장음표시 사용
71쪽
semitectus: quum c s cadat in duas parallelos Ae & Ε a r ob idq; per ean/em angulus asci servirectus. Et quia latus ΕΗ, Trianguli aps, per trigesimamqua . se tam,in aequale lateri r o Trianguli Ap Ed B p utrique com mune: erit, per quartam, base s s aequalis basi s . Quum recta A C connectat duas parallelos Ac & sc , & angulus A sit rectus: erit & alternus C rectus, per vigesimamnonam. Itaque, per triges msecun3am, erit angulus p B C semire ctus 1 8 per sextam , duo latera sci & so aequalia. Erit igitur totus angulus 3 3 c rectus 1 ac propterea, per trigesimam- quartam, totus s & totus Ε rectus: & quatuor latera parallelogrammi s a s C ,
aequalia. Quare ipsium erit Quadratum. Eadem erit probatio de stix L paralle logrammo, Quod fuit constitutum. Huic propositioni hunc locum assignauimus quam tamen poteramus statim post trigesmam artam subiiceret sed ad Quadrati mentionem reponere placuit, non vltra: quanius Euelides ad quartam Secundi dissulerit.
THEO REMA 33, PROPOSITIO XLVII,
In reseangulis Triangulis, Coadratum quod ex latere angulum rectum subtendente st, Quadratis quae ex duobus angulum rectum continentibus lateribus sunt, est aequale.
sit Triangulum Ape, cuius angulus A rectus. Dieo Quadratum lateris Ac, Quadratis duorum laterum Aa & Ac esse aequale. Describam ex s e latere, secundum doctrinam antecedentis,Quadratum p cng, ut ex As & Αc, Auo Quadrata ABFG & A c κ H. Erit AN, ex decimaquarta Propositione, linea una, S c o itidem una: quum omnes anguli qui ad A sint recti. Tum ab angulo A tecto demittam agimus o E maximi Quadrati lineam A L parablatum lateri B D , secantem a C in puncto M. Et ab eodem angulo A duram duas AD & Α a i item a duobus reliquis angulis ABC 8e
Quoniam itaque super bata B p , & inter Auas p rallelos c d & a s , consituuntur Appo Parallelo grammum M a s e Triangulum: erit AB pG, per quadragesimareptima,taplum ipsus Asc.Atidem a se, per quartam,aequale est A s D Triangulo quum sinis p& s c latera unius, aequalia A s & p D lateribus ait riusvi angulus a huius, aequalis angulo a illius: eonstat enim uterque ex angulo recto Ec angulo ABC com
muni. Est igitur QCadratum AB sti, duplum Trianguli Lao. sed & parallel
grammum ADLM duplum est, per quadragesmamptimam,eiusdem Ast Trian guli fiunt enim super eandem basn BD, & inter duas parallelos A D &ΑL. Qua re , per communem Notionem, Quadratum Ansci aequale est parallelogia
Atque eadem argumentatione,inductis duobus nex & A s c Triangulis, probabimus Quadratum Ac κω esse aequale Parallelogrammo LMac. Quare quum Quadiatum ac D E compleatur duobus Parallelogrammis BD LM & et M a criptum erit aequale duobus Quadratis Anso &.acκti, Quod erat demonstrandum.
