장음표시 사용
131쪽
Sit Circulus L E e , cuius Centrum s , cui cireunscribendum sit Pentagonum aequilaterum & aequiangulum. Diuido Periphetiam totam in quinque aequalia, per antecedentem, in punctis
A, D, B, C, Ε. Et a Centro s educo quinque lineas, IA, FD, s A , FC & fg
ad quas hincinge gueo quinque perpendiculares: Q Lar concurrent in punctis C , H, K , L , M , tangentq: Circulum,per coaetarium decimetquintae Tertii. Tum ad puncta concutius ipsarum, Auco a Centro lineas sci, sti,sκ, s L, F M. Et quia C A& C D ab uno puncto cadunt in Circulum: ipse erunt ae quales , per ea quae demonstrauimus ad Trigesimamquintam Totii. Atque eadem ratione eiit N D ipsi An aequalis:& κ n ipsi x e 1 Mqi ordinatim. Et quoniam quinque A
gesimanis tam Tettii, quinque anguli qui ad Centrum,
latera AC & s A, Trianguli p C A, sunt aequalia duobus
per octauam primi, duo ipsorum anguli qui ad p , inter se : duoqi anguli qui ad c, inter se quoque aequales. similiter erunt duo anguli qui ad p , Diangulorum D s M& n F p , inter se j duoqi qui ad N , inter te aequales. Sicqi trium reliquorum Triam gulorum Asc, c s s , & sp Α, si guli dii identur per aequalia,lineis p x,s I,&pM eruntq; Aecem anguli qui ad Centium aequales Quoniam igitur duo anguli A & s, Trianguli G A s, knt aequales duobus angulis A & s, Trianguli MAs, latusqi Ascommune : erit, per vigesimam extam Plisti, angulus ti unius, aequalis angulo Malterius latusq: C A aequale lateri A M. Eadem ratione ei it angulus C, Trianguli C s D , requalis angulo M , Trianguli D s u : latusq: G D aequale lateri D H. QCum
itaque e 1 st dimidium c M, & a D dimidium c H 1 snrqi & D aequalia: erant, per animi Notionem, c M & N eorum dupla, aequalia. similiter probabimus a M, M L , I x , & xes esse aequalia. Quare Pentagonum κ L M , aequilaterum . sed & aequiangulum. Quum enim duo anguli qui ad G, probati sies aequales: duoq; qui ad , , aeq0alas: & c dimidius, aequalis M dimidior erit totus o , toti M aequalis. Atque eadem ratione teliqui anguli ipsus pentagoni probabuntur aequales, Qυod erat faciendum.
Α L i et E p. ex parallelis. In Circulo A p c . etitus Centrum s , inscribo pentagonum aequilaterum & aequiangulum A n e D s , sicut docet antecedense per curus quinque angulos ducti a Centro vltra peripheriam, quinque lineas FG, FH, F Κ, s L S s M. Et constat quinque angulos qui ad s Centrum esse aequalest quum la
tera quinque intrinsectis Triangulorum sint aequalia,&bases aequales. Collat etiam quinque angulos Pentagoni. qui ad Periphoriam, esse diuisos in decem angulos et quales, per quartam Primi. Duco itaque inter duas lineas F C & s M , lineam Η, parallelum lateri A s , & tangentem Circulum A s c . per ea quae docuimus ad decumamsextam Teilii: atque huic smiles duco Hκ, x L , & 1M, singulis lateribus Rc, C D,& D E parallelos. Et quoniam s cadit in duas parallelos A B N M,erunt duo anguli 3 o H de s R C , duobus f A p & s p Α mutuo aequales, per secunda partem vigesimaenonae Primi ob iὰ , ' inter se aequales. Et per sextam igitur Primi duae lineae r e&FH aequales. Eadem ratione erunt duo anguli s Hκ Ms x H , duobus f H&stic mutuo aequales: & p κ aequam
lis pR : quapropter 8e ips 3 C. Quum itaque anguli qui ad s., sint aequalest erit, pet quartam primi, basis A Lbas H aequalis. Similiter probabuntur nes lineae s X, F L,& p M , aequales duabus f S sti: Duae item bases x L & L M , aequales duabus
132쪽
