장음표시 사용
31쪽
Evidentius ita demonstratur,v.g. de angulo AERC. Ex angulo dicto BC ducaturper totum circuliplanum neterBED.Excenιro veri 'r. Eadciseu ferentia ABCD A ducantur dua radii EAer EC. Dico angulos partiales t BD
ea aequalis angulus D per L hujus. Ergo etiam angulus DEC ad amulum DSCen duplin. χmai turpariesamuis AEC adpartes anguli ABCfiunt duplae: id oetiam totus AEC ad ιorum ABC HIdmpl-: ac proinde angulus ABCadangulu-AEC, se reconsequens e iam adanum i DC tanquam ad mensuram a uis EC in βλ plin. Idem judicium eis de cateris. Si ergo Tria umplanum circulos inscriptum, anguli adcircumferensi-anostra in subdapsi: quod demonstrandum erat. Hine I. Si latus Trianguli plani circulo inscripti sit diam ter angulus illi oppositus est rectus: hocem yograiaum . qu peuposus micirculo, quieis ID. Visuum. II. Si plura Triangula plana eidem circuli flamento ad eandem basin inlatibantur, sunt in fastigiis aequiangula. H
32쪽
Trianguia duo ABDACD inscripta eidem circuli Igmento ABCD ad eandem basin
gulo ACD, quam angulo ABD, opponitur eadem riuumferentia AD. LIV. Si duo Triangula plana eidem circuli segmento ad eandem basin inscripta, superne connectantur: sic ut inde; existat figura quadrilatera, diagoniis interfecta: Rectangulum diagoniorum est aequale rectangulis oppositorum laterum simul sumtis. Ptolomam, Copernic-.. DECLARATIO: Aut iso triangula ABD ct ACD eidem eire si figmento super eandem bis AD inscripta, osopcoeperrectam BCconnexa: ut exisat indemina quadrilatera ABCD. Dico rectangulum diagoniorum AC es BD aequale esse rectarium oppesti ο-rum caterum AB se . nem BC usumiis. DEMONSTRATIO. Si enim adpunctum B constituas angulum BE aquas m angulo DBC: or ita diagonium AC perrectam BEseces in duas partes adpunctum E: manifestam flet , rectangula PD 9EC. Item BD se AE ess aequalia rectangulis BCor AD.Item CD o AB. Namsi quatuorrebia sin roportionales, rectangulum mediarum
aquatur recitangulo extri marum, per a. hum
33쪽
I rianoula ABD o BCE, stat aquiangula propter ἁ3uases BCA BD erc.a praecedentu. Itim propter aequales BD est E FC qui sunt aquales propter eundem EBD ad ditum ad aquales ABEd DBC ct denuproptera- quales BECOBAD per c. . 49. hujus deo latera eorumsum,Vt, BD ad DA it BCadcE. SL- mititerquatuorrecta BD, DC, BA, ct E sunt profortionales. Nam, quia Triangula BDCO FAEsunt aequiangula, propter aquales BDC OBAE,perc. a.pracedentis: Item propter aequales DBC Eri BE ex thesi. st deniquepropter aequales BCD o BEApere. μήν hujus.Ideo latera eorum Funt, i BD ad DA Ia BA ad. E. Ergo rectangulum rectarum DA ct EC aequatur rectangulo recta jam BD ct CE.Similiterque rectangulum recitarum DC ct BA aqua- turrectangulo rediarum BD se E. Et contra , Mingula BD se CE, Item BD ct E aequatur rectangulis D A es BC, item D C. qui,rectangula BDOCE: Dcm BD 9 AEsuni rectangulum BD ct i mper ι. hujuου. Ergo Re angulum diaganiorum BD cs eis aequale rectangu- Iis laterum binorum opposiorum DA O , C: Item - ον BAsmus sumtis: quoddemonstrandum erat. Consectarium. Igitur in figura quadi ilatera, circuloinscripta,& diagoniis
34쪽
