Elementa geometriae planae ac solidae, quibus accedunt selecta ex Archimede theoremata. Auctore Andrea Tacquet Societatis Jesu, sacerdote, & matheseos professore. In hac nova editione inserta est Trigonometria plana ejusdem auctoris, & sphaerica aliu

41쪽

s Elementorum Geometria jus est , quam Λ Ο . Quod erat demonstram

dum. l

PROPOSITIO XX. OMnis trianguli duo qualibet latera reliquo

sunt majora. Est Archimedis instar axiomatis ; immediate siquidem patet ex dffinitione Archimedea lineae rectet, quam vide supra in definitionibus.

PROPOSITIO XXI.

I a terminis unius lateris AB in intra triam gulum dua recta junguntur AO, BO halateribus trianguli A C, BC J minores sunt , majorem vero angulum A O B ὶ comprehemdunt. a polib. I. ParS. Produc ΑΟ in F: AC, CF sunt ama-L - jores, quam AF . Addita ergo communi F B , erunt AC, CB majores, quam AF, FB. Rum ι p., sum OF , FB, sunt b majores, quam OB. Add, sand. ta ergo communi ΛΟ, erunt AF, FB majores, quam AO , OB . Ergo AC , CB sunt multo majores, quam ΛΟ, ΟB. a Pars demonstrabitur in Coroll. a. partis primmae prop. 3 a. Ea interim non utemur.

PROPOSITIO XXII.

Fig. Q

a qualibet reliqua Ahit majores, triangulumeonstituere. Assiima

42쪽

Liber Primus Σ3Assumatur datarum una BL ; atque una ejus extremitate B accepta pro centro , intervallo alterius datae B O describatur arcus. Deinde accepta pro centro extremitate altera L intervallo tertiae Lo describatur arcus pri rem secans in O ; ducanturque rectae Bo, Lo Dieo factum . Demonstratio patet ex constructione.

PROPOSITIO XXIII

AD datum in recta punctum B angulum es Fig. o. scere aqualem dato A .

Ducatur utcunque CF secans latera dati angm Ii A. In data recta ex B accipe BL parem ΛF. Centro B intervallo Λ C describe circulum: item alium centro L intervallo FC, qui priorem secet

in O . Ex o ad B, & L due rectas. Erit angulus LBO par dato Λ .

Nam per constri triangula sibi mutuo sunt aequilatera. Ergo per 8. anguli B, & Λ aequales. Scholium.

P gratiam tyronum visum est hic nonnulla ad ris. t

praxim angulorum necessaria proponere. Anguli mensura es circuli peripheria , qua ex A vertice anguli tanquam centro describitur , ut patebit ex prop. ultima lib. 6. Itaque quot gradus continebit arcus BC inter anguli BAC crura interceptus, tot graduum dicetur esse angulus BAC . Et quoniam rectum amulum BAF metitur quadrans peripheria BF , gradui so. continens , dicetur rutus angulus .

43쪽

24 Elementorum Geometria se graduum 9o. Similiter, quia duos rectos memserat dimidia circumferentia in I 8 o. gradus fedia, ct quatuor rectos circumferentia tota secta in gradus 36o. dicentur duo recti efficere gradus I 8 o. γ' quatuor resti gradus 36O. His pr-otatis praxes angulorum sunt. 1 Ad datum in recta puncitum B aseulum stintuere parem dato A. Ex A dati anguli vertice tanquam centro inter latera arcum describe CF. Omiro B punrito dato describe eodem intervallo arcti,

LZ, ex quo aufer Lo parem CF . Per B , o duo rectam; erit LBO par dato A. a Dati anguli OP QIradus examinare. Fit hoc facillime per semicirculum corneum transparentem in I 8 o. gradus divisum. Centrum semicirculi pone supra P verticem an si , O semicirculi radium M supra anguli latus Pu Arcus m inter anguli crura interceptus ostendet , quot graduum sit

datus an ulus.

3 Angulum conseruere datos continentem gradus, ut 42. Duc rectam Xua in quasi a punctum P. S. per P pone semicirculi centrum, ejusque semidiametrum P L supra PQ. Ab L numera eradus Aa . usique in o. Per o ex P ducita recta dabit angulum Ora gradum 62. Horum omnium demonstratio pendet ex ultima prop. lib. 6.

aquatia habuerint ; unum vero triangulum angu

44쪽

Liber Primus . a s habeat altero BAC J habebit quoque basim BF

majorem basi s BC. J . . . . Et si bassim majorem habuerit, habebit aseulum

majorem.

Centro A describe per C circulum; is transibit per F, quia AC, AF ponuntur aequales. Ergo B F eadit supra C . Iunge C F. Angulus BCF est major angulo ACF, hoc est per Prop. s. angulo AFC , hoc est multo major angulo BFC. Ergo a BF opposita majori angulo BCF ma- a Perjor est, quam BC opposita minori BFC. Is M. a Pars patet ex prima parte , & eX Prop. I 8.