72쪽
Hae s si illa tam celebris Demonstratio a Pythagora Philosepho pervestigmta, ob quam prae gaudio bouem Daemonibus immolauit, si Heromi, Proeso, Lueeio, α Vitruvio credimus. Quod tamen apud multos fidem non habet. Summa enim religione vir ille a caede animantium abstinuit. Vtut est,profecto mirabile inuentum est di vere Dei cuiuseam donum. In cuius ratiocinatione plane Philosophicae, libet paulum expatiari vi intueamur unde hoc Theorema desumptum sit quoque cons-lio,ad huius inuestigationem sese docti homines exercuerint. Imprimis totius meditationis oecaso a Recto & AEquali prosecta est: Ex quibus omnes fere Geometricas probationes oliginem sumere diximus. Quod ex Ttiam gulo hosceli Rectangulo quod dimidium est Quadrati,manifessum faciemus. Sit enim I sceles Rectangulum AB c, cuius angulus A rectus. Dico Quadratum lateris a e , aequum esse Quastatis duorum laterum A A & Α C. Deleribo ex B cQuadratum BCDE: Cuius duco duas Diametrosis Ε & c D , ierantes inter se in puncto r. Quumqt duo latera Ec&AD Trianguli s D e , sint aequalia i erunt, per quintam, duo anguli B D c 8d B c D aequales: cb id ambo semitecti, per trigesimamsecvngam 1 quum si angulus CBD rectus. Eadem ratione erunt duo angulica Ε & c Ε 3 Trianguli s Ε C , semirecti: Quapropter duo latera su&cs Trian adses, per sextam,aequalia. Rursus quum duo cinguli hac & A c a Trianguli ΑΒ c, snt semirini,per quintam & nigesma ecundam: & bas, B c virique Triangulorum Aac S cs communis: erunt duo latera ΑΒ & A c, aequalia duobus lateribus Fa & pcό pervi gesimam extam. Est igitur Apsc quatuor laterum aequalium , he quatuor angulorum rectorum: quapropter a Definitione, Quadratum in vero quum duo anguli s e g& 3 Ε c Trianguli C a F, sint aequales 3uobus angulis s s c & s c B ipsius Trianguli cas, utpote omnes semirecti: 5e basis s c aequalis basi s erunt duo Triangula ses& s s e aequalia. Ex commutat itaque Notione,erit totum Triangulum D E c,aequale Quadrato AB s C. Atqui Triangulum B g c , per trigesimamquartam dimidium est Quadrati senΕ. Et Quadratum igitur An sc dimidium est esui gem sc D s. Si itaque his fumatur Apsc, ratione duorum laterum An & Α c : duo Qua diata aequabuntur Quadrato Acts, Quod erat δemonstrandum HAC Demonstratio amplior quidem sed tamen tota Figulae specih sacilis: adeo Rectum de AEquale sese, ubicunque sint, manifesta ostendunt. At in scatenis Rectangulis excogitanda suit alia Demonstrationis ratio. Nam de sciente laterum aequalitate, deficiunt quae ab hac pentini, aequalitares Qt adrat tum & Trianguloru. Frat quidem in promptu haec ratiocinati ,Cuiuslibet Triam guli Rectanguli duo reliqui anguli a recto sunt aequales )uobus semirectis, per trigesimam ecundam. Conuenit igitur ut Quadrata duorum laterum ;pses subtendentium,quauis inaequalium tantum emciant,quantum δε esset uterq: semirectust quum sint bases aequales. Quod enim vni laterum inaequalium decrescit,alteri accrescit: vixqualitas potentie compensetur potentia lineae tanta est,quantum est ipsus Qua dratum). Acrationi consentaneum est, ut potentia lateris rectum angulum subtemdentis, aequalis si duabus laterum quae duos semirectos subtendunt, potenti js. Ma gnitudo enim angulatum,magnitudinem laterum oppost tum metitur 1 3e contra. Quod ut clarius exponamus in duobus Triangulis Rectangulis Anc At A las, quorum A a e si hosceles,sed Α D Ε Scalenum motum est,ex vulgata illa trigesima secunda,duos angulos semirectos Aac & Acs, Trianguli AB c, aequales esse duobus 1 D E de ApD Trianguli 1 s D,
ut sumptis. sed non propterea n tu est, si Quadratu ha- is a e sit aequale Quadratis duoru latetu ΑΗ 8e Ac, comtinuo Quaesam sas; D s aquale esse Quiaratis duorum laterem AD & AE : etiamsi duae bases v c de a o snt aequales.lduet ythagoras probauit
73쪽
probauitgenerali Demonstratione. Quae eerte di scillima fuit inuentu, seut in dicquirendo experti semus. Nam quum simili stussio incenderemur, multa quidem in hanc rem meditati sumus e scopum tame alia ratione attingere non potuimus quam per proportiones: iam ex Figura Gnomonica. sed nos huius sontis ubertimi ii Dulos aliquot consectemur REs ετ aTA igitur prima constructione, iucundum est intueri quonam pacto Rectura&AEqualitas Uesium ius tueantur. Nam tametsi A p 8e A e latera sint inaequalia, ob idqi anguli Αρ c εE A c a inaequales, osscio tamen perpendicularis A M , pulchra sit permutatio, ut intelligantur omnia in integro remanere. Angulus enim CAM, angulo Asci angulami s M angulo Ac M perpetuo est aequalis, Quod se demonstratur: Angulus B AC Trianguli Ase, ponitur rectus e angulusq: AMc Trianguli ACM, tectus: δe angulus c utrique Triangulo communis. Itaque,per trigema secundam de communem sententiam, reliquus cAM angulus, reliquo A ac est aequalis. Rursus quum uterque angulus qui ad M sit rectus,& angulus a probatus si aequalis angulo e Me CC sequitur vi reliquus a AM, reliquo Ac M si aequalis, Quod erat demonstrandum. Vitis ut perpendicularis aequalitatem testetur non laterum gulorum ; sed potentiae ipsorum Hoc est, si Quadratum lineae s ead duo Quadrata aequalia reducatur haec erunt aequalia Quadratis duorum laterum Ap & Ac. Vbi etiam animaduertendum,eae lineae vi praestent mutuas operas, o ch permutatione Nam ex subtensa s c fiunt duo latera Triangulorum aduentiliorum AB M Et Ac M 1 Et ex duobus lateribus primi Trianguli AIC, rectum angulum continentibus,sunt duae subtensae Seg quonam modo fiat ea reductio Quadratorum
ad aequalitatem, placet liti demonstrare. zuo rara inae labis is asa uuia istis ae alia nascere.
