장음표시 사용
61쪽
in puncto κ. Dico iam lineam ux constitutam inter duos An & Ac, esse aequa Iem lineae D , & angulum X e se aequalem ungulo A dato. Quoniam enim ex constructione, A c ti x est Parallelograminum aerit κ H aequa lis A c , per trigesinam attam propostionem : quapropter & ipsi D lineae aequa
Et quoniam ΑΕ in duas parallelos sc & κώ inci3it: erit angulus A XH aequa lis angulo p A κ, per primam partem vigesimi nonae r quum sint alternit quapropto & idem κangulus, ipsi s angulo dato aequalis. Linea igitur H κ inter duas AB S Ac collocata, & lineae Daequalis, facit angulum x aequalem angulo A da to , Quod erat constitutum. Hoc Problema hic apponere visum est, aliquando mihi propostum ab artisce quodam Geometriae non imperito quod dissicilem probationem videretur habere Tria enim dantur ut Triangulum constituatur j duo anguli, fle linea una: pretiertim quum uterque angulus datus , non sit super eadem linea constituiti; sic enim faci iaesset constructio. Vt s s)per linea Ακ constituendum Triangulum proponeretur, habens duos angulos duobus angulis datis aequales. Hic vero A K linea, arte conquiritur.
Quae super eandem basin parallelogramma δύ inter eas dem parallelos consistunt, inter se sunt aequalia.
Sint duo Parallelogramma Aa CD & Escs, super eandem bata a C, & inter easdem parallelos A s & s c. Dico esse inuicem aequalia. Aut enim linea Ap secabit lineam A p citra punctum D, aut in ipso puncto D,
A a B s aut ultra. Secet igitur primum citra D punctum.Et quia utraqDe
i duarum linearum AD & s s, est aequalis lineae B C : erunt de
j I ambae interie aequales. Dempta igitur ΕD communi, remane- Λ bit A s aequalis D p. Rursus quia, per eandem, Ap est xqualis c D : & angulus Ε Α Β , per secundam partem vigesmaenonae, aequalis angulo C D Finterior exteriori erunt, per quatiam, duo Triangula A p A & s c D inter se aequalia. QMare a/dita virique Figurae anormi c D A B , erunt duo Parallelogramma Ben & shes aequalia. Nunc autem secet linea ΑΕ lineam As in ipso puncto D t eruntq, iisdem rarionibus, duo Triangula A B D hc D c s aequalia. Quare addito vitique s c D Titan-A ο ὐ gulo , sent duo parallelogramma Asc D & D scs aequalia
sed & per trigesimamquartam probabitur sic. Duo Diangula
A B D & s c D sunt aequalia, ratione Dimetientis, per trigesi- matriquartam: itemq. duo Triangula c D s & s D c aequalia, ob eandem rationem. Duo igitur Diangula A B D 8t c D s, sunt per communem Notionem, aequalia. Quare virique addito Triangulo a c D , fient guo Parallelo gramma ABCD & DBCs aequalia. secet demum linea a s lineam A s praeter D punctum in ut intersecet litineam eo in puncto H. Quia igitur duae lineae 4 Des s sunt aequales, per ant A es c o cedentem & communem Notionem di addita utrique parti- cula D o, erunt duae A G & g s aequales & Diangulum Α Η c Triangulo D c s aequale r quia virtusque latera sunt
-- mutuo aequalia,& anguli mutuo aequales,per antecedentem,le per vigesinamnonam. Vtrique ergo addito B c M Triangulo,& ablato D ab hae erui duo Asco & s c p parallelograma aequalia,Quod erat demonstrandum.