ti & Dκ, Et anguli quos cum ipsis p x, sti, & pM faciunt, aequales inter se. Iam connecto quintam lineam M C 1 qua erit aequalis quatuor prioratius, per ipsam quartam primi: quum duae linem sc N pM probetur aequales : siqi anguius C pMaequalis unicuique angulorum qui ad p. Haec etiam tangit Circulum. Ad ptinctum enim contactus ipsius L M cum Circulo, quod si N,duco sN. Et costat ex decima septima Tertii, utrunque angulum qui ad N, esse recturru Qvapropter quum angulus L, Trianguli pru, sit aequalis angulo M , Trianguli pMve &angulus N vritis, aequalis angulo N alterius t he s N utrique communis: erit, per vigesmarasextam Primi, N L aqualis N M : Qq; L M diuisa aequaliter in puncto N . Et quoniam tria latera Trianguli scis, sunt aequalia tribus latetibus Trianguli stis: erit angulus p unius, aequalis angulo s alterius, per octauam primi: quapropter uterque rectus, per decima tertiam eiusdem. QDum itaque duo anguli sup & ps M, Triangulis M p, sint aequales duobus angulis sMN S s N M , Trianguli pMN es latus p Mutrique commune: erit s p aequalis p N. sed F N est a Centro ag periphetiam.Et erit
igitur p p u C tro ad Periphetiam. Quumqt M c si ad A s perpendicularis: ipsa,per Consectarium decimaequintae Tertii, contingit Circulti . QLare GHκ2M Pent g Dum circunscriptum Circulo. aequilaterum e inod N aequiangulum probatum est,ex aequalitate dimidiorum: sicut facere oportuit. Atque haec Demonstratio quanuis amplior videatur, tamen ipso imuitu sese e plicat.
In dato Pentagono aequilatero dc aequiangulo Circitum inscribere.
Sit datum pentagonum Ap cos aequilaterum & aequiangulum, in quo deseriti bendus sit Circulus.
Duos angulos agunum quempiam laterum ipsius pentagoni adiaceres,ut A & Ε, diui3o aequaliter , ductis lineis Ap & ss: QDae concurrent intra Pentagon Lm ad ictum p. A quo ad uni mquo/que laterum pentagoni duco quinque perpendi culares p C, p Η, p Κ, F L, & F M Tum ad duos tingulos hinc inse proximos a & D,duco s p & p D. Et quia duo anguli A & M,Trianguli A s M, sunt aequales 3uobus angilis A es C, Titanguli Asci:&latus A p communet erit, per vigesimamsextana Primi,s M aequalis pC. smiliter,per eandem erit 3 L aequalis p M, sumptis duobustiangulis E s L & Ε p M. Rursus quum duo latera A E N A τ Ttianguli A s s , sint aequalia duobus As &Αs, Trianguli Aps :&angulus A unius, aequalis angulo A alterius: eiit, per quartam primi, angulus A A s aequalis angulo A E s. Et qLia rotus a toti gest aequalis , si s sivisse; aequaliter iit & p diuisis aequali ter. Eadem ratione probabitur totus p aequa iter diutiust sumptis Titangulis E A p es s D s. Q Lia ergo duo anguli citi &s, Trianguli G s a , sunt aequales Auobus angulis N N B, Titanguli ti s B, & datus s p commune erit per vigesiman sextam primi, s H aequalis pc. Eadem ratione probabitur p x aequalis s L sumptis Trian lis L s D & κ s D Quum igitur quinque lineae s c, τ Η, s Ε, s L. & s M snt aequalestetit s Centrum Circuli, per nonam Tertii. Qi i secundum ipsarum quantitatem descriptus , tangetlatera pentagoni, per primam partem decimaequintae Tettij, Quod erat faciendum
1 Ni TI constructionis praemonstrat Campanu , lineas AP & s p diuidentes duos angulos A & Ε, concurrere intra Pentagonum. sed hoc constabat ex antece dentis compositione in qua s C & p ti,ad Centrum a terminatae,probabantur aequales
133쪽
ies. Nam ex huiusmodi constructionibus Consectaria colligi solent. Quod ex prIma Tertii,& decimaquinta eiusdemmoxq. ex decimaquinta huius,alijsq. propositionubus iatis multis videte est. Sicut etiam ex hac sequitur,immo ex antecedenter ineas perpendiculares a punctis mediis laterum Pentagoni eductas, per Centrum Circuli transire, angulos oppositos aequaliter diuidere. Vt hoc loco, Α κ est linea una, di uidens angulum A, latust e D aequaliter: ac reliquae in eundem modum. Quod sieollenditur. spatium illud chea Centrum s , a quale est quatuor rectis: qui in decem aequales diuiduntur,decem lineis in s conuenientibus. Quinque igitur anguli a s M , M sv s x, i s D,dc D s κ suit duobus tectis aquales Quapropter As & s x, per decimam quartam Primi, unam lineamessiciunt. Eadem es de caeteris lineis erit probatio. At que hoc in omnibus Figuris aequilateris imparium laterum est perpetuum.
