Iacobi Peletarii ... in Euclidis Elementa Geometrica demonstrationum libri sex

발행: 1557년

분량: 192페이지

출처: archive.org

분류: 미분류

41쪽

esse. Nam quum de te aliqua sermonem instituimus: ea nobis tacite per desinitio nem lubit in animum , Non enim duos angulos aequales esse cogitabo , nisi quid sit aequales esse angulos concipiam Quod respiciens Euclides,angulorum aequalitatem proponere, atque eiaem Opera desnire voluit: ut hoe Theorema pro Definitione haberemus. Nemo enim fgnificantius explicabit angulorum aequalitatem, quam si dixerit duos angulos aequales seri, quum duo latera unum angulum continentia, duobus alterum angulum continentibus sunt aequalia, & bases quae latera conne ctum, aequales. Constat enim angulum tantum ese, quanta est duarum linearum ipsum continentium apertio, seu diductio, hanc vero tantam esse , quanta in basis hoc est, linea ipsas connectens. Atque ut clare dicam , tantus est angulus A A C, quanta est remotio lineae Ac ab ipsa A p : tanta vero efficitur remotio, quantam exhibet dinea a c. Hoc autem in Isticelibus est euidentius. Sint enim Auo lsostella Asc & D E p quorum unius duo latera Α Η & Α c duobus D ENDs est

stis renuis in Α & D punctis, ducantur duo Circuli prior seeundum A v, alter secundum D E patium.Horum prior manifesto transibit per A de c:alter vero per a & s puncta quum AB & Ac, itemqi Da & a s sint aequalia,& a centro utrinq: exeuntia. Atque, ex definitione aequalium angulorum, erunt arcus B c & E s aequales. Angulorum enim magnitudo designatur ex arcubus Circiuorum qui per extremas lineas quae angulos continet,transeunt. Ac conuerso modo,aequales anguli atque aequalibus lineis eo

prehensi, aequales obtengunt peripherias. Quum enim aequalia snt spatia a c &g s , ea aequalibus rectis lineis claudi oportet: propterea quod recta linea,est a puniacto ad punctum via breuissma. Atque havss dissimili iudicio, ex laterum ratione rebasum, quanta si angulorum magnitudo aestimabimus. Quur ergo Euelides hoe inter Theoremata reposuit,non inter principia praemist 3 Nimirum,quum speciem

ogammodo mixtam Principii & Theorematis prae se ferret Principii, quod ineommuni animi iudicio consisteret)Theorematis qu/d speciatim Triangula Trian gulis comparanda proponeret e maluit Euclides inter Theoremata referre, praesertatim quum multa haberet capita, Principium vero simplex ac velut nudum ese de beat. Ex hoc praeterea Axiomate tanquam ex locupletissimo Demonstrationum themate, multae Proposti nes consequi debebant, eluidem prope iacilitatis de iudicii: quas, quia erant notissimae,inter principia an umerari non conueniebat.pam cis enim principiis Geometriam contentam esse oportebat: immo multa Principia consulto supprimuntur ne iit onerosa multitudo ut etiam quae exprimuntur,tantumia exemplum exprimi videantur. Huc accedit,quod primum Theorema iacile per spicuum, ac sensui obuium esse debebat, pro Geometriae lege, quae ex paruis humi libusq: initijs, in progressus mirabiles sese extollit restatem non aliunde quam a communi iudicio p iguris superponere, Mechanicum quippiam esset Mathematicum. Iam vero quum fuerit confessiam duo Triangula inuicem esse aequilatera, ipsa quoque inter se aequalia fateri erit necessarium Etenim nulla euidentiori pecie aequalitas Figurarum dignoscitur, quam ex laterum aequalitate di quanquam Circulorum aequalitas ex diametris definitur sed non aliam ob causam quam quod linea obliqua sui copiam adeo aperte non sata Huius itaque Propostionis vitemus: cogitabimus* Figulus lintelliuere vero, i 3 demum taeeit ut recta: Cuius mensuram facile capimus, ac per eam, obliquarum inter se comparationem facimus.