62쪽
Quae super aequales has es Parallelogramma, Ec inter eas. dem parallelos consistunt, inter se sunt aequalia.
sint duo Parallelogramma AB c D & Ap citi, super aequales bases CD dices,& inter duas palallelos A s S N. Dico haec duo Parallelogramma esse aequalia Ducam duas lineas cΕ εί t s. Eritq, per trigesimamreniam superficies c DEI aequidistantium laterum.Duae enim aequidistantes c D & Esinter se sunt aequales: quum utraque iurequalis C H , & connectantur duabus cΕ eg n s ex oppositis partibus. Quia ergo, per antecedentem, utrunque duorum parallelogram morum Ap CD & as GH, est aequale Parallelogrammo e D ss hinc a s bas, illine e D intellecta): ipia erunt, per animi Notionem , aqualia, Quod erat a
THEO REM A ij, PROPOSITIO XXXVII.
Triangula super eandem basin 3c inter easdem parali los, sunt aequalia.
sint duo Triangula A s e & ope, super eandem basin s c , & inter duas p tallelos E N A s constituta. Haec dico esse aequalia. Duco,per trigema primam,C C aequidistantem AB r &cΗ aequi distantem BD. Erunt duo parallelograma AB c ci& D s C N aequaliat ob id,& eorum dimidia. Quare quum A se Triangulum si dimidium Parallelogrammi AB c C, per trigesinam arta: & D a c Triangulum si dimidium Parallelogrammi D a c ti, per eandem: ip ta Triangula inter se erunt aequalia, Quod fuit demonstrandum
T ME CREMA 18, PROPOSITIO XXXVIII.
Triangula super aequales bases Ed inter easdem parallelos constituta, sunt aequalia.
sint duo Triangula Anc N Das, super bases Ac & Ε p aequales & inter duas parallelos A C & A H. Haec dico esse aequalia. Ducam cx aequi distantem & si aequidistantems D. Erunt per trigesma extam, o Parallelogramma A B c κ & D s s et aequalia ob id Asci & Das Triam gula,eorum dimidia, per trigesimamquartam, aequalia, Quod erat ostendendum. ει hac facillime elieitur hoc Problema,
Tistum Diangulum in aus Diuuialis isqualia parti .
Sit enim Triangulum Ap , diuidendum in guo aequalia Diuido unum laterum & stipsum B c, in Auo aequalia, per decimam,in puncto D '. 8c connecto D A. Dico duo Triangula A B D de A c D esse aequalia. Quod satis manifestum est ex hae trigesimaoctava, s intellexerimus p tallelam ips a c ductam per punctum L , ut docet triges--prima 1 qualis hoc loco, ad euidentiam, posta est H κ. Duo etiam latera A s & Α c aequaliter diuisimus in punctis a & p : ut intelligas euiuscunque laterum sectio fiath totum Triangulum per aequalia diuidi. Vbi Titangulorum quoque minorum aequalitas agnoscitur, ex tribus ILὰ tieis
63쪽
neis AD, sp, & ca se scindentibus in puncto Noe sacit ad diuidenda Triai gula in pariterparia: ut in q, 8, 11, 32. Mechanio vero diuidetur Triangulu in alias partes Aiuiso similiter latere ductisqι lineis ab regulo opposito ad pucta sectionsi Cuius diuisionis ostenso ad Sextum librum reseruatur. subhei iis S hoc Problema,
Sit punctum A signatum in latere AC Trianguli ac D. Volo a puncto A ducere lineam quae diuidat Triangulum sc D in duas patres aequales. Diui Ao latus B c bipartito in puncto s. Tum a puncto A duco ad angulum Doppositum,lineam A D. Cui per punctum E , duco Ε s parallelum per trigesimam, quae secet latus D c in puncto s. Et connecto Ap. Dico As esse quae diuidit Triangulum a C D in duo aequalia: scilicet A a D F QVadrilaterum, aequale esse Α e s Triangulo. Connecho AD; secantem As in puncto C. Et constat ex trigesima octaua,duo Triangula BED&ca D esse προ i lia intellecta parallelo ipsis c, duecta per punctum D : quum sint super aequales bases A s & Ε c. Duo quoque Triangula Das & Aas iunt aequalia, per trigesim septimam: quum snt super eandem basin Ε s, & inter duas parallelos AD 3e E p. Dempto itaque communi a s C , erit Triangulum A g ci aequale Triangulo D F Vtrique igitur ipsorum addito Trapeetio C sc g, erit A c r Triangulum aequale D A cviangulo. Atqui D s e in dimidia pars totius Trianguli ac D: quapropter & λ c sest dimidia pars eluciem. Reliqua itaque pars dimigia, erit A B s D Trapezium Quale linea Αs diuidit totum A c D Triangulum aequaliter, Quod facere oportuit.
