장음표시 사용
241쪽
tis figurae S congruit cum centro L figurae V. igitui scentrum graui talis parabolae C Ac cadit inter pacta Κ & L. non ergo Z erit centrum strauitatis eiusdem parabolae quoci. cadit extra KL. quare patet proso- . situm .
as.In quolibet spatio parabola ABC sit diameter BD secetur in X ut portio B X versus Verticem 1eXquialtera sit reliquae XD . Dico punctuin X esse centrum grauitatis spatii ABC. v Si hoc verum non est , sit aliud punctum O qentrum grauitatis parabolae ABC, quod emciat segmen-rum Bo diametri habens ad Od ma-
iorem proportionem quam 3 aia Ocdesci ibatur a conus EFG cii
rabolam ABC, 'cuius trianauli per axim basis FG sit diameter circuli DAG , & per-lariter secet basim parabolae AC in D ; eritique parabolae b diameter BD parallela lateri coni EF, plano tangenti ;& sic in qualibet alia parabola ab cpar-la ipsi ABC: & eodem axe BD fiat e parabola RB S similis abc erit centrum grauitatis quoque paraboIae RBS; deducto coni axe EI secabit FG bifariam in H , & con-
iuncta GOL secet E H in I. & quia narallela. BD , bd, EF secantur a
242쪽
tribus festis . GE, GL, GF ergo i
lae lacantiir in iisdem rationibus; & deo sicut RO maior est quam sex-quialtera OD , ita b o ad od , ELad LF habebunt maiorem rationem quam 3 ad a ; & secantur omnes pa- rabolae in punctis axium O, o sim, iter positis, quorum o supponitur centrum grauitatis parabolae ABCRBS , & ideos ipsius ab c similis ipsi RBS. Igitur recta GL trau-
si per centra grauitatum omnium is sectionu aes itidistantiu plano lagen-
ii EFK;& ideos GL axis erit coni, o proinde puctum I concursus axiuerit centrum grauitatis coni EFG cum in utroque avi. existat . Postea quia duae rectae EH, GL se secant intra tri-lum in Is ergo pro-tio EI ad IH composita est ex ratione EL ad LF quae est maior quam 3 ad 2 , ex ratione FG ad GH,quae est ut a ad a QuareEI ma-i ior erit qua tripla ipsius Iu , proin- deque piinclum I quod ostendi ,
fuerat centrum grauitatis coni EFG secat axim in pro ne maiore quam tripla , t quod est falsum . igitur punctum O non est centrum gralli tatis parabolae ABC. eadem,ati l ne segnientum BO ad OD non ha- bebit minorem pro-tionem qua 3 adi et .Igitur centriina grauitatis paraboll
243쪽
ΡROPOSITIO XVII. VLi Fig. 26. 27. In quolibet conoide pa-l rabolico ABC , si axis AD secetur
in E ut portio ad verticem tendens iA E sit d ista reliquae ED . Dico I punctum E esse centrum grauitatis solidi ABC. Fiat prisma RTZ basis cuius tri-l ris VTY sit aeque alta ac est consti- des;& a vertice R bifariam secante aciem VP ad S centrum grauitatis par-grammi TZ coniungatur recta lit S , haec quidem erit a inis solidi I TZ in aciem VP deficientis , qua . eritque b figura pro liter analoga ir. def. conoidi ABC eo quod sectis ubi- rcumque axibus AD , RS pro-siter .: in N , & H . & ductis sectionibus I. FG , IL par-lis basibus semper in ccρme. parabola e qua-tum BD ad qua tum FH . seu d circulus BC ad circulum FG se habet ut DA ad ΑΗ , seu vi SR ad RN, & ob aequales altitudines TX, IK in oprismate) ut pax-graminum TZ ad
