Elementa geometriae planae ac solidae, quibus accedunt selecta ex Archimede theoremata. Auctore Andrea Tacquet Societatis Jesu, sacerdote, & matheseos professore. In hac nova editione inserta est Trigonometria plana ejusdem auctoris, & sphaerica aliu

31쪽

et, Elementorum Geometria

flent , si fieri potest, magnitudines ex punctis. cim

ca idem centrum descripta intelligantur quotcunque circumferentia circulares, ct ponatur extima, seu maxima componi ex centies mille punctis , a quibus singulis ad centrum commune d um inimgantur recta linea. Ex axiomate iam explicato certum es , rectas illas nusquam commisceri, nisi in centro solo. uua- νε dum omnes medias peripherias pertranseunt, in iis aque multa designant puncta, ac erant in extima. Omnes igitur circum ferentia concentrica aeque multis punctis constant, ac proinde omnes inter se aquales erunt . Atque ita circumferentia hac in charta descripta aqualis probabitur circumferentia firmamenti . Aliis prope innumeris demonstrati

nibus hic error obruitur , sed unam illam hoc loco attuli pra cateris , quod pas fit decantata , oe ex praesenti axiomate immediate pem

deat.

Propositionum alia faciendum aliquid propo--nt , ct vocantur Problemata ; alia in sola comremplatione sistunt, qua idcirco Theoremata imscribuntur.

PROPOSITIONES.

CItationes requista reperiuntur ad marginem ἰCum citantW propositiones , primus num rus designat propositionem, littera s L cum numero sequenti librum denotat: ut si occureat pers, i, 3. ) ita leges per propositionem quintam libri tertii . Figura quaerenda semper est inter siguras ejus libri , in quo tum versamur: citationes reliqua facile intelligentur. Traduntur hoc libro assectiones prima πων

32쪽

Liber Primus P r 3 ulorum , di parallelogrammorum. Propositiones i Iustriores sunt 32. 3 3. 3 7. I. 66- 63- 47,

rum constituere.

Centro A intervallo A B a describatur circu- a Per Ius B C F, & centro B intervallo eodem B Α deseribatur circulus Λ C L priorem secans in pumcto C , ex quo ducantur rectae C Α, C B. . Dico, triangulum A C B factum esse aequitaterum. Nam recta AC est b aequalis rectae AB, b per eum sint ejusdem circuli F C B semidiametri ;& recta B C etiam aequalis est eidem rectar B Λ, cum ambae sint semidiametri circuli L C Λ. Er- eo AC, B C e sunt aequales inter se; ac proin- . per de omnia latera trianguli sunt aequaIia . Ergo io. triangulum d Λ C B ct aequilaterum est, & sin a p., per data recta Λ B constitutum , quod erat La. de Metendum.

aqualem ponere. Accipe circino a intervallum EF, & transser a potat ex Λ in D, erit recta Λ D par datae EF.

33쪽

i Elementorum Geometria

s h. i. T PG, duabus rectis in aqualibus , de majore

ώPostuI. Aecipe circino b intervallum minoris datae E F, & transfer in majorem ex G in I.

Fig. as. I duorum triangulorum - latus unum

teribus facti etiam sint aequales, aquabuntur etiam

Iateribus aqualibus opponuntur. Nam si intelligamus, triangulum Z triangulo X. per a. siiperponi, latera L F, LI perfecte congruent a 3 ο- aequalibus lateribus Α Β , Λ C , sic ut puncta tria L, F, I , cadant super tria puncta A, B, C, ergo tum etiam balis F I tota cadet supra totam basim . B C : sed & anguli F, B, itemque Ι, C, totaque triangula sibi mutuo tunc congruent. Omnia igitur Per 7. ax. aequalia sunt. Quod erat demonstrandum. Scholium. Fig. as. Imili fere ratiocinio theorema sequens, cujus mox erit usus, licebit demonstrare. Si duorum triangulorum X, Z, latera B C , F Iaequalia fuerint , ct anguli illis lateribus aina centes, nimirum B, ct C, ipsis F , ct I fuerint α'ales, omnia reliqua , ct triangula ipsa aequa

tia erunt.