Sint Quadrata Auarum linearum ha εe Ac, inaequalia. volo haec duo reducere ad duo Quadrata aequalia. Ambas lineas consituo ad angulum rechum s Ac :&c neeto Ic Tum super duobus terminis s Ee C facio duos angulos semirectos id vero terectis perpendieularibus, ac diuisi ut que angulorum tectorum per Ais aequalia: ut docet nonahuius): GR. anguli AC D&CID scinia
recti: Ed concurrant duae lineae a D 3e C D ad punctum D. Dic --, e duo Quadrata laterum B D S D, esse aequalia Auobus Quadratis laterum AB Ee Ac. Sunt enim per sextam, duo latera DA&ic aequalia :& angulus D, per trigesima ecundam,rectus: QDapropter Quadratum lateris a C, aequale est Quadratis duorum laterum D 3 & DC, per hanc quadragesim septimam. Sed & aequale Quadratis duorum As & Ac, per eandem. Quare, per animi Notionem, Quadrata ductum D A & D c iunt aequalia duorum A a & A e Quadratis, Quod erat
EY hoc habetur & hoc Theorema,
-m registiorum Luram 'uniis, tint quesia Quaratis duream relLquo iam alter s. Quod satis patet ex postrema constructione. sed re indidem hoe exibit Problema,
74쪽
Potentiam linem tantam ese diximus quantum est ipsus Quasiatum. Sint itaque duae lineae inaequales Aa & pc, quarum maior Ap. Volo scire quantum possit A s supra n e. me est volo reperire Quadratum, quod cum Quadrato ipsius B c, sit aequale Quadrato lineae. statuo A I Ee a e in continuum p stoqi Centro in puncto continuationis A, deseribo semicirculum Ana secundum Quantitatem maioris As. Tum super C puncto, et o perpendicularem : quam produco donec a tingat periphetiam in puncto D : Et connecto A D. Diti eo Quadiatum linem CD ese excessum potentiae lineae AB supra AC. Quoniam enim angulus e Trianguli s c D, estrectus Q i adratum subtensae BD,
aequale est Quadratis duorum laterum s e & c igitur & itaem est aequale de dratum lineae Ap. Quare Quadratum lineae a c tanto minus est Q Laetato lineae As, quantum est Quadratum linem c D , QD A erat inuesigandum Hane Theon subnectit Mei aetertiae Decimie eamq: probat ex prima Quarti& trigesima Tertit: quam tamen ex hac sola Pythagorica demonstrari vides. Ex hoc etiam habetur ratio inueniendi tertii lateris Trianguli Rectanguli, dum bus quibusvis cognitis. Quod elatius est, quam quod probandum sit. N v v c autem hoc Theorema quonam pacto ad Numeros accommodetur obtiter ostendemus. In Numeris itaque locum praecipue habet, quum maximus ad me-δium suetit ut 1 ad 41 ossicit in proportione, quam vocant, sesquiquarta: & m Aius ad minimum ut 4 ad 3: hoe est , in proportione sesquitertia. Eiusmodi sunt tres 3, 4, tueri, g, 8, I o:& 0, 16,2o: se continuo progressit. Quadratum enim ho est 4oci, ae tantundem efficiunt 144 eum his, quae sunt Quadrata
Sed & eognito minimo laterum in Numeris sesenum Rectangulum se ab lues. Dimidium cogniti due in sedi a producto aufert unitatem : habebis alterum latus. Hule adde binarium, set maximum latus, seu subtensa. Vt, si minimum latus a cie Horum dimidium Aue in se i sunt 1 1 a quibus ablata unitate, supersunt 1 4 , me