At si haee superpositio aliqua ratione admitten/a st: tolerabilior sane fuerit hoc

qui sequitur modo Manente duorum Triangulorum Anc & D E s conditione,continuabo E Dusque

42쪽

LIBER

usque ag e punetiam,per primam petitionem aec ponam DC aequesem Aa, per secundam Propostionem. Atque itigem continuata F D, ponam D M aequalem , c. Tum super puncto D, ducam duos Circulose alterum spatio D vi, alterum spatio D B. Quorum prior manisesto transit per punctum g , quum sint D s es aequales: alter vero per punctum s , ob eamdem rationem. Iam a puncto D duco lineam re-

ςh-m o x ad E punctum: quae omnino transbit

super D E. Nam si extra transeat ut D N L aut D N tr duae rectae lineae concludent supersciem, contra vltimam animi Notionem Itidem ab eodem D puncto, ducam lineam D κ : quae etiam emi tur eadem cum linea D p. Ac demum Linea x xducta incietur eadem cum linea a s. Iam vero manifessum est lineam D L esse aequalem lineae D G, ac propterea ipsi AI, ex constructione & animi Notione: lineam quoque D K esse aequalem D N , seu A e r atque angulum et D κ esse aequalem angulo D E p, immo eundem : ac propterea aequalem angulo M A cr patiumq: comprehensum a lineis D L & D κ, esse omnino aequale spatio comprehenso a lineis AB de Ae Αt spatium L D κ clauditur linea aequali, immo eadem cum linea E s. Et spatium igitur fAc claudetur linea aequali ips s s h neae. Quare squalis s s ips a c, Quo3 erat demonstrandum. Hinc patent reliqua Theorematis capita, nempe reliquorum anguloria inter se,&duorum Triangulorum aequalitas. Ne est quod contendat quis,eandem ese vir laque rationem applicationis Triangulorum. Aliud nanque est,etriangula transponere, quam per simile Ee aequale demonstare. probatio enim haec ultima e Circuli pendet ossieto.

Iso elium Triangulorum qui ad basin sunt anguli inter se sunt aequales: Et productis aequalibus lineis, qui sub basi sunt anguli, inter se quoque sunt aequales.

sit Triangulum L B c , cuius duci latera A s & Α c sint aequalia. Dico argu lum ABC aequalem esse angulo A C s e Et si protrahantur AB & A c, ut ad Dee a punctae angulum D B c aequalem esse angulo E c B. Ponam, per tertiam Propostionem lineam AD aequalem lineae A Ei ductiso

D c 3e E s , intelligam duo Triangula A 3 Ε & Α e D. Et quoniam duo latera s & Α s Trianguli A a s, sunt aequalia duobus lateribus Le & AD Tria

guli A C D e & angulus A virique communis: erit, per antecedentem, basis a s , bas e D aqualis, 3e angulus E angulo D , angulusq; A F F, angulo A C D. Rursus intellectis ducibus Trian gulis A c D Ee c B Ε , erunt duo latera A c & C DTrianguli a c D, aequalia duobus lateribus C a & Ε a anguli e s s. Et quia angulus D unius aequalis est angulo a alterius, ut iam probauimus: erit, per antec dentem, B c D Triangulum,ips e B s Triagulo aequale et ac propterea angulus I C D , angulo C B E aequalis. Quum itaque totus angulus An s probatus se toti angulo A c D aequalist ablato a c D a toto Λ Η Ε, ablatoq; C A g a toto A c D : sapererunt Ape dc A c a anguli, per commmnem Notionem,mquales,Quod est prius Et quoniam per ipsam antecedentem, amgulus B c a ipsi ca D angulo est aequalis 1 patet secundum. Atque ut ostenderemus quantum possi ubique Circulus,deseripsmus A T D se

43쪽

1s ELEMENT. EUCLIDIS

micirculum, secundum spatium p Α cuius centrum B & alterum Acis, secum dum spatium c Α : cuius centrum c. Nam integros Cireulos deseribere non erat necessarium. Ubi, ex Centri & Circuli definitione,constat lineas Aa, s D t A c &C s aequales esse inter se quum exeant a centris Circulorum aequalium: a propterea A a & A g aequales inter se, ex communi Notione. Ac tum procedet de

monstratio modo posita, meo iudicio facilior. Diangulorum enim aequalitas sese euidentiorem exhibet. Hic etiam obiter monebimus hanc propostione in eommuni iudicio positamese,ut iuperiorem.Nam si duo Triangula pro uno intelligamus: Elicet Triangulum Anc, cuius bass A c: & Triangulum A c D , cuius balis A D : quum duo latera A n & 3 c unius, sint aequalia duobus Ac & c 3 alterius, basisqi A C aequalis has A s i erit, ex degnitione aequalium angulorum, seu per antecedentem, A 2 Cangulus,aequalis A c B angulo, Quod est prius. Tum,ex posteriori nostra constru ctione, de duobus angulis a c Ε & c a D idem erit iudicium: quum probatae suerint bases s s & C D aequales.

