장음표시 사용
71쪽
3a Eue idis Elem. gulo ipsi D aequali. Costituatur triangulo C aequale parallelogrammum BEFG, in angulo LBG , i) qui est aequalis D, dc ponatur BE in directum ipsi AB, producaturq; FG , ad He & per A alterutri ipsarum 2G, EF parallela ducatur AH, a ) & ΗΒ iungam r.
oniam igitur in parallelas AH, EF recta linea H F incidit, anguli AH F. ΗFE duobus rectis aequale S . sunt 3 9 inare B HG, GFE duobus rectis sunt natis nores, quae vero a minoribus, quam sint duo recti, in . infinitum producuntur , conveniunt inter se. Ergo HB, FE produci e convenient. prodii cantur 1 reconveniant in K; perque Κ alterutri ipsarum EA, FH parallela ducatur KL, s & HA, GB ad L, Μ piincta producan rur. para telo graminum igitur est HLKF, cujus diameter HX, de circa ΗΚ parallelogramma quidem sunt AG , ΜΕ; ea vero, quae supplementa dicuntur, LB, BF: ergo LB ipsi BF est aequale 6 Sed, S: BE aequale ei triangulo C. quare , dc LB trir angulo C aequale erit . Et quoniam G BE angulus,
aequalia est angulo ABM, sed di aequalis angulo
72쪽
Liber Primu3. s D, eth & angulus AEM angulo D aequalis. Addatam igitur rectam lineam AB , dato triangulo Caequale parallelogrammum constitutum est L R. in angulo ABΜ, qui est aequalis angulo P. Qu'd facς.
siluere in angulo ipsi E aequali , eonjungatur enim DB, & constituatur tri gulo ADB aequale parallelogrammum FH,an angulo HKF. Iὶ qui est aequalis angulo E. deinde ad rectam lineam GH applicetur triangulo DBC aequale parallelogrammum GΜ, in angulo GHM. a qui angulo E est aequalis . Et quoniam angulus E aequalis est utriq; ipsorum ΗΚF , GHΜ, erit, de ΗΚF angulo GΗΜ aequalis ue communis apponatur KHG. anguli igitur FKM, XHG an
73쪽
duobus tectis aliquam ctam lineam GH, dc ad datum in ea punctum H,duae
I ctis quales effici Eri II in directu igitur es
' RHM quoniam in paralle las KM , FL recta linea HG ineidit , alterni anguia ΜΗS,ΗGF aequales lant. Communis appis natur HGL . anguli igitur ΜHG , HGL angulis HGF, HGL sunt aequales . At anguli MΗG, HGL aequales sunt duobus rectis 6 ὶ Quare , dc anguli HGF, ΗGL duobus rectis aequales erunt In directum igitur est FG ipsi GL. Et quoniam EF ipsi HG, ω aequalis est, & parallela; sed , de HS ipsi ΜL; erit
coniungunt rectae lineae EM, FL. Ergo, ac ΚΜ,FLaequales, dc parallelae sunt. 8 Parallelogrammunia, igitur est KFLM , Qusd eum triangulum quidem ABD aequale sit parallelogrammo ΗFr triangulum a vero DBC parallelogrammo GH; erit totum ABCD sectilineum toti parallelogrammo KFLΜ aequale. Dato igitur rectilineo ABCD aequale parallesogram. mum constitutum est ΚFLM in angulo FΚΜ,qui est aequalis angulo E dato. -d sacere oportebat.
74쪽
tet ab ipsa AB quadratum dea scribere. Ducatur rectae lineae ABa puncto in ea dato A ad rectos angulos AC ι & ipsi Aeaequalis ponatur Amperque puοῦ - ctum D ducatur DE ipsi ABparallela , dc per B ipsi AD parai tela dueatur M. parallelogram in Iarum igitur est ADER& AB quidem est aequalis DE, AD vero ipsi BE: Sed,& BA ipsi AD est aequalis; qua- . tuor igitur BA , AD , DE, EB inter se aequales sunt, ideoque aequilaterum est ADEB parallelogrammum. Dico etiam rectangulum esse. Goniam enim in pa-xallelas AB. DE tecta linea incidit AD, anguli BAD, ADE duobus rectis sunt aequales. cx Rebus aurem est FAD. Ergo , & ADE rectus erit. parallelogrammorum ver. spatiorum, quae ex opposito sunt latera.
