장음표시 사용
51쪽
cenda perpendiculatis ad AB latus maximum si vero aduersarius contendat linea perpendiculare cadere extra Triangulum, vilinea A s e tum angulus Acs maior erit per decima exta,cimu a gulo AEc recto, retior interiori .Vnde AB, per decimas eptitimam Ed decimamnona, maius eset utrolibet laterii A c & s C, contra hypothesin.
Hoc Nos is Theorema ratio magnitudinum praescribit.Nam quum luper duos terminos A & s lineae A s statuerimus duas lineas A C & s c , quae simul iunctae tantum sint xquales ipsi A s i ii ambae inclinari coeperint altera alteram versiis,stantibus Gis A & B punctis duo ipsarta puncta quae ad c, non prius coibunt quam super A s i ceant,gt unum punctum C e sciat. Quod ex Circi lis iecundum ambarum linearum qualitatem ductis, postis centris in Α 8e s , est manifestum.Hi enim nusquam secant inter se, ut Ue adscriptum vides: Ob id ,ex his tribus lineis nunquam consabitur Triangulum. Duae euim Α hc B circunAuctae nunquam egredientur peripheriam. In hoc etiam extat praecipua quaedam vis,&, t sic dicam,autoritas Circuli: immo Naturae quaedam praestantia,quae in Geometricis passim relueet.
Si a duobus terminis unius laterum Trianguli duae lineae exeuntes, intra Triangulum coierint: hae retia quis duobus Trianguli lateribus minores erunt, &
Sit Triangulum A s c, he a duobus terminis a & e lateris p c, exeant duae IN neae A D 8e c D, coeuntes intra Triangulum in puncto D. Dico duas B D Et e ominores esse duabus Αs Ae Ac: Et angulum s D c maiorem angulo a a c. Λ λοξuom p D donec secet I c in puncto s. Et quoniam duo latera ΑΗ & A s Taianguli As s, junt, per vigesimam, maiora
tertio ΒΕ Et per eandem, D a & s c maiora tertio Dcrerunt quatuor AB, ΑΕ, D g, he ac, maiora tribus B D , D s ,3c D c. Commune auferatur D st erunt tria AB, AE, & g C ea iunt A Ac AC) maiora Auobus h D 3e D c, Quod es prius. Altera pars sc probatur. Angulus B s C aerianguli a s e , maior est, per 3eci mar extum, angulo B A cr Ft per eandem, angulus a D c maior ipse s D c
Maior ergo BD c ipse s AC, Quod erat demonstrandum prior pars facile patebat, descriptis duobus Cireulis secundum 1patium duarum s D 8e c d , postisqι centris in B le c. Omnino enim duo Circuli secabunt hine inde duo latera ΑΗ & A c Ac tumetit aequalitas inter duo segmenta duasqj a D 8t c D : Sicqj, per nonam Notionem,erunt Α Η & A c maiores ipsis D s &D e. Neque enim transhunt Circuli per punctum A, res gnante septima propostione.
Ex tribus rectis lineis quae tribus datis rectis lineis sint aequales, Triagulum perficere Modo tamen duae ill
rum quomodocunque sumptae, reliqua sint maiores.
sint tres lineae datae A, p, C, quarum duae quomodocunque sumpis, tertia sint
52쪽
maiores. Alioqui aptae non essent ad Triangulum constituendum per rigesimam). Volo ex tribus lineis Quae sint his tribus datis aequales,Triangulum conseere Ex linea quapiam interminata abstindo, per tertiam, D p aequalem lineae A , &s C aequalem lineae at & G H aequalem linere c. Tum centro F, spatio vero s D, describo Circulum DuD: itemq: centro , spatio vero G M , describo Circulum ti x M. Hi duo Circuli se omnino secabin inter se.Ducta enim linea a centro F ad peripheria D K D,non haberet quo cocurreret eum linea ducta a centro ad
peripheriam ti x N sc essenta et smul sui pis aut aequales ipsi s C , aut eadem minores, contra hypothesin Sit itaque altera intersecti num in puncto κ. Ad quam duco s κ & e κ. Di eo tria latera Trianguli s G κtribus lineis datis esse aequalia. Quum enim s linea quae posta est aequalis lineae a , si unum laterum ipsus Trianguli i& latus s C sit aequale lineae s D, ex Centri definitione, ae posta essaequalis lineae erit & ipsum s o latus,per primam Notionem,ipsi A aequale. De mum quum tertium latus G κ, eadem lege Centri, si aequale lineae H, quae ipsa per eandem Notionem, aequalis est lineae c: constat Propositio Hoe Problema in hanc sententiam poterat proponi.