ditam latus his adde binarium: sunt 1 g, subtensa. Horum enim Quadratum 6 ce Et tantundem efficiunt 1 o ct M s g, Qt adiuta ex 1 o & 1 4. Isbseelia vero Rectangula ex Numeris non eonficiuntur. In quo id gignum conia eratione est, quod in Geometricis est euidentius & Demonstrationi promptius, id in Numeris veritatem non habere. Nunquam enim Θu QDadrati Numeri aequatis Quadratum Numetum componunt. Atque eam ob causam, lateris Quadrati ad Diametrum proportio incognita. Est mim Diameter ragla seu latus duorum Q υ dratorum aequalium in unum Quadratum iurestorum: ob id, irrationaler hoc est,ut in Arithmeticis gieitur, ra3ix surda. ut radix Σ, g,3 1: sic continenter, alternis Numeris progressionum intermissis. Illud quoque non omittam, hoe Theorema Pythagoricum non ex Triangulo,og ex Parallelogrammo Rectangulti esse depromptum. Quod & Numerorum assinitas ostendit Nullum enim Numeris cum Triangulis commercium: neque supersis cies per Numeros absoluitur, nisi multiplicatione. Multiplicatio vero, minimum, quadrilatera est. In Geometricis etiam superficiebus, Triangula vi dimidia Parallealogiammorum eo derari debent. Sic itaque proponi poterat Theorema.
Quia tamen simpliciora sunt Triangula, atque ob id tractabiliorat eorum nobis ossicium accersimus. Sed de his alias.
75쪽
Ex hoe etiam satis euidens est illud, Mia Titimeres, cimp ere si gratiam ratus 63 Mumetiri Constitutis enim super duobus terminis lineae, duobus angulis semitectis, fle per ficto Titangulo, habebitur dimidium Quadrati. Cuius altera pars facile conscietur. Inde manifestum est Ad illud,
QLod nulla indiget probatione.
THEO REMA 34, PROPOSITIO XLVIII.
Si quod ab uno laterum Trianguli si OD adratum aequale fuerit duorum reliquorum Quadratis: angulus ab illo latere subtensus, rectus erit.
sit Titannulum Asel si . Quadratum lateris A e aequale Quadratis duorum i
terum ΑΗ & nc. Dico angulum s oppositum ac lateri, ese rectum. Coruersa antecedentis. A puncto p ad contrariam partem ipsi A puncto, educo pe pendicularem p D , per undecimam: quam pono aequalem A B, per secundam : Et connecto D C. Et quoniam angulus cs D tectus est 1 QDadratum lateris c D, per antecedentem, aequale est in adratis 3tiorum laterum ac de o B D r quapropter Ee utis gratis duorum s e Et s A. Est igitur ipsum cn latus ipsi Ac lateri aequale per animi Notionem: quum viliusque ui drata snt aequalia. Triangulum itaque Asc, aequale est δe aequilatetum Titang lci cs D. QLare angulus A ac, per octauam angulo cs D aqualis: ob idi rectus, Quod erat demonstrandum. Pstos si Mus de ab impossiali, Conuersarum more. Si enim Qtiadiatum lateris Ac est aequale Quadratiς duorum An fle ne, neque angulus a st tectus i erit maior aut minoi recto. Ac prius si maior recto, satq: amgulus D s c rectus, educta perpengiculari a D per undecimam e quae ponaturaequalis lateri A s per secundam : Et connectatur c D. Etitqi, per directam huius,QLadtatu ipsius CD aeqnale Q Ladratis duorum noee a et quapropter he ui adratis ducitu B A ge B c Erit igitur hasis c Daequalis basi e A t quum ipsarum inadiata sint aequalia: Quod est, contra vigesimamquartam Ropositionem. Nam quum si angulus ac maior angulo D s c, sintq; duo latera Aa Et ac duobus lateribus Da re ac mutuo aequalia erit bass c A maior has c D. Eadem rarione probauimus angulum totum a , non esse recto minorem. Est igitur rectus, Quod erat demonstrandum. sed probationes quae a firmate concludunt, digniores sunt iis quae ab impossibili. ges Campano.
