Elementa conica Apollonii Paergei et Archimedis Opera noua & breuiori methodo demonstrata a Ioanne Alphonso Borellio

231쪽

at . corax IV. a.

232쪽

Arebimedis et orratione CF tripla erit ipsius FD . . quod &e corollarium . Hinc patet quod si in tri-lo ABC ductae fuerint diis rectae BE , CD se secantes intra triclum in F. semper pro-tio BF ad FE composita erit ex ratione BD ad D A , & ex ratione AC ad CE, ut homologa in eisdem terminis B &

E contieniant .

PROPOSITIO XIII. Tab. VI. 17. Impyramide ABCD si eliis aXis AE seceriir in F ut portist ad verticem AF sit tripla xhiquae - Dico punctum F esse centrum

irauitatis pyramidis . i

Et primo sit pyramidis basis BCD

i tri-lum , seceturque BD bifariam , . in H , iunganturque rectae CII, AH , quae a axes tri-lorum erunt, in

quibus secentur CI dupla 1 H.&i AL dupla L H . erunt b puncta I &i centra grauitatum tri lorum BC D, & ABD . & iunctis AI, CL hael c erunt axes pyramidis;& erat AEi axis, ergo AE , & AI coincidunt; climq; axes AE,CL ductae sitit intra trialum AHC se mutuo se cabunti ut in O . & quia centrum d graui- . tatis pyramidis existit tam in axe AE quam in axe CL. ergo in eoinrum c muni sectione O existet . Cumque in trihio AH C duae rectie

233쪽

eto8 De aeque ponderant. AE , CL ab an ulis A , c d istae .

secent latera CH, AH in pro-ne 'dupla - igitur axis AE e portio AO tripla est reliqua: OE; & ex hypo- ' thesi AF tripla erat FE- ergo pul/- ela o & .F coincidunt; & ideo F est centrum grauidatis pyramidis

trum grauitatis polygoni ABCD G, erit f AE axis pyramidis praediciae & secta in tri-gulares, pyramides ABCD, AGBD, in q talibet ea-

se centur in eadem runt axes AI 1CCent ui Udia ipro-tione tripla in O, o. punctis , quae erunt , CX prima parte centra grauitatum earundena pyramidum& per puncta O , o ductio plano. par-lo Dasi GCD ab reo secabitur

axis AB in F in eadem pro-tione 'tri a ; eritque centrum grauitatis totius in rotta linea O , o coniungente centra grauitatum partium;& centrum grauitatis; totius erat

quoque in axe AE qui in plano trili IAI existit cum recta sit IEIcentra basis & partium eius coniungens ergo erit in communi sectio' ne F in quo puncto secabatur in ratione tripia . quare &c.. . LEMMA I Tab. VI. Fig.J8.19 2O.

Si duo solida inaequalia in apicem deficientia ABC , & ΚΜOG suerint pro-liter analoga , circa etin . dum

234쪽

sigurae

dem axem AD similiter constituta. Dico quod differentia solidolum est figura ad easde partes caua,cuiuScentrum grauitatis cadit infra vc licem A, in axi AD posito intra

cauitatem.

Quia figurae solidae ABC & KM

OG sunt propcliter analogae circa communem axem AD in apice movet aciem deficientes. ergo figuraea sunt interse ut bases , & lactis ubicumque a plano NPS par-lo ba- sibus in eodem plano GΗL existentibus , semper b plana figura NPS ad figuram TRV erityi Dasis G Mad basim BC; & illarum e centra grauitatum X exissent incommuni axe AD solidorum. Quare exces, sus vel defectus cuiuslibet figurae plana: NS supra TRV erit figura

caua, dicet non semper continuata , cuius d centrum grauitatis erit puniscium X in axe AD constitutum Paproindeque axis AD transit per centra grauitatum omnium differentiarum earundem figurarum pla

narum N PS, TRV , quae duci posse

sunt parallelae basibus. &ideo solida differentia corporum ABC&KMG erit figura ad easdem partes caua , cuius axis erit AD . &quia a centrum grauitatis talis figurae ad easdem partes cauae intra eius cauuetatem existit. igitur cadet in aliquo puero posito inter terminos A & Deius.