THEO REMA 3, PROPOSITIO VI

Cuiuscunque Trianguli duo anguli aequales fuerint: duo quoq; latera illos angulos subtendentia aequalia erunt.

Haec est Conuersa prioris partis antecedentis proposition4s sit Diangulu LAC, cuius duo cinguli a & snt aequales. co latus As ese aequale lateri Ac. Nam fi aequalia non tale maius sit As, s seripossiti 1 quore indatur D B aequale ipsi Ac, per tertiam propositione vi sint 3uo Triangula A e s & D B c. Et quoniam duo latera D s & a C, Trianguli D B c , iunt aequalia duobus lateribus Ac es c p , Trianguli A c a & angulus B aequalis angulo Ce toti,ex hypothesi: erit per quartam, basis Ac has Aa aequalis

& angulus D c B angulo ABC aequalis. Quare quum angulus Aea, angulo ac sit positus aequalis erit et primam animi Notionem, gulus D CB, angulo A C B aequalis, pars toti: quod esse non potest. ANIMADVERTENDvM, Convertas proposti uin uniuerium esse veras,sicut ει principiorum. Quum enim dicimus, Quae sunt uni aequalia, inter se sunt aequalia smia cognostimus,si unum quippiam suerit Atiobuq aequale, haec duo inter se aequilia esset Et, si duo reliqua ae alia suerint, ει partes ab utraque ablatae aequales: tota quoque constat sui se aequalia. Horum itaque Conuersas reticuit Fuclides ut notissi mas Propositionum vero expressi, quod minus simplices esent, neque magis per se notae quam Directae ipse minge, quod non statim ad suas Directas conseque rentur,vi ad Principia suae :& nonnunquam externis probationibus egerent,ut in isquentibus passim Occurret.

Si a duobus punctis lineam terminantibus duae lineae

exeuntes, concurrerint: ab iisdem punctis ad ean

dem partem duae aliae non educentur, his duabus, Ec

utraque suae conterminae, aequales.sit linea As a cuius terminis a te A, exeant duae lineae AC & B c conem

tentes ad punctum c. Dico duas alias lineas, ut AD N B D , ab iisdem puncti; Αα A, & ad eandem partem,educi non posse quae duabus & 3 c utraque tuae conterminae aequales sit, scilicet a 2 ips Ac , & a n ipsi a c.

44쪽

L1BERI. Is

Quod si fieri possctum concurrent AD & BD intra Triangulum Ati e , aut

extra neque enim in Ac aut B C concurrent esset nanque pars toti aequalis). si ergo concurrant extra Triangulum: aut altera isa rum serabit Triangulum, aut neutra. Et secet prius altera, nempe A D, Trianguli latus a c: & conreetatur c Dr viduo snt Triangula A C D & A C D.

3 Et quoniam Trianguli A e D, duo latera a e & A D ssint aequalia: erit angulus A c D aequalis angulo A D c , per quinta propostionem. Itidem quia Hanguli ac D, duo latera n e & D stant aequalia ferunt duo anguli 3 c D & B D C aequales Et quia aragulus a D c est maior angulo A D C :etit angulus B c D maior angulo A c D per animi Notionem Nam si duo aequalia, snt maiora tertior erunt & maiora eo quoδim tertio est aequale. Etit igitur pars maior toto, Quod fieri non potest. Si vero neutra se erit Triangulum: connectam D c: N producam a C &Ε D ad Ε & s puncta,vi duo sint anguli x eo & s D c, sibbas c D. Et quoniam duo latera A c & Α D Trianguli A e D, sunt aequalia terunt anguli A c D & A D c, per quantam propositationem, aequales. Rutius quia duo latera ac & an Trianguli B c D, iunt aequalia erunt duo anguli ac D & s n e subbas, aequales, per alteram partem eiusdem. Quia ergo angulus

ac D minor est angulo A c Dr erit angulus s D c minor an gulo A D c, totum parte. In idem absurdum intrudetur,squis A D N B D dix fit conuenire intra Triangulum

Si duo Triangula duo latera duobus lateribus mutuo aequalia habuerint, & basin basi aequalem: angulos

quoq; illis aequis lateribus colentos aequales habebunt.