agungere. ieet intempestiue Campanus Gnomonis constructionem illa posuisset, quum Euelides Gnomonem posterius definiati eius tamen Propositionem loco non mutauimus: praesertim quum Gnomonem iam antea in Quadragesmatertia desini
Sint itaque duo Quadrata AB re e n quotum alteri, ut ipsi A a , si adiungendus Gnomon aequalis reliquo C D.
76쪽
protrahatur latus a s Quadrari A s in continuum e ponatur s s aequalis lateri ipsus c D 1 Et connechatur g A. Eritqi Quadratum ipsus f A, aequale duobus Qua.dratis a s & s Triangus E s Α, per Q Aragesim septimam. sed inacia tum ipsius a s , est aequale ips cn Quadrato.Et Quadratum lateris p A, est ipsum, a Quadratum Est igitur Quadratum ipsus A gaequale duobus e D & Α a Qxadratis. At veros p & p A latera sunt, per vigemam primi, longiora latere A s. Sed s A est aequale s n. Erunt e go as & sa, ipse A E longiora. Quapropter rota a s longior in quam A g. secetur igitur ad ipsius aequalitatem in puncto er fiatq; a e aequalis ipsi L s i Et deseribatur QD r tum a C C H ex ipsa n e r quod erit aequale inadrato ipsus A s. Sed Quadratum L s duobus Quiatatis An & B c est aequale. Et QDadratum igitur a c o M aequa se in eisdem. Quare, quum Quadratum ipsius h c componatur ex Quadrato A a& Gnomone T c Α Η erit Cnomon ipsi e D QDadrato aequalis, Quod fuit f
Ss D multo expeditius sic poterat consci sint ἡuo mactata, quorum latera sint A n & a c. volo Quadrato lineae L sadiungere Cnomonem aequalem Quadrato lineae ne. Constituo ambas ad angulum tectum AB C. Et conne ho Ac. π Destiipto Quadrato latetis A B , quod sit A B D g , protraho B A ad punctum s t ut si a s aequalis A e. Et deseribo Quadratumn s o H i quot erit aequale Quadrato ipsius Le, quum lineae solaquesestae propterea aequale Quadratis duorum A s & B e. Quum itaque F Q Μ Quadratum, compleatur ipse Quadrato ABDE& Gnomonem s s c D r erit ipse Gnomon aequalis Quagrato lineae B c , Quod erat aetendum.
77쪽
duabus rectum angulum constituentibus rectis lineis dicitur contineri.
Parallelogrammum Rectangulum sit ex ductu linei recti in haneam tectam, id instar Numerorum: facilitatis, ut diximus, gratia. Ubi etiam miminisse oportet. Ducere maiorem lineam in minorem, idem esse ae si minorem in maiorem ducamus: sicut 3 in η, & in 3, idem inciunt
gnomon. In Parallelogrammis alterutrum Parallelogrammorum quae circa Dimetientem consistunt cum duobus Supplementis, Gnomon vocatur.
Hoc iam ante in quadragesimatertia primi explieauimus. si enim in Figura adscripta,parallelogrammum D scum duobus supplementis cx&ΚΗ sumamus , essicietur Gnomon Ε D c seu, ut alii d gnant, C D Q κ quo3 unum & idem est. Quod si Parallelogrammum a vi cum iisdem supplementis sempserimus , fiet Gnomons A c κ. Deest itaque Gnomoni alterutrum interiorum paralle logrammorum quae Dimetiens media secat: qua q: Complomenta in quadragesimatertia primi nominauimus.