Triangula aequalia super eandem basti & ad eandem
partem erecta, inter duas consistunt parallelos.
Triangula super eandem basin ad eandem partem erecta, δicuntur quum linea ducta avertice unius ad verticem alterius, latera eorum non secat. Sint duo Triangula hac & D se super basin ac, quae verticem ad eanesmpartem habeant,Et connechatur Α D. Dico AD lineam ese parallelum basi se. Sin aliter: ducatur paraselus ipsi s c, per trigesiamprimam j quae aut transibit st supra AD, aut infia eandem. Si sapia, si ipsa Α s & prodire rur s 4 quousque concurrat cum Α Ε in puncto s : connect ur Ec. Quoniam itaque, per trigesima septimam, Titan mlum Ape est aequale Triangulo a s c, utrunqi enim inter duas
parallelos r& eiὰem Triangulo ABC postum est aequale Triam gulum DB ct erit S igem h s C aequale ipsi a s C, pars toti, Quod esse non potest. Si vero parallelus duci possit insia AD, ut As : connexa s c, set Triangulum s sc aequale ipsi D 2 c, pars toti. Non igitur erit alia parallelus bas se, quam ipsa AD , Quod erat ostendendum.
Ex hae & antecedente con equitur,
64쪽
sit enim Triangulum Asc i& si linea is quae diuitat guo latera ,s N Aepet duo aequalia in punctis D ec g. Hanc dico esse parallelum ipsi Le. is In Quadrilatero A c a D ducantur duae transuetis A a & C D. Intellectaqi per punctum a , parallelo ipsi A s r erit, per trigesta mamoctauam Triaragulum a D p aequale Triangulo D A s t quum duae ipsorum bases AD Ee DB, positae sint aequales.Rursus intellecta per punctum D, parallelo ipsi s e i erit idem Triangulum s D s aequale Triangulo C a D. Erunt itaque et animi Notionem duo Triangula a AD & sco aequalia Quae quum seper eandem int basn DE, Ee in eam/em partem erecta, erunt, per hanc trigesim nonam, inter duas parallelos DE & Ac, Quod fuit demonstrandum.
I riangula aequalia super aequales bases, de iti eandem partem erecta, inter duas consistunt parallelos
Sint duo Triangula hae & D Ap aequalia saper suas bases B c & sp x alas, & in eandem patrem erecta:& connectatur Α D. Dico duo Triangula Asc&ti Epinter duas parallelos p p 3e AD consistere. Haec est Conuersa trigesmaeoctauae. Nam s An non est ipsi sp parallelusi alia parallelus ducta transbit septa aut inta , h. Si supra, si ipsa Α Ο & producatur x D ad
concursium L C , in punctum si e connectaturq; C F. Erit ,pertrige amomum Triangulum GEF aequale Triangulo A a c. At D E s positum est ipsi Alle aequale. Erit igitur ET D E s Us GEs aequale, pars t ti, quod est absurdum si vero inta a D transeat, si ipsa A H N connectatur H 3. Ac tum Ggem argu mentatione probabitur Triangulum N p s, Triangulo D s s ese aequale pars toti. Qtiate quum neutra ratione fieti possis erunt v s & Α D paralleli, Quod
Si Parallelogrammum Triangulumq; super eandem has , ct inter Auas parallelos consistant : Parallel grammum Triangulo duplum erit.