'pROBLEMA , , PRCp OSITIO XIIII. Circa datum Pentagonum aequilaterum Sc aequiangm
sit circa dacum Pentagonum aequilaterum & aequiangulum Ascos, destri hemdu, Circulus. Duos angulos A, a diuido in duo aequalia, sis lineis A s & s s : quae concur, rent intra pentagonum ad punctum s , ut antea probauimus. Tum ab ipsi puncto p , ad reliquos angulos duco lineas s A ,s c, &p D. Et quia duo latera a s & Α s,Trianguli A s Riunt qualia duobus lateribus A s & A g, Trianguli Α Ε 3, & angulus Α unius aequalis angulo A altetitisterit, per quartam Primi, s A aequalis p Ε: & angi ius a s s aequalis angulo A E F.Quumqtotus si toti s sit aequalisi erit B diuisus in duo dimidia. Atque eadem rationeuterqj angulorum c S i, diuisus in duo dimidia ob id, quinque lineae pA,IA,se,pD,&sa aequales. Quare, pet nonam Tertior erit s Centium Circuli, pentagono Anc DE cuc Eibendi, Quod faciendum fuit.
PROBLEMA 11. PRO PCsITIO XV. In dato Circulo, Hexagonum aequilaterum Sc a quiangulum describere.
sit gatus Citculus A B c D , cuius Centrum s , cui in ribendum sit Hexagonum aequilaterum & aequiangulum. Duco Diametrum Α Ε c : & secundum quantitatem semia
duobus punctis p & D. A quibus, per Centrum Ε, duco duas ago & DEs Diametros.Trium vero Diametrorum termino coniungo sex lineis A s,sa,pc,CD,D c.8co A. Dico AFBCD c, esse Hexagonum quale proponitur. Erit enim ex Themate primae Propostionis Primi, utrunque Triangulorum p Ε c & C p D aequilaterum t he per quintam eiusdem, aequiangulum. Duo igitur anguli a g C & c 3 o eum tertio quopiam aequali,essicient, per trigesimamsecundam eius gem, duos rectos e quum uterque si tertia pars duorum tectorum. Et quia iidema Ε C 8e C s D e cum angulo D s c, essiciunt duos rectos, per decimatertiam eiu dem:
134쪽
erit o E c aequalis utrique illorum. sunt itaque sex anguli qui ad g , aequales. Et seae igitur Arcus quos comprehendunt, aequales: per vigesimamquintam Tettii: Qua propter de sex illorum subtensae aequales, per vigesm octauam eiusAem. AEquit telum igitur Hexagonum. Seg tr aequiangulum,per vigesimam extam eiusdem:pr pterea quod Arcus in quos eadunt, aequales sunt nempe singuli tertia pars Periphetiae, Quod fuit constitutum. Ara TER sit in Circulo Asco Ε, cuius Centrum s , describengum Hexagonum aequilaterum ec aequiangulum. A Centro s Deo semidiametrum s A. Tum ex puncto A, per primam huius,a eommodo lineam ha aequalem ipsi Semidiametro: Quam dico esse latus Hexagoni aequilateri de aequianguli. Connecto p s. Et quia Ap est aequalis s Α: est& aequalis sa. Triangulum igiti A p A aquilaterum: Ee, per quintam ptimi aequiangulum Constituo posmodum ii per s Centro angulum a s C aequalem angulo A p s, vel angulo F B A, quod perinde est,ducta linea F c & connecto A c. Et quia A s a est tertia pars duorum rectorum, per quintum N trigesim secundam Primit erit 3c a se tertia pars duorum rectorum Quapropter θuo reliqui F B c & s c a, quum sint aequales, per quintam Primi, erunt duae tertiae duo rum rectorum,per trigesimamsecundam eiusdem. Vel per quartam primi,quum angulus B p c sit aequalis p a A, duo latera s B & s c snt aequalia ξuobus as de s p erit ba sue s c aequalis bas a s : quapropter de ipsi s C. Triangulum igitur s s c aequilaterum 3c aequiangulum. Demum constituo angulum c s D aequalem utrique angulorum qui ad s positi iunt, ducta linea s heconnecto c D. Eritqi iam exposita