M anguli inter se aequalia sunt ca Rectus igitur
xst uterq; oppositorum ABE , BED angulorum : , ob id rectangulum est ADEB. Ostensum autem est aequi- laterum esse. madratum igitur sit necesse est, atq; est a recta linea AB descriptum, quod ipsum facere
75쪽
Theorema 33. Propositio In rectanguIis eriantulis. quod a latere rectum angulum subtendente describis tur quadratum,aruale est quadratis , qua 4 laterιbus rectum angulum continentibus describuatur. Sit iri ngulum rectan guluin ABC , rectum habens BAC anguli in . Dico quadratu descriptum a recta BC aequale iesse quadratis, que ab ip- lsis AB , AC de cribu rur. . iDei cribatur enim a BC
quide quadratu BDEC , ab ipsis vero BA , AC
quad. ata GB, H C, per t. A alterutri ipsarum BD, CE parallela ducatur : AL;&AD, FC iungantur. Quoniam igitur uterque angulorum BAC , B G rectus est , ad aliquam re . :cta in lineam BA , & .ad datum in ea punctum tAduae rectae lineae AC , AG non ad ea dem paria lites positae, angulos qui deinceps sunt duobus Iectis aequales eisiciunt, In directum igitur est C A ipsi AG. st i γ Eadem ratione, & A. B ipli AH est in directum. Et quoniam angulus DBC est aqualis angulo FBA, rectus . n. uterqua est,& communis qpponatur ABC e totus igitur DB A angulus toti FB C est aequalis. Quod cum duae AB, BD duabus EB, BC aequales sint, altera
76쪽
Li ν Prἰmus. s alteri. 3c angulus DBA aequalis angulo AC; erit, &basis AD basi FC aequalis,& ΑBD triangulum trian , gulo FBC aequale a ) estque trianguli quidem ABDduplum BL parallelograminum basim .n, eande εhabent BD, & in eisdem BD, AL sunt parallelis 3 trianguli vero FBC duplum est GB quadratum ἱ Iur Ius enim basim habent eandem FB, Se in eisdem sunt , parallelis EB , GC. Quae autem aequalium dupla, inter se aequalia sunt. Ergo aequale est parallelogram mum B Lipsi GB quadrato.Similiter junctis AE, BK, oriendetur etiam CL parallelogrammum aequale quadrato HC . Totum igitur BDC quadratum duobus quadratis GB, BC est aequale . Et describitutquide in BDEC quadratum 1 recta linea BC; qua arata vero GB,HC ab ipsis UA, AC. quadratu igitur BE, a latere BC descriptum aequale est quadratis , quae
desci ibuntur a lateribus BA, A C. Ergo in rectangit ιι sJriangulas , quod describitur a latere Iectum angulum subtendente, aequale est quadrati ε, quae a lateribus rcctum angulum continentibus describuntur. Quod oportebat demonstrare.
Υ,eorema 34. Propositio 8. Si quadratum, a d dast mbitur ab uno laterum trianguti aquale sit quadratia m. qua a relι quis trianali lateribua describontur; ano -ιus retiyuar duobus trι a Iuti later. bus contentus rebus
Rianguli enim ABC, quod ab uno latere BC ac, cIiditur quadratum, aequale sit quadraris ;
77쪽
Eueliais Elam, uae a reliquis trianguli lateribus f A, AC destris
buntur. Dico angulum BAC rectum esse. Ducatur. n.