235쪽

a Io De aeque ponderant. Meiusdem axis, quod &c l l .

PROPOSITIO XIV.

Fig. 21. 22.2 Si quae figurae solidae a que altae R TZ , & ABC in apices R , A deficientes merint prop-liter analogae, & in RTZ cognitus sit locus V centri grati itatis eius. Di- co in figura ABC centrum grauitatis diuidere axina AD in F in eaderatione ipsius RV ad VS - Opor' ret autem Vt figura RTZ sit illius speciei in qua centrum grauitatissmiliter in axi ponitur,vistini pyiamides , prismata , & cylindri exca

vati.

Si enim punctum F non est centrum grauitatis figiire ABC , sit a punctum E insta F pos tum & fiat stsigura ΚGLIm aemie alta , & eius dem speciei ac est KTZ circa axim AD, ita ut KGL HY ad erus exces sum supra ABC maiorem pro-nem habeat quam AE ad EF . ergo ali- qua ME maior quam AE erit ad 'EF ut EG I HY ad eius exce sissi sum pra ABC . & diuidendo MF ad FE erit, ut figura ABC ad excesbin , figura: . ΚGI HY stupra ABC . uia in libra ME supponitur Et

centrum grauitatis figurae ABC contentae , & F es centrum grauia talis totius figurae ΚGHY cum ..

236쪽

ehimedis et II axe AD , ac est V in RS J ergo bu erit centrum grauitatis eX-cesiis figurae hGΗLY supra ABC ,

estque talis excessus figura e caua e lim .i ad easdem partes D , igitur eius centrum grauitatis cadit in Μ extra cauitatem talis figurae , quod est impossibile. non ergo punctum d ιηρ. 6 E infra F positum esse potest centrum grauitatis figurae ABC. Sit secundo centrum grauitatis

ABC in I posito supra F, & inscribatu r figura a ON b ar me alta , & eiusdem speciei ac est RTZ circa eunddin axim AD , ita ut figura ABC ad eius excessum supra inscriptam figuram a ON b maiorem rationem habeat quam AF ad FI . ergo aIiqua maior quam AF ut est M F erit ad FI ut ABC ad eius e cessum supra a ON b quare diuidendo MI ad I Ferit ut figura aONb ad praedictum excessu.& Vt prius concludetur, quod excessus solidi ABCs ra a ON b centrum grauitatis est punctum M positum extra eius cauitatem . unde sequitur quod centrum grauitatis solidi ABC no cadit supra neq, infra punctu F.& pr inde in Fexistet grauitatis centrum,

PROPOSITIO XV. Tab.νLFig. ar. In quolibet cono ABC centrum ti grauitatis E abscindit portionem

237쪽

dita De aeque ponderant. ED basi contiguam, quae quartata pars est axis AD. Fiat pyramis RTZX aeque alta ac est conus , sitque eius axis RSI segmentum infimum VS pars qua ta ipsius RS erit a V centrum grauitatis pyramidis: suntque duo

lolida RTZ , ABC aeque alta

prop-liter analoga . ergo b eorum centra grauitatum . sunt similiterposita in axibus, & centrum gra-ilitatis V pyramidis secabat quadrantem axis VS a basi. ergo punctum E similiter axim coni abscindens centrum grauitatis eius eris,

quod &c. LEMMA II. Tab. I. Fig. 2q. Si in parabola CAc adscriptae fuerint duae gradatae figurae R , & Sex par-mis aeque altis compositae , sitque X centrum grauitatis par

bolae. Dico quod centrum grauia talis circumscriptae figurae R cadit supra X versus A ut in R; &c - trum grauitatis figurae inscriptae Scadit trista X ut in L. Quia in parabola e abscissae in duplicata ratione ordinatim applicatarum . ergo qualium AH est ' partes erit AK partes 8. & ordinata FH ad Mic erit ut radix quata 2 ad illius radicem quae est minus quam 3. & d sic erit par-mum

