장음표시 사용
231쪽
sed DF est aequalis AC I: ergo , ut AC ad CE, ita Aead ED; permutando igitur , ut BC ad CA, it a CE ad oED. Itaque quoniam ostensum est , ut AB ad BC, ita DC ad CB, ut autem BC ad C A , ita CE ad BD r erit lex aequali, iit B A ad AC , ita CD ad DE . a qui angu-
Iorum igitur triangulorum proportionalia sunt late ra, quae circum aequales angulos, & homologa , sive ejuidem rationis latera sunt. quae aequalibus angulis subtenduntur hod demonstrare oportebat. . Theorema s. Propositio s. Si duo triangula latera proportionalia habeat, aequi angula erunx triangula, ct aqua les habebunt angulos , quibuι homologa latera subten
ABC, DEF, quae Iarera proportionalia habeant, si que, ut AB quidem ad BC, ita DE ad EF , ut autem BO ad C A , i tria EF ad FD . di adhuc ut BA ad AC, ita ED . ad DF. Dico trianguIum ABC triangulo DEF aequia. gulum esse, & aequales habere angulos quibus homo toga latera subtenduntur, angulum quidem ABC angulo DEF, angulum vero BCA angulo EFD , di praeterea angulum BAC angulo EDr. constituatur
enim ad rectam lineam EF, & ad puncta in ipsa EF. ngulo. quidem AIC aequalis angulus FEG ; angulo
232쪽
istitem BC A anguIus EFG. i Quare reliquus BACangulus reliquo EGF est aequalis . Ideisque aequi an gulum est triangulum ABC triangulo EGF; triangulorum igitur ABC, EGF proportionalia sunt latera, quae'm reum aequales angulos, & homologa latera au n quae aequalibus angit lis subtenduntur; s et ergo. ut AB ad BC, ita GE ad EF. sed ut AB ad BC. ita
Quod cum utraque ipsarum DE , EG ad EF eandem proportionem habeat, erit DE ipsi EG aequalis. JEadem ratione , ἰχ DF aequalis FG . Itaque quoniam DE est aequalis FG, communis autem EF; duq DE, EF duabus GE , EF aequales sunt, & basis DF basi FG qualis;angulus igitur DLF est squalis angulo GEF, dc DEF triangulum aequale triangulo GEF, dc reliquianguli reliquis angulis aequales , quibus aequalia Iatera subtenduntiar; ergo angulus quidem DFEest aequalis angulo GFE , angulus vero EDF aequalis angulo EGF Et quoniam angulus FED est aequasi sangulo GEF , & angulus GEF angulo ABC , erit, de angulus ABC angulo FED aequalis. Eadem ratione, Ec angulus ACB aequalis est angulo ME'adhue angulus ad A angulo ad D: ergo ABC triangulum triangulo DEF aequi angulum erit. Si igitur duo tria-gula latera proportionalia habeant,aequi angula eruttriangula , & aequales habebunt angulos, quibus ho- . mologa latera subtenduntur. Quod oportebat demonstrare. Ο Φ Thes s et . primi. et 2 FK anteeedente. VII. quinti
233쪽
Sed DF est aequalis AC I ergo , ut AC ad CE, ita ad ED; permutando igitur . ut BC ad C A. it a CE ad .. ED. Itaque quoniam ostensum est , ut AB ad BC, ita DC ad CE, ut autem BC ad C A , ita CE ad ED : erit ex aequali, ut BA ad AC , ita CD ad DE i aequi angu-Iorum igitur triangulorum proportionalia iunt late ra, quae circum aequales angulos, oc homologa ,sive eiusdem rationis latera sunt. quae aequalibus angulis subtenduntur hod demonstrare oportebat. . Theorema s. Propositio s. Si duo triangula latera proportionalia habeat, aequi angula erunt triangula, ct aqua les habebunt angulos , quibuι homologa latera subten
ABC, DEF, quelarer a proportionalia habeant, si que, ut
ita DE ad CF , ut autem BO ad C Α , ita EF ad FD . & adhuc ut ΒΑ ad AC, ita EDad DF. Pico trianguIum ΑΒ C triangulo DLF aequia. gulum est e, dc aequales habere angulos quibus homo toga latera subtenduntur, angulum quidem ABC angulo DEF, angulum vero BCA angulo EFD , dc praeterea angulum BAC angulo EDr. constituatur enim ad rectani lineam EF, & ad puncta in ipsa EF. - δngulo quidem AIC aequalis angulus E EG ; angula