a puncto A ipsi AC ad rectos angulos AD , 3 po- iraturque AD ipsi aequalis,& DC jungatur. Quo niam igitur DA est aequalis AB, erit , di quadratum,mod dei cribitur ex DA , aequale quadrato , quod eaen As , commune apponatur quadratum , quod ex AC. ergo qua drata , qu ex DA , AC aequalia sunt quadratis , quae ex BA, AC describuntur. Sed quadratis qu idem, quae ex DA, AC, aequat L est , quod ex DC quadratum; Ie-C ctus. n. angulus est D AC : quadratis vero , quae ex BA, AC aequale ponitur quadra Um , quod ex BC . quadratum igitur , quod ea DC aequale est ei, quod ex BC quadrato. Ergo , & latus DC lateri CB est aequale. Et quon fani DA est aequalis AB. Communis autem AC, duae DA, AC duabus BA,
AC aequales sunr, de basis DC est aequalis basi Cn. angulus igitur DAC angulo BAC est aequalis
Rectus autem est D AC. ergo, & BA rectus erit. Si igitur quadratum , qtiod describitur ab uno laterum trian guti, aequale sit quadratis. quae a reliquis triau-guli lateribus deuribuntur, angulus reliquis duobus trianguli lateribus contentus rectus erit. Q doportebar demolistrare.
78쪽
a. δ' Mne parallelograminum rectanguIunx eo..tineri dieitur duabus rectis lineis ctum angulum constituunt. a. omnis parallelogrammi spatii unumquodque eorum, quae circa diametrum ipsius sunt, parallein logram morum , eum duobus lapplementis Ga
mon vocetur-Tbeorema I. Proposipis I. sistat dua resa tinea , altera i autem ipsarum secta fuerit in quotcumque parier, rectangatum duabus resis lineis eontentum aquale seir rectangulis , qua recta linea infecta , re singusto
Sint duae rectae lineae A, BC; & secta si BC uteu que in punctis D,E. dico rectangulum rectis
79쪽
neis A, BC eontentum aequale esse rectangulo, quod continetur A, BD, & Iectangulo, quod A, DE . & ei. - in quod A, EC continςtur . Ducatur . n. a puncto B, ipsi BC ad rectos angulos BF: r atque ipsi A ponatur aequalis
ipsi BC parallela ducatur GH: 3 per D. E,C vero duis cantur DK, EL,CH parallelae ipsi BG rectangulum igitur ΣΗ est aequaIe rectangulis ΒΚ , DL , ΕΗ: atque est
BH quidem,quod A, B C eontinetur , etenim conistinetur GB, BC; B: BG ipsi A est aequalis; rectangulum autem ΒΚ, est quod continetur ipss A,BD; continetur .n. GB, BD, quarum GBest aequalis Ar de ro sangulum DL, est quod eontinerur A, DE, quoniam tri . hoe est BG ips A est equalis ; dc similiter recta-gulum E Η, est quod A, EC continetur, xrgo rectan- gulum contentum A , BC est aequale rectangulo contento A, BD, dc contento A , DE , dc adhuc contento A, EC. Si igitur sint ditae rectae lineae , alter autem ipsarum secta fuerit in qtiouumque partes ;Iect angulum duabus rectis lineis contentum est equale eis, quae recta liuea insecta, δι singulis partibus continentur. Mod oportebat demonstIaIe. Theo-
80쪽
sit utcumque in puncto C dico rectangulum , quod AB, BC continetur , una cum contento BA, AC aequale esse quadrato, quod fit ex AD. describatur.n. ex AB quadra
BE parallela CF a aequale igitur est ΑΕ rectan
gulis AF, CE atque est . AE quidem quadratum, quod ex AB; AF vero rectangulum contentum BA . AC; etenim DA, AC eontinetur, quarum AD ipsi A 8 est aequalis, & rectangulum CE continetur AB BC cum BE sit aequalis AB. ergo rectangulum BACuna cum rectangulo ABC aequale est quadrato eκAB. Si igitur recta linea utcumque secta fiterit , rectangula , quae tota, 6c sing tilis partibus continetur, aequalia sunt ei, quod a tota fit, quadrato , Inonstrare oportebat.