장음표시 사용
51쪽
ga Elementorum Geome rias Si in triangulo unus rectus est , reliqui sine
6 Si in triangulo unus est rectus , reliqui duo simul etiam unum rectum conficiunt. 7 In triangulo angulus , qui aequatur duobus reliquis , rectus est. - . : i 8 Cum stitur quot graduum sit unus angulus, scitur etiam quot gradus faciant duo reliqui simul. Et eum scitur , quot gradus faciant duo anguli, aut eorum summa, scitur etiam, quot gradus efficiat tertius. 9 Cum in uno triangulo duo anguli aut sing. Ii, aut simul, aequales sunt duobus angulis aut simgulis , aut simul in altero triangulo, etiam tertius tertio aequalis erit. xo Cum duo trianguIa unum angulum aequalem habent, etiam reliquorum summae aequantur. xi Cum in Isoscete angulus aequis cruribus contentus est rectus, reliqui ad basim sunt semirecti. Et Isoscetis ad basim anguli semper sunt acuti. xa Trianguli aequiIateri angulus facit duas tertias unius recti; facit enim tertiam partem duorum rectorum, ergo duas tertias uniuS.
13 Hinc anguli recti s BAC J facillima trife
ctio, si super AC fiat triangulum aequilaterum L . Nam cum FAC sint duae tertiae unius recti, erit BAF recti una tertia. 14 Perpendicularis AF est brevissima omnium , quae ex puncto L A J ad rectram aliquam duci poΩ sunt. Quoniam enim angulus F rectus est, erit per coroll. 3. AOF acutus. Ergo a AF minor, quam ΛΟ quaelibet .as Ex uno puncto ad unam rectam tantum una perpendicularis cadit . Patet ex corollar. praeced. Sch
52쪽
HUJAi pulcherrimi , Decundissimique theorem
iis, cujus per Mathesim universam usus prope immensus, inventor es P hagoras testi Em demo veteri geometra . Frequentis e ejusdem meminit Arsoteles, qui illud etiam exemplum sta-mis perfectio a demonstrationis . Sed qωemadmo--m ex hac propositione iam didicimus, quot rectis angulis eius anguli equivaleant, ita ejusdem ben scio , eujuslibet figura rectilinea flve interni , sive externi anguli, quot rectos conficiant, muline imnotescet tribus sequentibus theorematibus. Theoremat 1-OΜnis quadranguli quatuor simul anguli etaciunt quatuor rectos.
Nam si per oppositos angulos ducas rectam EF, Fig. sεἰ hae quadrangulum in duo triangula secabit , quo-rrum anguli flmul conficiunt a rectos quatuor. a Per ire
OΜnes simul anguli cujuscunque figurae rem-
lineae conficiunt bis tot rectos , demptis quatuor, quot sunt latera figurae. Ex quinis puncto A intra figuram ducantu Fig. ιν ad omnes figura angulos recta, qua secabunt figuram in tot triangula, quos habet latera . uuare cum singula triangula a conficiant duos rectos, o- a Per ναοῦ mnia Amia eonficiens bis tot recitos, quot sunt la- : coibi τσa . Sed anguli circa punctum A , b conficium p. ra, utvον reditos . Ergo A ab omnium triangulorum Α' ' Musis demas angulos circa A , anguli reliqui ,
53쪽
Τlementorum Geometria qui componunt angulos Rura, conficient bis tot ν ritos, demptis quatuor, quot sint latera figura. Hinc patet, omnes eiusdem speciei rectilineas Fguras quales habere angulorum summas; quod ais miratione dignum est. Praxis. Dulica denominatorem figura : a prori ducto aufer 4.; restabunt anguli reriti, quos consteium anguli interni Agura. Theorema 3.rig. ,ε. ' Μnes simul externi anguli cujuscunque figmrae rectilineae, conficiunt quatuor rectos.
Nam singuli Huma interni anguli eum fingulis
externis conficiunt duas c rectos . Ergo interia simul omnes cum omninus simul externis conficiunt
bis tot rectos, quot sunt latera Agura . Seὰ ut in praced. ostendimus interni fimul omnes etiam cum quatuor rectis Usciunt bis tot rectos , quot sunt latera figura . Ergo exherni anguli, ct qua
Mira sane hac figurarum rectilinearum propriditas est, ex qua illud etiam consequitur, omnes ciniuscunque speciei rectilineas Aguras aequales habere externorum angulorum summas . Itaque triauri Iuli alicujus tres externi anguli aequales sunt inible extemis an ulis figura mihistatera. uua prorsui admiratione sunt digna.