par-mum IL: & reperiatur ε centa in grauitatis prismatis O, quod existet in axe coniungente centrἴ graisitatum tri-lorrim VTY, PXZ , ergo I centra grairitatum in Viro que solido sunt similiter in axibus posita ,' Verum centrum g O grauitatis prismatis tri laris I TZ dii: idit axim m pro-ne dupla. igitur punctum E diuidit aχim in eadem l
244쪽
ipsius ED. ergo Eest centrum agrauitatis conoidis ABC. quod
Fig. 28. Si duae pyramides homogeneae contrapositae GABC & GD EF habuerint omnia latera ad communem verticem G pertingentiae aequalia interse , & Dina quaeque- homologa sint in directum posita M. Dico centrum grailitatis commune ambarum pyramidum esse pumetum G communis verticis . Sint O & R centra grauitaturi sin utroque solido, quae diuident a ab. axes GH , GI in pro-tione tripla. & quia omni a latera in dire-ettim constituta se mutuo secant in communi vertice G , erunt binit quique anguli contrapositi in eodem plano existentes aequales interse A Ergo anguli solui ex eis compositi ad verticem G conuenientes sunt quoque aequales , &omnia latera ibidem concurrentia sunt aequalia , igitur facta intelle .etuali applicatione b pyramides sibi
mutuo congruent; & proinde erunt aquales & similes , atque centra grauitatum quae similiter posita in eis sunt pariter sibi mutuo congruent , & sic quoque axium str- premae portiones O , , GR aequa-
245쪽
Ies , similiterque positae sunt, Mideo in directum constitutae erunt . quare in libra OR ex centris graui- tatu in O, R suspenduntur duae pyra 'mides aeqtiales. ergo e centrum grauitatis aggregati earundem erit
punctium intermedium G. quod &c. PROPOSITIO XIX. rab VLF0 29. 3o. 3I. Cuiuslibet co poris regularis AGEB sphorae, & sphaeroidis AD C B centriam grauitatis
est idem ac centrum figurae . Regularibus corporibus a circula
scribantur sthaerae ADCR , qua
rum axes AC, centra H. & primo in tetraedro, quia b axis sphaerae AC ad eius altitudinem seu aximia
A E est ut 3 ad a, seu ut 6 ad mest- qtie radius AH 3 partes earundem. ergo pyramidis ABGF axis AEquadruplus est portionis infimae ΗΕ . & propterea punctum H ι
erit centrum grauitatis eius iem pyramidis . Secundo in cubo & in reliquis figuris solidis regularibus. Quia i unumquodque eorum diuiditur in tot pyramides vertices in sphaerae centro habentes quot sunt facies , seu figure planae regulares solidum . complectentes , quae aequales , & similes inter se sunt, & binae quaeque contrapositae pyramides solidum is componentes habent latera homologa
246쪽
decusatos in centro sphaera . ENgo d centrum grauitatis cuiuslibet dhxi. paris pyramidum contrapositatum in centro sphaerae & figura existit . , re compositi ex omnibus pyramidibus vertices in centro sphaei qhabentibus centrum grauitatis exi liis in eodem centro sphaerae S
Tertio in sphaera & sphaeroid ABCD axes AC , BD ad inuicem iper-res ducti sint per centra figi rarum E , e ; &.secentur solada aquibuslibet planis ad axes AC a c, per-dicularibus, fient circuli quo- ς ' Δ - tim centra I grauitatum existent feti axibus eisdem , & proinde centra grauitatum solidorum in eis dem axibus AC ac, existent. pari ratione centra grauitatum eo-riimdem solidorum existent in axibus BD, bd . igitur in eornm ommutii sectione E , scilicet in
centris figurarum earundem centra grauitatum existent. quae erant sec.