Vt si proponeretur Triangulum A B c, saluerem tres lineas in continuum adaequalitatem trium lateriam ipsus: Et procederet Demonstratio quam modo dedimus,adiumento octauae & quartae. Immo adeo poterat statim proponi a tertia pro
postione & solius Circuli officio absolui. Quod autem de lineis pioposuit Euclides,id nos gocuit ut dignosceremus utrum ex tribus datis lineis confici possi Triangulum an non: quod ex ipsis Cheus , s imcuerint se inuicem, perspiciemus
Proposita recta linea, ad datum in ea punctum dato amgulo rectilineo angulum aequalem constituere.
sit data tecta linea A p , datum , in ea punctum A 1 datus vero angulus rectis Lneus C D E. Volo ad datum punctum A angulum tectilineum dato angulo e D saequalem constituere. In recta D s signetur punctum liberum s &connexa C p , sat Triangulum C D s. Iam ex utibus lineis quae sint aequales tribus lateribus D F, D c S c s , consituo Triangulum A C N. Quod quidem, ex ipsa constructione, mandesto aequale est Triangulo D c se suis aut titatem requiris,ex octaua. Ob idq: angulus Ahangulo D qqualis,Quod erat faciendis. Hoc ET AM ex Recto persciemus. Sit enim linea data Α Β , datumqj in ea punctum c datus vero angulus D E p. Volo ad punctum c saluere angulum
Produeo s E in ci punctum: Ae super punctum s erigo , per undecimam, ad rectos angulos lineam s H o Quae si congruat cum g D linea: erat flatus angulus,rectus: Quapropter erecta per pendiculari super c punctu habebimus questum. Sin altiter, excitabo perpendicularem ad punctum Hr eum quaistit, per quartam Petitionem , linea s D ducta. Est enim angulus D s A minCr
53쪽
recto: quum osti sit rectus. Concurrant igitur in puncto D ut sat Triangulum D A H. Eodem modo erigo si1per punctum c datum , perpendicularem c κ , quae sit aequalis perpendiculari Ε M : simulqi super puniactum κ, alteram perpendicularem κL, quae sit aequalis peipendiculari N Di Et connecho C L. Dico italangulum L ca aequalem esse angulo D s s dato. sunt enim duo es et D & κ c L Triangula, per quartam , inter se aequalia es aequilatera: &duo anguli L c κ & D E M aequales. Atqui duo B c Κ & s Ε Η anguli sint aequales, uterque enim rectus. Quare, per secundam Notionem, erit totus angulus L cs, toti angulo D A s aequalis, Quod erat constitutum. Quod si perpendicularis extra angulum datum ceciderit, nempe s acutus fuerit: eadem erit probandi ratio, nisi quod pro secunda, tertiam inducemus Notionem.
THEO REM A iue, PROPOsITIO XXIII1.
