Elementa conica Apollonii Paergei et Archimedis Opera noua & breuiori methodo demonstrata a Ioanne Alphonso Borellio

211쪽

r ue De aeque ponderant.

& er i ouoque B centrum grauitatis spatij ΗL seu ipsitis S . Et quia spatium GH , ad HL sibi homogeneiana, seu It ad S se habet ut axis seu altitudo ED ad DF e ergo spatiaraa GH & HL super aequales bases conis stituta erunt, &ideo unicum paral- λlelogranatim , Vel Vnicum par-pe tu lerit GLM , cuius axis EF bifariam lectus erit in C eo quod aequalibus EA & CB adduntur aequales AC& BF 3 & proinde d C exit centrui grati itatis spatiorum homogeneoru i GH , & ΗL , siue R S penden- itium ex terminis librae A & B. igi-

e dis 3. tur a sequilibrata quiescet. Idipsum sequetur quomodocumque spatia GH & HL reuoluantur& qi iamcumque figuram acquirant,

bummodo eorum centra grauitatuna

ex eisdem punctis A, &B pende

ant .

Si postea R & S fuerint lineae,

idem sequetur. sed oportet sumere libram AB aequalem medietati ipsa

rum R, S. Quare &c. Corollarium . Colligitur ex constructione huius propositionis quod semper centrum Mauitatis C totius alicuius grauis GM cadit in loco intermedio eiusdem rectae AB coniungentis centra grauitatiim A & B partium eius G HSI H L. Et in eadem recta linea AC coniungente

212쪽

centrum portionis GH , & C. entrum totius GM existit quoque , in eius productione C 8 centa uni Bl grauitatis reliquae portionis HL vl- centrum C totius G M.

PROPOSITIO IV. Tito I. -- In qualibet figura plana ABC in apicem deficiente & axim BD h

bente , siue triangula , siue multi latera siue stetione conica . Dico quod centrum grauitatis figurae existit in eius axe BD ; G e contra recta per vertice B & per centru gr uitatis figurae ducta erit axis eius . Si enim hoc verum non est sit O centrum grauitatis figura: ABC po

, tur figura X ex parallelogrammisae e altis composita ad quam figura j ABC minorem proportionem habe - : at quam DC ad CY; & sit N cen-ὶ trum grauitatis inscriptae figurae X , quod bcadet in BD axi omnium s par-morum conponentium figuram hi inscriptam, cum secet bifariam omis i nes bases oppositas eorum; & con- iungatur reeta No secans CP in

R , eritque figura ABC ad sibi in- scriptam X in minori ratione quam S. NR ad RO, seu quam e DC ad Ci, Y, ob parallelas ND , OY , RC .. quare diuidendo d congeries trili-I 3 neO-

213쪽

. V. ex

2oo De aeque tonderant. cantur duo catheti AC, BD ab an. gulis bisecantes latcra'Opposita 1 quae se mutuo secabunt b in I centro figurae, & quia quaelibet Ac , e BD secat bifariam omnes rectas applia catas parallelas basi vel rectar ilib.

tendenti angulum verticis. ergo tani

AC quam BD est axis , & in . eis

existit centrum grauitatis figurae igitur in eorum communi, fectione Inempe in centro figurae existit centrum grauitatis unius cuiusque

figurae ABCD .

PROPOSITIO VII. Tab. VI. 8. In qualibet figura plana rectilinea ABCDE reperire centrum grauitatis . Diuidatur figura in triangula AEB , BEC, CDE , & ab angulo Ve ticali E communi ducantur rectae EF, EG, Ebi secantes bifariam bases oppositas, & dividantur singulae in I, K, L in proportione dupla erunt afl: puncta I, Κ, L centra grauitatum , icorundem triangulorum, & coniuncta reeta IK secetur in N ut ΚN ad NI sit reciproce ut triangulum ABE ad triangulum BEC. igitur rui ctum b N erit centrum grauitatis quadHateri ABCE - postea coniuncia NL secetur in O, ita ut LO ad ON sit ut ABCE ad triangulum ECD. erit e O centrum grauitatis sta

et t

214쪽

Archimedis et Ox

PROPOSITIO VIII. Tab. VI. Fig. In Prismatis & quibuslibet

columnaribus figuris ACE reetis, quarum axes G H bifariam sectinat in I . Dico pittactum I esse earum centrum grauitatis