Si latus F Ι imponas lateri sibi Muasi B C, illi

34쪽

Liber Primus . I 3b congruet. Tum vero ob qualitatem angulorum ι phiri B, ct C etiam c F L eadrasupra B A, ct IL axio. s. supra CA. Ergo etiam punctum, L, incidet in pun- Libya fium A; si enim caderet extra A, latera FL, IL, non inciderent in latera BA, C A. Ergo omnia

sunt per axioma p. qualia is ' ι.

Intelliganir trianguIum ABC bis politum , sed situ converso e b a . Quoniam igitur in duobus triangulis ABC, ex hypothesi aequa est latus Λ B Iateri e b, & latus C B lateri ab ,& angulus B angulo b; etiam vir ad basim angulus q Per ε. A angulo e aequalis erit. Quod erat demonstram δ' dum, iidem enim sunt anguli C , & c.

--- Corollarium.

R i uuilaterum ergo. triangulum , etiam O a-αI '. qui angulum est.

iis opposita qualia erunt Intelligatur triangulum ABC bis positum ,ed situ converso e , a. Quoniam igitur in duo- triangulis Α Β C, e b a aequatur latus unum buni lateri e a, & angulus A angulo c, & an gηι is C angulo as etiam reliqua omnia o erunt

35쪽

a Per a. xio. T. Fig. 21 ε Per s. I. Iae Per s. I. I.

t 6 Elementorum Geometriae aequalia, ac proinde latus A B aequabItur laterieb. Quod erat demonstrandum, eaedem enim sunt lineae C B, & eb. Corollarium. τ' uuiangulum ergo triangulum, etiam aquila-

monstrabitur.

PROPOSITIO VIII. SI duo triangula habuerint omnia latera Himutuo aqualia AC ipsi EF; C B ipsi F I;

AB Vs EI; etiam angulos omnes aqualibus lateribus oppositos habebunt aquales C io F A

Ponatur enim latus A B supra sibi aequale E I. Tum vero punctum C vel incidet in punctum F, vel non. Si incidat in F, tota triangula congrinent, ac proinde omnes anguli a aequales erunt.

Si C eadat extra F, ducatur FC. Quoniam per hypothesim latera E F, A C sequantur, erit b angulus EFC par angulo ECF. ergo I F C major erit, quam ECF. ergo IFC multo major erit , quam ICF. Rursum, quia per hypothesim I F , BC aequantur, erit IFC e par I F. Ergo IF CR multo major est, quam ICF, & aequalis, quod est impossibile. Ergo C non cadit extra F. Ergo &c. Plures casus, quos hoc theorema admittit, con' fulto pratermisi, ne tyrones fatigarem . Neque ve ro di culter eorum demonseratio ex demonstrarionotam posta elicietur.

36쪽

tiber primus ΡROPOSITIO. IX. Dinum angulum

secare.

rectilineum s LM bifariam

Ex Iateribus anguIi accipe circinoi a qtiales Fig.rsi. An, AC; centris B, ac C describe duos aequales eirculos se secantes in F , ducaturque rectav Λ , haec angulum bisecabit. Ducantur enim BF , CF; triangula FAB, FAC sunt sibi mutuo aequilatera; nam latera ΛΒ, AC ex constitutione aequalia sunt; & latera BF 'CFquia aequalium circulorum semidiametri , etiam aequantur, & AF utrique triangulo commune est. Ergo anguli BAF, CAF a aequales sunt. Bise-a peictus est ergo datus angulus IAL Quod erat 'Iaciendum. Corollarium.

HInc patet quomodo angulus secari possit inaequalis angulos A. 8. 16. dic, singulas nimirum partes iterum bisecando. Scholium.

Ex Pappo ramen, o Archimede habemus cum Udam lineas , quadratricem videlicet, oespiralem, quarum adminiculo id obtinetur. An m

mereoles , quod etiam obtineri potes ope parabo vel conchoides. Mechanice darum angulum in quotcunque sca' vita quales angulor, si ex anguli vertice A tan am

37쪽

Elementorum Geometria centro intra anguli crura arcum describas, eumque dividas in quot placuerit aquas parte3 ς recta enim ex A per divisionum puncta emissa angulum secabunt in partes totidem aquales.