LIBER PRIMUS. interfecta atque adeo sex lineis rectis constante: datis quinque quibuscunque, datur sexta. Exempla illustrissima habebis libro secundo, prop.32.33. Hactenm de Triangulis pianis: sequitur destiaritiae. LV. Trianguli sphaerici latera sunt arcus circulorum maximorum sigi Ilatim semicirculo minores. LV . , circulus sphaerae maximus est, qui totam sphaeram in duo hemisphaeria dividit: adeoque a polis suis undiq; per quadrantem circuli itidem maximi distat. LVII. Si maximus sphaerae circulus per maximi polas
transeat, recte eum secat; &contra. Sit maximus s=merae ct
ximum recte sicuad Ese F. Polo enim E vel F describatur circulus ἔ-tidem mcximus ABCD: manifestum eis halus ameus t B, EC, CD, DA, fore mensuras anquArum
LV H. Mensura anguli sphaerici, si in circulo maximo ac Cipiatur, est arcus circuli maximi ex angulari puncto
35쪽
- TRIGONO METRIAE descripti, inter crura quadrante tenus continuata linteme-ptias: per I. Erue o. hujus. Vt,a-euiss=haerici BAC mensura non eis arcus BC,sed araeus inter crura AB AC suadrantelenus, Nempe .iue ad E se F continuata
BC, sed arcus EF eis ex an gulari puncto A descriptus, per 3 σ. hujuι. Ergo arcus BC anguli BAC mensera esse M votest, per γ. 60-. LIX. Si anguli sphan ici crura continuata Concurram, semicirculos efficiunt. & comprehendunt angulum angulo praedicto & opposito aequalem: Vt, Anguli BACerura AB cst AC continuata in D tificiumsemicirculos ABDACD, ct comprehendant angulum BDC angulo BAC aequalem: quia idem arcus GHurrum, illam angulum metitur, per proxime praecedentem. LX. Triangulum sphaericum quodlibet ex quovis angulari puncto, habet oppositum sibi Triangulum aliud, cmus basis
36쪽
LIου ER PRIMUS. 2Ibasis est eadem,&angulus basi oppositus eliquae partes sunt partium prioris I rianguli complementa. expuncto a Tutin AE, Oabeto post:um sibi Triangulum BDC, culineadem eis bases BC, sanguius basi oppositin BDC per proxime ani cedentem. Latera vero BD cst CD sunt laterum se i C com-psementa ad semicirculum per eandem. nguli denique DBC ct DCBsunt angulorum BCO BCA ad fractos comptimenta ,per
LXI. Trianguli sphaerici latera in angulos, & contra,' permutari possunt: complementis ad semiCirculum pro latere & angulo maximo hinc inde sumtis. Sit Triangulumsthariai eum ABC obtusingulum ad B. Angulit messura toE. vis Baeutisutiomplementu-HI B obtusi, o indato Triangulo maximo mensurasit FG. uis Cmenserasim serrui DE aquatur :quis or LEI-Quadranteri se commune eorum complementa, ea LD. Arcui FG aquatur LM:quia LG semsunt quadrantes, se commune
go angulis Trianguli ABC aquantur latera Trianguli ULM: pra avgulo maximo ABC: eius complemento G assumto. Pari ratione demonstraripotens, tangiari BClatera esse qualia anguias viam guli M. Latinexum AC aquatur arcui DImen aera anguli Draco plementiobtusi MKL. Latus AB aquatur arcui OPmensura anguli MLM Laius denique BC aquatur arcui in mens angis LMnD Sunt
37쪽
16 TUCON METRIAE Junt enim quadrantes Dorci, Po OR, BFesem. Et eam mania binorum complementa CD, tam, in Trianguli igiturθhariari titera in angulos, oci permutaripossunt, quod demonstrandum
LXII. Triangulum sphaericum rectangulum aut unum habet rectum, aut plures uno. LXIII. Unum rectum, vel cum duobus acutis, Ut, BAC. vel cum duobus obtusis, Ut, BDC: vel cum obtuso &acutin,