Quia GH ponitur axis columnae ACE , ergo a GH transit per cen- grauitatum basium , quae sint G & lil , & per centra grauitatum om- niimi sectionum ae iii istantium basibus . Postea innsitatur G lumna a stiper punctuna H centrum gra uitatis basis, existente axi GH perpendiculariter erecto ad horiaontena, b quiescet proculdubio co- luna na , eo quod tota superficics basis BCD eiusque partes premuntur perpendiculariter a partibus columnae aeque altis similirer positis & proportionalibus subiectis partibus ba- ns . quare centrum grauitatis co-Jumnae existet in eodem axe HG . Ducatur deinde planum I KM para letum basibiis per punctum I semi-

partitionis, 3 reuoltita colum LM ivt fulciatur a plano LXM per-riter ad horiZontem erecto,c quiescet quo- ς r ' que columnahideo. centrum grauitatis eius existet in plano, LXM , sed erat in axe GH . ergo in commmuni eorum sectione I existet cei trum gravitatis columnae ACE. quod

215쪽

etor De aeque ponderant.

PROPOSITIO IX. Tab. VI. Mig. Io. II. Si duae figurae planae similes ABCD, & FGHI habuerint puncta L & N similiter in eis posita , Se

L sit centrum grauitatis figurae ABC D . Dico N esse quoque centrum grauitatis alterius figurae FGHI. Et primo in figuris regularibus . circulis, & ellipsious centrum a gratuitatis L est idem ac centrum figurae . ergo punctum N similiter: posiatum ac est L erit celitrum figurae Fali , &ideo centrum grauitatis eius. Secundo in figuris non regularibus& parabolis ex punctis L,N ad Vertices, & ad omnes anguloS aequaleS . figurarum coniungantur rectae lineaeh ut sunt LA, NF &c. ergo b circa aequales angulos LCD, NGI est LCς ad CD ut NG, ad GI; & ideo ob ctriangulorum similitudinem erit angulus DLO aequalis angulo IN G, &ῖc reliqui. Et sectis L f sequalis N F,Lg aequalis N G, & sic reliquar. compleatur figura f g i, erit haec Gr- qualis ipsi FGJ, & timilis figurae αCD ,. cui similiter posita est. ergo id punctum d L est similiter positum in concentricis. figuris AC D & f g i; &ex hypothesi erat L centrum grauia talis sigurae A .ergo extentas per L rectis AM, CO ε uiescet figura super has lineas aequilibrata ; sed super eisdem rectis AM. CO quies-

a Cunt

216쪽

t Archimedis . et o I

cunt aequilibratae partes collatera- les figurae s g i, quae similes, pro- portionales , & similiter positae sunt ac paries laterales figurae ACD. igi- tur Centrum grauitatis figurar fgi in eadem communi sectione L earundem rectarum A M, B O exi- ssit verum s centrum grauitatiS figurae FGI conriuit cum centro Lfigurae s g i aequalis & similis illi; &tale punctum N similiter pota

PROPOSITIO X.

12. Si in pyramidς, cono, noide , semisphaerio , aut solido pw-naliter in apicem disciente ABCD . ducatur ἰa vertice A ad O centrum grauitatis basis BCD , recta line a AO , quae secet in I secti neni ἡGE parallelam basi ubicumque ductam. Dico punctum I esse centrum is grauitatis figura: FG E; & AO axeni, solidi l l . Et prim' solida figura a sit conus hemisph rium aut conoides, constat D & EFG esse circulos, cum- queb O sit centrum tam grauitatis , quam figurae in circulo BCD , ergo alterius circuli EGF punctuma eriti': quoque centrum grauitatis. i Secundo solidum sit pyramis, &per rectam AO, & per coniunctas

217쪽

OB, OD extendantur duo plana quae efficiant triangula AOB, AOP i . secantia i eliquunx planum EFG p e VI rallelum basi pyramidis e in rectis IE, IG parallelis ipsis O , & OD , , pariterque in EG parallela; ipsi BD

cumniat sectiones aequidistantiuin planorum factae a planis per verti- LIV. . cem A ductis ) ergo a tri-la IEG ,