ratione,Triangulu s c D aequilaterum 3e aequi amylum. Quumq: tres anguli qui ads, duobus rectis snt aequales est enim unusquis tertia pars duorum rectorum: erit, per decimamquartam primi, A D linea una: ob idqi, Diameter Circuli. Alter igitur Semicirculus A p D , in tot partes aequales diutidetur,in quot A s c, totq: aequales subtensas comprehendet. Quare A B est latus Hexagoni aequilateri Circulo inscribendi. Quod de aequiangulum erit nam dimidium totius p , aequale est totius e dimidio, Quod suit faciendum.
v v M igitur duxerimus ab p Centro perpen3icularem p s, & connexuerimus B s 8ί cs: essecerimus mi angulum s g c : cuius angulus Ε qui ad verticem, erit k-xta pars duorum rectorum, per decimanonam Tertii.Nam s p C angulus, ad ipsum duplus. Vterque vero duorum fac & scs angulorum ad basin, erit duplus sesqui plex, seu duplus sesquialter, ad ipsum E angulum. Atque haec erat ars inueniendi la teris Hexagonici. Duae igitur Demonstrationes modo inductae, compendiariae se poterat etiam inseribi Hexagonum ex Trianguli AEqui lateri inseriptione, diuistunoquoque trium Arcuum per diqualia Sala iam hoc Figurarum inscribendarum negotium elucidemus. Quaeeunque impatium sunt laterum Figurae eae Circulo inscribuntur adminicu
lo Triangulorum Isoscelium, quoium duo anguli qui ad basn, multiplices sint eius anguli qui ad verticem. Triangulum itaque AEquilaterum quod est primum imp rium laterum atque ob id tot habet priuilegio seipsum explieati id i habet ab Vniatate, per quam designatur. Constituto enim Triangulo Boseeli ad Peripheriam, cu ius duo anguli qui ad basn, aequales snt angulo qui ad vertieem AEquale vero sub ipsius multiplex est, ut Unitas) ipsa balis erit latu; Trianguli AEqui lateri Cueulo imscribendi. Ae se Aquilaterum, tanquam lso celes consideratur. Pentagonum autem , quod est secundum impatium, reperitur Micio Trianguli hoscetis, cuius uterque angulus qui ad basnauplus sit eius qui ad verticem: sicut d monstratum est in undecima huius.
135쪽
Heptagonum vero , per Triangulum , cuius utetque angulus qui as basn, triplus sit eius qui ad verticem: Ennagonum,quadruplus: Undecangulum,quintuplus : Tre decangulum, sextuplus 1 ac sic continenter PARI v M autem laterum Figurae oequilaterae Circulo inseribuntur ossiciolian
gulorum Isbseelium, in qu)bus anguli qui ad basin, sint multiplices sesquiplices eius anguli qui verticem. Vt Quadratum primum patium laterum, atque eam ob causam etiam tot habet priuilegia inseribitur Circulo: ex Triangulo hos ii ad peripherium collocato,cuius uterque angulus qui ad basin , si sesquiplex , seu sesquialter, eius anguli qui ad vel licem. Sed compendii eatissa, aliter docuit piaclides in sexta huius. Hexagonum, cundum patium ossicio Ilo lis cuius uterque angulus qui a3 basin,st duplus sesquiplex eius qui ad verticem: Octogonum triplus sesquiplex a Decagonum, quadruplus sesquiplexi scqi in continuum, per Figuras patium laterum. Atque ex ijs innumera biles abun/ant meditationes. At vero imparium laterum Figurae, ideo dissiciliores cognitia, quod pleraq: ips rum per numeros Primos repraesententui: Quales sunt 3,s, , 13.1 ac similes. sed de his alias uberitis, vi ante polliciti sumus. Haec tamen in Hexagono docere potius visum est,quod ipsum sit maxime peripietium, atque ob eam causam quod per sin rium numerum significetur, qui primus est Persectorum. Onsectaraum.