Sint Atio Titangula A B c & D a s si Iatus A c aequale lateri D s , &B c aquale T s : basHi A s aequalis basi D E. Dico angulum c esse aequalem angulo ς, & angulum A angulo D, re angulum B angulo E

C . E ν Superposta enim bas Aa Us Da bas, neutra excedet alteram: quum sint aequales. Tum si anquius e conuenit cum angui 3: erit totum Triangulum toti Triangulo aequale, I& reliqui anguli reliquis angulis aequales, per

quartam Propositionem 1 quum sint duo latera Ac & s c, duobus D s Ee x saequalia. si vero punctum C non cadat super s punctum, sed cadat extrae tunc a duobus punctis D & s , duae lineae exeuntes Ac & A C, concurrent i simul D s es x p ad eandem partem, binae stis conterminis erunt aequales, Quod perant egentem fieri non potest.

Hane demonstrandi rationem in quarta huius abunde refutauimus. Quare haee Propositio tanquam per se nota habenda est. Quis enim negauerit Auas Superficies esse aequales, quarum latera Sc quantitate Ee numero sant aequalia 3 Vel ea demonstrabimus ratione quam silla tradissimus.

Datum Angulum bifariam diuidere.

Sit datus Angulus A B e, quem oportet in duo aequalia diuidere. Lineam A B

45쪽

notabo puncto fortuito D : & ex linea a e resecabo, per tertiam propositionem, a s ipsi a D aequalem : de connectam D A. Tum stiper D a constituam, per primam Propostionem , Diangulum aquilate tum D a s t & ducam ps lineam. Hanc dico esse quae Θiuiditi angulum B datum in duo aequalia: stilicit duos angulos qui ad ii, κ, esse aequales intelligo enim duo Triangula D B s N E B F., Et quoniam duo latera a D Ad A s , Trianguli 3 D p , sunt

e aequalia obus4ateribus f Ε de s s, Trianguli a s s rilliusqjbass D s , huius basi A F, aequasse erit, per antecedentem, angulus DB I, a gulo a B s aqualis, Quod ficere oportuit HA N c DEM O N s TRAT 1 Nas sormulam pene ad verbum adscribunt omnes, sed Mite non sitis srmam. Quid enim si aduerserius contendat unum ex lateribus Trianguli aequilateri super D s constituti cadere in alteram linearum A B aut C D 1 ut in subiecta Figura Triangulum C D a st aequilaterum 3 Turc non erit locus ducendae si neae B p , propterea quod esset eadem cum a c. Occurrem

dum itaque suit huic dubio per QCintam huius, positis D A &s C aequalibus, ducta A Ε Inea. Illae enim probatum est, : latera et Ea cs aequalia esse non posset quum sint duo a guli e D s S c Ε D inaequales. Actum stabit Demonstratio. Sed N ex hac posteriori constructione, pulchra ostenditur ratio huiusct Proble malis demonstrandi. Quum enim duae lineae A s Et c D sursum δuctae ad puniam opposta D NI E sese manifesto ieeent: si ducatur linea ab angulo dato a ad punctum intersectionis earum, ut linea 3 s haec diuidet angulum ipsum in duci aequalia. Nam, per ea quae ibi iam demonstrata stitit Et ex quarta huius sunt ambo Triam gula A DE & c ΕD inter se aequilatera & aequiangula: propterea quod duo amguli AD E Ee cs D sunt, per secundam partem quintae , aequalest Ee duo latera o Ec D s aequalia duobus cs & s D t ob idq: duo anguli c D Ε εe A E Dae sies. Vnde , per sextam, duo latera D s de A s , Trianguli D E s , aequalia. Intellectis itaque duobus Triangulis a D s & 3 As, procedet Demonstratio ut in priori descriptione. sed gerata negotii huius ratio e Cireuso gepromitur, hoc est, ab aequalitate.