H P ad par-mum KQ ob aequales

238쪽

laltitudines ;) & ideo eorum diffe- rentia scilicet pa inum E QM nai- mis erit ' iam trillineum

AEP triens par-mi PH quod erat

a partes, ei So trilineum AED est duae tertia virilis partis,& trilineum, Frao miniis erit semisse unius partis quare trilineum A FP maius erit quam EMLU: pariter trilineum AGH maius erit trilineo G NYsic reliqua trilinea proxime sequentium maiora erunt. Quia ve- io parabola CA c est figura ad api cem A deficiens et Eo centrum gra. uitatis X cadit inita medietatena axis AB eo quod sin par-lno centim in praecise axim bifariam secat); e contra quia series trilineonu lac ircum scriptorum est figura extenuata ad partes ec, in ea centrum grauitatis cadit supra medietatem axis AB ad partes A ut in H. ergo centrum grauitatis totius figurae circunscriptae R cadet e inter X & Ηvt in X ; proindeqtie Κ cadet supra X versiis A.

Postea quia series trilineorum AGH , GNY &c. est figura extenuata ad partes Cc , in ea centrum grauitatis cadit supua medietatem oaxis AB versus A,& ideo supra X . ergo centrum grauitatis reliquae portionis parabolae, scilicet figurae inscriptae S cadet h in directum infra centrum grauitatis X totius pa

li huius

239쪽

lem. a.

et i ne aque ponderant.

rabolae ut in L. quare &c. LEMΜA III. Tab. VI. Fig. aq. Parabolae cuilibet C Ac ad ribi possunt duae figurae gradatae R, S ex l:

par-mis aeque altis compositae, ita ut distantia centrorum grauitatum earundem minor sit qualibet data li-

Diuiso axe AB in partes aequales i ta ut quelibet earu BL,vel LΚminor irsit qualibet proposita linea, & com- pleantur adscriptae figulae R &S. Quia inscripta S est aequalis, & si- milis circumscriptae R absque ii fimo par mo . ergob earum centra grauitatum similiter posita simi ir , axibus aequalibus AL , & HB ; & ideo distabunt interse eodem interuallo, quo Vertices axium ab inui- icem recedunt. igitur si punctum L est centrum grauitatis inscriptae figurae S erit K centrum figurae Rabsque infimo pasemo Verum centrum integrae figurae circumscriptae R cadit o infra punctum K Vt in X ob additamentui par-mi infiitii, &supraL Cud inter talia denti a mediet licentrum grauitatis parabolar) ergo si distantia centrorum erit LX minor hquam LX , de ideo multo minor ilqualibet proposita linea. quod &c. tiLEMMA IV siue eadem. Si duae

parabolae communem axim AB h bue

240쪽

Archimedis a I s

buerint & unius DA d centrum grauitatis sit X . Dico alterius C Acesse quoque X grauitatis centrum. Si hoc verum non emit Z centrum grauitatis parabolae CAc; &ytrique a adscribyntur binae figurae

gradatae ex pasemis aeque altiS nt mero aequali Dus compositae, nempe

R , T circitia scriptae, & S, V inscriptae, ita ut distantia inter centra orauitatum K ipsius T.& L figurae V minor sit quam reota XZ . cumque b X centrum grauitatis parabo-dae I A d cadat inter Κ & L centr adscriptarum figurarum T & V.er po punctum Z cadit infra punctii in L & extra rectam. KL . Postea

quia in utrisque parabolis C A c, DA d tam e ordinata MK ad EH, quam IK ad FH sunt ut eaden abscissa ΚA ad AH ; ergo illae ordinataei interse pro-nales ituat, &proinde d par-nuim M H ad haran una EA erit ut par-mum IH ad par mum FA I 8ἴ eorumdem e centra grauitatum existunt in semipartitionibus segmentorum ΚΗ , ΗΑ aequalium axis. ergo centra grouitatum pax-morum M H , EA con

IH , FA, & sic reliqua omni . quare centrum grauitatis figurae Rexistit in eodem puncto Κ centro grauitatis figurae T. eodem modo ostendetur quod centrum grauitatis

a tim.