Si duo Triangula Auo latera duobus lateribus mutuo aequalia habuerint angulorum vero sub illis aequis lateribus contentorum alter fuerit altero maior: basis quoque maiorem respiciens angulum altera has ma
Sint duo Triangula A p e & Das: sint i duo latera Αa di Ac, duobus D A & D s mutuo aequalia, stilicet A B aequale D Ε & Ac aequale o s , sed si angulus A maior angulo D. Aio basin a c maiorem esse basi s s. Ponum enim, secundum doctrinam antecedentis, angulum p D aequalem angulo A 1 Et, per secundam, D G lineam aequalem A c lineae Et connee am g ore mi Quae aut transbit supra E s, aut super eandem,aut infra. Et cadat primum supra E s, ut secet ipsam D p in puncto R. Et manifestum est, ex quarta, Tria imgulum D sc aequale esse&aequilatetu Triangulo Asc. Quoniam ita anguli D s o duo latera L p es
c sunt aequalia utrunq; enim aequale A C: erunt, per quintam duo anguli D p & o C s super hasn,aequales. Quapropter maior erit angulus D so angulo FGge ob idqi multo maior angulus totus p s o ipso scis Maius itaque,per decimam nonam, latus Ε C latere et s. Quare , quum g G sit aequale B maior esta e basis, ipsa a s basi, Quia fuit Aemonstrandum.1TEM A L I T E R. Maior est angulus si s c , ut iam ostendimus ipso s H. Manus est igitur, per decimamDonam, Q H latus ipso s M latere Atqui Εω &H F , per vigesimam,simi maiora E s. Quare multo maiora sunt f & M G id est Ε ) ipso E F. Igitur & A C maius ipso Ε r , Quod fuit osteniandum. Si vero ac transeat saper spi tum Ap erit pars ipsus: Unde Eo maior erit. Transeat iam Ε infra Ε g duae* D s & D c, quae postae sunt aequales, protrahantur ad A & κ puncta,ut Dp secet g in puncto κ. Erunt , per sicundam par tem quintae duo anguli sub bas p c u & 6 s x inter se
aequales. ior itaq, erit angulus C p x angulo p s: ob id multo maior E s c ipso A c s. QDare maius est, per decimamnona, latus Ε Ο idem 3t s e o latere s s, Quod erat demonstrandum. AL 1 TAR. Quum duo anguli s A & o v κ sint aequales erit maior p κipso F o K. Maius itaque per decimamnonam, latus x ci , latere F κ. sed A mdc F K, per vigesimam, sunt maiora A p. Quare multo maiora sunt Ε x & κ G
id est a d ) ipso E s , Quod erat ostendendum.
54쪽
R v n s v s ex vigesmaprima.Duo latera D ct &Ε e sunt maiora duobus D s & Ε s. Quare quum D vi posita sit aequalis D s : supererit F ci maior E s. sed villae admonet Campanus, praestat prior Aemon strandi ratio, ut ex utraque parte quintae propositionis ducatur argumentatio. Iucunda tamen illa varietas in genium acuit, & memoriam exercet.
THECREMA ic, PRO pC SITIO XXV.
Si duo Triangula, duo latera duobus lateribus mutuo aequalia habuerint, has; vero unius basi Glterius su rit maior : angulus quoque maiori basi oppositus, maior erit angulo minori basi opposito.
sint duo Triangula A A c εZ D s p sntqi duo latera An & Ac, duobus i teribus D s es D s mutuo se alia: sed basis A c maior has A p Dico angimium A maiorem angulo D. Haec est Conuetia antecedetis. Primum it j aequales non erunt: Esset enim base a cper quartam, has sp aequalis, contra hypothesin. Ne erit angulus A minor angulo D : Eser enim, per antec dentem bass p s maior basi a C, contra hypothesin.Superest igitur ut A sit maior x, Quod fuit probandum. Manifestum quoque fuit hoc Theorema ex quarta, immo ex se ipso. Sed quia ex antecedentibus probationem recipit: cum interis in ordinem redactum est.