SI duo triangula s X, ZJ duos angulos duobus

aquales habuerint alterum alteri L B ipsi F, oe C ipse I ,3 ct unum latus uni lateri aquale, vel quod inter aquales angulos exiuit ut B C, F I J, vel quod uni aqualium angulorum opponitur ut AC, LIJ, reliqua omnia erunt aqualia. . Ponantur primo aequalia esse latera B C , FIanter aequales angulos posita : tum vero , reliqua otiam omnia aequalia esse , demonstratum est in 1eholio prop. 6 POnantur deinde latera A C , L I aequalibus Rogulis B , & F opposita esse aequalia . Quia au-hyp. aequantur anguIis F, I , eti-Rm reliqui Λ , L aequales erunt per coroll. 9. p. quae ab hac non dependet. Ergo per primam p rtem omnia reliqua sunt aequalia .

45쪽

PROPOSITIO XXVII.

Fig. s. I duas rectas s AB , CF J parallelas secueris ' filia Go , erunt x. aquales alterni an ulis RLO, item BLO, COL J a. externus L BIaqualis interno ad eandem partem s L J ite, R ipsi LOC . J 3. duo ad eandem partem -- terni ut ALO, COL J aquales duobus rectis; item duo BLO, FOL duobus rectis aquales. Fig. 6. . I Pars . Ex o , & L duc perpendiculares , in V OR , LQ, erunt a liae ad utramque parallelam' ' '' AB, CF perpendiculares, & per def. 36. inter. Per a' se aequales . AEquales quoque , ex parallelis au- '' ' ferent partes RL , QO . Ergo triangula, X , Te Per s. sibi mutuo aequilatera sunt. Ergo e anguli RLO, QOL alterni aequalibus lateribus RO, QL oppositi , sunt aequales . Quod erat primum . Ex quo patet etiam, alternos reliquos BLO, COL aequales esse; nam , quia tam BLO, ALO , quamdpetia. CG L , F Ο L aequantur d duobus rectis , erunt in δ' BLO, ALO aequales ipsis COL, FOL: ablatis ergo aequalibus ALO, FOL, erunt reliqui BLO,

CUL etiam aequales. . Peras. a Pars . GLB aequatur ad verticem e opposito RLO, sed RLO aequatur per I. pari. LOF, ergo GLB externus aequatur interno LOF. Quod

erat alterum . .

3 Pars . ALO per T. partem aequatur FOL, perri. atqui FOL cum COL f facit duos rectos , ergo: etiam ALo cum COL facit duos rectos . Quod

erat tertium.

46쪽

Lore Primus.

PROPOSITIO XXVIII. SI Das rectas AB , C FJ secans recta sGO J

alterinos angulos ALO, FOL J aquales fecerit , erunt s AB, C F d parallela. Si negas, sit ergo alia X L Z per punctum Lad CF parallela. Ergo a angulus X L o par est alterno FOL; quod fieri non potest , cum per hyp. ALO parsit eidem FOL -

PROPOSITIO XXIX SI duas rectas AB, CF J seans recta s GOJ

fecerit externum s G J qualem opposito inremo L LOF J, vel duos ad ea em partes intemnos ALO, COL pares duobus rectis, erunt L ABCI J, parallela.

Per et s. GLB aequatur ΛLo opposito ad verticem. Sed per hyp. GLB aequatur LOF. Ergo etiam ΑLo sequatur sibi alterno LOF . Ergo bAB, CF sunt parallelae. Deinde COL cum FOL facit duos rectos. Sed per hyp. idem COL etiam cum ALo facit duos

rectos. Ergo ALO, FOL alterni aequales sunt. Ergo rursum AB, CF e sunt parallelae. Grellarium. EX secunda parte patet, omne rectangulum esse parallelogIammum. PROAFig. 7. a Per praeced. Fig. 4s. vel 46. ι Per praeced. e Per praeced. Diuitiam by Corale

47쪽

, 8 Elementorum Geometria

PROPOSITIO XXX. Fig. s. dua rectae s AB, CF J sint parallela ad ean- , I dem recitam L DN J , erunt inter se paraiatila . Patet per se, & ex praecedentibus. Nam si o- ω Peiij. mnes secentur recta Go , erit a angulus exte 1. s. nus GLB par interno LDN; est: vero LDΝ emo per αν. ternus b reipectu D OF , ac proinde aequalis . E i. . go etiam GLB par est LOE . Ergo A B, C Fe Per sunt c parallelae.

praecedis

. PROPOSITIO XXXI. Fig. s. DEr datum punctum L A J parallelam ducere ad rectam datam s CF JEx A ducatur utcunque ΛL, secans datam FC a Perra. Ad punctum Λ fiat d angulus LAS par anguloi kr ALF. Erit ΛS parallela ad CF, ut patet eκ acum alterni anguli SΛL , FLA sint aequales. Praxis . Ducita AL , centro L describe arcum Iu oe centro A eodem intervallo arcum o x, ex quo aufer OB parem αἰ . Per A , ct B dmcta recta erit parallela. monstratio pendet ex 29. lib. 3. Fig- .. Aliter . Centro quopiam P describe circulum , qui transeat per datum punctum A , ct secet datam CF in g, GT O . Arcui VA accipe aqualem ON, recta AN erit parallela. Demonstratio pendet ex as. libri 3. re ex 28. hujus a

48쪽

Liber Primus. Scholium. Emonstrata jam igitu es parallelarum theo. I ria independenter ab axiomate, quod Eucliades, ejusque interpretes assumunt minus recite, cum non sis axioma, sed theorema , cujus veritas non magis per se apparet , quam ipsius 29. propositionis . Uuia tamen deinceps saepius ad Gebitur, id hoc loco jam facile ex praemissis demons, abimus.