234쪽
tutem BCA angulus EFG. i Quare reliquus SACangulus reliquo EGF est aequalis . Idebque aequi angulum est triangulum ABC triangulo EGF; triangulorum igitur ABC, EGF proportionalia sunt latera, uuare reum aequales angulos, de homo toga latera
quae aequalibus angulis subtenduntur; s et ergo. ut AB ad BC, ita GE ad EF. Sed ut AB ad BC, ita DE ad EF. ut igitur DE ad EF, ita GE ad EF Quod cum utraque ipsarum DE , EG ad EF eandem proportionem habeat , erit DB ipsi EG aequalis. 9 Eadem ratione , di DF aequalis FG Itaque quoniam DE est aequalis FG, communis autem EF; dus DE, EF duabus GE . EF aequales sunt, di basis DF basi FG qualis;angulus igitur DEF est squalis angulo GEF, dc DEF triangulum aequale triangulo GEF,oc reliquianguli reliquis angulis aequales , quibus aequalia Iatera subtendunt tir; s ergo angulus quidem DFEest aequalis angulo GFE , angulus vero EDF aequalis angulo EGF Et quoniam angulus FEDest aequas is angulo GEF, & angulus GEF angulo ABC , erit, de angulus ABC angulo FED aequalis. Eadem ratione, di angulus ACB aequalis est angvlo ME , de adhue angulas ad A angulo ad D s ergo ABC triangulun triangulo DEF aequi angillum erit. Si igitur duo tria-gula latera proportionalia habeant,aequi angula eruttriangula , & aequales habebunt angulos, quibus homologa latera subtenduntur. Quod oportebat demonii rare. O r et . primi. et 2 FK antecedente. II. quinti
235쪽
T eorema 6. Propositio 6. Si duo triangula unum tum uni aηgulo habeant , circa aequa I auteavulos latera proyortionatia, a quiangula errent tria, ignia , iis agnale; habebant angvlbs sequibus amminis latera subtenduntur.
SInx duo triangula ABC, DEF unum angulum BAC uni ad . t gulo EDF aequale ire . t habEtia, circa aequales autem angulos latera i proportionalia, sitque
ad DF. Dico trianguluABC triangu Io DEF aequiangulum esse, Sc angulum quidem ABC habere aequalem angulo DEF; anguli vero ACB angulo DFE .constituatur enim ad reliam Iineam DF, dc ad puncta in ipsa DF , alterutri angulorum BAC, EDF aequalis angulus FDG,angulo autε
ACB aequalis DFG; si reliquus igitur,qui ad B reliquo , qui ad G est aequalis; ergo triangulum ABC triangulo DGF, aequiangulum est, ae propterea, ut BA ad AC, ita est GD ad DF: a ponitur autem,ti ut BA ad AC, ita ED ad DF. ut igitur ED ad DF, ita
G D ad DF; c 3 quare ED aequalis est ipsi PG, i '
236쪽
& communis DF; ergo duae ED, DF duabus GD, DF aequales sunt,de angulus E DF angulo GDF est aequalis; basis igitur Gest aequalis basi FG , triangulum que DEF aequale triangulo GDF, & relici ut anguli reliquis angulis aequales, alter alteri . quibus aequa- Iiω latera subtenduntur; ergo angulus qui de oDFG est aequalis angulo DFE; angulus vero ad G a gulo ad E.Sed angulus DFG squalis est angulo ACBa, angulus igitur ACB angulo DFE est aequalis:ponbtur autem, di B AC angulus aequalis angulo EDFue erto, di reliquus , qui ad B aequalis reliquo, qui ad Esatqui angulum igitur est triangulum ABC triangulo DEF . . a re si duo triangula unum angula uni angulo qualem habeant , circa aequales autem angulos latera proportionalia equiangula erunt trians
sa , di aequales habebunt angulos, quibus homologa latera subienduntur. Uod ostendere oportebat. is 4. primi.