Si duo Triangula, duos angulos duobus angulis mutuo aequales habuerint, latusq; unum uni lateri aequale, siue quod aequis adiacet angulis, siue quo3 vni aequalium angulorum subtenditur: reliqua quoque latera reliquis lateribus mutuo aequalia, & resquum angulum reliquo angulo aequalem habebunt
Sint duo Triangula A B c de D s s , siqj angulus s aequalis angulo Ε, & angi ius c angulo 3 1 Et sit aut latus a C aequale lateri s s : aut A B aequale D E : aut deniqi A c aequale D s. Aio reliqua duo latera, reliquis duobus ese lateribus aequa lia: ac reliquum aDgulum A reliqDo angulo D aequalem. Primum igitur si latus B c, cui incumbunt duo angus a & c, aequale lateri v s , cui incumbunt anguli s & s , posti aequales ipsis a & c. Dico latu; A axquale esse lateri D s e S latus A c , lateri D p : & -
. tur F G. Eritq;, per quartam, angulus ps C aequalis angulo c : quapropter fle angulo a s D, pars toti,quod est absurdum. Erit igitur D s aequale ipsi A B : ob id , per eandem, D p aequale 6 c : & angulus D , angulo a , scut voluimus sint rursus guo anguli 3 & e aequales duobus a &s :oqi latus Aa quod subtegiatur angulo C, aequale lateri D s quod subteditur angulo F, cui positus est squalis angulus e. Aio latus A c equale esse lateri s s : Ee latus A c, lateri DF & angulu A, gulo D,
55쪽
si enim BC Ee Es latera non fuerint aequalia, sis p maius: & ponatur a H aequale a C : & conne ctatur D H. Eritq;,per quartam, angulus D H E aequa lis arguto A c B i ob i3qι & angulo a s D , exterior interiori opposito, contra decimamsextam. Est igituri s latus aequale a c lateri. Quapropter & D p , per quartam,aequale c: & angulus Ε D p, angulo A. Si : patet proposito.
THEO REMA 18, PROPOSITIO XXVI 1
Si duas rectas lineas recta linea secuerit, Auosq; interiores alternos angulos aequales fecerit: illae duae lineae erunt paralleli.
sit linea A s , secans Mas lineas, c D quidem in puncto G , & A p in puncto H rsntU duo anguli alterni D e Μ Ω ΕΗ , aequales Dico duas lineas CD & Εs esse, parallelos seu aequi distantes Sin minus, concurrant protractae ad punctum x, si seri post ut si Triangulum cx M. Cuius angulus K c H interior, erit ex positu, et alis angulo ENC e teriori opposto, Quod in Triangulis fieri nequit, per decim sextam. Non igitur concurrunt c D & A s luneae. Quare, per Desinitionem Parallelorum, ipsae aequidistant altera alteri, Quod erat demonstrandum.
THECREMA 19, PROPOsITIO x XVIII. Si duas rectas lineas rei a secans linea, exteriorem angilum interiori opposito Ee ex eadem parte aequalem fecerit, aut duos interiores ex eadem parte duobus rectis aequales: duae lineae erunt paralleli.
sint duae lineae As & e D, quas secet linea E s, illam quidem in puncto C,
hanc vero in puncto M si angulus o exterior angulo H interiori ex eadem parte aequalis: aut duo anguli N & interiores ex eatim parte, duobus rectis aequales. Dieo duas , a M e D lineas esse aequidistantes. Quum enim a G.m angulus, si ex postu, aequalis D N angulor sit , per decumamquintam, A c Η eidem Ε c a aequalist erunt N D N ci alterni, aequales
Quare,per antecedente,duae An&c D lineae aequidistabui inter ie,Quod est prius λ Sint pono duo anguli A C N & c es c duobus tectis aequa , les. eo se quoque duas A a & c D inter se squi stare V Quum enim duo anguli e M o M D H C , sint per deci-
Σ-- -- mmtertiam, duobus rectis aequales t s utrimque auferatur C N C angulus: remanebunt,per communem Notionem,duo A c is & D N alterni, aequales. Quare, per antecedentem,
duae Aa & en inter se aequidistabunt, Quod fuit demonstrandum. H v i v s Theorematis pars posterior connexa est cupetitione ultima Nam s duae lineae concurrere dicuntur, quae cum linea ipsas secante duos angulos interiores ex eadem parte duobus rectis minores iaciunt i conuerso modo, Quae concurrunt, eae duos angulos lateriores ex eatim parte duobus rectis minores e scient. Atqui A BN cn lineae, duos eiusmodi angulos duobus rectis minores non esciunt, immuaequales: Non concurrunt igitur. Quare paralleli sunt.