sit Parallelogrammiam A a c t , & Triangulum B D s , super eandem basim v n, S inter A Ε & s D parallelos. Dico Parallelogrammum A B c D esse duplum Trianguli a DE. In Parallelogrammo Auram Dimetientem AD r Eritqi, per triges mseptimam Triangulum ABD aequale Triangulo E 3 D. Sed Parallelogrammum A s C D , per triges
m quartam duplum est Trianguli ABD: Quare &duplum Trianguli a B D , Quod erat ostendendum Ex Noc satis constat, si duplicetur basis, Triangulum super hanc erectum, aequale em ips parallelogrammo , Quale hoc loco est B E s Triangulum. probabitur & hoe fiesse quod sabiecimus Theorema,
65쪽
Sit enim parallelogrammtim A B c d , de Triangulum Σίν, luper aequales bases s C & c s. Dico A a C D Paralalelogrammum esse duplum Triangulo A c g. Connectatur g D t & ducatur per punctum c , parallelus ipsi a s , s c D parallelus non fuerit. Actum, ex trigem sexta, dg triges aquarta, constabit propositio. Hanc veto Euclides recte praetermisi ob facilitat .sed & nonnullas smilis nitionis quas antea expressi, poterat omittere.
Dato Triangulo aequale Parallelogrammum constitu re, habens angulum angulo Jato aequale .
sit 3atum Triangulum Asc, datus vero angulus D. Volo ips Triangulo 1s C squale parallelogrammum constituere, habens angulum aequalem angulo D. Divido basin s in duo aequalia, per decimam Propositionem, in puncto Ε : &connecto A E Tum per punctum A. duco Ap parallelum ipsi se, per trige Q ma primam :& super punctum g constituo, per viagesimamrertiam, angulum C s c aequalem angulo Ddato: Demum ipsi Eo, per punctum c, duco CF parallelum. Dico Parallelogrammu pcsc esse aequa Ie Aac Triangulo Quoniam enim, per trige amoctauam, Triangulum A s E est aequale Tria gulo A E c : erit totum Triangulum Aac duplum Trianguri hac. At palallelo grammum vesci, per antecedentem, duplum est eiustam Trianguli Asc. Qua te id ipsum Aesci parallelogrammum, aequale est Triangulo ABC, habens a gulum a s c aequalem angulo D, Quod erat faciendum. Conuersa quoque huius erit eiusnodi,
Sit 3atum Parallelogrammum Aseo, datus vero angulus g. Volo ipsi Aac D Parallelogrammo constituere Triangulti aequale, habens angulu angulo A aequalem
Super punctum c , per vigem tertiam constituo cingulum D C p,aequalem angulo Α Et C s secet Α a protractam in puncto s. Itidem protraho c D, quae est ips Α p parallelus,ad punctum ita ut D c se aequalis ips e t. Ac demum connecto p C. Dico Triangulum c p C esse aequale Asco Patallelogramino.Quum enim,per trigesim octauam,totum C sc Triangulumst duplum cis Trianguli r& per quadrages reprimam, parallelogrammum , sen sit eiusdem c d p Trianguli duplum:erunt Asco parallelogrammum & c v c Triangulum inter se aequalia,Quod erat faciendum.
THEO REMA PROPOsITIO XLIII. Duorum parallelogrammorum circa Dimetientem maia
tori; parallelogrammi conssstentium, Supplementa
Circa Dimetientem consistunt Parallelogramma, I in Dimetiente maioris p rallelogrammi suam habent Dimetientem. Supplementa vero dicuntur quae cum duobus
66쪽
duobus Parallelogrammis maius Parallelogrammum perficiunt sint itaque duo Parallelogramma Aac D N a Fci: quorum etapides quae ase, sint in eodem puncto e se coniunctae ad decusationem,ut utrumque Parallel grammum per medium diuidatur, Di metiente a p : snt ipsis annexa duo Supple menta MAEc es c D cκ, perscientia totum Parallelogrammum n Hsκ. DicoHAEc & e DC κ supplementa eaequalia. Quum enim Dimetiens as bipartito diuidat totum parallelogrammum aras κper trigesimamquartam e erunt duo Triangula asti & BFK aequalia. Quumq; e dem Ap hipartito diuidat Apen Parallelogrammum, erunt 8e duo Triangula B c Α & B c D aequalia. Atque eadem ratione duo Triangula e s Ε & C T ci aequalia. Qtiate ablatis duobus Triangulis ac A&css a toto Triangulo Astit iteram ablatis duobus Triangulis ac D & cFG a toto asκ remanebunt duae superscies B ac & c DCK inter se aequales , Quod erat osten denAum. IN MAc propostione demonstanda,mucturam ab aliis aliquantum variavi: non nouitatis studio, sed ut totum negotium Supplementorum & integri parallelogrammi euidentius exponerem. Vix enim usquam in toto opere Geometrico O currit piguratio magis Geunda quam haec Gnomicat hoc est, quae uno Parallel grammo & Gnoma consatur. Vt hoc Ioco,s Anc D parallelogrammum sumamus, Figura illa sp CD, quae cum Anc D perscit totum pH pK Parallelogrammum, Gnoma seu Cnomon vocatur. si vero sumatur Esca Parallelogrammiam: erit Gnomon Dac vi Figura. Nam h3c Gnomonis explicandi locus est maxime opo
tunus, licet Euclides ad secundum librum distulerit.