In Prisma trapetio ABCDEGin quo MD excellus longitudinis maioris DC supra aciem AG aequalis sit latitudini basis ED . Re-
periri debet ceti una grauitatis eius - idem solidi,
247쪽
222 ponderant. Dueto plano GLMyaselo trLIABC , in prismate tra-lari ALC per centra grauitatum K , O basium triciarium ABC, GLMducio axe KO, & secto bifariam in P.& perPdiusto alio axe FPH paras OAN axi tri-li basis , erit a P centrum rauia talis prismatis ALcG & FP erit dupla ipsiuς ΡΗ , & ideo qualium partium FH est 1a erit PH si pa tes . in pyrantidea postea GLNDE ducto ine Giris centrum grauita tu quod sit Q diuidet axis in pro tione tripIa, & ducta QT paselao PO erit quoque FT tripla I Η , ideo qualium FH &1aerita Hypartes, & proinde P Τ erit duode- icima pars altitudinis FH . & est iii
quarta in ordine ab Ire tandems Coinniuneta PQ fiat QV ad VP ut tri- aiplum AG , seu C M ad duplum, ιξMD. Dico punctiim V esse cen- trum grauitatis solidi ABCDEG Ducatur VS par-sa ipsis Ta,PO. erit e TS ad SP ut OV ad VP com-pseatur deinde prisma tri lare LXME, exit pyramis d tri-saris GD EX. pars tertia prismatis LXME,& proinde eius dei. yrismatis erit pyramis GLΜDE duae partes teriae: i& esst e prisma AMBa ad prisma XMEG ut altitudo CM ad MD. cum habeant communem basim seu ut triplum C M ad tripIum MD. go I prisma AMBG ad pyram, dem
248쪽
ehimedis et ar, dein GMDEL erit ut triplum C M seit AG ad duplum MD ; & erat ad V P, seu TS ad SP ut tres AG ad duas MD- igitur pinctum
g V erit centrum grauitatis totius
a pris trapetit . quod &c- PROPOSITIO XXI. Tab. VLIn conoide hyperbolico ACD , sit NO duodecima pars axis solidi AB, sed quarta in ordine et basi BC , & eius infima portio OI. ad IN sit vi triplum lateris transuer- si EA ad duplum axis AB Dico
quod panetum I est centrum grauitatis conoriis ACD . Fiat prisetrapetium AHBG eodem axe AB, α acie AG aequali lateri transuex. EA hyperboles g nitricis ACD,& par-mum basis L F habeat longitudinem LB aequa .lem EB , & latitudinem BF arquintem axi AB , erimi a conor des CA, & pris-petium AI BG figuraraque altφ prs rtionaliter analogae quare ducta FI paraIIela GA per centra grauitatuni solidorum quae supponatur esse puncta P & I , diuidet eorum axes ΚM, AB in eisdem rationibus in punctis P & I . Sed ,- praecedenti, in quolibet prise petio cuius basis longitudinis maio- ris I B excessus sipra acrem AG ae- qualis est latitudini BF eiusdem batis, centrum' grauitatis P diuidit .
249쪽
zz ne ae* e ponderam. axis KM unciam quartam a basi, ita ut pars infima homologa OI ad supremam homologam IN sit ut triplum AG , se ii EA ad duplum BF, seri BA . ergo pariter conoidis hyperbolici Ac D centrum grauitatis diuidit eius axim AB similiter. ideoque punctuin I erit centrum grauitatis conoidis A CD . Quod M.
ex cylindro ΚGLO, auferatur conus KDO , eodem axe & super e dem basi cylindri constitutus . Dico quod centrum grauitatis cylindri excavati, diuidit communem aXem
in S,ut AS ad SD sit ut 3 ad 3. Secetur AD bifariam in His
AN sit quarta pars ipsilis AD, aerit H centrum grati itatis cylindri ,& N erit centrum grauitatis coni: estque b conus tertia par cylindri eundem axim & basim habentis .. ergo cylindrus excavatus duplus est sibi inscripti coni; & proinde e cuiuslibet cylindri excavati gentrum ν si auitatis abscindet portionem axis
HI quae seminis est HN. igitur qua lium partium AD est 8 erit AH - ,& AN et partes, & HI una pars . Quare tota AI est 3 , M ID 3 partes . ergo puncta I de S coincidunt. poindeque punctum S erit centi imgrauitatis cylindri excavati , quod diiiidit axim ut AS ad SD sit ut 1
250쪽
Fig. 33. In Heniisphaerio , vel stiri i- sphaeroide ABC, axis BD , si pose eio suprema BG ad GD fuerit ut quinque ad tria. Dico punctum G esse centrum grauitatis eiusdem so-
Eodem axe BD, Se eadem base . AC describatur cylindrus excavatus EADFC,scilicet dempto cono EDF ς & extenso plano per axi in BD Rejiciet in sphaera circulum , a in asphormide Ellipsim, BARC, & dueto ubiciimque plano Linparallelobast A esticies in sphaera b vel sph. roide circulum vel ellipsim N O si- milem basi AC . & in cylindro C cauato emciet zonam rotundam LM , QP . Et quia in coni triangulo EDF ut e recta EF ad MP ,. ita est BD ad IID ; ergo ut d circulus vel, et lipsis EF ad ei similem. figuram rotandam MP , ita est quadratum BD, ad qua-tum H D , & per conuersionem rationis, ut figura rotunda E E, seu AC ad Zonam LM , QP ita erit qua-tum BD , seu rectangulum II DB ad rec-lum I HB, &ia quo' que ferit quadratum ordinatae AO ad qua-tum NH , vel a figura rotun-