Vtrum enim super linea D s constituatur Triangulum AEquilaterum an Iso celes, . nihil interest, modo ad concursum duorum laterum aequalium dueatur linea, quae hoc loco est linea a s. punctum vero concursus, hoc est, punctum p , in intersecti ne duorum Circulorum aequalium sum erit: quorum centrati he p r ut in postemo schemate: in quo ductis lineis D s &a s , eonsabit Demonstratio. Nam quum duo latera s D fle . n s , Trianguli 1 D s , snt xqualia duobus f Ε de E p , Triam guli E A s, b sq: A p virique communis erunt duo anguli qui ad n inter se aequales. satis autem ese visum est, s duorum Cireulorum interseiactionem appingeremus sicut fle deinceps iaciemus,comperius caula. Hic etiam animaduertes, Trianguli hoste lis usum in Demonstrationibus se Morem esse quam AEquilateri.

p ROBLEMA ue, PRCp OsITIO X. Datam rectam lineam in duo aequalia secare.

sit data linea A A , secanda in duo aequalia. super hane considio viangulum aquilaterum vel hosteles, in idem enim recidit) sitque A n c. Cuius angulum c)per

46쪽

LIBERI. 1

per antecedentem,divido in duo aequalia,ducta linea e D. Dico lineam A a hipartito diuisem in puncto D. Intellectis enim duobus Triangulis A c D & s c o erunt duo latera A C & c D , Trianguli A c D , aequalia guobus f C & c D , Triam guli a c & angulus c unius , aequalis angulo c alterius. QVare, per quartam, erit basis AD aequalis basi D r, Quod erat faciendum.. H v 1 v s quo problematis compendium e Circulo pendet γi Positis enim renuis in , & a punctis, liberisq interuallis, sed aequalibus : quae utrinque ad oppostas intersectiones dueetur es linea, secabit Ap per aequalia: Qualis est hoc loco linea e o quae in puncto s , lineam aequaliter diuidit. Intelliguntur enim duci A.c & a c ut fiant A n e Ae s a c Triangula' 2 intei se quilatera.

Data recta linea, ci puncto in ea dato lineam ag perpem

Aleulum erigere.

Sit data recta linea AB, A in ea datum punctum C r a quo linea perpenacul tis excitanda sit. pono C A aequalem A c , per tertiam & super totam ΑΒ constituo , per primam, Triangulum ApD PEquiti laterum vel hosceles, emper intelligo i Et a puncto c meito litaneam c D. Hanc dico esse perperiucularem ad punctum c. I Quoniam enim duo Triangula A c D & s C D, ex ipse im' η structione, sint inter se aequilatera, Ad per octauam, aequiangula: erunt duo anguli qui ad c aequales, ac propterea recti,per decimam Definitionem Quare, per eangem, sinea C D perpendicularis, Quod erat faciendum. Hie etiam iis agno itur Cireuli usus, eadem omnino descriptione obseruata quam in superiore exhibuimus. IllJe enim anguli qui ag g , suerunt aequales e ac propterea recti

PROBLEMA ν, PROPOSITIO XII.

Ad datam rectam lineam interminatam,a punct o extra ipsam dato perpendicularem ducere.

sit data linea interminata A p : punctum vero extra ipiam datum e : a quo aflipiam , a st ducenda perpendiculatis. Ponam centrum in puncto C, & describam Circulum, qui tantus stivi secet A sin duobus punctis, ut in D & Ε e Ductis lineis c D &c Ε, iacio Triangulum C D E 1 Cuius angulum c dici dat in Auo aequalia per nonam, linea C s demisia in D glatus, secans ipsum in s puncto. Hane dico este perpem Aicularem siler A B. Erim: argumentatio eadem qua

n antecedente.

Quum enim duo latera C D & c s , Trianguli c D s,snt aequalia Gobus lateribus es & C p, Trianguli c As,8c angulus c unius aequalis angulo C alterius erit,per quartam, basis D p aequalis bas Εs: Ec duo a guli qui ad P aequales,ob igq recti, per 3ecimum Definitionem. Quare linea C rpet pendicularis super A s , Quod erat constitutum.

47쪽

L ELEMENT. EVCLI DisTHEO REMA ., PROPOSITIO XIII. Quum recta linea super rectam steterit: duos angulos aut rectos, aut duobus rectis aequales efficiet.