Hanc ego Figuram mysticam soleo vocare 1 Ex ea enim , velut ex locupletissimo promptuario, innumerabiles exeunt Demonstrationes Quod cum magna voluptate perspiciet qui in te Ceometrica serio se exercebit. Cui vero magis placebit aliorum eri ructio, is primum stia deliniet AHs x pGrallelogrammum i tum aucat Ε D parallelum inde A C alteram parallelumi atque eam demonstrationem sequatur quam modo tradidimus. Huius Conuersam te instituemus.
mentis totum parallelogrammum constituunt. sic enim ob vocum a nitatem non inepte dici possunt: tum ne sine nomine essent,ium ut facilius caperenturia supple. mentis nominatim distincta. Sit itaque Parallelograminum 1a CD, Cuius duo supplementa a ualia, A v F cide s M D κ duo vero Complementa viscκ & s BFN, quorum Dimetientes c s& p A. Dico ess esse lineam unam, S totius Anem parablelogrammi Dimetientem.
Si enim non sit eiusmodi, erit alia totius Parallelograrami Dimetiens:sitq: ipsa cx B, insta Dimetientes c s & s a ed cta serans e M in puncto L r Et peripium x punctum,3ucatur ML N , per trigesmamprimam propositionem, Us A e parat latus : Sintq: in toto parallelogrammo A B c D,duo SDpplementa AM CL&LHND. Atque hec per Ditectam huius mont inter se aequalia quum snt circa Dimetienteme Lai sed A E s C supplementum positum est aequale Supplemento p H D K. Quum itaque s H D κ maius sit ipso TH DN: erit a x F maius ipso AM CL,
67쪽
pars toro, quo3 est absurdum. Iisdem rationibus probabit
Dimetiens educi non pose supra Dimetientes c p & p A. Quare e F A vna est Dimetiens totius Parallelogrammi,Quod erat probandum.
super data recta linea, dato Triangulo aequale Paralisl grammum constituere, habens angulum angulo
Sit data linea A a , datum* angulum ci et, gatus vero angulus p. Volo su per A s constituere paralles grammum aequale Triangulo C D g,habens anguli; equalem angulo s. Dictet haec a quadrages seetirida quod 1 1e data sit linea, se nulla. pro3uco itaque s A ad punctum r & pono Α aequalem lateri D Ε, Nanguli, dati .Et per vigesinamtertiam, ad punctum A facio angulum ΑΗ aequalem angu Io g 1 Et per secundam,facio AH aequalem lateri E c. Connexaq: G H , erit Diangulum A ci M , per quartam proposito em, xquale Nangulo e Dia dato. Diuido postmodum A G per aequalia in puncto x , per decimam: 5e connecto II K. Et per punctum H , duco H r Parallelum ips s , per trigesima miram. Inde ad pianctum A constituo angulum M aequalem angulo F dato, per vigemamtertiam, ut A M secet H et in puncto M. Tum per punctum ae , guco x N parallelum & aequalem ipsi A M. Et connexa MN , facio Parallelograminum AR M N. Quog, per tritigesmamoctauam & quadragemamptimam, erit aequale Triangulo A ob id Diangulo cog dato. Caeterum duco a LParallelum ipsi L M quam coniungo cum N M protracta, in puncto L. A quo educo Dimetientem 2 A : quam pro/uco donec iungatur cum NK protracta, in puncto s. Et duco p u Parallelu & qqualem ipsi x s.