56쪽
THEO REMA , o, PROPOSITIO XXI κ
si duas Parallelos recta secet linea: erunt duo stipuli es terni aequales: & angulus exterior interiori sibi op
posito ex eadem parte aequalis: itemq; duo anguli interiores ex alterutra parte constituti, aequales Θuobus rectis.
Sint duae Aa S co paralleli,quas neet linea gs in punctis & Π. Dico guos
angulos a C H & c N alternos, aequales esset Angulum item c exteriorem angilo H interiori,ips ex eadem parte opposito,aequalem, Angulos genique si & H ex eadem patre interiores simul sumptos aequales esse duobus rectis. Haec est Conuetia duarum antecedentium: Cuius primum caput se probatur. si duo anguli B G Η & c M e non stit aequales, sit maior ipse ces . Et quoniam ctici & DUC sant, per decimamrertim,duobus rectis aequales: erunt duos vi N & DBe duobus tectis minores. Vnde set viduae lineae ΑΕ & c D in alterutram partem productae concurrant, ut ad punctum κ Quod erit contra hypotheta, quum snt paralleli. Sunt igitur anguli a C H& c N C aequales. Ad hoe eonsequitur secundum. Est enim, per decimam intam, angulus ACEaequalis angulo B c Μ r unde es ipsi ctici, per communem Notionem, aequalis, ex terior interiori. Hinc rursus colligitur tertium. Nam quum ACE & A H, snt per decimamrer sam,aequales duobus rectis e erunt quom per animi Notione, cHci S A aequales duobus rectis: ambo interiores & ex eadem parte,Quod erat demonstrandum.
nuum erunt O fineis ' in sint duae lineae AB & Cp, quae duas parallelos DE & sci secenti ΑΒ quidem ipsem DE in puncto Hi es cs ipsam svi in puncto κ: sitqiangulus DNn Iqualis
angulo a κ aut angulus Α Η D aequalis angulo A κ s : aut Aeniqi s N D & B κ p quales sint duobus rectis. Dico duas A s & c s esse in continuum & lineam unam. Si enim non stit elusinoisi protrahatur A B , ut secet 3 Gin puncto L, si A L linea inai sim Triangulum m L κ. Et erit angulus D H a aequalis angulo CL B alterno, per primam partem huius viges nonae : Quapropter C L B aequalisa κ interiori te opposito i Quod in Triangulis seri non potest, per decimamrextam. Insuper erit per secundam partatem huiuste, angulus A H D aqualis angulo a x x , ex eadem parte exterior interiori. Sed idem AND ipsi sκs ponitur aequalis. Erit igitur sκs ipsi s L κ aequalis : Quod per eamdem decimarasextam fieri non potest. Postremo, quum AND & BKs ponantur ducibus rectis aequales: sintq: AND&a Lx duobus rectis aquales,per ultimam partem huius viges nonae: erit Σκν aequalis ipsi B L κ , repugnante eadem decimasexta
57쪽
THEO REM A ii, PROPOSITIO XXX. Quae eidem sunt aequi distantes, eae quoque inter se sunt aequi distantes.
Sint duae Α a & e o aequi distantes iss s p lineae. Dieo & ambas inter seponam di H lineam, sicantem tres lineas A 3 , Ε s &C D in punctis x , t , M. Et quoniam A s aequi distat a se erunt anguli alterni AKL 3I E L κ , per primum caput antecedentis, inter se aequales. itidem, quia C D squidistat s sterit a x κ, per secundum caput eiusdem,aequalis C ML, exterior interiori. Angulus igitur Ax L angulo C MI, per animi Notionem, aequalis. Qui quum sint alterni, erunt per vigesima eptimam Propositionem, duae A s & c Daequi distantes, Quog erat demonstrandum po TERAT euidentissime demonstrari ex Recto. scilicet in A A rectam ditio mitto, per undecimam, C N perpendicularem, quae ipsam A aficet in puncto H quam u continuabo donee secet lineam s s in puncto x : & inde usque ad c D , ut sicet ipsam in pum
Iam quum sit linea una, comparatis vicissim duobus A s & c D cum g s, adductaqi in probationem vigesina titima, seu vigesima octava satis constat, per definitionem perpendicularis & per decimamquintam Propositionem,omnes angulos qui ad H, x , t , esse rectos: ac pro pterea aequales. Quare per antecedentem, duae A s & c D paralleli, Quod erat demonstrandum.