Latus Hexagoni Circulo inscripti, aequale est Circuli Seia
Hoe vero satis constat ex utraque Demonstrationum: maxime ex secunda, quae per Triangula AEquilatera procedit, quorum latera sunt semidiametri. E x Campano. Non proposuit Euelides, Circa datum Circulum, Hexagonum aequilaterum N aequiangulum ut deseribatur : neque vi intia aut circa Hexagonum, Circulus, quod satis esse putaret de Pentagono proposuisse: ex cuius e paratione, reliquae species AEquitatem Circulis aecommodabuntur, atque iisdem Circuli. Illud insepet obseruandum, Omnem Figuram aequalium laterum Circulo inscriptam aut circunseriptam, aequalium quoque esse angulorum. De inseripta constat ex viges septima & viges sexta iiij sumptis binis quibus* Arcubus contiguis, quos
auo latera inguium continentia subtendunt. De circumstripta autem ductis lineis a Centro Circuli ad omneς angulos ipsius Figurae N ad puncta contactuum: seut ex themate decimaelestiae huius ostenditur. Hie etiam animaduertemus, quo3 & supra in quadragesima sexta primi monuitamus, in Figuris parium laterum, lineas ab angulis per Centrum ad angulos ducit sea in Figuris imparium laterum, ab angulis per Centrum ad latera.
In dato Circulo, Supersciem quindecim laterum a qui-
lateram de aequiangulam inlcribere
sit in gato Circulo Laeo inseribenda superficies quinderangula aequilatera &aequiangula. Intra Cit Jum, per do trinam secutita huius, he primae eiusdem, applico latus Titan tili AEquitatetit quod sit Ac: εt, per undecimam huiuste, latus pentagoni. quoiusit AE , in Arcu A C. Qualium itaque segmentorum aequalium tota Aac D Peripheria est quinὰecim, talium Alcus AE c, tertia pars ipsus, erit quinque: de Arcus A a quinta pars eiu dem
136쪽
erit trium e ob idqi, resduum s C , duorum aequalium secetur , per trigesimam Tertii, Arcus a c bitariam in Ε puncto. Et erit uterque Arcuum B Ε & Εc, decim quinta pars totius peripheriae. Si igitur coniunxerimus rectas s Ε & s sent duo latera Quindecanguli qui lateri. Et tales tres a)mittet Arcus Α s,scut astruxi mus: senini in Arcu A c , quinque decimaequintae totius Periphetiae. Qui quum si tertia pars ipsius reliquae duae tertiae e D & D A, in tot tantasqi sectiones 3iuidem turiquarum subtensae,erunt latera Quindecanguli aequi lateri, Quod erat faciendum. SIM 11 1 TAR autem ut in peragono, s per quindecim puncta diuisionii aequalium Circuli, duxerimus lineas tangentes citra ipsum Circulum deseribetur Qtii Arangulum aequilaterum & aequiangulum i Atque insuper iisdem, quibus illic ob- eluationibus, dato Quindecangulo Circulum inscribemus & circunscribemus.
137쪽
Ars, est Magnitudo Magnitudinis minor ma
ioris, quum minor maiorem metitur.