78쪽
I duarum linearum altera in partes aliquot secta fuerit: quod ex ductu alterius in alteram sit, aequum est iis quae ab insecta de quolibet se- segmento Rectangulis, producuntur
Sint duae linem Aa Ee c: quarum Ap secta sit in partes AD, in & ss. Dico id quod fit e, ductu C in ΑΒ, aequale esse Rectangulis quae fiunt ex ductu eiusdem c in AD , DR,& ΕΒ segmenta. super puncta A de v, erigam lineas perpendiculares As & BG, per undeci mam primi se ponam utra Q aequalem ips C: Et con nexa sci, complebo Parallelogrammum Rectangulum A B s . Quo8 quidem ex linea As ea est linea e) in As proAucitur Tum a punctis sectionum D & a ducam, per trigesmamprimam Primi,ipss A s he s C , parallelos DN re age quarum utraque est aequalis c, quum utraque sit aequalis A s , per trigesimam aream primi.Et quoniam Rectangulum ADs N producitur ex segmen to AB in Ap hoc est in C), dg DEMκ ex segmento Dp in eandem C: ac d nique s a K ci ex segmento s a in eam ipsam: ari, haec tria totum parallelogram-mum A 3 s ci componunt: manifesta est propositio.
Si recta linea utcunque sesea suerit: quae sub tota δί quolibet segmentorum Recta gula continentur, aequalia sunt ei quod ex tota fit Quadrato.
Sit linea Α giuisa in Ac, en, & DB segmenta. Dico Rectangula quae fiunt ex segmentis in ipsam A s smul sumpta, aequalia esse Quadrato eiusdem Ap. Quod manifestum erit,descripto Quadrato A B Ε p , dictis lineis c c Ze D N , quae sint lateribus QVadrati pa
lalleli Et aequales Axi TE R. sumatur κ aequalis A B. EtitU, per antec Θentem, quo4 fit ex κ in totam A B , aequale iis quae fiunt ex eadem κ in quaelibet segmenta ipsius AB. Et quia quod ex κ in Ap, aequale est ei quod ex A B in seipsam: 8e quae ex K in quaelibet segmenta ipsus A s sunt, aequalia ijs quae ex A E in suas partes, Proptere, quod κ & AB sunt aequales e constat proposito.
Si in guo segmenta fuerit linea diuisa: quod ex tota in alterutrum segmentorum fit Rectangulum, aequale est ei quod ex segmentis si Rectangulo eiq; quod ex priori segmento fit Quadrato
79쪽
sit linea La diuisa in Ae ω es segmenta. Dico Rectangulum ex tota As in Ae segmentum,aequale esse Rectangulo quod ex Ac in C B, eiq; quod ex Ac in .siipsum, mulsamptis
Destribatur ex A c, Quadratum A c D s r Et producta D s ag s punctum,con nexaq; B E parallelo, persciatur Parallelogrammum Asta.
Quod quum e stet ipse Quadrato A c D s & parallel grammo 3 a , quod est ex C s in Ac: manifesta est propo
ὰ tr TER, ex prima huius. Sumatur aequalis Ac. Et quonia totum BD Parallelograminum fit ex o in As , quum snt AD & o aequales & c D Quadratum ex eadem ci in Ac segmenta lineae enim aequales sent) es deni p a Parallelogrammum, ex eadem c in c a segmen
tum: atque his et ale est quod si ex o in As , per primam huius: erit quod fit ex Ac ira AB aequale ei quod sit ex Αe in se, Acin seipsem, Quod erat demo
si recta linea secetur utcunque: Quadrata quae sunt ex segmentis cum eo quod bis sub ipsis segmentis comprehenditur Rectangulo, aequalia sunt ei quod a totast Quadrato. C M H m. Quae circa Dimetientem Quadrati consistunt Paralle
logramma, Quadrata esse oportet.