Per punctum extra lineam rectam signatum, ipsi lineae
sit punctum A extra lineam a e Mnatum. Volo per A punctum,ips a c linere parallelum ducere. - α Duco lineam A D, secantem a c in puncto sertuito D : que eum ipsa faciat angulos AD a & ADC: Et constituo inpun-- cto A , per vigesima intertiam,angulum D A p aequalem angulo ADB alterno. Ac tum erit A g ipsi Ac parallelus,per priorem partem viges octauae, Quod erat faciendum. HA C ET 1ΑM poterat Perpendicularis ossicio absilui. A puncto enim A duco per undecimam,ia rectam a C , perpendicularem A B eri, per decimam, ad ipsam A D super punctum A erigo perpendicularem A s. Ac
A a tum manifestum est, per eouersam rationem petitionis ultimae, duas lineas A p & BC non concurreret quum neutra inclinetsi i e in alteram: hoc est, quum ex neutra parte duo anguli into
riores sint duobus tectis minores. Neque maiori probatione indiget haec assertio quam ipsa petitio. Haee ideo annotaui quod line. Paralleli,ius Recti & AEqualis praecipuo quodam ossicio conseruent. Quo si ut Propositiones quae parallelorum mentionem hactenus fecerunt, usum habeant in Geometticis Demonstrationibus frequentissi-
58쪽
Angulus exterior Trianguli, duobus interioribuq sibi oppositis est aequalis: Et cuiuslibet Trianguli tres anguli duobus rectis sunt aequales.
Sit Triangulum Ap ct Cuius latus ne producatur ad punctum D. Dico angulum AC D exteriorem , duobus A & s interioribus smul sumptis ese aequa-lam , Et tres angulos intimos ipsius Trianguli times sumptos, duobus tectis esse
aequales. A puncto c ducam, per antecedentem,lineam cs parallelum lateri s A. Tum erunt anguli s C A & s A c , per primam partem vigesimae nCnae,aequales, utpote alterni: & per secundam partem eiu dem,anguli AAc & Εc D aequales exterior interiori Quare totus A c D exterioriambobus A & A interioribuq est ,
lis, Quod est prius. Atque eadem erit probatio reliquorum angulorum extra sim
Quum itaqι duo anguli A c a & A c D snt, per decimamrertiam, aequales dum bus rechis : erunt tres anguli ABC, AAC, & Acs, aequales duobus rectis, Quo3fiit demonstrandum. Appenilis ex Clampans Ex hae eonsequitur, Cuiuilibet Figurae Multi laterae omnes angulos smul sum ptos bis tot rectis angulis esse aequales, quota in ipsa Figura in ordine Multi
Verbi gratia, Trigonum est Figurarum prima,quum nussa si pauciorum lateremedum enim lineae superficiem non concludunt. Trigonum itaque duos complectitur angulos rectos. Vnitas enim quae ordinem Trigoni notat, bis sumpta iacit bina rium. Tetrapleuron, seu Quadrilaterum, quod in ordine est secunAum , quatuor
includit angulos rectos: Binarius enim duplicatus quaternarium eiscit.Ordo autem Figurarum e lateribus colligitur. Nam si duo semper latera sustuleris i numerus late tum residuus, ordinem Figurae osendet. Vt si quaeratur Hexagona quota sit Figura rum : a senario auser binarium , ac supererit quaternarius. Est itaque Hexagona ordine inter Figuras quarta Quare Octo angulos rectos continet, summa,ut etiam addamus ad Campanum, quum Triangulum sit Figura prima: ut or/inem caeter tum cognostamus, initium numerationis faciemus a ternario: ut quaternarius stpto binario, quinarius pro ternatio : Gq. ordinatim. HAEc AvYsM rectorum angularum consideratio inde pro pia est, quod omnis multi latera Figura in tot Triangula restiuitur, quota ipsa fuerit a prima. Quadrilatera enim in duo , Pentagona innia, Hexagona in quatuor Triangula resoluitur: sicq continenter: setit ex adseriptis Figuris cernere est.