Recta enim linea A p siet super rectam c D. eo duos angulos AB c & ApD, esse aut tectos, aut duobus rectis aequales. Nam s ipsa L B perpenacularis uetit,atis liquet angulos esse rectos, per Comisersonem decimae Desnitionis. Sinautem inelinet in limitem n e erigam super c D, per undecimam,a puncto B perpendicularem a s . Ex qua iam structura satis a patet propositio. Nam quum angulus Α Β c tanto maior stl ' angulis c B a recto, quantus est angulus A B s t seq. alteri I angulus Ast tanto minor angulo D s Ε itidem Eecto,

i quantus est idem ipse angulus 1 s s 1 ablato quod illi abum I dat, ut adὰatur quod huie deest, sent duo anguli recti.

scilicet, s ab angulo A B c obtuso, auseratur angulus A B Ar manebit C a s rectus. Tum s idem Α Η Ε ad/atur angulo D A A aeutor efficietur angulus D A a rectus. Quapropter hic non opus est alia argumentatio. nis forma. Est enim ex iis quae intellectum turbare potius quam iuuare possit. satis enim manifestum est duos angulos, nempe A s c obtusum & A B D acutum, aequale, immo unum & idem complecti spatium cum duobus angulis c a s &D B s rectis.

Si ad aliquod rectae lineae punctum duae reses linea coi

rint, duos is angulos cum ipsa aut rectos aut duobus rectis aequales secerint: ambae in continuum erunt Sc

linea una.

Sit linea recta ci si aὰ cuius punctum 3 guae rectae coeant, C p S D pr duoqi arguti he D s Α, aut sint recti,aut duobus rectis aequales. Dico ambas e s& A ti sibi esse in directum scilicet, c D ese lineam unam. Si enim non sit linea una, tunc e m continuata, verbi gratia, ad punctum Ε, transibit supra a D, aut infra Transeat ergo supra,si seri posit ut si c a linea una. Quum itaque retia linea A a super rectam c E eadat erunt erantecedentemiduo anguli A A C & AB g, duobus rectis xquales. Rursus, quum duo anguli Α s C &,so sint duobus rectis aquales per hypothesne erunt,per primam Notionem, duo anguli A B c de A s A , aequales duobus angulis A A c N A A D. Communis auferatur A A c : relinquetur angmius A p Ε , per tertiam animi Notionem, angulo ABD aequalis, pars toti, Quod est absurdum. Eadem ratione probabitur c a protracta non cadere inta A D. Ait igitur c D linea una, od erat o lendendum. Sed de ptimo statim intuitu se ratiocinabimur. Duo anguli c B A & A A s, sunt pars du rum caci & ApD. At ca A & As D sunt aequales duobus reiactis per hypothesin. Quare non erunt duo es A Ee Aas aequales duobus rectis, ne sit pars toti aequalis.

Si recta linea rectam lineam secuerit: angulos sectionis oppositos aequales efficiet.

Sit tecta

48쪽

LIBER

3 p cho T. Dico angulum a g C, : & angulum a s C, aequalem angm

sit tecta linea A a , secans rectam c D a aequalem esse angulo D E

Quoniam enim duo anguli A g C & C E s , per decimam- tertiam,duobus tectis sunt aequales: itemqi duo anguli c Ε A MD E a , guobus rectis aequales erunt,per primam Notionem,duo anguli A E c S D s B, aequales duobus C E A & D s B. Ablato igitur comuni e s B, supererunt,per tertia Notione, duo anguli, 11 c&Drs aequales. Similiter probabuntur duo anguli AE D & C s D aequales. Ex hac consequitur illud,

reeta aequales. Conuetiam huius decimaequintae adscripsimus in haec verba,

sint quatuor lineae Aa, Ac, AD & A s , exeuntes a puncto A, constituentes quatuor angulos ia ipsum A punctum:quorum angulus B C sit aequalis angulo D A s 18c angulus B A D, an Jo c A E. Dico a s N e B esse duas tantum lioneas hoc est,duas BA & A p esse sta in continuum, S unicam essicere lineam: duas itidem c Α & AD, unicam. Sin aliteri ponatur si fieri pomi, x s linea vra r& c C itidemma. Quum itaqi recta E A incidat in c o rectam: erunt duo gesi s A c & A A C , per decimamrertiam, duobus rectis aequales. Quomo recta C A super rectam s s incidat erunt, per eandem,duo anguli E A G 8ί τ Α c, duobus rectis aequales. Communi igitur ablato A A erit per communem sentetiam, angulus p A c, aequalis angulo s A C. Sed & ipse s A c post tus fuit aequalis angulo A A D. Erit ergo B A D ipsi s A G aequalis ars toti, Quod esse non potest. Idem omnino proueniet absurdum,in quancunque partem protra hantur lineae. Quare B s una est linea,& c D una, Quod fuit demonstrandum

