi pti usu in motus communicatione tradendam proposuerat. Itaque si A primum, deinde C , ex qua Ope diu ut superioris electa sit', aequemus infinito; p ima, Lita caret di nulli maximo, aut minimo in-

sive

497쪽

& ductae tangent diametrum parallelam rectae C V in extremis punctis G, Quare ad quatuor priora duo haec accedunt, quae de minimo certare cum illis possint. Non tamen aeque de omnibus incerta res est. Nam ex facili atque expedito calculo conitat, puncta , , , , quae ad inferiorem partem a cent, nullius eis posse utilitatis, cum singula eorum facta M'. --- magnitudine e X cedant facta reliquorum D, igitur tota quae ito ad duo haec redacta est, quae tenent superiorem partem. Quare facti in M'. 'i' '. 'i' conferendum est cum facto M'. 'R' N utrum minus it inveniendum: quod facili calculo praestabimus . Ponamus igitur

quod dignosci facile potesto exce

498쪽

bolum itaque punctum' nolito problemati inseruit , radius vero circuli , quem descripsimus, Sprimet corporum vel O- citatem pol ictum Haec autem omnia , quae tum de corporum Velocitate post ictum , tum de hujus velocitatis directione e ipso au- pertui si an principi deduXimus , ea sunt, quae in natura contingere plumbus, diversisque modis saepius est demonstratum. Habet ergo ejus usus magnam utilitatem summa cum certitudine conjunctam Cujus utilitatis novum proferam argumentum desu raptum e ictu in directo trium corporum staque corpora Fig. S. A, , ' congrediantur in cun uelocitaribus AC, A C, quas voco , b per punctum C ducatur quaelibet Hi velocitates vero AC, 'C ita producantur in in M', '', ut eadem sit tum harum linearum , tum velocitatum proportio Ex punctis , M', ' in idant in vi' normales H, H , M H hae vocentur ', Cm', vi ' ductaque qualibet O , quae Communem corporum velocitaten post ictum, ejus velocitatis directionem designet, haec vocetur denique e punctis

499쪽

quae respicit circulum , cujus radius - Quare sectam ductaque normali si e tribus punitis , C, D delinee tu circulus , hic erit locus, in quo omnia cujuscumque directionis mima continentur

ν 'M Verum ex leuibus centri gravitatis

500쪽

notum jam est, inaequare distantiam centri Omnium corporum a recta CD igitur u Xta primam formulam mininium factum c. desumi poterit e puncto intersectio nis circuli cum recta, in qua collocatum sit centrum Cor Porum , M', ' , quaeque rectae sit parallela Guyta alteram vero e puncto intersectionis circuli cum recta parallela C in in qua sit idem corporum cntrum . Sed abscisDsa distantiae centri corporum a reci a C habet Ordinatam distantiae ejusdem centri a recta C PQ ergo centrum Corporum in descripti circuli ambitu continetur. Ducta igitur e puncto C ad punctum quod centrum est corporum recta C O , haec poterit velocitatem corporum post ictum ejus directionem ignificare . Hoc autem, quod hactenus fieri posse ostendimus, revera proprium eis solius puncti O , neque commune cum reliquis punctis, quae ab illarum rectarum intersectione cum Circulo designantur, facile cuique constabit , qui voluerit factum puncti O , cum reliquorum punctorum factis conferre . Habemus ergo in recta CO Velocitatem trium corporum post ieiuna, ejus directionem: quae quidem velocitas , directio ita cum ea convenit, quae revera post ictum consequitur in natura , ut negari non possit e Maupertulliano principio certas de communicatione motus leges sua quasi sponte profluere Quae vero hactenus in duorun , vel trium , eadem in plurium etiam corporum ictu de monti rari seque possunt immo idem de monil rationis genus elasticis quoque corporibus potest aptari. Haec enim dum recedunt ab ictu , eandem servant directionem , eandemque Velocitatem , quam ab Uerant, cum ad ictum accesserant quae ergo adtionis quantitas insumitur in ictu , eadem velocitati, directioni post ictum restituendae erit necessaria: hinc vero sit, ut si illa fuerit minima , haec quoque necessario sit minima Attamen dubitari potest, utrum hoc minimum , ad quod

in omni communicatione motus deducit formula Maupertui si an , minimum actionis sit, quam in collissione corpo-TUm CXCrat natura, an vero minimum , ut junt, Geometricum . Cum enim in totus communicatione illud semper

Maupertui sus spatium assumat, quod aequabili motu per curritur, quodque conitantem habet cum velocitate propor-