Verbi causa, in Pentagono A a C D g, quum quodlibet trium Triangulorum in quae resbluitur, duos tectos angulos includat: ipsum pentagonum sex rectos includet angulos. In idem etiam recidet s dicamus , In omni Figura multilat ra omnes angulos simul sumptos tot rectis aequari angulis, quot smiscantur per numerum angulorum duplicatumdemptis quatum.
59쪽
A puncto enim fortuito intra Figura signato, quale hic in Hexagono Aa CDEs,
punctum c , s ducantur lineae rechae ad quenlibet angulo rum i erunt in ipsa Figura tot Titangula comprehensia,quot anguli in ipsa fuerint. Horum itaque Triangulorum omnes anguli simul sumpti tot rectus angulis aequantur, per hanc Trigem secundam, quot sunt anguli totius Figurae duplicati r ut hic sex Triangulorum sunt anguli duodecim redi. Quumqt orenes anguli punctum C circunstantes, sint ex decima tertia , quatuor rectis aquales : si quatuor ex duodecim auferamus, supererunt in Hexagono sex anguli octo rectis aequales. H1Nc etiam manifestum est, Figurae polagonae angulos exteriores omnes Qmul sumptos quatuor rectis aequales esse. sunt enim interiores cum exterioribus bis tot rectis aequales, quot in Figura anguli fuerint,per decimam tertiam. Interiores autem bis tot rectis sunt aequales , quot ipsa Figura habuerit angulos demptis quatuor, i moὰo ostem dimus: quapropter exteriores semper quatuor rectis aequales. Exempli gratia, protrahantur quinque latera pentagoni A B c D A , ad puncta p , C , Η , Κ , L. Erunti, per 3ecimat tertiam, duo anguli qui ad A, et ales duobus rectis: ac per eandem, duo anguli qui ad A , aequales duobus rectis. Sic hinos quosque angulos sumendo ii omnino decem rectis aequabuntur. Demptis itaq; inretioribus,qui sex rectis aequantur,ut modo probauimus: erunt extetiores quatuor recti' aequales. CoNs TAY etiam, in omni pentagono sc constructo ut quodlibet satus duo secet ex reliquis, inque angulos duobus tectis esse aequales. Sit enim quale propo- Λ nitur Pentagonum a s C D s , ut scilicet A c latus secet latus p Ε in puncto es latus A D secet idem B E in puncto s. Eritqi, per praesentem, angulus Asci aequalis duobus angulis p & D, Trianguli a Dp exterior interioribus oppositis. E 3em ratione angulus s C A, 3uobus angulis c 3d Ε, Trianguli C s G , etit aequalis. Atqui duo anguli Asa & p C A cum an ' gulo A, per hane ipsam, sunt aequales duobus rectis. Sunt igiti tui quatuor anguli a , c, D , E cum angulo A aequales duobus rectis, Quod erat
demonstrandum. Hae Campani commentationes quantiis non indignae cognitu videantur: tamen
eius generis inuenta si conquirantur,in immensiam exerescere possent. Figurae enim Ceometricae tam latum spatiandi campum ingenijs quam Numeri, immo adeo latiorem, exhibent.