Ac gemum conta is AR & B Q I, perficio totum parallelogrammum N LI constans quatuor parallesogrammis. Inter quae supplementum A per antecedentem,aequaleest Supplemento A N: b id & Triangulo dato cos. Quare quum linea data An si unum laterum ipsius A n Parallelogrammi 8e angulus Ian st,per decumamquinta, angulo GAL aequusse ob id angulo p gato:conssat totum problema H Ne Campani Aeseriptionem apposuimus vi ipsus Miliciam diligentiam, minime necessariam ostenderemus. Nihil enim opus fuit Triangulo A c M. Tantum fuit constituen3um Parallelogrammum Α κ MN Trianguloie x aequale , habens angulum aequalem angulo s, ex quadragesma ecunda: seut recte hae Theon astru xit: propostiones enim Geometticae aliae alijs praeeunt non vi ipsarum conseructio, sed usus tantum repetatur: ne linearum multitudo intellectum conturbet potius
Sit data linea Α gatumqj parallelogrammum c DEFr datus vero angulus es Volo stipes ΑΒ constituere Triangulum, ipsi cDas parallelogrammo aequale, si
bens angulum aequalem angulo C. Duco cra Dimetientem :ge protracta cn ad Apunctum, pono D N aequalem C D : Et connecto D s. Eritqi Triangulum F,
per quadragesima rimam aequale Parallelogrammo cDrpi quum bas, sit Hupla.
68쪽
ia per directam huius,super Am eonstituo Parallel grammum A n x x , aequale Triangulo C N s , habens angulum ABI. aequalem anguloci dato. Tum protracta B L , pomo', M aequalem p L 1 Ac demum connecto A M. Dico iam Triangulum As M, super As esse constitutum quale voluimus.
Est enim Triangulum Asia aequale Parallelogrammo AaYL, per quassi essim primam : quum snt inter duas parallelos a M & Α κ, st dupla basis angviri. Sed A a x κ,ex eo structione,est aequale Nangulo cesse N c H s mquale DERper ipsam quadragesima primam in are,per animi Notionem, angulum Ap Maequale est parallelogrammo crinas , habens angulum AsM , aequalem angulo cidato,Quod erat ciendum. poterat quoque in haec verba proponi Problema,
Vbi animaduertendum, inter duas parallelos datas Parallelogrammum eonstitu te,non esse dissicilius quam super data recta linea.Nam ubicunque datur linea recta, datur ipsus parallelus interminata intelligo, ad Parallelogrammum constituendum. Hoe volui adijcere, ut Geometriae candidati, Propositiones varie inuentas de enuntiatas conciliare,& ad usum accommodare discant. HANC Nos TRAM poteramus in locum sequentis substituere, quum esset Ioeupletior. Datur enim linea prater id quod sequens ipsa vaccire vigetur, vi quae ex antecedente satis pateretinis forte quod Rectilinea in Triangula resoluere monet. Ob id a nonnullis omissa est,ut a Campano. Eam tamen e loco non mouimus. Nihil enim in praesens de nostro in ordinem redigere constituimus.
p ROBLEMA 13, PROPOSITIO ALV Dato Rectilineo aequale Parallelogrammiam constitu re,habens angulum angulo dato aequalem.