Fig. 3,. CI duas rectas aquales, ct parallelas AB, iungant di a alia AC, BF erunt etiam uia
54쪽
Liber Primus . Q, R alterni anguli BAF, CF A a aequales. ει- apeiae nitur autem latus AB aequale lateri CF v& AF i. LV utrique triangulo est commune. Ergo b bases ι νε- BF, AC aequantur Quod erat primum. Et l. i. ' anguli ad basim AFB , FΛC sunt aequales: ac proinde AF incidens in rectas AC, BF iacit ab e Peras. ternos AFB, FAC aequales. Ergo e AC, BF i sunt etiam parallelae. Quod erat alterum.
quantur, ipsumque a diametro bisecatur . moniam CF sunt a parallelae, ineasque a o8. ancidit AF, erunt alterni BAF, CFΛ b aequales. -MItem quia AC, BF sunt e parallelae , in easque ancidat AF, erunt d alterni CΛF, BFΛ aequales. φ Pςς Ergo totus ΒΛC toti MC aequalis est. Eodem a pC modo ostendam B, & C aequales esse. Quod e- i ,rat primum. Quia vero jam ostendi, triangula in R, quae utrum latus AF eommune habent, etiam angulos inlari A F - adjaeentes habere aequales, nimITum
intim ex hoc theoremate, partim ex desimilio- Fig. . ne obro a. namittenda, facile elicitur dimems' parallelogrammi rectanguli . Illius area produ-ς tur ex multiplicatione duorum laterum conlisu AF, AC. Sis exem. gr. AF pedum 8- AC, Uης 3. - proveniunt eta. pedes quadrati pro rea rectanguli.
55쪽
I. Iaae Per 34. I. I. d Pereand. a Per 6. I. la
36 Flemisurum Geometria Quadrati vero area habetur ex uno latere t FI per se ipsum multiplicato: ut si latui FI fit s.
pedum, s. in Ie , proveniunt 2 3. pro area quadrati.
Demonseratio ex hac prop. patet ductis per Iri xum divisiones parallelis.
aquali , ct inter easdem parallelas CAX Uituta sunt qualia. Quia A L, Bma sunt parallelae , easque se- eat C erit b externus CLA par interno FQB. Deinde, quia tam CF , quam L aequantur ceidem A B, erunt C F , L Q aequales . Adde in trisque F L, erunt totae C L , F aequales. Ιωsuper & AL, BQ d aequales sunt. Triangula igitur C L Α, F QB aequalia e sunt. Ergo ab. lato communi F Ο L plana F Ο Α C, QB o Lremanent aequalia . Quibus utrisque adde planum Λ Ο Β , fiunt parallelogramma tota AC FB, Λ LQB aequalia . Quod erat demo
me propositio fiet universalis p. I. L 6. Obsem vent hic tyrones , quamvis parallelogramma inere easdem parallelas sine fine productas in infinitam longitudinem extendantur ex eadem basi AB, semper tamen manere aqualia ex vi demonstrationissam data . .
56쪽
EX hoe theoremate habetur dimensio parallelo- pig. grammi cujuscunque ABVL. Illius igitur area producitur ex altitudine ux, seu CA ducta in basim M. Nam area rectanguli C B parallelogrammo B L qualis si s ex Ac ducta in M. Ereto σα f Po
AN , vel aquali inter easdem parallelasi CI , AZ constituta sunt aqualia. Lateribu3 AC , AF due paralleIas BL , BI.
ParalleIogramma ΛCLB, ΛFIR sunt a sequa- a Prena: sed horum triangula data b sunt dimidia . Em P Rςς gQ triangula datae sunt aequalia. M. i.
V o propositio fiet umore sis p. t. t. 6. Idem his yyrones notent in triangulis, quod eos notare jussimus propi praeced. de parallelogrammis.
57쪽
x38 Elementorum Geometria aequalia sunt , pars , & totum. Quod fieri non potest. Igitur &c.
PROPOSITIO XLI. vie ,. CI triangulum AFB sit in isdem paralleliso cum parallelogrammo A L in oe basim eandem habeat s AB in vel aqualem, ipsius dimidium
a phi ij. Duc CB. Triangula AFB, & ACB a aequanadi as l. a. tur. Sed b ΛCB est dimidium parallelogrammi e ΦθΑL. Ergo etiam ΛFB est dimidium ΛL. Quod
Fig. ι i. ' X hac, ct ex scholio prop. 33. discimus , areami a trianguli AFB cujuscunque produci ex dimidia altitudine FI dueta in basim AB in ,
mel ex dimidia basiis altitudinem. uuare noto uus latere trianguli, or altitudine, sue perpendiculari , qua in latus notum ex angulo opposito ducitur, ha
betur trianguli dimensio: ut si basis AB )sis p dum Ioo. altitudo Iὶ 8 3. multiplica basis dimidium ue o.