Ex Moc etiam Theoremate intueri licet, Trianguli constructionem ex duabuς lineis silet tertiam ad rectos angulos erectis, persei. si enim altera in alteram inclinetur: ambae cum tertia sic includent supersciem Triangulam, ut quod . e 3uobus rectis angulis deperit, id in tertio angulo recuperetur. Vt sintelligantur duae lineae Aa S c D ad rectos angulos super lineamn D erectae, moueri altera alteram versus, & coire ad punctum p , visat Triangulum a D E quod duobus rectis angulis A B D & c D sdecrescit, id tertius angulus E sbi assumit,ut superficies exurgat Sietes humanae comparatae, ut aliae in alias cadentes tot specierum varietates compo nant sed nos ad institutum reuertamurialias de ijs lusiuri.
THEO REMA 13, PROPOSITIO XXXII 1
Si duae rectae lineae duas aequales de aequidis antes lineas
60쪽
33 LIBER I ex aduerso conneseant: erunt Ec ipsae inter se aequa
sint duae lineae AB Ed c D, quae duas Ac&s D aequales 3c aquidissantes con nectam ex aduerse in quatuor punctis A , s , C, D. Dico duas AB & CD esse aequales inter se & aequidistantes Connectam enim A D. Et quia ae Ee s D sent aequales Ee aequidistantes: erit angulus C Α D , per primam partem vigesi maen Dae, gulo A aequalis. Itaque quum Auci latera A c &AD, Trianguli Ac D t aequalia duobus lateribus BD Et D Α,
Trianguli B Α Β erit,per quartam,basis A s aequalis bas c D, Quod est prius. Erunt & per eandem duo anguli ADC Ee s D inter se aequales. Quare quum snt alterni, aequidistabit, per vigesimam timam, An ipsi cD, Quod erat domonstrandum
In omni parallelogrammo, latera ex aduerso posita,surata qualia, & anguli oppositi aequales: Et Dimetiens medium Parallelogrammum diuidit
sit Parallelogrammum A B c d , cuius Dimetiens A D. Dico duo latera Αs Ne r inter se esse aequalias duo Λ c S c s inter Duos item angulo; Α & in ter se aequales , duos B & c inter se. Totam denique Superficiem a Dimetientea D , mediam diuidi. es Quum enim A B & c D snt aequidistantes duo alterni an
guli a AD & c D A erunt,per vigemam ona,aequales.Quum e & s D itidem sint aequidistantes: erunt Ee duo alterni c A D: de B D A aequales, per eandem. Quum itaque duo Triangula A B D 3r Ac D, habeant duos angulos duobus angulis mutuo aequales, stilicet sADM A D A , ipss C D A de C A D r 8e latus A D , cui incumbunt anguli, utrique Trian gulo commune : erit, per vigesmanisextam latus A a lateri e D aequale latusq: A elateri B D r & angulus B angulo C aequalis r ob id* totum Triangulum A B D , toti Triangulo ACD aequale. Quare Theorema omni ex parte constat.
Inter Ais Ibiseri interminatis A angulum dinum e itinctas, simiam alat lambe aequalem colorare, quae cum Ahera istinum sciat. ungulum adferiangulo aris aequalem. Oponet orem Hos lautitis Lus Liam rectis sp
sint duae lineae A B Ee A c , constituentes angulum Acitum vi A C , sed quae sint interminatae ex parte extensionis earum: sitq: linea 3ata, D e angulus alter datus, Ε. Volo inter duas An de Ac collocare lineam aequalem lineae D, quae cum altera
illatum faciat angulum aequalem angulo gato. Modo tamen duo anguli a te stat minores duobus tectis. Alioqui fieri non possit Triangulum, per decimamritimam. Placet ergo ut angulus constituendus se sipet lineam A c. super puncto A facio angulum C Asaequalem angulo Ε dam,per vigesimamrertia pro positionem: Et ex altera parte produco F Α ad punctum c , se ut A G si aequalis lineae D datae,per secundam, Et per punctum c duco,per trigesm primam, o Hparallelum ipsi A c : quam produco eouique ut concurrat, siue secet a B in pum
H: itidemi per punctum H, duco Hκ parallelum ipsi c s, quae et linea A eiu