In explieandis huius Quinti Degnitionibus, Numeros nobis ac-eommodabimus. Id enim disciplinae gratia in prineipiorum ossem sone licti in Demonstrationibus autem propositionum,Geometri ea dignitas seruanda est. Alia quippe ratio & natura Continuoluim,atque alia Discretorum. In quibuseam tamen adeo religiosi non erimus 1 nempe dum Quantitatis vocabulum pro Magnitudine usurpabimus. Qilanuis enim hoc peculiarius illud generalius sit vir qi tamen Geometria paruo discrimine sbi vendicat. partem ita hoc loco plerique esse putarunt, quae totum aequalitet diuidit, scilicet quae aliquoties sumpta Totum integre constituit. Acci binaria denominatio neque Ternarii nem Quinarii, neque vilius imparis integri pars erit 1 sed tantum QDaternarii, senatij &parium. sed meo iudicio,non recte accipiunt.Neque enim proportiones aliter quam generatim consgerandae sunt. Atque ut in discretis, omnis Numerus est pars aut partes' maioris i se & in proportionum materia, omnis Magnitudo pars est aut partes maioris, quum proportio rationalis es: hoc est, per numeros explicabilis. At di est Euelide, hoe loco partem non sic desinitam esse vult, ut ad Totum reseratur,
Og ad Multipleu.Vestim id quidem ess :alioqui nihil opus fuisset Degnitione partis, quae satis ex superioribus nota erat. sed Multiplex aliter sumedum quam ipsi putent. Quinarius enim Binatij multiplex est, quum si ipsus duplex sesquiplex, seu mauis, gustus sesquialter Immd & Ternarius ipsius pinarii, sicut & Vnitas sutipsus, multi plex est, sed quum di tale sit, praesertim inter docendum, superpartientia & super
parietilaria in partes suas distinguere,ob inaequalitatem in Demonstrationibus par res aequales assumuntur. In ijs vero quae non deindustria ponuntur Magnitudini , , bus, proportiones sent riuitae. Qi apropter si linea La ω fuerit lineae E p, verbi gratia,dupla sesquialtera i linea* c D, suetit lineae G H itidem Aupla sesquialtera: erit utique A aipsus p p ut e D ipsius c H aequemultiplex. Pars igitur hoe loco accipienda, ac si dicas submultiplex i& eatenus comsi3eranga, quatenus ad integrum habet rationem aliquam quae per numeros exponi possit, Quod voti misisti, satis indieat. Ex hoc consequitur Multiplicis Definitio,
, Multipleu, est Magnitudo maior minoris,quam me
138쪽
His autem ex superiori satis manifesta est. Sunt enim hae voces mutum, seu , ut vo
cant, ad aliquid. Senarius igitur, quem Binatius metit sed & Q inatius eiusdem Binarii multiplex est
a Ratio est duarum Magnitudinum eiusdem generis quaedam habitudo inter se.
Ratio seu proportio inter eas aduenit Magnitudines, quae sunt eiusdem generis. ut enim neque Numerum ad Sonum, neque Tempus ad Locum recte quisquam comparauerit: se neque Lineam ad superficiem, meque superficiem ad solidum. Linearum vero ad Limeas, superficierum ad supcificies, & solifloium ad solida
conueniens set collatio. Quaedam autem dieitur, non certa. Omnis enim Linea ad alteram habet lationem aliquam, non tamen certam. Atque eiusmodi Quantutates dicuntur irrationales, incommenstrabiles, seu incommunicantest qualis est i tetis Quadrati ad Diametrum.Certar vero rationes seu nominatae,sunt quae per N metos indieantur. Quarum denominationes ex xithmeticis petuntur.
q. Proportionalitas est Proportionum similitudo.
. Vt s Hicatur ea ese proportio A ad a, quae est e ad n i eius modi smilitudo seu comparatio . Proportionalitas vocatur. Male igitur verterunt quidam. Proportionem loco promitio ς nalitatis ίναλινία enim alias proportiorem Mniscat Quim tiliano hie vero Roportiorum smilitudinem, quam Propo tionalitatem diximus, utcunque vox patum Latina sit: quales & huc satis multae incidunt.
s Rationem habere inter se Magnitudines Icuntur, quae
multiplicata possunt altera alteram excedere.
Non poterat alio ingenio vim substantiami Rationis inter Magnitudines eum nere , quam Multiplicationis vocabulo i ut etiam incommensurabiles includeret. Excessis enim index comparationis Quantitatum Quum ergo latus Quadrati multiplicatum possit Diametrum excedere: Diameter item multiplicata, I riphetiam: habebit 1ationem latus ad Diametrum : atque inde Diameter ad Periph riam, licet incognitam Atque ex hoc loco satis colligitur , Angulum , quem contachus voc xit Euclides in xv Tertii, quantitatem non esset quum multiplicatus nullam magnitudinem possi excedere i immo , quum multiplicati non poli t: ut illic demon auimus. Multiplicationem autem hoc loco accipiemus, pro eo augmento quoast in partes quas vocant homogeneas. Linea enim multiplicata, id est, aucta pari bus sui similibus lineam excedet: sed non superficiem: sc ad stipeificiem non habebit rationem.