per 8 . proveniunt qaso. pedes quadrati pro area trianguli AFB ) : Porro altitudo, flve perpendicularis illa , quando area trianguli peragrari pomes , mechanice innotescit, uti latera . Si area pe-- ν rari nequeat, invenietur feometrice altitudo per 1 a. 2 13. tib. a. ut in scholio ibidem docebimus. In triangulo rei angulo altisuri est eadem cum alterutro latere circa angulum res tum . Hujus erisa: Iemissa diata in latus alterum recto adjacens dabit trianguli aream.
58쪽
DA . inriangulo aquare parallelogram- FIg. mumfacere habens angulum parem dato a
seratIelam ΛL c. Erit ALIF, quod quaeritur . e Per ii aDucatur enim F C . Parallelogrammum Λ Iiangulum habet I AF parem dato O ; & est quale triangulo dato ACB, cum tam d triangu-perat Inm ACB, quam e parallelogrammum ΛIs . pla sint ejusdem trianguli ACF. Pisc. . 1
DAto triangulo ACB habetur aequale rectan- Fig. gulum, si per C ducatur parallela lateri ΛΒι α bisecta AB in F , ex B exigatur pe .pendicularis B Q. Erit enim redi angulum Iub
. Si per diametri Ad punctum quodvis Oduc v x di parallela danxi ΑΒ , & RS parallela Iuteri '' B secatur totum BL in qu tuor parallelogramma, quorum duo circa diametrum sunt RF, CS, duo resima BO, GL suot horum complementδ. Haec esse aequalia sic ostenditur. Triangula AB , sper a.
59쪽
ct Dementorum Geometriatur ΛFO, OSQ. Ergo si ab aequalibus ΑΗ ΑLQ. auferas aequalia, hine ARO, OC , indoeΛFO, OS aequalia remanent B O , & Ο L .
PROPOSITIO XLIV. AD datam rectam to Sin parallelogrammum constituere dato triangulo V aquale in an. suis data A.
Fac f parallelogrammum R C dato V aequale habens angulum ROC parem dato X , & p ne latus Ro in directum datae OS. Per S due Persi. SQ g parallelam OC , cui occurrat BC proda-- cta in Per Q, & o ducta recta occurrat BR protractae in A. Per A due Λ L parallelam ado S, cui occurrant C O , & Q. S productae in F, & L . Parallelogrammam o L est , quod
ophi Nam OL i aequatur RC , hoc est per compraec. structionem dato triangulo V, de est ad datamiserii. OS, habetque angulum FOS parem angulo L i. ROC, hoe est per const. parem dato X.
PROPOSITIO XLV. rectilineo Ain quale parallelogram mum construere ad datam rerum sct in dato angulo tu
Rectilineum resolae in triangula A ,B, C ducem. do rectas FL , FI Λd datam I in angulo dato H De a parasset
60쪽
Liber Primus . 43 Iogrammum IV aequale triangulo Α: tum producatur IR infinite versus P : & ad rectam RV , in angulo URP fac o parallelogrammum RZ aequa- ώ Peale trigono B. Rursum ad rectam S L in angulo 'δηψ'TSP fac parallelogrammum S G aequale trigono C. Est IG parallelogrammum quaessitum. Nam e angulus ZVR par est sibi alterno IRV. Sed ἁ QVR, & Iosunt aequales duobus rectis . e Per asErgo etiam QVR , & TVR duobus rectis aequan- υ' νtur. Ergo f QV, & ZV sunt in directum Pari eand. modo ostendam uZ, & GL esse in directum . EN 'φη go tota QVZG est una recta, & quidem parallata ad IX, cum per const. QV sit ad IP parallela . Est vero etiam g XG parallela ad IQ, cum a Perari XG sit parallela aa ST, & SL ipsi RV, & RU ,
Ergo h IG est parallelogrammum: esse autem o Peaequ/Je petitur patet ex constructione. 4ςε3 Seholium.
AVώην problema utile 'turum ad praxim ris
propositionis 26. I. R. Dato quadrangulo B F rectangulum aquale δε- seribere .
Resise in triangula per rectam AC. Ex oppostis angulis demitte perpendiculares EO, M. biseca AC in S. Ex S erige perpendicularem S L p rem duabus Bo , FI. Rectangulum sub L S , O. aer 'uvitur dara M. Demonstrariopatu G qa.