Theorema.

SI νε ta Ara incidens in rectas BC, AD faciat Fig.

angulos internos ad easdem partes BAD, ABC, duobus rectis minoret, reeia BC, AD concurrent vers 1 eam partem , quam spectant anguli duobus

reditis minores.

Γuoniam per hyp. CRA, D AB duobus rectis sunt minores, stant CBA, XAB duobus restis aquales: eruntque BC, AX a parallela. Assumo tan' a Per asequam axioma per se notum, inter recitas AD, in infinitum productas duci po1se aliquam ad Asparallelam, puta Zx, qua major sit, quam AB. Accipiatur ipsi Z X aqualis AR , GV iunge Z R. 9uoniam in , o sunt parallela, erunt b altem b Per a rXZ A, RAZ aequales . Sunt autem ct latera L M, ZA aequalia lateribus RA, AZ per constri Ergo etiam c anguli RZ A, XAZ aquales sunt. e Per . Ergo RZ es d parallela ad M. Sed etiam BC i es parallela ad M. Eroo Q ,σ BC sunt e pa- l. a. rallela. M igitur BC , parallela ad se, ct -- clusa triangulo Ao. Ergo cum produci in in Li m possi, necessario occurret aliquando rectae AZ, ηβm neque evadere potes per fibi parallelam o, neque pertingere in alio. Demonstratio clavis es a parallelis independent, sa

49쪽

8 Elementorum Geometria sed prolixissma, ct multum operosa: Proeli nitituPhoc principio, quod recta unam parallelam secans , etiam alteram fectura fit , se producatur . Rerum hoc per se notum non est , ob rationem datam ad

Corollarium. HIne patet rectas non parallelas concurrere, de quo dubitari poterat ob rationem allatam addes 36. Sint recta non parallela B C , A Z. me AX parallelam ad BC ; erunt XAB, CBA duo- a Pera . bus rectis o aquales. Ergo ZAB, CBA sunt duo- ' rectis minores. Ergo per theorema iam demon siraium BC, AZ concurrunt.

TIg. sr Mnis trianguli externus quivis angulus sFBCI duobus internis oppositis s A , , C J aquilis est. aph=, i. Per B duc a B L parallelam ad AC . Quia

λ ι- duas parallelas BL, AC secat FA , erit externus ι p. angulus FBL interno A b aequalis . Et quia ea i. a. dem parallelas BL , AC secat etiam recta BC, . f., erit LBC sibi alterno C e aequalis . Ergo totus eand. FBC aequatur utrique simul Λ , & C, quod erat

demonstrandum. ' ν

Corollaria. Fig. ii. I UXtemus angulus L FBCJ quolibet interno. rum oppositorum Λ, vel C major est.

- 2 Angulorum s C, & ΑΟB eandem basim sΑBJ' ' habentium major est ΓΑOB, J qui intra cadix

50쪽

: Liber Primus . 3 τProducatur enim Λ Ο in F. A O B per hane major est, quam UFB ; & ΟFB per hanc eamdem major est, quam C. Ergo ΛΟΒ multo major est, quam C . ,3 Si ab imo puncto Γ A J in unam rectam L BC J Fig. s incidant duae rectae, altera Γ ΑΟ J oblique, per pendiculariter vero altera Γ ΛF; J haec cadet versus partes acuti anguli ΑΟB. Cadat enim, si fisri potest, adversus obtusum Λ Ο C , puta in Q. Igitur acutus ΛΟΒ erit externus respectu recti ΛQB, ac proinde illo major per coroll. a. Quod

est absurdum.

PROPOSITIO XXXII. PARS II. O nil trianguli tres Iimul anguli duobus rectis

sint aquales.

Αc proinde conficiunt gradus Igo. Produc unum latus AB in F. Externus angu-Figs .lus FBC duobus internis oppositis Λ , & C aequalis a est . Atqui , FBC eum CBΛ essicit duos rea H Per t. ctos. Ergo etiam duo Λ,&C cum eodem CBA II ita

eruiunt duos rectos . Quod erat demonstrandum. Φῆςx 3 Aliter. Ducatur H Μ parallela lateri ΛC. An- Fig. s3.guli alterni tam o, Λ, quam N, C, aequales c. Jς RI'iunt Sed o, Q , N conficiunt d duos rectos. ED d Corol. gQ etiam Α, C, Q duos rectos conficiunt. Quod i P erat demonstrandum. Corollaria.

Res simes anguli cujusvis trianguli aequales 1 iacit tribus simul cujuscunque Alterius