6 In eadem ratIone Magnitudines dicuntur esse, prima ad secundam ut tertia ad quartam: quum primae de tertiae sequemultiplicia , secundae item dc quartaea quem ultiplicia, fuerint primum secundo & te tium quarto secundum quan uis multiplicationem, aut simul aequalia, aut simul maiora , aut simul
minora. ia in Geometricis plerisque Rationes o utrunt incognita i seu innomin
139쪽
ad earum probationem, AEquemultiplicium ossicium nobis accersimus quae qui dem varie comparamus, ut seopum attingamus. Hoc igitur innuit Definitio; si siue tint quatuor Magnitudines, videlicet A pri
a E & p , ite i ipsarum a & D alia utcunque is aequemultiplicia e & Η : itaque res eadat,s p he e sese inuicem aequent, aut si auterum altero maiust etiam v le N sese inuicem aquare , aut esse alterum ait
to maius e Erit tum A ad a, scut c ad D. scilicet, si E & s per duplum atictis, sed c de n, verbi causa, per triplum: si s aequale , & smul si s aequale u 1 aut si h si maius e , sit smes s maius Η aut si minus, minus: idqi semper fiat, seu pertiiplum, seu per quadruplum, seu per quancunque denominationem sumanturaequemultipliciat erit omnino A ad n sciit c ad D. Erat igitur huius Definitioni sententia, Quum primae & tertiae aequemultiplicia, aliaqi secundae & quartae utcunq:
aequemultiplicia se fuerint, vi si multiplex primae aequale suetit multiplici secundae, si & multiplex tertit aequale multiplici ipsus quartae & si maius maius, & s minus,
minus: Erit prima ad secundam, ut tertia ad quartam. Sed in haec verba non pro nuntiauit Euclides,ne Theorematis speciem daret non principij. Multo minus se pronuntiauit, In eadem ratione Magnitudines dicuntur esse, prima ad secun3am ut tertia ad quartam quum primae & tertiae aequemultiplicia, lacundae item & qustiae xque ultiplicia, suerint primum ad secundum, ut tertium ad qua tum. Ignotum enim per aeque ignotum de isset. At dices, Tam dissicilis est, immo fortasse diffcilior huiusmodi aequalitas aut e cessis AEquemultiplicium, quam simplicium inter se ratio. Non est sane. Maio tum enim Q antitatum facilior est comparatio, ob pallium 13 umerum. Multiplicia enim pro arbitrio collocare dc accommodare post mus,& ex ipsorum artificiosa co- structione, smplicium rationem colligere. praeterea, quum 3uas Magnitudines dua bus confero e virum tamen uni confero, nempe rationem rationi: sicq: intra bina rium consisto. Quum vero multiplicia multiplicibus : quaternarium conliderem oportet, nempe multiplex primae, secundae, tertiae, & quartae ctim simplicibus ipsis. Atqui satius patet quaternarius binario.Quum igitur tractabiliora snt aequemultiplicia , iure obiici non poterit, quod ignotum peraeque ignotum ostendatur. Huc a cedit quod quum mox egeremus Incontinua Proportionalitate, eius omnino luit facienda mentio sub Definitionis titulo: ne in Demonstrationibus suturis ingenia auia scultantium interciperemtur,te inau3ita. Nemo itaque ostendatur quod Princ pium diruile sit. Desinitiones enim subtiles esse nihil verat,praesertim quum res complic ta desinitur, qualis in ratio Magnitudinum. Nam & in traditionibus Dialectieis smpe euenit,ut Desinitum celerius promptius capiamus, quam Definitionem ipsam. Nemo enim est qui prius non capiat Hominem,quam animal rarionale. Quum v to substantia Hominis cognoscere eupimus,lum nobis plenius satisfacit Desinitio. possunt tem eiusdem esse generis Magnitudines i & possunt non esse. Dicemus