Sit datum Rectilineum Asen, Atitus vero angulus s. Volo ips As D Recti lineo aequale parallelogrammum construere, habens angulum aequalem angulo E. Resoluo A ac D, quum se Quadrilaterum, in Auo Triangula ABD N BCD Ipsim Aa D, per quadragesimamsecundam , constituo aequale Parallel Mammum I CNκ, habens angulum sκti, angulo a aequalem. Et continuata K H in punctum M , ut si angulus o H M , per
vigesim nonam, aequalis angulo κ constituo stipet citi, per antecedentem , Parallelogrammum citi L M, aequale Triangula B c D , habens angulum C M M iam creatum.
Et quoniam linea κ M , ex postia, est linea unae & angulus M N aequalis angulo ς vi H alterno , per primam partem viges nonae: sed ipse M M C eum L C H duobus tectis aequalis, per ultimam partem eiusdem: erit s N angulus cum ipso L c ti , duobus rectis aequalis. Itaque per decimamquartam, s L est linea una Quumq: p & κ Hsnt, per trigesimamtertiam , aequales : itemq: C L & Π M , per eandem, aequales: erit tota s x, roti x M aequalis e & per trigesimamrertiam, s x & LM aequales. Est igitur totum Quadrilaterum s x L M , Parallelogrammum. Quare quum angulus RQ aequalis angulo E e constat Propositio.
69쪽
EY iam Aemonstratis emerget hoc problema,
'a minorim regno cere. sint duae superficies tectilineae & s, quarum maior iit A. Volo scire quantus strieessus ipsus A supra A. Constituo, per quadragemam artam, Parallelogrammum enas, aequale Us , Rectilineo, habens angulum cngs, verbi gratia, rectum. Et protracta C Diu c punctum, iactaq; D aequali ipsi C D r constituo, per quadragesimam a tam , super D ci , parallelogrammum D G H K , aequale ipsi a Rectilineo, habens angulum D c Krectum. Et protraho κ N, donee secet cΕ in puncto L. Dico MLas esse excessum Metilinei, supra Rectilineum A. Ac primum cCκx unum esse parallelogram rnum, clarius est quam quod demonstrari debeat. Quoniam igitur c D & D G , ex postu, sunt et ales & utraque ipsi x L parallelus rerum, per triges msextam, guo Parallelogramma cn & Dκ aequalia. Et quoniam Dκ postum est aequale Us s Rectilineor erit & c es ipsi a Rectilineo, aequale. Quare, quum totum CF parallelogrammum, si aequale ipsi Λ Rectilineost L s excessis ipsus C s supra D κ : erit, per eommunem Notionem, L s excessus , Rectilinei supra es Rectilineum, Quod erat manifestandiani Atrran facilius. Maneat class parallelogrammum aequare Us Α R aisneo. Et protracta e D ad c punctum , constituatur super D u , Parallelogrammum D c H κ ψs 3 Rectilineo aequale: productis* g c & Η Κ , ut concumrant ad x punctum, ducatur per D punctum, Dimetiens LDM, secans DC protractam, in puncto M. Et ducatur MN parali ius ipsi H L, secans a I in puncto N ut sit 14 LMN Parallelo grammum. Dico D s esse exectum Rectilinei A supra s Re tigineum Quum enim N D st aequale a Rectilineo, sintq: D D &D N Supplementa, per quadragesma ratiam, aequalia r erit quoque D N ips a Rectilineo aequale. Quo ablato a c s Parallelogrammo quod postum suit ips aequato remanebit N v excessus A supra a, Quod erat faciendum.
Ex data recta linea Quadratum describere.