OBD similia sunt, & ut OB ad BD ita est IE ad EG. idemque ostendi potest de reliquis extensis a punctis O, i ad perimetra figurarum BCD , ' i' EFG . quare epulicta O, I similitex' posita sunt in eisdem figuris simili- ibus;& erat puncitum O centi tum - ii μ', grauitatis figurae BCD .igitar fpmisectumI erit quomie centrum grausetatis figui te EFG . cumque recta Ao transeat per centrum grauita erit A lis cuiuslibet sectionis aequi sistantis

basi, erit x AO axis solidi ABCD Quod &c- PROPOSITIO XI. 13. xq. Si quaelibet figura selida AR

CD in apicem A deficiens habuerit . axem AE Dico quod centrum grauitatis eiuslin aliquo puncto axis AE existit: & e conuerso. Nam s primum Verum non

dat centrum grauitatis solidi ABC D extra axim ut in F; & a punctis F, & D in plano EAD ducantur it irinae FG DHi parallelae axi AE

218쪽

, a inscribatur figura gradata Ri comi osita ex prisDatis aut cylindris aeque altis,ad quam solidum ABCD minorem pro-tionena habeat, quamis ED ad DG . erit b gradatae figura R centrum grauitatis in commimis mi Ali, qui e transit per centra grauitatum omnium basium prisma-

tum , vel cylindrorum Componenti-

iam gradatam figuram' R. & culinata, recta IFO secet D Η in L . Ostela.. detur, ut in prop.qo quod punctum saliquod O librae I FO pontum extra cauitatem fi rae diis erentialis figu- rarum ABCI & R est centrum Pra- uitatis eiusdem solidi disterentialis . quod d est impossibile . quare centrum grauitatis F solidi ABCD ca-dri in aliquo puneto axis AE . Transeat postea resta AE per I centrum grauitatis figurae ABCD. Dico A E esie e clxim , scilicet transire per centra grauitatum basis &omianim planarum sectionum basi atquidistantiima - Si enim hoc verum non e st, sit alia recta AN axis , &I in ea erin cen- trum grauitatis figurae; & proinde

s in utraque linea AE & AN existit

L centrum grauitatis, quae cum chdant, infra ver Acem A intra figuram AB CD . Erunt duo distincta centra grauitatum .dia eadem figura quod e est falsum . Quare 3 c. scholium. Id ipsum etiam ve-

a par. I.

219쪽

1,6 ne aeque ronderant.

rificatur in figuris ad oppositas par- vies deficientes ut sunt spnaeroides.& 4romboides: imino in ipso met cono. tab. VI.fig. 23. EFG si ex H cei tro circuli basis FG ducatur planu aequidistans tangenti plano EFΚ confiiugent duo solida. deficientia ara oppostas partes, quorum unius veri ilex erit punctum G , alterius. vero acies erit FE , & in utrisque se- ctiones plano tangenti par-Iae ut sint ABC , abc erunt parabolae

secantes latera fecerint segmentum

FE eandem rationem habeti cqqi positam ex 6 ad 3, de ex S ad 2; pro-a ndeque erit ut 6 ad a, nemp. . BF tripla erit ipsius FE - eadem

220쪽

Arebimedis et oriatione CF tripla erit ipsitis FD . quod &c. Corollarium . Hinc patet quod si in tri-lo ABC ductae fuerint diis recitae BE , CD se secantes intra tri uni in F. semper pro-tio BF ad FE composita erit ex ratione BD ad D A , & ex ratione AC ad CF, ut homologa in eisdem terminis B &E contieniant.

PROPOSITIO XIII. Tab. VI.'g. I . 17. In pyramide ABCD si eius axis AE seceriir in F ut porti' ad verticem AF sit tripla reliquae m. Dico pimetum F elle centruni grauitatis pyramidis. Et primo sit pyramidis basis BCD tri-lum, seceturque BD bifariam an H , iunganturque rectae CH,

AH , quae a axes tri-lorum erunt, in se

centra gratulatum tri. lorum BC

c erunt axes pyramidis;& erat AEaxis, ergo AE , & AI coincidunt; cumq; axes AE,CL ductae sint intra tri-lum AHC se mutuo se cabunt ut in O . & quia centrum d graui- d hu tatis pyramidis existit tam in ax si . AE quam in axe CL ergo in eo. rum c muni sectione O existet . . , cumque in tri io AH C duae recita AE , e