Omnis Trianguli uno latere producto,exterior angulus utrolibet interiori opposito maior est

Sit Triangulum A A c, Cuius latus AB protrahatur ad punctum D. Dico angulum D B c, maiorem virolibet angulorum A C s de A C. Diuidam a c aequaliter, per decimam Propostionem, in puncto A : & connectam A g : quam protraham ad punctum s : & ponam a s aequalem ips A g, per tertiam :& eo nectam s si ut duo sint Triangula A E c & F Ε s. Primum itaque ostendemus ipsim D B C angulum, maiorem esse angulo BCAinteriori. Quoniam enim guo latera A Ε & Ε c, Trianguli A s c, sunt aequalia duobus lateribus Ε τ & s a , Trianguli s s B : 8c angulus x unius,per ante cedentem,angulo s alterius aequalis:erit per quartam,amgulus Ε s p aequalis angulo A c A. sed angulus D se maior est angulo Ε s s. Quare, per animi Notionem,etit hemaior angulo 1 CA, Quod erat probandum. Eadem ratione probabimus angulum es D, maioremese angulo C A diuiti scilicetis A in duo aequalia, in puncto a , dum c & protracta ad punctum N , ut

protracta in x punctum. Intelligo enim duo Triangula A c o & c a M : Quo

49쪽

ELEMENT EVCLIDIS

tum latera & c c, lateribus f ge N e sunt mutuomuesiae& angultis o mi us,per antecedente angulo C alte rius aequalis res per quarta, angulus G a n, angulo G A C N per antecedentem & animi Notione,angulus D B x et Aem C A C aequalis. At D B c maior est quam D s x

Quare & maior quam G A c, Quod erat demonstradum. Linea A a protracta est ad K: quonia adhuc non constat D s S s s esse in directum: quanuis res ipsa sic habeat. Sed est Mathematici, dubitationibus quibusti que occurrere. At ITER. sit Triangulum A A c, cuius latus Α A protrahatur ad punctum D. Dico angulum D A C maiorem ese utrolibet angulorum s A c & A c s. Quoniam enim dum lineae Ae & se coeunt in puncto c, di in ipsas incidit recta A B : erunt, per conuersum modum quintae petitionis, duo anguli interiores& ex eadem parte, cilicet Αs e & cΑs, duobus tectis minores.sed anguli ΑΕ c& D B c, per decimamtertiam,duobus rectis sunt aequale Duo igitur ipsi fise & D s c maiores sunt duobus A a c& p Αc. Quare dempto communi ac, relinquetur

angulus D s c maior angulo B A c. Eadem ratione, iam

i duae lineae B Α & c A coeant in puncto Α, & in eas et Aa incidat c erunt duo anguli interiores A ac & Α C A duobus rectis minores. Sed Auc & D p c duobus rectis sunt aequales. sunt igitur duo anguli Asc& D n e duobus Α ac & A c a maiores. Quare ablato communi Asc, si pererit ut angulus D s c maior sit angulo Acm, Quod erat demonstrandumc

THEO REM A io, PROPOSITIO XVII.

Bini cinguli euiuilibet Trianguli, quomodocunque sumantur, duobus rectis sunt minores.

poterat commode hoc Theorema cum antecedente connecti. Illo enim cogni to statim hoc notum euadit 4 seut Euclides postea facturus est in ea Propositione quae est ordine Trigesima seeunda. Vtriusque enim par est ratio & consecutio. Sit Triangulum AB c. Dico hinos ipsus, quomodocunque sumantur, angm Ios minores esse duobus tectis.