sit recta linea ΑΗ, secta in partes Ac & cs. Dico duo Qua grata ex AC &ca eum eo quod bis seb ij dem Ac re os continetur Rectangulo, esse aequalia
Ex altera partium, vi ex es, de isto Quadratum csDE: & productis lateribus B D & c D , ponam D p & D c aequalia ipsi L e & perficiam Quagratum D sen: Quod constat esse Quadratum ipsus Ac. Tum connexa s A, erit Cyparallelogrammum Rectangulum, per trigesimamtertiam & trigesmamquartam Primi. Quod est ex e s in Aci quum c D se ipsi c s aequalis. Similiter constituo alterum parallelogrammum Rectangulum DK, productis ΗΕ & Hc, quae concumrant a3 punctum x quod eadem ratione fit ex cs in Ac. Quoniam ergo duo anguli D s u de D s A sunt recti: erit per Aecimamquartam primi, A N linea una: Neadem ratione Hae linea una, & Ax etiam una. Et quia vix ipsi cs est aequalis r&Αs eidem cs, quia aequalis ipsi spe item Hs & st ipsi Ae erunt duae AH & Hκ toti AB aequale per secundam animi rionem.Itidem& ΒΚ eidem AB aequalis Quum itaque quatuor anguli Α , B , H , κ snt rem,erit Α Β Η κ Quadratum: & nonnis ipsus AB , quum si unum laterum. Quare, quum ipsum compleatur Qua alti duuium Ac & Cp duobusq: supplementis quae sub cs & Ac comprehenduntur constat propositio. HANe Demonstrationem,meo iudicio, expeditiorem reddidi, quam si ea quae per Diametros & angulos se rectos assuitur verbosius. Nihil est enim quod magis oneret memoriam, quam longe ducta Demonstratio: in ijs praesertim propositionbhus quas vel ipa constitimo manifistas regdit. Diametrum tamen appos imus, ut quouisnodo costitutio innote eret. scilicet destristo Quadrato B D, α eius Di
80쪽
metro producta, dum concurrat cum A F prius erecta, ad punctum H ni pers ctum A AHκ parallelogrammum probabitur esse Quadratum:& D scies itidem Quadratum, per se rectos angulos Triangulorum. Quod ego ratiocinationi cmiuique relinquo. AL 1 TER. Sit linea A s , ut prius, diuisa in A c es cs. Erit , per secuniam huius,quod fit ex tota A I in se,aequale ei quod fit ex ipsa in A c & c s. At ex ipsa in A c tantum si,quantum ex A C in & ex A c in s e, per tertiam huius. Item ex ipsa Α a tota in s c, tantum fit, istum ex c I in se & ex C a in Ac, per eamdem. Quod igitur si ex tota Aa in se, aequum est ijs quae sunt ex L e in se & inc B, 8 ex ea in se & in Le, Quoὰ erat demonstranAum. me unda Demonstratio in Campani. sed, ut ipse iubiicit, ex ea non constat Consectarium. Quod nos quum iam probauerimus ad quadragemam tam Primi hoe ipsum Theorema se facile ostendemus. Ex ipse 1 a diuisa in A c & c a vi prius, constituatur Quadiatum As DE, C ius Diameter a D : Aucatur Parallelus e s , secans Diametrum in puncto C i item altera parallelus H κ per idem punctum G. Ac tum, ex Demonstratione nostra, erunt xv & CH Quadrata, eaq: ipsorum AC εί c s : ut satis constat ex constructione praeterea duo A & c a Supplementa, sunt quae sunt ex A cin s c. Quare quum haec quatuor perficiant totum ApDp Quadratum 1 manifesta est Propositio Haec etiam proponi potest in haec verba,
o M eossim in minoram, Parallelogrammti scilicet Aa linea excedat Ac lineam, portione cf. Constabit Quadratum maioris A p , Quadrato minoris A c cum eo quod si ex c B in A ut est in post time Figura parallelogrammiam An) , & altero quod fit ex eodem e s in minoia rem Α c, quod est a Parallelogiammum. In quo rerum imaginem iucunde contemplari subit. Nempe quod deest linea A e, ducetur in ipsam, hoe est, e B in L c sed & quod superest ipsi L id ipsum vero est e s) ducetur in ipsam A a i s j ex duabus una fiet potentia.
Si recta linea secetur in duo aequalia duo inaequalia:
Rectangulum comprehensum sub inaequalibus f mentis totius una cum Quadrato quod a medio
segmentorum, aequale est ei quod si dimidia fit Com
sit recta linea Aa aequaliter diuisa in puncto C, Ninaequaliter in puncto D. Di co Quadratum e s , esse aequale ei quod fit ex A D in D a cum Quadrato C D. Desinimum ex ea Quadratum casu, cum Diametros Ε fle ducam D C ipsi A s parallelum, secantem Diam reum in puncto H, & g p in puncto Q. Et per punctum Rὰueam x M aequalem & aqvigiliantem A a , per triges-mamprimam Primi,serantem 1 s in puncto M , & c a in puncto I: Et connectam AK aequidistantem c s. Eruntq; , per Consectatium amtecedentis, seu pet ea quae probauimus ad quadragem sextam primi, L C&DM