F;..i, Irri tam rectam finitam AB in secare bifi

Super data AB fac trian illum aequilaterum ai. i. AGB. Angulum ejus G b biseca per rectam GC,. yst . eadem bisecabit rectam Λ B datam. Nam in triangulis X, Z latus CG est commmne , & per constructionem G B, G Λ aequalia , angulique iis contenti Λ G C , B G C aequales .e per .. Ergo bases AC, BC c aequantur. Bisecta est ergo ι- , data AB. Quod erat faciendum. Pro praxi satis erit centris Λ, & B , duos aequales circulos describere se secantes in G , & ac ducere rectam GL

perpendicularem excitare

Circino cape aequales ΛC, AF . Centris C,S F describe duos aequos circulos se secantes in B. Ex B ad A ducta recta erit perpendicul

Ducantur enim C B , FB. Triangula X, &Z sibi mutuo sequitatera sunt . Ergo anguli a perg. CAB, FAB a aequales. Ergo BA b perpendi- . cularis est . Ex dato igitur puncto M. Quod in

n. i . Xat faciendum.

Praxis

38쪽

Liber PHmus. 19 Praxis tam hujus, quam sequentis expeditur ficillime praesidio norma,

6t. A perpendicularem ducere. Centro A deseribe circulum, qui secet datam L n C , & l. Rectam C I biseca e recta A B, e Per tvi' ea erit perpendicularis . i-ι. Ducantur enim AC, Λ Ι. Quoniam perconstructionem triangula X, & Z, sunt mutuo aequi- latera, erunt anguli d CBA, IBA aequales. Eri d Per s. go AB perpendieularis e est. Ex dato igitur pun- p. Mo &c. Quod erat faciendum. def. I .

aut duos rectos angulos facit , aut auobus rectis aquales. Nam si B A insistat perpendiculariter , erunt per def. r . anguli BAC , BΛF utrique recti ;si vero B A insistat oblique, excitetur a perpen- ε Per traA L Quia tum anguli inaequalesi' δ' An , FAB eundem locum occupant , quem duo recti CAL, FAL , ae proinde iis congruuntsqrunt b his illi aequales. Quod erat demonstran- όν Per

Odem modo demonstrabitur , si plures r. quam una , eidem reme infitiant s gulos essici duobus rectis aequales.

39쪽

Fig. 37. affer I 3

xo Elementorum Geometriae Q a Duae rectae invicem se secantes BAC, FALessiciunt angulos quatuor rectis aequales . Patet ex propos. 3 omnes anguli circa unum punctum Comstituti conficiunt quatuor rectos . Patet ex C rol. I.; iunt enim quatuor recti in plures partes secti.

duobus rectis aquales, M, ZR unam rectam scient. Si negas , faciant X R , B R unam rectam . Ergo anguli XR , BR b conficient duos rectos; quod c est absurdum, cum ex hyp. XRQ, ZR duos rectos essiciant.

SI dua recta BC, FL) sesecuerint in A, erum anguli ad verticem A oppositi aequales.

Nam, quia B A insistit rectae LF , erunt LAB ,. FAB, a pares duobus rectis. Et, quia FΛ insistit rectae BC, erunt b quoque FAC, FAB pares duobus rectis. Ergo e duo simul LAB, FABaequantur duobus simul C AF, FAB. Ablato. igitur communi FAB, remanent d aequales LAR CA F. Eodem modo ostendam , aequales esse BAF,LΛC. . PR

40쪽

Liber Primus . hi'

PROPOSITIO XUI.&XVII. Cλtinentur in prop. 3 a. Neque ante illam adhibentur .

PROPOSITIO XVIII. IN Omni triangulo angulus A major est, qui Fig.,s. majori lateri BO opponitur Bὶ minor, minori εο ὶ

Nequit Λ esse par B, alias a latera Bo, ΛΟ a Per εἰ aequarentur contra hypothesim . Nequit etiam Α minor esse, quam B. Nam si Λ minor est, B major, poterit intra angulum B per rectam BF fieri angulus ABF aequalis A. Tum vero per s. aequales erunt BF , M , & si addas utrique, ΟF, erunt BF, FO aequales ΛΟ . Sed ΑΟ per hyp. minor est , quam Bo. Ergo etiam BF , Fo mino-xes sunt , quam ΒΟ , quod repugnat definitioni lineae rediar, quae est omnium brevissima . Anginius igitur Λ nee minor est angulo B, nec aequa lis. Ergo major. Quod erat demonstrandum.

Est conversa prioris . B O non est minus , quam AO , alias per Ir. angulus A esset mi-nor angulo B eontra hyp. Neque etiam Boaequale est ΛΟ - alias per s. anguli Α, Β, se quarentur , rursus contra livp. Ergo Bo m8