enim, scut Linea ad Lineam, ita Lineam ad alteram: sed & sicut Linea ad Lineam, ita super sciem ad superficiem. Neque omittendum Atidit,quod hoc loco Euclides generatim locutus est, sicut prima ad secundam ita tertia ad quartam ut utramque intelligeremus & Continuam& lneontinuam proportionalitatem. Vtrobique enim quatuor sunt Magnitudines in hae ripictae, in icta tacitae. Nam quum dicimus cotinue,scut A ad a ita s ad c quatuor int Magnitudines. Nam ipsa n magnitudo, duarum vicem si, let, dum consequitur & antecedit.Itaque non ex Euclidis sententia fecerunt qui Continuam Proportionalitatem separatim degnierunti vi hla Campanus quinta sua Degnitione. Nam qua viliusque sunt propria, hoc loco Euclides dissimulauit, communiter
140쪽
ambas una hac sexta Desinitione complexus. Quod vero dicitur, primum secundo & tertium quarto: hunc sensum habet, ut inaequalitatis & excessus ratione conferatur multiplex ptimae,multiplici seeundae: &multiplex tertiae, multiplici quartae 1 licet initio multiplex primae cum multiplici ter tiae & multiplex secundae cum multiplici quartae coniungendum suetit. Hanc Definitionem quam potuimus clarissime explicauimus: ut controuersam abigeremus ex huius ut inti Desinitionibus ortam. Nam qui in his Campanum reprehendunt, meo iudicio non recte reprehendunt. Neque enim Euelidem non in telletiit sed dum vocis easdem identidem inculcat quae res fere unaproportionum materiam ob curam facio: ipse in orationis implicationem se eonijciti ob Dialecticae, ut apparet,ignotantiam: unicuique tamen quod libere sentiat de Campano relinquimus, dummodo nos proportiones Geometrice tractemus.
Quantitates inter quas est ratiorum smilitudo, quae antea proportionalitas vocata est Propotionales dicuntur. Vt si sue rit A ad A sicut s ad c : erunt Α , Ε, & c proportionales. At que haec proportionalitas Continuat nam inter singulas comtinuatur ratio propterea quod media consequitur ad primam,& antecedit ad tertiam. si vero fuerit A ad n sicut c ad n fetunt & hae quatuor proportionales sed incontinuet quia hine distinguntur, ac velut interrumpuntur. singularenim unicam .habent denominatione aut Antecedentis aut Consequentis.
8 Quum multiplex primas excesserit multiplex secun
da , multiplex vero tertiae nota excesserit multiplex quartae: maiorem rationem habere dicetur prima ad seeundam, quam tertia ad quartam.
Nete manifesta est ex sexta: scilicet, Quatuor Magnitudinum nunquum maior est proportio primae ad secundam quam tertiae ad quartam, quin contingat aliqua aequemultiplicia primae Et tertiae collata ad aliqua secuti, & quartae aequemultiplia cia,se se habere,ut multiplex primae excedat multiplex secundet neque multiplex tetriae excedat multiplex quartae. Neque hoc contingit unquam quin maior sit propo tio primae ad iecundam quam tertiae ad quartam. Et haec dicetur maior impropor
tionalitas. Quum vero multiplex primae minus fuerit, quam multiplex secundae: neque multiplex tertiae minus fuerit . quam multiplex quartare erit mincit ratio ptimae ad secundam, quam tertiae ad quartam. Atl haec minoi Improportionalitas dicetur.
9 Proportionalitas, minimum, in tribus est terminis
Quia duarum Magnitudinum collatio tantum ratio est,non rationum smilitudo si ut duae, Proportionalitatem non constituant. Tres itaque,mini tim,debent esse: Qui nometus Continuam semper proportionalitatem constituit. Possunt autem dein Continua quatuor esse quantitates: hoe est,tam impari quam pari numero. At in Incontinua,neque pauciores quam quatuor,neque impari sunt numero. Quod qui attentius considerauerit, comperiet Euclidem hae ratione inductum, proportion litatem Continuam Ee Incontinuam non separasse. Meminisse tamen oportet,parem numerum preese omni proportionalitati Nam quum dico ut A ad a ita B ad C: duarum rationum si comparatio, ut antea dixi-k 4 mus,