AEngulosenim ad Er D nune .m- renos: LXI v. Triangulum sphaericum rectangulum cum dilo. Bus acutis habet ex angulo recto oppositum sibi Toangulum re ngulum cum duobus obtusis :-contra: n rudere eis in Triangulis rectangulis BACOBDC. LX v. Trianguli sphaerici rectanguli cum duobus acutiet latera singula sunt quadrantibus minora. in LXVI.. Trianguli sphaerici rectanguli cum duobus obtusis latera duo sunt quadrantibus mMorae tertium quadrante minus, Ut in BDC. LX VII. Triangulo sphaerico rectangui, cum acuto obtuse opponitur ex acuto Triangulum rectangulum cum duobus acutis. Vt Triangulo rectan CDE, eam acuto Em, sese obis
38쪽
LXVllI. Trianguli siphaerici plures rectos habentis, la-
. tera rectos subtendentia, sunt quadrantes. causa est: quia m. g. in Triangulo circub maximit G ct i H .secem niaximum GH, angulis ad G or H.rectis, inpoli maximι GH, per. 7. him . t G vero se sent quadranια, per chuseM. MVergo anpulvi ad etiam sit rectuσ. etiam GH, ea quadrans, pers8.6T U. hujus. LXlX. Triangulum sphaeticum plures rectos habens habet tres vel duos rectos: adeoque de lateribus, tres vel duos quadrantes.nsi angulum ad ponas rectum, Triangulumstha ricum AGH, habebit tres rectos anguos ad A, G se reo idcirco etiam tria latera, AG, GH, H quadrantes. Sin eundem ad Apo ου acutum,
Triangulum stharicum AGH,habebis duos rectos,adG or 'o ideiri
. co etiam duo latera AGO AH,quadrantes.
LXX. Si trianguli sphaerici duos rectos habentis tertius angulus sit acutus, tertium latus est quadrante minus: sin o ausus, majus. νι in Triangulo Pharico HGI. acutangulo ad G, te rium latus HI, ea quadrante minus. Inniaetuostharico AGI, A tWangulo ad G, tertium latus A eis quadrante maμου. LXXI. Triangulum sphaericum obliquamlum aut con- sat ex puris acutis vel obtusis eaut ex his utrisq; mixtis.
39쪽
LXXIV . Trian lisphaerici cuiuscunq; tres anguli sunt
De Tnari uliaricisplures uno rectos velabisses osvesos sive mixtos,habentibin,respers est manifesta .
De Triangulustiarim duorum vestrium acutorum ..isa demam
Mutangulo id Act B, memsura aeuti BAC eis arcus EF: mensura vero acuti ABC vel DBE non eis arcus DE HI persiavujus. Atqui arcus οὐ DE quadrante complent. Ergo arcus Eper ΗLeonium ritim quadrantosnmmais es
Et per consiquem uia angis his arcubus restondentes nempe, anguli BAC se ABC.
coniunmm quadrante hoc eis angulo rectosum maiorent vero effrectus,exthsiam in niangulostharico duorum aemiorum CBrres sunt anguis duobus recitamciores. In
40쪽
LIRER PRIMvs. re Triangulos anco mere acutangulo KLM mensura acuti ad Linarem Noe mensura acuti ad x eis arcus VX, mensura acuti ad CueBarcus R. Atquihi ire arcu NO, ,er αRMmulsumti Δοί- quadrantibuου sunt maio=es.. Duorum enim arcuum o Vacompi menta V or sumta sunt minora
quam arcus No perfrumeturam. . Ergoarcus mensura tertii anguli eis maior quam complementa reliquorum duorum angulorum simulsumta. Et per consequens etiam angulus tertius eis maior,quam pro reliquorum duorum complemenIi deoque etiam im Triangulis stliaricis mere acut angulis, tressunt duobus rectis maiores.. Subtiliorem demonstrationem vide apud RG nomora. p. 3.