Protracto enim latere D B ad punctum D, quum angulus B exterior, it per an recedentem, maior utrolibet angulorum D & C: Mem ipse A exterior cum B inimriori, si per decimamtertiam, duobus rectis aequalest eron per communem Notio nem,angulus A re angulus s interior duobus rectis minores: iliter angulus C &idem p interior, duobus rectis minores, Quod erat demonstrandum Sie igitur instituetur argumentatio. Angulus A interior, cum angulo a exteriori est aequalis duobus rectis, per decima tertiam 1 sed angulus vi α angulus f eum angulo 3 interiori, per ant cedentem minor est duobus angulis p interiori & exteriori. Est ergo angulus Α tangulus c) cum angulo B interiori minor duobus rectis,Quod erat demonstradum Sed & sine antecedentis adminiculo, argumentari possumus per Conuersam quintae petitionis,& per decimamicitiam propositionem scut in superiore ficimus.

THECREMA D, PROPOSITIO XVII1.

Maius latus cuiuslibet 1rianguli, maiorem subtendit

angulum.

sit Triangulum Age, euius latus A c sit maius latere Α A. Dico angulum BC, maiorem esse angulo a c A.

50쪽

LIBER

aequale ipsi A A de com Ex latere A C maiori abscindam , per tertiam,

nectam B D.

Intellectis igitur duobus Triangulis A B D N a C D, erunt duo anguli ApD 8e ADB, Trianguli ABD, per quintam, inter se aquales. Atqui angulus ADB maior est, per decima extam, gulo B c D interiori opposito: Ob idq. angulus ABD eodem angulo A c D maior. Quare & a gulus A a C totus,multo maior ipso A c D angulo, Quod erat ostendendum. Q od si latus ponatur maius latere s C : ij idem argumen iis probabitur angulus c maior angulo A : resecto A p ad aequalitatem p c. Ac in summa, binorum quotuticunque laterum comparatio iisdem rationibus nitetur, restiuo se ei maiore ad aqualitatem minoris.

THEO REM A ii, PROPOSITIO XIX.

Maior angulus cuiuslibet Trianguli, maiori etiam lateri

opponitur

. Sit Triangulum A s c , cuius angulus p maior sit angulo c. Di co latus Α c maius ese latere A B. Primum enim aequale esse non potest latus A c lateri L A Eciet enim, per qui ratam, angulus B. mqualis angulo C, contra hypothesin. Minus etiam Don eriti Minor enim esset angulus B an gulo C, per antecedentem, contra hypothesn. Hoc Theorema annecti poterat superiori.

THEO REMA 13, PROPOSITIO XX

Duo latera cuiuslibet Trianguli reliquo sunt maiora,

quomodocunque sumpta.

sit Triangulum A s e. Dico duo latera A s S Α c smul sumpta, reliquo

, C esse maiora.

is protraham B A ad punctum D , es ponam A D aequalem ipsi A C, per testiam: & connectam C D. Et quoniam duo a guli A C ti 5c A L c sunt, per quintam, aequales : erit A C Dmaior ipsis A D c quum sit maior quam A c D. Vndeler armiscedentem, latus B D maius erit latere a C. Atqui latus B DV γ aequale est lateribus Ap & A c. sunt igitur latera A B & A Cmaiora latere s c, Quod suit demonstangum Eadem erit probandi ratio, s bina quaevis latera cum tertio comparentur. Ex RECTO etiam demonstrabimus in hunc modum. Sit Triangulum AB c : cuius latus B c , lucidioris doctrinae gratia, ponatur maximum trium laterum 1 ut quum probatum fuerit de maximo, nulla st de utrovis reliquorum conti Misa. Dieo guo latera A a & A c smul sumpta, maiora esse latere B C. A pune o A in rectam B c, per duoAecimam, demitto perpendicularem A D: ut duo snt DianguJa A AD N A D c. Et quia uterque angulus qui ad D rectus est: erit, per decimamseptimam,angulus AD a maior angulos A D : Br, per decimam nonam,iatus A B maius latere B D, i latusque A c maius latere D c. Sed a D Ee D c consita 6 -E a ruunt ipsem B c. Erunt igitur duo latera Ap de Ac mai ta latere v c , Quod erat demonstrandum. Quod si linea perpendicularis sit eadem eum latere A c , tum B C non erit maxim laterum per deciman eptimam & decimamnonam. Quapropter erit Aedic centa

SEARCH

MENU NAVIGATION