sit data linea A a , ex qua se describendum Quadratum. A punctis A 8c a , excito, per undecimam, duas perpendiculares Ae N A ne quarum utranque, per tertiam, facio aequalem ips A s. Fiunt , per vitimam par A tem vigesimo uae, A c & 3 D paralleli. Et connecto e D : quae per trigem tertiam, erit aequalis ¶llelus ipsi h s. Quum iduo anguli Α & s sint recti, erunt & duo oppositi D Ec c recti, per vltimam partem viges nonae r vel, s mauis, per trigesimam quartam. Quare,ex definitione Quadrati,ctit AB c D Quadratum.. Axi TER, Erigatur A c perpendicularis ad Α a : eidem p natur aequalis. Et a puncto e ducatur c D parallelus & aequalis eidem Apr& comnectatur DB i QDae,per trigesimamrertia erit aequalis & parallelus Us he. Quum per ultimam partem vigesmaenonae, omnes anguli sint recti: erit A B c D Quadra
70쪽
AN1MΑmvERTENDUM, veram Quadrati constructionem e Centro, aetaque ob id, e Circulo pendere. In iis enim quae persecta sunt, punctum ubique pri mum est ad quod omnia referuntur. Sic igitur producemus Quadratum, non data linea. , Circuli ncta, educatur guae iiDeae Aa & e ad periphetiam, iacientes angulum qui ad A rectum 1 8c earum utraque prore hatur in puncta D Ee a peripheriae. Ac tum connectantur B C, CG, DE, & Ε s Quum igitur quatuor anguli qui ad A snt recti, per decima intam, de omnes lineae aequales quae illos coreprehendunt,utpote a centro ad periphetiam:erunt,per quintam getrigesma secundam , in quatuor Triangulis integrum parast logrammum componentibus, bini quique anguli, qui ad B , C, D, E, semirecti: unde quatuor integri recti: de per quartam, quatuor bases aequales. Quare se DE Quadratum. Α di Q v s eam ob eauiam praecipuam , tam mystica temper habita est Deeussa tio 1 ea praesertim quae ad rechos sit angulos 8c undique aequalitatem ostenὰiti qum
lis in Q adrato de Circulo eonspicesa es. Nam quod Qualatum facimus ex ductu lineae tectae in seipsam, id lenius iudicio facimus, Artis ductu. Per centrum enim ii neas duci, atque in ambitum, non in laltim incedere par est. punctum quippe illud frecundissimum,lineas infinitas circunquaque procrest.Neque quisquam mihi obijciat, Quadratos Numerosi qui ex ductu lateris in seipsum producuntur. Diauersa est enim Discretorum, ge Continuorum consideratio, quam hic explicandison est locus. Hoc tamen non negri, Artem nobis omni ratione amplectendam
esset quae Naturam sibi soli cognitam,patefacit similitudine ee imitatione.Haec enim quae facit, assabie quidem iaciti sed quo persectius, eo occultius
ANIMADv ERYs etiam, QDadrato quatuor inesse semidiametros, Hexago no sex, octagono octo: Trigono tres, Pentagono quinque, Heptagono septem, Ennagono nouem: Gqi Figuris continenter, pro angulorum numero. De Pe sectis semper intelligo , stilicet de aequilateris Et aequiangulis. Atque in paribus, Diametti terminontur ab angulo per centrum, ad angulum oppostumo ire impatibus autem , impersecta quadam ratione , ab angulo per centrum, ad latus postum. 1n Circulo utrunque inest Diametri enim εt ad latera Ae ad angulos uel intelligunturi quum sit ipse, si huc cogitatio pertingere potest, infinitorum angulorum , 5e infinitorum laterum Quanto igitur plures in Figura suerint se a diametri, ea tanto propius ad Circulum acce3it, tantoqi perfectior. Et tamen quanto pauciores habet, tantra maiorem vitam habere videtur. Trianguli enim usas quam Quadrati frequentior Quadrati rursus quam pentagonii Vt in his rerum humanarum imaginem cernamus. Minorum enim obsequio maiores utuntur. Sed de his alias plura.
sit Qti ratum Α Β c D , euius Diametet a c e snti duo Parallelogrammaasso & auxi seposita, ut latus a s si aequi litans lateri Ac r& latus si s lateri e D 1 itidem latus u κ eide A c aequidi- stans, de x L ipsi Ap :8e Diameter c B protracta, Aiuidat lime duo parallelogramma per medium. Dico agro &3Hκxhse Quadrata. Quoniam enim angulus A est rectus, duoqj anguli Ap c AeA C B , per quintam, aequalest erit horum uterque, per trigesim secundam, se rectus. Quapropter de angulus Ε a s , per vigesimamnonam, i ire