Theorema 7. Propositis T. Si duo trianguia unum ang.-ιum uni angulo aqualem habeant, circa alios autem amulos latera proportionalia , Θ reliquorum urrismis quesimul, vet minore,uel non manorem rem,a uiam-
SInt duo triangula ABC,DEF,unum angulum unia uis aequalem habentia , videliset angulum, si angulo LM arqualem, circa alios autem an Su- Ios
237쪽
Euidis Elem. I ABC, DEF latera pro portionalia , ut fit DE ad
EF. sicut AB ad BC: dc reli- 'quorum qui ad C F, prima utrumque simul minorem recto. Dico triangulu ABC triangulo DEF aequi angulum esse , anguluque ABC aequalem angulo DEF , &reliquum videlicet qui ad C reliquo qui ad F aequale. Si enim inaequalis est angulus ABC angulo DEF, unus ipsorum maior erit. Sit maior ABC: & constituatur ad rectam lineam AB, &ad punctum in ipsa B angulo DEF aequalis angulus ABG. a 2 Et quoniaangulus quidem A est aequalis angulo D, angulus vero ABG angulo DEF, erit reliquus AGB reliquo DFE aequalis; aequiangulum igitur est ABG triangulum triangulo DEF ; quare, ut AB ad BG , se DE ad
ut igitur AB ad BC, sic AB ad BG . Quod cum AB ad utramque BC, BG eandem habeat proportionem,erit BC ipsi BG aequalis r ae propterea angulus ad Cest aequalis angulo BGC, Ο minor autem recto ponitur angulus, qui ad C; ergo,& BGC minor est re ob id qui ei deinceps est AGB maior recto; sν at ille ostensu est angulus AGB aequalis angulo, qui ad Fi angulus igitur, qui ad F recto major est atqui
238쪽
ponitur minor fee o, quod est absurdum ; non igitur iinaequalis est angulus ABC angulo DEF; ergo ipsi est aequalis est autem λ angulus ad A aequalis et , qui ad D, quare, dc reliquus i qui ad C aequalis reliquo, qui ad F; aequi angulum igitur est ABC triangu . Ium triangulo DEF . sed rursus ponatur uterque angulorum, qui ad C F non minor recto. Dico rursus deῖ e. tii angulum ABC triangulo DEF aequi angulum esse. Iisdem enim construdis similiter demonstrabi mus BC aequalem ipsi BG, angulumqtie ad C angulo BGC aequalem a sed angulus qui ad C non est mino erecto , non minor igitur recto est BG C; quare trianguli BGC duo anguli non sunt duobus rectis minoia
res , quod fieri non potest; 6 non igitur rursus
inaequalis est ABC angulus angulo DEF ; ergo aequa- . is necessario erit; est autem, de qui ad A aequalis ei. qui ad D ; resiquus igitur, qui ad C reliquo, qui a a F est aequalis ; ae proptere, triangulum ABC triangulo DEF aequi angulum est . Si igitur duo triangula
unum angulum uni angulo aequalem habeant, circa alios autem angulos latera proportiona Iia , dc reliquorum utrumque simul, ves minorem, vel non minorem rector aequi angula erunt triangula , dc aequa.des habebunt angulos, circa quos proportionalia sutiatera, inod oportebat demonstrare.
239쪽
Theorema Proposito S. Si in triangula rectangulo ab anpulo recta ad basim perpendicular33 ducatur; qua ad
perpendicularem sunt triangula toti , ct interse similia sunt. SIt triangulum rectanguliim ABC. rectum habens angulum BAC, di a puncto A ad BC perpendicularis ducatur A D. Dico triangula ABD, ADC toti triagulo ABC , di inter se simi. Ita est e. inoniam enim angu ius BAC est aeqvalis angulo ADB, enim ute que est, dc angulus, qui ad B communis duobus tria-gulis ABC , Avo erit reliquus ACB reliquo BAD aequalis; aequiangulum igitur es h trianguluna ABCfriangulo ABD; quare , ut BC, quae subtendit angulum rectum trianguli ABC ad BA subtendentem amgulum rectum trianguli ABD, si e ipsa AB subtendes angulum qui ad C trianguli ABC, ad BD subtendetistem angulum aequalem angulo qui ad C , videlicti BAD ipsius ABD trianguli: dc adhuc AC ad AD su tendentem angulum qui ad B, communem duobus triangulis ; ergo triangulum ABC triangulo ABD aequiangulum est , & circa aequales angulos latera
habet proportionalia: x Simile igitur est triantulum ABC triangulo ABD. ca Eadem ratione d
240쪽
Liber sextus. IIImonstrabimus etia ADC triangulum triangulo ABC simile esse. Quare utrumque ipsorum ABD, ADC t ti ABC triangulo est simile. Diso insuper triangula taABD, ADC etiam inter se similia esse. Quoniania, enim angulus BD A rectus . est aequalis recto AD C. sed , & B AD osten Sis est aequalis et , qui ad C , erit reliquus qui ad B reliquo D AC aequalis ; aeqitianguis tum igitur est triangulum ABD triangulo ADC ; ergo, ut BD trianguli ABD subtendens BAD angulu, ad D A trianguli ADC subtendentem angulum , qui ad C, aequalem angulo BAD, sic ipsa AD trianguli A BD subtendens angulum, qui ad B,ad DC subtendentem angulum D AC ei, qui ad B, aequalem: Madhue BR ad AC subtendentem angulum rectum ADC . Simile igitur est ΑΒ D triangulum itiangulo AD C. Quare si in triangulo rectangulo ab angulo recto ad basim perpendicularis ducatur, quae ad petapendicularem sunt triangula, & toti, & inter se, similia sunt. c d oportebat demonstrare.
Ex hoe ma nifestum est, si in triangulo rectangulo ab angulo recto ad basim perpendicularis ducatur; ductam basis paritum medianae proportionalein esse, oc adhuc basis, uniuscujusque partium latus,quod ad partem, medium esse proportionale . Quod demonstrare oportebat. Pea.